Développement d'un modèle québécois de transport à longue distance de polluants atmosphériques.

DE POLLUANTS ATMOSPHÉRIQUES Par Jean-Pierre Fortin* Marius Lachance* Claude Lelièvre** Gaétan Ferland* Rapport scientifique No 151 Pour Environnement Québec * INRS-Eau ** Environnement Québec

TABLE DES MATIERES LISTE DES TABLEAUX

...

i

v xi xv LISTE DES FIGURES LISTE DES ANNEXES INTRODUCTION ...•.•...••.••••••••••••.•...••.•••...•..••••••••...• 1

Rappel des objectifs de l'êtude ••...••.••••••••••••.•••••••••.• 3

Contenu du rapport ... 4

1. DESCRIPTION DU MODELE .••••••..••.•....••••••..••••••.•••••••••• 7

~ 1.1 Equations de base... 11

1.2 Solution analytique •...•••••..••..••••••••••••••••••••.••• 14

1.2.1 Solution analytique du modèle sec ••...••••••.••.••• 15

1.2.1.1 Solution de l'êquation (1.6a) pour G₁ 15 1.2.1.2 Solution de l'êquation (1.6b) pour G₂ 18 1.2.1.3 Solution de l'êquation (1.6c) pour G₃ 19 1.2.1.4 Solution de l'équation (1.6d) pour G₄ 23 1.2.2 Solution analytique incluant l'effet aléatoire de la pluie 24 1.3 Modèle à deux dimensions ...•... 28

1.4 Calcul des dépôts... 30

1.5 Solution numérique ...•...••.•.•.••••••••••...••••••• 34

1.5.1 Modèle â une dimension •.••••••..•...•.•••..•..•. 38

1.5.2 Conditions de stabilitê et de convergence •.•.•••••• 42 1.5.3 Modèle â deux dimensions •••.•..•••.•....••••.••..•• 43

1.6 Solution retenue •..•...••....••.•.••..••••••••••.••••••• 43

2.1 Développement mathématique: épisodes humides .•.••...•. 50

2.2 Développement mathématique: épisodes secs .•.•....•••.••.• 54

2.3 Détermination des cycles secs et humides .••.•...•...• 56

2.4 Utilisation du code de précipitation •...•.•.••••.•....•••• 57

2.4.1 Compilation des résultats •••.•••••••....•.••••..•.• 57

2.4.2 Contribution relative des cycles •...••.•.•....•..•. 75

2.4.3 Cartographie des paramètres ...•..•.••..•.•..•• 82

2.4.3.1 Cycle long sec: 1/0... 82

2.4.3.2 Cycle long humide: l/S •••••••...•••..•.•• 90

2.4.3.3 Cycle court sec: l/r ... 92

2.4.3.4 Cycle court humide: l/a •.•••.•••••••••••• 92 2.4.3.5 Paramètres A et C .•..•••••...•.•.•.•.••••• 92

2.4.3.6 Commentaires généraux ...••••••••••.•.•.••• 98

2.5 Utilisation des données des pluviographes ...•.••••.•• 98

2.5.1 Proportion du nombre de jours impliqués dans les divers cycles... 99

2.5.2 Conversion des cycles au seuil de 0,25 mm h-1 •••••• 99 2.6 Intensité moyenne de la précipitation •.••••...••••••••. 117

2.7 Conclusion ... 117

~ , 3. DETERMINATION DES PARAMETRES MOYENS DE CHAQUE COUPLE ~ SOURCE-RECEPTEUR ••..•...•.•••...•..•.•••.•..••...••.••••••• 121

3.1 Régions sources et régions réceptrices •..•••....•.••... 123

3.1.1 Régions sources •...•...•.•••...•••••.••....•••• 123

3.1.2 Régions réceptrices ... 125

3.2.1 Calcul des trajectoires ••.••.•••.••••.••.••••••••.• 130 3.2.2 Valeurs moyennes des paramètres des couples

source-récepteur obtenus pour l'annfie 1980 •••..•••• 149

4. ÉTUDE DE SENSIBILITÉ DES PARAMÈTRES •...•..•.•.•••••••..•.•.• 159

4.1 Choix d'un type de chaine de Markov ••••••••.•.••••••••••.• 163 4.2 Effet de la salson •.••••••...•.••••••.••.•••...•••.•••.. 165 4.3 Effet d'une variation de l'épaisseur de la couche limite.. 165 4.4 Effet d'une variation de la hauteur d'fimission ••••.•..•••• 169 4.5 Effet d'une variation du coefficient de lessivage L2 du

S02 ... 171

4.6 Effet d'une variation du coefficient de lessivage L4 du

50_{4 --} ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 173

4.7 Effet de la variation du taux de transformation du S02

en S04 -- ... 175

4.8 Effet de la variation de la vitesse de retombée VG12 du

S02 ... 175

4.9 Effet de la variation de la vitesse de retombée VG34 du

504 -- ... 178

4.10 Estimation des courbes maximales et minimales de dfipôts

de soufre ... 178

5. MATRICES DE TRANSFERT ENTRE LES 47 REGIONS SOURCES ET LES

..

..

25 REGIONS RECEPTRICES •..•..•••••••••••••.••..•....•••••••.•.•. 187

5.1 Contenu et utilisation des matrices ••••••••••••••••••••••• 189 5.2 Prfisentation et interprfitation des matrices ••.••.••.•.•••. 190

CONCLUSION •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 257 RECOMMANDAT IONS ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 261 Modèle analytique... 263 Modêle numêrique ••...••••••••••••••.••..•••.••.••..•..•.•..•• 265 Études complêmentaires 265 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 267 iv

TABLEAU 2.1 Caractéristiques des divers cycles secs-humides ••••••• 58 TABLEAU 2.2 Valeurs saisonnières des durées moyennes des cycles

(a-l, 13-1, y_l, 0-1) et des coefficients A et C

caractérisant les chaînes de Markov basées sur 10 années de mesure (1968 à 1977).

Station: Bagotville.

a) Seuil

=

trace. b) Seuil

=

0,25 mm h-l _{•••.••••••• 59} TABLEAU 2.3 Valeurs saisonnières des durées moyennes des cycles

(a-l, 13-1, y-l, 0-1) et des coefficients A et C

caractérisant les chaînes de Markov basées sur 10 années de mesure (1968 à 1977).

