Modélisation de films courbés non simples de second gradient

(1)

Films courbés composés d’un matériaux non

simple de second grade

Giuliano Gargiulo

∗

, Elvira Zappale

†

, Hamdi Zorgati

‡

Abstract

Curved thin films made of non simple material of second grade. We consider a curved thin film made of a non simple second grade mate-rial. The behavior of the film is described by a non convex bulk energy depending on the second order derivatives of the deformation. When the thickness of the curved film goes to zero, we show using Γ-convergence ar-guments that the quasiminimizers of the threedimensional energy converge to the minimizers of an energy whose density has been ’A-quasiconvexified’ depending on a two-dimensional deformation and a Cosserat vector. To cite this article: G. Gargiulo, E. Zappale, H. Zorgati, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I....

R´esum´e

On considère un film courbé mince composé d’un matériau non simple de deuxième grade. Le comportement du film est décrit par une énergie interne non convexe dépendant des dérivées secondes de la déformation. Lorsque l’épaisseur du film tends vers zéro, on montre en utilisant des arguments de Γ-convergence, que les quasiminimiseurs de l’énergie tri-dimensionnelle convergent vers les minimiseurs d’une énergie à densité A-quasiconvexifiée dépendant d’une déformation bidimensionnelle et d’un vecteur de Cosserat.Pour citer cet article : G. Gargiulo, E. Zappale, H. Zor-gati, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I....

Abridged English version

We consider a curved thin film made of a non simple second grade material (see [12], [13] [11], [5]) whose non convex energy depends on the second order derivatives of the deformation. The thin film occupies an open domain of the

∗_{Dipartimento di Scienze biologiche ed ambientali, Universita’ degli Studi del Sannio,}

Ben-evento, Italia. e-mail:gargiulo@diima.unisa.it

†_{DIIMA, Universit`}_{a degli Studi di Salerno, via Ponte Don Melillo, 84084 Fisciano (SA),}

Italia. e-mail: zappale@diima.unisa.it

‡_{Institut F¨}_{ur Mathematik, Universit¨}_{at Z¨}_{urich, Winterthurerstr.} _{190 CH-8057 Z¨}_urich,

(2)

form e Ωh=x ∈ R3, ∃ex ∈ eS, x =ex + η a3 ψ −1₍ e x) with −h 2 < η < h 2 , (1) where eS is the curved midsurface of the film, a3 ψ−1(x)_e is the unit vector

normal to eS at the point_ex, and h is the thickness of the film.

The behavior of the thin film undergoing a deformation ϕ is described by_e the bulk interfacial energy_eeh_below:

e eh(ϕ) =_e Z e Ωh W (∇2ϕ)dx,_e (2)

where W is a continuous stored energy function satisfying standard growth and coercivity hypotheses and a lipschitz type continuity assumption, ∇2ϕ is the_e 3 × 3 × 3 tensor of second derivatives.

In this work, we analyze the asymptotic behavior of the total energy and its infimizers over a set of admissible deformations eV of the form

e

V = {ϕ ∈ H_e 2(eΩh; R3), ϕ(ex) =e ex on eΓh}, (3) when the thickness of the film h goes to zero, where eΓh represents the lateral

surface of eΩh.

We begin the study by rescaling the energy in order to perform our analy-sis on a domain independent of the thickness h. Then, we study the behavior of the infimizers of the energy when the thickness vanishes. We show, using Γ-convergence arguments (see [3]), that the infimizers of the rescaled energy converge to the minimizers of an energy depending on a two-dimensional defor-mation and on one Cosserat vector field.

It is worthwhile to mention that the lack of convexity in the 3D energy density in (2) leads to a 2D integrand which ensures lower semicontinuity of the limit energy, namely the 2D energy density turns out to be A-quasiconvex (see [4], [2] for general lower semicontinuity and relaxation results and [11], [5] for explicit formulation of the operator A in the framework of grade two materials), in agreement with the first order case considered by [8].

