Mme LE DUFF Terminale technologique STAV
Mathématiques - 1 -
I – Primitives d’une fonction. 1°) Notion de primitives. Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie sur I telle que F’=f.
Propriété (admise) : Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet des primitives sur I.
2°) Propriétés des primitives.
Propriété : Si F est une primitive de f sur I, alors toute primitive de f et de la forme F(x)+k où k est un nombre réel quelconque.
Conséquence : Si f admet une primitive F sur I, alors elle en admet une infinité.
3°) Tableau des primitives des fonctions usuelles. Par lecture inverse du tableau des dérivées on obtient :
Fonction f Primitive F Remarque
a a x a un réel x 2 2 x 2 x 3 3 x n x 1 1 n xn n entier naturel ² 1 x x 1 x non nul.
7 – Intégration et primitives.
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Mathématiques - 2 -
4°) Primitives et opérations.
Propriétés (admises) : Soient f et g des fonctions dérivables sur I et k un nombre réel quelconque. Soient F une primitive de f sur I et G une primitive de g sur I.
F + G est une primitive f + g sur I. k F est une primitive de k f sur I.
II – Intégrale d’une fonction positive. 1°) Aire sous une courbe.
Définitions :
Dans un repère orthogonal, l’unité d’aire (symbole ua) sur un graphique est l’aire d’un rectangle ayant pour cotés une unité sur l’axe des abscisses et une unité sur l’axe des ordonnées.
Soient a et b deux nombres réels tels queab et f une fonction définie, dérivable et positive sur [a ; b].
Dans un repère orthogonal, l’intégrale de f entre a à b est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe représentative de f , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.
On note
ba f(x)dx. On lit « intégrale de a à b de f ». a et b sont les bornes inférieure et supérieure de l’intégrale. Remarque : La variable x peut-être remplacée par toute autre variable, on dit qu’elle est « muette ».
2°) Théorème fondamental.
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle
a;b . La fonction F définie sur
a;b par est dérivable et a pour dérivée f. Ainsi, pour tout réel x de
a;b , et F est la primitive de f s’annulant en a.Mme LE DUFF Terminale technologique STAV
Mathématiques - 3 -
3°) Méthode de calculs d’aires.
a) Encadrement à l’aide de rectangles.
i) Graphiquement.
ii) A l’aide d’un algorithme.
b) A l’aide des intégrales et primitives.
Propriété : Soit f une fonction définie sur
a;b et F une primitive de f. Alors
( )
( ) ( ) ) (x dx F x F b F a f ba b a
c) A l’aide de la calculatrice graphique.
Texas instrument (TI 83) : Taper math, sélectionner 9 (intéfrFonct), puis compléter :
(fonction,X,a,b)et appuyer sur entrer.Casio (Graph 35+) : Menu 1 : run, taper optn, F4 (calc), F4 ( ), compléter :
(fonction,a,b)et appuyer sur la touche exe.Casio (Graph 25) : Menu Graph - F5 - Flèche droite - Symbole intégrale - Lower (petit) - Upper (grand) – rés.
d) A l’aide de la géométrie.
4°) Valeur moyenne d’une fonction.
Définition : Pour toute fonction f définie sur un intervalle , on appelle valeur moyenne de f le réel m tel que :
Cg