Station: Charlo.

a) Seuil

=

trace. b) Seuil

=

0,25 mm h-l ••••••••••• 60 TABLEAU 2.4 Valeurs saisonnières des durées moyennes des cycles

(a-l, 13-1, y-l, 0- 1) et des coefficients A et C

caractérisant les chaînes de Markov basées sur 10 années de mesure (1968 à 1977).

Station: Montréal.

a) Seuil

=

trace. b) Seuil

=

0,25 mm h-l .••.••••••• 61 TABLEAU 2.5 Valeurs saisonnières des durées moyennes des cycles

(a-l, 13-1, y-l, 0-1) et des coefficients A et C

caractérisant les chaînes de Markov basées sur 10 années de mesure (1968 à 1977).

Station: Québec.

a) Seuil

=

trace. b) Seuil

=

0,25 mm h-l .•...••...• 62 TABLEAU 2.6 Valeurs saisonnières des durées moyennes des cycles

( a-l, 8-1, y- l, 0- 1) et des coeffi ci ents A et C

caractérisant les chaînes de Markov basées sur 10 années de mesure (1968 à 1977).

Station: Shefferville.

a) Seuil = trace. b) Seuil = 0,25 mm h-l ..••••••••• 63

TABLEAU 2.7 Valeurs saisonnières des durées moyennes des cycles

(a-l, 13-1, y-l, 0- 1) et des coefficients A et C

caractérisant les chaînes de Markov basées sur 10 années de mesure (1968 à 1977).

Station: Sudbury.

a) Seuil

=

trace. b) Seuil

=

0,25 mm h-l ••••••••••• 64

10 années de mesure (1968 à 1977). Station: Toronto.

a) Seuil

=

trace. b) Seuil

=

0,25 mm h-l •..•...•• 65 TABLEAU 2.9 Valeurs saisonnières des durées moyennes des cycles

(a-l, 13-1, y-l, 0- 1) et des coefficients A et C

caractérisant les chaines de Markov basées sur 10 années de mesure (1968 à 1977).

Station: Val-d'Or.

a) Seuil

=

trace. b) Seuil

=

0,25 mm h-l •.••••••.•. 66 TABLEAU 2.10 Détermination des saisons à partir des caractéristiques

du comportement de la proportion du nombre de jours

impliqués dans les divers cycles markoviens ••••.•.•.•• 67 TABLEAU 2.11 Moyenne et écart type du rapport des valeurs des

paramètres des chaines de Markov. Seuils de détection

considérés: 0,25 mm h-l _{et trace (TR) ...•••••...••• 68} TABLEAU 2.12 Stations dont l'utilisation des statistiques sur les

chaines de Markov est recommandée dans le modèle du

TGDPA en fonction de divers couples source-récepteur 69 TABLEAU 2.13 Valeurs saisonnières des durées moyennes des cycles

(a-l, 13_1, y_l, 0- 1) et des coefficients A et C

caractérisant les chaines de Markov basées sur 10 années de mesure (1968 à 1977).

Station: Sainte-Agathe.

a) Seuil

=

trace. b) Seuil

=

0,25 mm h-l ••.••.•.... 70 TABLEAU 2.14 Valeurs saisonnières des durées moyennes des cycles

(a-l, 13-1, y-l, 0- 1) et des coefficients A et C

caractérisant les chaines de Markov basées sur 10 années de mesure (1968 à 1977).

Station: Roberval.

a) Seuil

=

trace. b) Seuil

=

0,25 mm h-l •.•..•••••• 71 TABLEAU 2.15 Valeurs saisonnières des durées moyennes des cycles

(a-l, 13-1, y-l, 0- 1) et des coefficients A et C

caractérisant les chaines de Markov basées sur 10 années de mesure (1968 à 1977).

Station: Baie-Comeau.

a) Seuil

=

trace. b) Seuil

=

0,25 mm h-l _{•••.•.••••• 72}

10 années de mesure (1968 à 1977). Station: Mont-Joli.

a) Seuil

=

trace. b) Seuil

=

0,25 mm h-l

. . . • . . . 73

TABLEAU 2.17 Valeurs saisonnières des durées moyennes des cycles

(a-l, 8-1, y-l, 0-1) et des coefficients A et C

caractérisant les chaînes de Markov basées sur 10 années de mesure (1968 à 1977).

Station: Rivière-du-Loup.

a) Seuil = trace. b) Seuil = 0,25 mm h-l ••••••••••• 74

TABLEAU 2.18 Regroupement des mois en saisons selon le comportement

du cycle long sec et du cycle long humide ...•... 80 TABLEAU 2.19 Moyenne et écart type du rapport des valeurs des

paramètres des chaînes de Markov. Seuils de détection

considérés: 0,25 mm h-l _{et trace (TR) .••....•...•.•.. 102} TABLEAU 2.20 Stations dont 1 'uti1isation des statistiques sur les

chaînes de Markov est recommandée dans le modèle du

TGDPA en fonction de divers couples source-récepteur 119 TABLEAU 3.1 Régions sources pour les émissions de S02 ...•....•..•. 124 TABLEAU 3.2 Régions réceptrices des composés du soufre .•••••.•••.. 129 TABLEAU 3.3 Valeur du paramètre F(e) ..••.•.•••.•••••..••.•..•..•.• 150 TABLEAU 3.4 Valeur du paramètre temps de parcours (h) ..••..•••...• 152 TABLEAU 3.5 Valeur du paramètre vitesse de parcours (km/h) 154 TABLEAU 4.1 Valeurs de base attribuées aux paramètres pour les

tests de sensibilité ... 162

TABLEAU 4.2 Variation des dépôts de S02' S04 et S en considérant deux chaînes de Markov pour simuler les épisodes

secs et humides •••••.•....•••••..•....••...••....•.••. 164 TABLEAU 4.3 Valeurs attribuées aux paramètres pour les tests de

sensibilité .•••••...•••..•.•.•.••..•...•• 166 TABLEAU 4.4 Variation des dépôts de S02, S04 et S en fonction du

temps pour différentes saisons •.••...•.•..•...•••••• 167

TABLEAU 4.6 Variation des dépôts de S02' S04 et S en fonction du

temps pour différentes hauteurs de la source .•.•.••••• 170 TABLEAU 4.7 Variation des dépôts de SO~, S04 et S en fonction du

temps pour différents coefficients de lessivage du

S02 ... 172

TABLEAU 4.8 Variation des dépôts de S02' S04 et S en fonction du temps pour différents coefficients de lessivage du 50 4 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 174 TABLEAU 4.9 Variation des dépôts de S02' S04 et S en fonction du temps pour différents taux de transformation du S02 en 504 ... 176

TABLEAU 4.10 Variation des dépôts de S02' S04 et S en fonction du temps pour différentes vitesses de retombée du S02 •••• 177 TABLEAU 4.11 Variation des dépôts de S02' S04 et S en fonction du temps pour différentes vitesses de retombée du S04 .••• 179 TABLEAU 4.12 Valeurs des paramètres du modèle conduisant à des dépôts de soufre maxima ou minima ••••••••••••••••••••• 180 TABLEAU 4.13 Variation des dépôts de S02' S04 et S en fonction du temps pour différentes combinaisons de valeurs de pa ramètres ... 182

~ MATRICES DE TRANSFERT SOURCE-RECEPTEUR 1980 TABLEAU 5.1 Concentration de SO 2 sec

...