1 Pr´

eliminaires

On considère un film courbé mince composé d’un matériaux non simple de grade deux, d’épaisseur h occupant un domaine eΩh de la forme

e Ωh=x ∈ R3, ∃ex ∈ eS, x =x + η ae 3 ψ −1₍ e x) avec−h 2 < η < h 2 , (4) où eS est la surface moyenne de eΩh, une sous-variété bidimensionnelle de classe

C3

de R3_{admettant un atlas comportant une seule carte ψ. Cette carte est un}

C3_-diff´_{eomorphisme. Elle envoit un ouvert born´}

(3)

lipschitzienne dans eS, a3(ψ−1(x)) est le vecteur normal `_e a eS au pointx. Le vec-_e

teur a3 est le troisième vecteur de la base covariante du plan tangent associé à

la carte ψ.

Les états d’équilibre du film mince subissant une déformation ϕ sont les_e minimiseurs de l’ énergie_eeh_d´_{efinie par}

e eh(ϕ) =_e Z e Ωh W (∇2ϕ)dx,_e (5) o`u ∇2 e

ϕ est le tenseur 3×3×3 des dérivées secondes et W est la densité d’énergie du matériau dépendant du tenseur hessien de la déformation et vérifiant les propriétés de croissance de coercivité et de caractère lipschitzien suivantes : ∃p ∈]1, +∞[, α > 0, β ≥ 0, γ > 0 et C > 0 tels que    |W (H)| ≤ γ(1 + kHkp_{) ∀H,} W (H) ≥ αkHkp_{− β ∀H,} |W (H) − W (H0_{)| ≤ C(1 + kHk}p−1_{+ kH}0_kp−1_{)kH − H}0_{k ∀ H, H}0 _{∈ Sym(R}3_), (6) On remarque aussi que la troisième hypothèse dans (6) est assez naturelle, en particulier elle est vérifiée si W est A-quasiconvexe suivant l’opérateur A cité ci-dessous (voir [11] et [5]). D’autre part, supposer que la fonction W soit A-quasiconvexe (pour un opérateur A convenable) est nécessaire et suffisant pour avoir la semicontinuité inférieure de la fonctionnelle d’énergie 3D dans (2). On s’intéresse au comportement asymptotique de l’énergie_eeh ainsi que celui de ses éventuels minimiseurs sur l’ensemble des déformations admissibles eV (3) lorsque l’épaisseur du film mince tend vers zéro. Pour cela, on utilise les outils de la Γ-convergence (voir [3]). Tout d’abord, on procède à un changement d’échelle afin de travailler sur un domaine indépendant de l’épaisseur h (voir [8]). L’énergie écrite sur le domaine plan d’épaisseur 1 obtenu suivant la même démarche que dans [9] est de la forme

e(h)(ϕ) = R Ω1W h ∇2 pϕ + 1 h(e3⊗ ∇pϕ,3+ ∇pϕ,3⊗ e3) + 1 h2ϕ,33⊗ e3⊗ e3⊗Ah T ⊗Ah +∇pϕ +_h1ϕ,3⊗ e3⊗∇2Ψ−1 Ψ(x1, x2, hx3) i dh(x)dx

où ϕ,i, ϕ,ij désignent respectivement la dérivée première par rapport à la ième

variable et la dérivée seconde par rapport à la ième et jème variable de ϕ, et où l’on a posé dh(x) = det ∇Ψ(x1, x2, hx3) et Ah(x) = ∇Ψ−1 Ψ(x1, x2, hx3).

On a aussi utilis´e les notations ∇pϕ = ϕ,α⊗ eαet ∇2pϕ = ϕ,αβ⊗ eβ⊗ eβ. Enfin,

pour deux tenseurs P et Q d’ordres p et q, P ⊗Q désigne le produit tensoriel contracté de P et Q (voir [10]). On étudie le problème de minimisation suivant : trouver ϕ(h) ∈ Vh vérifiant

e(h)(ϕ(h)) = min

ϕ∈Vh

e(h)(ϕ), (7)

(4)

Considérons une collection d’opérateurs linéaires A(i) ∈ Lin(Ed_{, E}l_{), i =}

1, . . . , N , où Ed et El désignent deux espaces vectoriels réels de dimensions d et l respectivement, et on definit Av := N X i=1 A(i)∂v ∂xi , v : EN → Ed, A(w) := N X i=1 A(i)wi∈ Lin(Ed, El), w ∈ EN,

o`u Lin(X, Y ) est l’espace vectoriel des applications lin´eaires de l’espace vectoriel X dans l’espace vectoriel Y .