193

TABLEAU 5.2 Concentration de SO 2 humi de

...

195

TABLEAU 5.3 Concentration de S04 sec

...

197

TABLEAU 5.4 Concentration de SO 4 humi de

...

199

TABLEAU 5.5 Dépôt de SO 2 sec pendant les périodes sèches

...

201

TABLEAU 5.6 Dépôt de S02 sec pendant les périodes humides

...

203

TABLEAU 5.7 Dépôt de S04 sec pendant les périodes sèches

...

205

TABLEAU 5.8 Dépôt de S04 sec pendant les périodes humides

...

207 viii

TABLEAU 5.11 Dépôt de S04 humide 213 TABLEAU 5.12 Dépôt de soufre humi de ... 215

MATRICES DES CONTRIBUTIONS SOURCE-RÉCEPTEUR 1980 TABLEAU 6.1 Contributions totales des 47 régions sources aux

.. . .. t '

reglons recep rlces •...••••••.•...•.••••••••... 220 TABLEAU 6.2 Concentration de S02 sec ..•...•.••••.••••.•..•...••• 221 TABLEAU 6.3 Concentration de S02 humide •..•.••••.••.•..••••..•.•.. 223 TABLEAU 6.4 Concentration de S04 sec ..•...•.•.•••.•.•••.•••..••... 225 TABLEAU 6.5 Concentration de S04 humide ..•••..•...•....••••... 227 TABLEAU 6.6 Dépôt de S02 sec pendant les périodes sèches •••... 229 TABLEAU 6.7 Dépôt de S02 sec pendant les périodes humides ...•.. 231 TABLEAU 6.8 Dépôt de S04 sec pendant les périodes sèches •.•...•..• 233 TABLEAU 6.9 Dépôt de S04 sec pendant les périodes humides ...•.•••• 235 TABLEAU 6.10 Dépôt de soufre sec

TABLEAU 6.11 Dépôt de S02 humide TABLEAU 6.12 Dépôt de S04 humide

237 239 241 TABLEAU 6.13 Dépôt de soufre humide .•.•••••....••....•...••.•.••..• 243 TABLEAU 6.14 Contributions relatives (en pourcentage) au dépôt

total de soufre humide et de soufre sec des sources regroupées selon quatre régions canadiennes et une

~ . ~.. 251

reglon amerlcalne •..•••••..•...•..•••.•••.••...••.••

FIGURE 1.1 Structure du panache de pollution émis par une source à une hauteur h (adapté de Scriven et Fisher, 1975). Le polluant diffuse entre le sol (z

=

0) et le sommet de la couche limite (z

=

a). Le polluant se dépose avec une vitesse de dépôt (v g) et est transporté par

un vent moyen de vi tesse u •.•••••••.•.•...•••••.... 10 FIGURE 2.1 Courbes du nombre de séquences d'exactement k périodes

consécutives à l'état 1 ....••.••••.•••••••••••..•.••••• 51 FIGURE 2.2 Variation mensuelle de la proportion du nombre de jours

impliqués dans les quatre cycles considérés.

Station: Montréal (Dorval) 1968-1977. Seuil: trace.. 76 FIGURE 2.3 Variation mensuelle de la proportion du nombre de jours

impliqués dans les quatre cycles considérés.

Station: Schefferville 1968-1977. Seuil: trace •••••• 77 FIGURE 2.4 Variation mensuelle de la proportion du nombre de jours

impliqués dans les quatre cycles considérés.

Station: Québec 1968-1977. Seuil: trace •••••••.•.••• 78 FIGURE 2.5 Variation mensuelle de la proportion du nombre de jours

impliqués dans les quatre cycles considérés.

Station: Bagotvi11e 1968-1977. Seuil: trace •..•••••• 79 FIGURE 2.6 Valeur des paramètres 1/yet lia. Saison: Hiver

1968-1977. Seui 1 : trace

· ...

83 FIGURE 2.7 Valeur des paramètres 1/yet lia. Saison: Printemps

1968-1977. Seui 1 : trace

·

...

84 FIGURE 2.8 Valeur des paramètres 1/yet lia. Saison: Été

1968-1977. Seuil: trace

·

...

85 FIGURE 2.9 Valeur des paramètres 1/Y et lia. Saison: Automne

1968-1977. Seuil: trace

·

...

86 FIGURE 2.10 Valeur des paramètres 1/8 et liS. Sai son: Hiver

1968-1977. Seui 1 : trace

·

...

87 FIGURE 2.11 Valeur des paramètres li 8 et li S. Saison: Printemps

1968-1977. Seuil: trace

· ...

88 xi

FIGURE 2.13 Valeur des paramètres 1/0 et l/S. Seuil: trace 91 FIGURE 2.14 Valeur des paramètres A et C. Saison: Hiver

1968-1977. Seuil: trace •...•..•••••.••...••....•••••• 94 FIGURE 2.15 Valeur des paramètres A et C. Saison: Printemps

1968-1977 • Seu; 1 : trace. . . 95

FIGURE 2.16 Valeur des paramètres A et C. Saison: Été

1968-1977. Seuil: trace •••...•...•••.••••••••••.•.. 96 FIGURE 2.17 Valeur des

1968-1977 • paramètres A et C. Seuil: trace .•...•..•...••.•.••..•.•.•••.. Saison: Automne 97 FIGURE 2.18 Variation mensuelle de la proportion du nombre de jours

impliqués dans les quatre cycles considérés.

Station: Montréal 1968-1977. Seuil: 0,25 mm/h •.••..• 100 FIGURE 2.19 Valeur des paramètres l/Y et l/a. Saison: Hiver

1968-1977. Seuil: 0,25 mm/h ... 103 FIGURE 2.20 Valeur des paramètres l/yet l/a. Saison: Printemps

1968-1977. Seuil: 0,25 mm/h ... 104 FIGURE 2.21 Valeur des paramètres l/y et l/a. Saison: Été

1968-1977. Seuil: 0,25 mm/h •..••.••....••..••••.•.•.• 105 FIGURE 2.22 Valeur des paramètres l/y et l/a. Saison: Automne

1968-1977. Seuil: 0,25 mm/h ... 106 FIGURE 2.23 Valeur des paramètres 1/0 et l/S. Saison: Hiver

1968-1977. Seuil: 0,25 mm/h ..••.•..•.•...•...••••• 107 FIGURE 2.24 Valeur des paramètres 1/0 et l/S. Saison: Printemps

1968-1977. Seuil: 0,25 mm/h •..••...•.••.••••..•. 108 FIGURE 2.25 Valeur des paramètres 1/0 et l/S. Saison: Été

1968-1977. Seuil: 0,25 mm/h ..•...•••••••••...•• 109 FIGURE 2.26 Valeur des paramètres 1/0 et l/S. Saison: Automne

1968-1977. Seuil: 0,25 mm/h .•...•••.•..••••••••.••... 110 FIGURE 2.27 Valeur des paramètres A et C.

1968-1977. Seuil: 0,25 mm/h

xii

Saison: Hiver

FIGURE 2.29 Valeur des paramètres A et C. Saison: Été

1968-1977. Seuil: 0,25 mm/h

· ...

FIGURE 2.30 Valeur des paramètres A et C. Saison: Automne

1968-1977 • Seui 1: 0,25 nm/h

·

...

FIGURE 2.31 Variation des paramètres (a, ~ Y, 6) et des

coefficients (A, Cl, des doubles chaînes de Markov selon la hauteur du seuil de détection.

113

114

Station: Val-d'Or de mai à septembre, 1968-1977 ••••••• 115 FIGURE 2.32 Variation des durées moyennes (a-l, a-l, y-l, 6- 1) des

cycles caractérisant les chaînes de Markov selon la hauteur du seuil de détection.

Station: Val-d'Or de mai à septembre, 1968-1977 ....•.• 116 FIGURE 3.1 Positions relatives des deux grilles utilisées par

rapport à la grille (381 km x 381 km) du Centre

météorologique canadien (CMC) tracée sur une projection

stéréographique polaire •..•••..•....•••••.•.•.•••..•••• 126 FIGURE 3.2 Régions sources considérées pour les émissions de S02.

L'identification des régions correspondant aux numéros

encerclés est fournie au tableau 3.1 •••.•.•..••.•••••.• 127 FIGURE 3.3 Régions réceptrices des composés du soufre. L'échelle

extérieure situe les coordonnées de la grille des régions réceptrices par rapport à celle de la grille des vents. L'identification des régions correspondant aux numéros 1 à 25 encerclés est fournie au

tableau 3.2 ••..•.•.•...••.•.•••.••.•••••••••••••••••••• 128 FIGURE 3.4 Interpolation quadratique verticale d'une variable

météorologique mesurée à 1000, 850 et 700 mb •.••..•.••. 134 FIGURE 3.5 Interpolation cubique dans le temps d'une variable

météorologique mesurée à t-9, t-3, t+3 et t+9 •••••••••• 134 FIGURE 3.6 Préparation des fichiers saisonniers des composantes

du vent à 925 mb à toutes les trois heures ••••••••••.•. 138 FIGURE 3.7

FIGURE 3.8

Ordinogramme du calcul des Estimati on du facteur F( e)

xiii

trajectoires •..•••••.•.••••• 139 143

point de grille expriment les poids (définis à lléquation 3.18) attribués à chacun de ces points FIGURE 4.1 Courbes maximales et minimales et courbe de base des

145

dépôts secs de soufre .•.•....••••.••••••.•..••••••••••• 183 FIGURE 4.2 Courbes maximales et minimales et courbe de base des

dépôts humides de soufre •.••••••••••••.•••••••••••••••• 184 FIGURE 6.1 Variation spatiale du dépôt de sulfates dans les

précipitations (en mmoles m-2 an-I) pour l~année 1980 dans l lest du Canada (modifié à partir de EtatsUnis

-Canada, 1982) .•.•...•.•.••••...•...••..••....•.• 247

FIGURE 6.2 Variation spatiale des dépôts humides de soufre (en kg

sa

ha- I an-I). Une valeur de 6 kg

sa

ha- I an- I a été aj6utée aux dépôts calculés par le modêle pour tenir compte de llinfluence du bruit de fond naturel et des

sources lointaines .•••..•••••••••••••••••.••••••..••••• 248 FIGURE 6.3 Variation spatiale de la contribution relative (en

pourcentage) des sources québécoises au dépôt de

soufre humide total ... 252

FIGURE 6.4 Variation spatiale de la contribution relative (en pourcentage) des sources ontariennes au dépôt de

soufre humide total •..•..•••.•.•.••....••••••.••••••••• 253 FIGURE 6.5 Variation spatiale de la contribution relative (en

pourcentage) des sources américaines au dépôt de

soufre humi de total ... 254

ANNEXE 1. DÉVELOPPEMENTS MATHÉMATIQUES

.

... .

1.1 Annexe 1.A Solution de l'équation transcendantale ...•.•.••.•.• 1.3 Annexe 1.B Solution de l'équation log-linéaire •...•••..••. 1.7 Annexe 1.C Quelques propriétés des chaînes de Markov simples

i deux états .••..••••....••••.••.•.•..•.•..•••.•..• 1.13 Annexe 1.D Formules sur les séries géométriques •..•••.•....••• 1.15 Annexe 1.E Propriétés de la double chaîne de Markov i deux

états ... 1.21

L1 Calcul des longueurs moyennes •...••...••••..•. 1.21 E.2 Longueur du cycle moyen ..•....••....••••....•• 1.25 Annexe 1.F Solution d'un système des deux équations

transcendantales à deux inconnues .•••.•..••.•... 1.29

~ ~

ANNEXE 2. PARAMETRES MOYENS DE CHAQUE COUPLE SOURCE-RECEPTEUR 2.1 ANNEXE 3. RÉSULTATS DE L'ÉTUDE DE SENSIBILITÉ DES PARAMÈTRES 3.1

~

ANNEXE 4. MATRICES DE TRANSFERT SOURCE-RECEPTEUR PAR SAISON ...•..• 4.1 ~

ANNEXE 5. MATRICES DES CONTRIBUTIONS SOURCE-RECEPTEUR PAR SAISON.. 5.1

Rappel des objectifs de l'étude

A 1 a fi n de l'été 1981, Envi ronnement Québec accordai t à l' INRS-Eau une subvention de recherche dans le but de réaliser des études portant sur 1 e développement d'un modèl e numéri que d' estimati on du transport à grande distance des composés du soufre.