De plus, on suppose que A satisfait la propri´et´e de rang constant, i.e. il exist r ∈ N tel que

rangA(w) = r pour tout w ∈ SN −1. (où SN −1 désigne la sphère unit´_{e de R}N).

D´efinition 1.1 (cf. [4], [2]) Consid´erons une fonction Bor´_{elienne f : R}d

→ R, la A−quasiconvexification de f en v ∈ Rd _{est donn´}_{e par}

QAf (v) := inf Z Q f (v + w(x))dx : w ∈ C_per∞_(RN_{; R}d) ∩ KerA, Z Q w(y)dy = 0 , (o`u Q d´esigne le cube unit´_{e de R}N_).

Soit f : Sym(R2_{) × M}3×2 _{→ R une fonction Bor´elienne, on ´ecrira dans ce}

qui suit QA2f , pour d´esigner la A-quasiconvexification de f , d´efini dans (1.1),

rattachée à l’opérateur différentiel A2_{:= (A}2

2, A21) donn´e par A2 : v ≡ (h, ξ) ∈ Sym(R2) × M3×2→ (A2 2h, A 2 1ξ) (8) o`u A2 2h = ∂hi j1 ∂x2 −∂h i j2 ∂x1 ! i=1,2,3,j=1,2 et A21ξ = ∂ξi 1 ∂x2 − ∂ξ i 2 ∂x1 i=1,2,3 .

On peut facilement vérifié (voir [5]) que h ∈ C∞(Q2; Sym(R2)) : A22h = 0, Z Q2 hdx = 0 =D_p2u : u ∈ C_per∞(Q2, R3) , (9) où Q2 désigne le cube ]0, 1[2. En plus, pour tout w ∈ S1 : dim KerA22(w) = 3.

On a aussi que ξ ∈ C∞(Q2, M3×2) : A21ξ = 0, Z Q2 ξdx = 0 =Dpϕ : ϕ ∈ Cper∞(Q2, R3) , (10) et il en r´esulte que pour tout w ∈ S1

dim KerA2

1(w) = 3.

On peut ais´ement voir que A2_{est un op´}

erateur de rang constant et que KerA2_{(w) =}

(X, V ) ∈ Sym(R2_{) × M}3×2_{: (X, V ) = (b ⊗ w}⊗2

, a ⊗ w), a, b ∈ R3_{, pour tout}

(5)

2 R´

esultats principaux

Soit p > 1. On prolonge l’´energie e(h) `a Lp(Ω1; R3) tout entier en posant

pour tout ϕ ∈ Lp_(Ω 1; R3) e∗(h)(ϕ) = e(h)(ϕ) , si ϕ ∈ Vh, +∞ , sinon. (11)

Naturellement ϕ(h) minimise ´egalement e∗(h) sur Lp_(Ω

1; R3). On a le lemme

suivant.

Lemme 2.1 Soit ϕh∈ Lp(Ω1; R3) une suite v´erifiant e∗(h)(ϕh) ≤ c avec c une

constante positive. Il existe alors ϕ0 _{∈ W}2,p_(Ω

1; R3), b ∈ W1,p(Ω1; R3) et ¯c ∈

Lp_(Ω

1; R3) tels que pour une sous-suite de ϕh encore not´ee ϕh on a

   ϕh * ϕ0 dans W2,p(Ω1; R3) faible 1 hϕh,3 * b dans W 1,p_(Ω 1; R3) faible 1 h2ϕh,33 * ¯c dans Lp(Ω1; R3) faible (12) avec (ϕ0_{, b, ¯}_{c) ∈ V} 0 où V0= n (ϕ0, b, ¯c) ∈ W2,p(Ω1; R3) × W1,p(Ω1; R3) × Lp(Ω1; R3) vérifiants ϕ0,3= 0, b,3= 0 et ϕ0(x) = Ψ(x1, x2, 0), b(x) = Ψ,3(x1, x2, 0) = a3(x1, x2) sur ∂ω × (− 1 2, 1 2) o . On passe ensuite au calcul de la Γ-limite de l’énergie par rapport aux deux