La méthode de réalisation prévoyait:

a) l'identification des divers phénomènes atmosphériques qui devraient être considérés dans le domaine des précipitations acides;

b) la révision critique des divers modèles de transport de polluants à longue distance;

c) le développement d'un modèle tenant compte de a) et b), des données disponibles immédiatement ou dans un avenir proche, de la précision escomptée et de la rapidité d'exécution sur ordinateur;

d) la compilation des taux moyens tant annuels que saisonniers d'émissions de composés du soufre dans l'atmosphère par certaines sources ponctuelles.

Les résultats prévus étaient:

a) la détermination de la contribution relative de certaines sources

émettrices ponctuelles québécoises sur les bilans annuels, sinon

saisonniers, des composés du soufre ainsi que leur incidence sur

les précipitations acides au Québec;

b) une recommandation sur la direction à suivre dans le développement de méthodes d'évaluation des charges de polluants atmosphériques

transportés au-dessus du terri toi re québécoi s et causant fi nal

e-ment les problèmes des précipitations acides.

Contenu du rapport

Le présent rapport présente, d'une mani ère détai 11 ée, 1 a descri pti on

du modèle proposé ainsi que les résultats des simulations des dépôts de

soufre sur l'est de l' Améri que du Nord. On trouvera dans 1 e rapport de

Lelièvre et al. (1985) une description plus synthétique des

caractéristi-ques du modèle et des résultats des simulations.

La caractérisation par une double chafne de Markov des ~pisodes secs et humides influençant les retombées polluantes est· présentée au

chapi tre 2. On di scute notamment de 1 a détermi nati on de 1 a longueur des

cycles secs et humides selon deux seuils de précipitation: 0,25 mm h-1 et trace (TR).

Au chapitre 3, on s'attache à l'estimation des paramètres moyens de chaque couple source-récepteur. En particulier, on présente les régions sources et les rêgions réceptrices considêrêes dans l'êtude. De plus, on explique le calcul des trajectoires ainsi que l'utilisation dans le modèle des informations ainsi obtenues.

On retrouve au chapi tre 4 une étude de sens i bi 1 i té des paramètres du modèle. Pour ce faire, on a d'abord attribué aux paramètres quatre valeurs couvrant la plage de valeurs trouvées dans la littérature. Les dêpôts rêsultants simulês par le modèle sont commentés à l'aide de tableaux

compa-ratifs. Une combinaison de valeurs de paramètres donnant lieu chacun soit

à des dêpôts élevés, soit à des dêpôts faibles a permis de situer la rêponse du modèle à l'intérieur de courbes maximales et minimales de dépôts de soufre sec et de soufre humide.

Afin de faciliter la comparaison de nos résultats avec ceux des autres modèles utilisês au cours de la phase III du programme canado-américain sur les précipitations acides, des matrices de transfert entre les sources et les rêcepteurs ont été établies pour une source de rêfêrence de 2 TgS02an-1 • Ces matrices de transfert sont présentées au chapitre 5.

Elles offrent la possibilité d'étudier divers scénarios de réduction des dépôts sur une région donnée en agissant sur les sources d'émission.

Le chapi tre 6 présente en fi n une estimati on des dépôts de soufre au cours de l'annêe 1980 sur la base des êmissions de 1978. Les rêsultats, sous forme de tableaux, permettent d'estimer les dêpôts totaux à chaque

récepteur et de comparer 1 a contri buti on rel ati ve de chaque source aux dépôts totaux simulés. Des cartes présentant la variation spatiale des dépôts totaux de soufre sec et de soufre humide, ainsi que les

contribu-,

tions relatives du Québec, de l'Ontario et des Etats-Unis à ces dépôts complètent ces tableaux. Des recommandations sur les suites à donner à

~

Scriven et Fisher (1975) ont proposé un modèle statistique simple pour simuler le transport à longue distance des composés du soufre. Clest un modèle à une dimension dépendant du temps, qui traite de la pollution émise par une source ponctuell e à une hauteur h au temps t

=

0 et qui diffuse verticalement entre le sommet de la couche limite (a), qui constitue une barrière infranchissable, et le sol (z

=

0), on une partie de la pollution est absorbée. Fisher (1978) a amélioré le modèle pour tenir compte de la transformation Chimique entre le S02 et le S04 ainsi que de l'alternance entre péri odes sèches et humi des selon l a méthode de Rodhe et Grandell

(1972). Le temps est transformé en distance horizontale (x) en supposant un vent moyen d'advection (u

=

~). Il a supposé que le sulfate était mélangé uniformément dans la verticale, et que les divers processus en jeu n'interagissaient pas entre eux. Venkatram (1979) a repris ce modèle en laissant les divers processus interagir, mais il nia pas tenu compte de la hauteur de la source. Nous proposons ici un modèle plus complet qui tient compte de la hauteur de la source ainsi que de l'interaction entre les divers processus. De plus, des statistiques sur les trajectoires remplace-ront 1 es fréquences de provenance des poll uants basées sur l a rose des vents uti li sée par Fi sher (1978). En fi gure 1.1, nous retrouvons une illustration de la situation physique que 1 Ion modélise.

La méthode de Rodhe et Grandell (1972) consiste à supposer 1 1 existence de deux types de parti cul es: l es parti cul es humi des qui exi stent lors de la précipitation et les particules sèches qui sont associées aux périodes

sans précipitation. La transition entre ces deux types de particules se

produit exponentiellement avec un taux inversement proportionnel à leur durée moyenne respective (t_2, t _{l ).}

a hauteur de h la source sol -+-

a

z d1inversion bord du panache de po 11 uti on

v

_g a) Structure du panache x

=

ut z C b) Concentration loin de la source

Figure 1.1 Structure du panache de pollution émis par une source à une hauteur h (adapté de Scri ven et Fi sher, 1975). Le polluant diffuse entre le sol (z

=

0) et le sommet de la couche limite (z

=

a). _{Le polluant se dépose avec une vitesse de dépôt (v g)} et est transporté par un vent moyen de vitesse u.

La probabilité d1avoir une particule sèche (fI) ou humide (f_{2 )} devient

égale à: fI

=

t _l (1.1a) t l + t ₂ t ₂ f 2

=

(1.1b) t l + t ₂

Une des difficultés de cette méthode consiste à obtenir des valeurs représentati ves pour 1 es longueurs des épi sodes secs et pl uvi eux car 1 es statistiques sur celles-ci sont rarement compilées. Dans notre étude, nous

utiliserons les données horaires de précipitation qui seront traitées par l'utilisation d'une double chaine de Markov qui sépare les phénomènes de courte durée de ceux de longue durée (averses et pluie synoptique). Au chapitre 2, nous traiterons en détail du calcul de la longueur des épisodes secs et humides.

On supposera de plus une valeur constante pour le coefficient de diffusivité (K), hypothèse qui est sûrement violée dans la verticale près du sol où ce paramètre varie fortement. Cependant Scriven et Fisher (1975) ont démontré que cette hypothèse n' ava i t pas trop de conséquences sur 1 es résultats.

Nous devons également supposer des réactions chimiques linéaires dans la formation du S04 afin de pouvoir utiliser notre modèle, en supposant un taux de transformation (k) constant.

1.1 Équations de base

Les équations différenti ell es correspondant aux hypothèses formu1 ées précédemment sont: 1 1 - - GI + - G2 + KI - - - kl GI t l t ₂

az

2 (1. 2a) at (1. 2b)

aG 3 1 1 a2 G 3 3 - = - - G₃ +-GI++ K₃ - - + - k₁ G₁ at t l t 2 aZ 2 2 aG 1+ 1 1 a2 G 4 3 - - - - G 1+ + - G 3 + K 4 - -+ - k 2 G 2 - AI+ G 1+ at t₂ t l aZ 2 2 où

Gi = probabilité d'avoir une particule du type i;

A = coefficient de lessivage par la pluie.

Indices:

1 =

2 =

3 =

4 =

dioxyde de soufre sec; di oxyde de soufre humide; sulfate sec;

sulfate humi de.

Les conditions initiales sont:

3 G₃ (t=O)=-f₁ FI+ ô(z-h) 2 (1. 2c) (1. 2d) (1. 3a) (1. 3b) (1.3c)

3

G₄ (t=O)=-f₂ F₄ ô(z-h)

2

(1. 3d)

F₄ est la fraction du soufre émis directement en sulfate. La fonction ô de Dirac est définie ainsi:

ô (z h) = co si z = h

ô (z h) =

a

si z "* h

Les conditions aux frontières sont:

aG.

1

a l z

=

a

=

a

i

=

1, 2, 3, 4 ( 1.4)

Cette con di ti on assure qu' il n' y a aucun fl ux de soufre à travers la hauteur d'inversion. Les conditions frontières au sol sont:

aG.

v· 1 gl - - - G . az K. 1 1 z =

a

=

a

i

=

1, 2, 3, 4 (1. 5)

On a utilisé ici le concept de vitesse de dépôt (v_g) qui permet une absorption partielle par le sol. Comme cas limites, nous avons:

v

=

a

9

qui implique une réflection totale par le sol avec une absorption nulle; vg = co implique une absorption totale par le sol.

1.2 Solution analytique

Le système d'équations (1.2) à (1.5) est trop complexe pour être réso lu ana lyti quement de façon exacte. Cependant, on peut trouver une solution analytique si on suppose que le processus de dépôt humide peut se trai ter séparément des autres. Dans ce cas l à, nous avons les con di ti ons

(1.3), (1.4) et (1.5) à respecter et les équations suivantes à résoudre:

aG l a2 G _l

- -

KI - k l G l at az2 (1. 6a ) aG₂ a2 _G 2

- -

K₂ k₂ G₂ at az2 (1. 6b ) aG 3 a2 _{G 3} 3

- -

K3 _{+-kIG I} at az2 ₂ (1. 6c) aGit a2 _G It 3

- -

Kit at az2 + - k₂ 2 G2 (1. 6d)

Ensuite, nous tiendrons compte de l'effet aléatoire de l'alternance entre les périodes sèches et humides.

Pour résoudre le système d'équations (1.6), on fait appel à la trans-formée de Laplace par rapport au temps (t) en utilisant p. Soit

(1. 7)

Notons les propriétés suivantes de la transformée de Laplace qui slavèrent très utiles:

f { aG

Il

=

a f { G

d

1.2.1 Solution analytique du modèle sec

L1équation (1.6a) slécrit:

a

2 _G l (1.8a) (1.8b) (1. 8c) t

=

0 ( 1.8d) at (1. 6a)

En faisant appel aux transformées de Fourier et à lléquation (1.3b), cette équation peut se transformer:

(j2 G l

- - - kl GI

(jZ2

(1.9 )

Soit Hl

= G

_{I ,} la transformée de Laplace par rapport à z en utilisant m comme paramètre:

f

oo -mz

Hl

=

0 e GI dz (1.10)

L1équation (1.9) se transforme alors en:

v 9 l (1 - F 1+) -mh (m + - ) Hl (z

=

0) - e KI KI Hl

=

-P + k l ( ) (1.11) Soit: a2

= _

p + k l ( ) (1.12 ) KI

P

= -

(a2 _{KI + k l) (1.13)} p + k l ~ a

=

± i ( ) (1.14 ) KI da 1

- - -

(1.15 ) dp 2 KI a

Les deux premiers termes slinversent à partir des tables de Carlslaw et Jaeger (1959) et lléquation (1.11) peut se réécrire:

v_g (1 _ F,.) em(z - h)

l . .. Joo dm (1.16)

Hl = (cos al + - - Sln al) Hl (z = 0)

-KI a KI

a

m2 + a2

Par le théorème des résidus, llintégrale a des pôles à m

=

± i a et fournit finalement:

v_gl (l-F

It)

Hl

=

(COS al + - - sin a.z) H l (z

=

0) - - - sin a (z - h)

Kla Kla

(1.17)

Pour évaluer Hl (z

=

0), uti 1 i sons 1 a conditi on énoncée à 11 équati on (1.4) transformée de t en p:

z

=

a

=

a

(1.18 )

az

#

Evaluant cette dérivée de Hl à partir de lléquation (1.17), on obtient finalement:

Hl =

-v

gl

(cos oz + - - sin az) cos a (a - h)

KI a - - - si n a (z - h) V gl (- sin a a + - - cos a a) KI a (1.19 )

L1inversion de lléquation (1.19) par rapport à p, à llaide du théorème des résidus, donne finalement:

où

G 1

=

FIl: b (an) cos an (z _ a) e - (K 1

a~

+ k 1) t

n 2 F₁ =(1-F_{4 }} -a v 91 a a a tan a a = n n KI cos a (h - a) _n b (a ) = n sin 2a_n a 1 + 2an a (1. 20) (1.21) (1. 22) (1. 23)

L léquation (1.22) est une équation transcendantale dont la solution pour an est présentée à llannexe 1.A.