premi`eres convergences dans (12). On d´efinit W0: ω × M3×3× R3× M3×3×3×

M3×3 → R par W0(x, F , z, K, ξ) := inf_c∈R3W h K + (e3⊗ ξ + ξ ⊗ e3) + c ⊗ e3⊗ e3⊗A0 T ⊗A0 +F + z ⊗ e3⊗∇2Ψ−1 Ψ(x1, x2, hx3) i . (13) D’autre part, en rappelant la d´efinition 1.1, on pose

QAW0(x, F , z, h, ξ) := inf n R Q2W0(x, F , z, h + D 2 pu, ξ + Dpv) : u, v ∈ Cper∞(Q2; R3) o . Soit ϕ0_{∈ W}2,p_(Ω

1, R3) tel que ϕ0,3= 0 et b ∈ W1,p(Ω1, R3) tel que b,3= 0 et

E∗(0)(ϕ0, b) = Z ω QAW0(x, D2pϕ 0_{, D} pb, Dpϕ0, b)d0(x)dx (14)

où d0(x) = det ∇Ψ(x1, x2, 0). On a le théorème suivant

Théorème 2.2 La suite E∗(h) Γ-converge vers E∗(0) par rapport aux deux premières convergences dans (12) quand h tend vers zéro.

(6)

Remarque 2.3 Le calcul de la Γ-limite en accord avec le cas des films courbés hyperélastiques, voir [8] et les résultats de relaxation dans [2] et [5], contient une densité d’énergie élastique interne du modèle limite relaxée à travers une procédure par A-quasiconvexification.

Remarque 2.4 En utilisant l’argument standard de la Γ-convergence on ob-tient la convergence des minimiseurs éventuels de l’énergie (2) vers ceux de l’énergie limite (14) quand h → 0.

R´

ef´

erences

[1] K. Bhattacharya and R.D. James, A theory of thin films of martensitic materials with applications to microactuators. Journal Mech. phys. Solids 47, (1999), 531-576.

[2] A. Braides, I. Fonseca and G. Leoni A-quasiconvexity : relaxation and homogenization, ESAIM, Control Optim. Calc. Var., 5, (2000), 539-577. [3] G. Dal Maso, An introduction to Γ-convergence. Progress in Nonlinear

Differential Equations and Their Applications (1993), Birkh¨auser.

[4] I. Fonseca and S. M¨uller, A-quasiconvexity, Lower Semicontinuity, and Young measures, SIAM J. Math. Anal., 30, (6), (1999), 1355-1390. [5] G. Gargiulo, and E. Zappale, The Energy Density of Non Simple

Materials Grade Two Thin Films via a Young Measure Approach, to appear on Boll. UMI. Ser I.

[6] G. Gargiulo, and E. Zappale, A remark on the junction in a thin multidomain : the non-convex case, to appear on NoDEA.

[7] H. Le Dret and A. Raoult, The nonlinear membrane model as varia-tional limit of nonlinear three-dimensional elasticity. J. Math. Pures Appl. (9), 74(6) : 549-578, 1995.

[8] H. Le Dret and A. Raoult, The membrane shell model in nonlinear elasticity : A variational asymptotic derivation. J. Nonlinear Sci : 59-84, 1996.

[9] H. Le Dret and H. Zorgati, Films Courb´es minces martensitiques, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 339, (2004), 65-69.

[10] H. Le Dret and H. Zorgati, Asymptotic modeling of thin curved mar-tensitic films, preprint Laboratoire J. L. Lions, (2005).

[11] P.M. Santos, and E. Zappale, Second Order Analysis for Thin Struc-tures, Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 56A, (2004), n.5, 679-713. [12] R.A. Toupin, Elastic Materials with Couple-Stresses, Arch. Rational

Mech. Anal., 11, (1962), 386-414.

[13] R.A. Toupin, Theories of Elasticity with Couple Stress, . Arch. Rational Mech. Anal., 17, (1964), 85-112.