L1équation (1.6b) slécrit:

La solution pour G₂ est similaire à celle de l 1 équation (1.20) et peut s'écrire: où - ( K 2 Sn 2 + k z ) t G z = FIl: b (sn) cos Sn (z - a) e n v a 9z sn a tan S a = -n Kz L'équation (1.6c) s'écrit:

a

2 _G 3 3 - - + - k I G I

az

2 ₂ (1. 24) (1. 25) (1. 6c)

En utilisant la solution de G_I présentée à l'équation (1.20), on peut réécrire cette équation:

-(KI aZ + k_{l )} t (z - a) e n (1.26) où 3 FI 3 1 F 3

= -

k l -

= -

k l (1 - F 4) -2 K3 a K3 (1.27)

Prenant la transformée de Laplace de l'équation (1.26) par rapport à t: 3 b (ex ) cos ex (z - a) n n a2(] 3 P G_{3 - - F4} 0 (z - h)

=

K3 - - + K3 F3 L -2 az 2 n K l ex~ + k l + P (1. 28)

En prenant ensuite la transformée de Laplace par rapport à z et en notant

b (ex ) (m cos ex a + ex sin ex a)

n n n n H3 (z

=

0) - F 3 L -n (K l ex~ + k l + p) (m2 + ex~) H3

=

-(m2 + (2) (1. 29) où P 82

_{= -}

_{( - ) (1. 30)} K3 p ~ 8

=

i (-) _(1.31) K3 d8 1

--

-

(1. 32) dp 2K 3 8 P

= -

K 3 82 (1. 33)

En faisant appel aux méthodes de solution déjà utilisées pour l'obten-tion de Hl à l'équation (1.19), on obtient:

v

3 Fit 93

H3

= - - - -

sin 13 (z - h) + (cos az + - - sin 13 z) x

2 K3 13 K3 13

x -

~

cos 13 (a - h) + F 3 l:

-G

2 K F 3 n (K l

a;

+ k b l + (an) p)

(a; -

13 2 )

x (- 13 COS a a

n sin t3a + a a cos n 60) ]

v b (an) (-13 sin 93 aa) - F 3 l:

..

aa + - cos K3 n KI a~ + k_l + _P [ an

X - - - - cos a a cos az + - sin a a sin az - cos a

(z-(a~ _ 13 2 ) n 13 n n

1

(1. 34)

L'inversion de l'équation (1.34) est laborieuse et cède finalement:

-K 3 132 t

G 3

=

S 3 l: b (am) cos am (z - a) e m m

e: (a ) {cos an (z - a) - cos Y n (z - a) _ _ n ) e -(KI

a~

+ kl ) t e: (Y n) + F 3 L b (an) -n a2 _ y2 n n - (K₃ 62 t)

cos Sma cos Sm (Z - a) e m b (a ) e: (a )

n n - C 3 L L (1. 35) m sin 2S ma n (S2 _ y2) (a2 _ (2) m n n n (1 + ) 2S ma où 3 1 F 3 =-kl (1-F4) - (1. 36) a K3 3 F₄ $3 = - - (1.37) a 2 F 3 6 1 C3 =--=-k l (1 - F 4) (1.38 ) a a 2 _K3 V 93 a (1. 39) Sma tan Sma =

K3 y = n

C'

::+k]~

( 1.40) v e: (a ) _n = a _n sin a a - - 93 cos a a (1.41) n K3 n

V_g l a CL a tan CL a = n n KI COS CL (h - a) n b (CL ) = n sin 2 CL a n 1 + 2 CL a n

Dans le cas spécial où on a simultanément:

3 -KI ~ 2 t G 3

=

L - b (~n) cos ~m (z - a) e m n a

a

2 _{G4- 3} - - + - k₂ G₂

az

2 ₂

Sa solution est similaire à la précédente:

-K4-l;;~ t G 4-

=

S 3 L b (Sn) cos l;;m (z - a) e m (1. 42) (1.43 ) (1. 44) (1.6d)

E (t;n) ___ ) e -(K₂ t;~ + k_{2 )} t (cos t;n (z - a) - cos W_{n (z - a)} E (W n) + F 3 r b (t;n) -n t;2 _

w

2 n n -Kif ç2 t cos ~a cos ~(z - a) e m _{b (t;n)} E (t;n) r _ _ _ _ _ _ _ _ n (~ - W~) (t;~ -(1. 45) - C 3 r -m sin 2 ~a (1 + ) 2 ~a où (1.46 ) (1.47)

1.2.2 Solution analytique incluant l'effet alêatoire de la pluie

On a dêj à fai t 11 hypothèse qu 1 il Y a i ndêpendance entre le processus de dêposition humide et les autres processus. On suppose maintenant que la distribution cumulative des pêriodes sèches ou humides est exponentielle (Rodhe et Grandell, 1972) et que le taux de transformation d'un type de particule en un autre est inversement proportionnel à la longueur moyenne des pêriodes. Soit Pi la probabilitê d'avoir une particule du type i. Le système d'êquation (1.2) peut alors se rêêcrire:

où ôp I I I - - - - P_I + - P₂ ôt t l t 2 ôp 2 1 1 - - - - P 2 + - P l - A₂P 2 ôt t 2 t l ôp 3 1 1 - - - - P₃ + - P₄ ôt t l t 2 ôp 4 1 1 - =- - P 4 + - P 3 - 11.₄ P 4 ôt _{t 2} t l 11.₂

=

taux de lessivage du S02; 11.₄

=

taux de lessivage du S04.

Les conditions initiales sont:

(t = 0) t_l P 3 (t = 0) Pl = _fI = = t _{l + t 2} P 2 (t = 0) = _{f 2} = t 2 = P 4 (t = 0) t l + _{t 2} (1.48a) (1.48b) (1.48c) (1.48d) (1.49a) (1.49b)

Solutionnons d'abord les équations (1.48a) et (1.48b) en supposant une solution du type:

2 E.t

Pl

=

LAI' e l

i =1 l

(1.50b)

Introduisant cette solution dans le système dléquations (1.48), on peut obtenir avec 1 laide des conditions initiales:

Dloù 1 1 2 El' 2

= -

(A2 + - + - ) t 1 t ₂ A 12

=

-fI (E 2 eE1t - El eE2t) Pl

=

E 2 - El f₂ ( (E 2 + _{A2) e E 1 t - (E 1} + _{A2) e E 2 t)} P 2

=

E 2 - El (1.52a) (1.52b) (1. 52c) (1.52d) (1.53a) (1.53b)

Pour le S04 des expressions similaires peuvent être obtenues: 1 1 2 E 3' 4

= -

_(A4 + - + - ) t ₁ t₂ (1.53c) (1.53d)

Si on combine les résultats obtenus dans cette section avec ceux de la section précédente, on arrive aux formules suivantes basées sur le produit des probabilités qui sont supposées uniformes sur la région étudiée. Si on tient compte de paramètres différents lors des périodes sèches et humides, nous avons: - (K l a~ + k 1) t G1

=

_{F1P 1} L: b(an) cos an (z - a) e + F 3 L: b (an) n -K 3 S2 t G 3

=

P 3 S 3 L: b (Sm) cos Sm (z - a) e m m (cos an (z - a) - cos Y_n (z - a) e: (a ) n - - ) e: (y ) n (1. 55a) (1.55b)

-(K3 S2 t)

cos Sma cos Sm (z - a) e m _{b (a )}

E (a ) n n - C 3 I: -I: _ _ _ _ _ _ _ _ m (1 + -(1.55c) -Kit r;;2 t G It

=

Pit S 3 I: b (~) COS ~ (z - a) e m m E (~ )

n

(COS ~n (z - a) - COS \jJn (z - a) - - - ) E (\jJn) + F 3 I: b (~n) n COS - C 3 I: m r;;ma COS r;;m (z - a) sin 2 ~a (1 + 2 ~a

1.3 Modèle à deux dimensions

-K It e r;;2 t m b (~n) I: n (~ - \jJ~) ) E (~ ) n (~2_r;;2) n m (1. 55d)

Nous avons obtenu dans la section précédente l'évolution temporelle de la pollution émise par une source ponctuelle dans la couche limite. On transforme maintenant le temps (t) en di stance (r) en supposant un vent d'advection constant (u).

On suppose que la pollution diffuse radialement à partir d'une source ponctuelle située au centre d'un cercle de rayon r. La surface (S) contenue dans un anneau de largeur dr à une distance r de la source est:

(1.57)

où lion a négligé les termes en (dr)2. La quantité de pollution émise dans un temps dt est:

où Q

=

intensité de la source.

dr

Q dt

=

Q

-u

(1. 58)

La concentration (C) de la pollution uniformément répartie dans l'anneau devient:

Q dr/u Q

C = - - - = - - (1. 59)

Si on tient compte des transformations chimiques, des pertes et de la hauteur de la source, on doit alors multiplier C par G. De plus, si on tient compte de la rose des vents, on attribuera aux vents une probabilité proportionnelle à leur fréquence dans chacune des directions.

Q

C. = - - G . F(e)

l 21Tr u l i

=

1, 4

où F(e}

=

rapport entre la fréquence avec laquelle le vent souffle dans une direction

e

_{donnée par rapport à celle qu ' e11e aurait si toutes les}

direc-tions étaient équiprobables.

Une façon d' amé1iorer le modèle est d' uti1iser les statistiques sur les trajectoires. L 'uti1isation de la rose des vents suppose des trajec-toi res rectil i gnes entre 1 a source et 1 e récepteur. Cette hypothèse est possiblement valable jusqu'à une centaine de kilomètres, mais elle devient invalide pour des distances supérieures à 500 km. Nous allons donc calcu-ler le nombre de trajectoires entre la source et la région réceptrice:

nlN

F (e)

e/2Tf

où

e

=

angle en radians de la région réceptrice vue de la source; n

=

nombre de trajectoires atteignant la région réceptrice; N

=

nombre total de trajectoires.

(1.61)

Dans le chapitre 3 nous discuterons du calcul des trajectoires.

1.4 Calcul des dépôts

Nous élaborons dans cette section les équations qui servent au calcul des dépôts secs et humides. Soit:

t

=

temps de parcours moyen entre la source et le récepteur; ~t

=

intervalle de temps pendant lequel on mesure les dépôts; u

=

vitesse moyenne;

D. (t, ~t)

=

dépôts secs dans l' intervalle ~t à une distance d

=

ut de la l

source;

W_i (t,~t)

=

dépôts humides dans l'intervalle ~t à une distance d

=

ut de la source.

La formule pour les dépôts humides est la suivante:

aG.

l at

En termes de différences finies, celle-ci devient:

W. (t, ~t, z) l - - - = + Ai G i (t,z) ~t (1. 62) (1. 63)

Le signe positif provient de ce qu'une baisse de concentration produit un dépôt positif. Intégrant cette expression entre z

=

0 et z

=

a, on obtient:

Wi (t, ~t)

=

J~ _{Wi (t,} ~t,z) d z (1. 64)

sin Ç;na

sin 7; a K r2 t

m - 4 "'m

W 4 (t, lit)

=

A4 lit P 4 X {s 3 L: b (7;m) - - - e

m 7;m

sin Ç;na sin 1jJna € (ç; )

-(K 2 Ç;~+k2)t n + F 3 L: b ( Ç;n) ) _e n _{Ç;n 1jJn} € (1jJ ) n ç;2 _ 1jJ2 n n

cos 7;ma sin 7;ma _-K

4 7;2 t _n b (Ç;n)

l

- c

3 L: e m sin 2 ~a n (7;2 _ 1jJ2) m n 7; (1 + ) m 2~a

La formule pour les dépôts secs est:

Ou, plus généralement:

aG.

alG.

1 1 - = K . -at 1 az2 aG. a aG. 1 1 - = - ( K . - ) 1 at az az

En termes de différences finies:

D. (t, lit, z) a aG. 1 1

- - - - = - -

( K . - ) lit az 1 az € (ç; ) n } (1. 66) (ç;2 _ 7;2 ) n m (1.67) (1. 68) (1. 69)

Intégrant par rapport à z entre z

=

0 et z

=

a: Di (t, ôt) _[ dG. = _ ôt (K. - ' ) , dZ _z

₌

_a dG.

,

(K. - ) , dZ

_z

₌

₀ ] (1. 70)

En utilisant les conditions aux frontières,

D. (t, ôt)

,

=

ôt v G·

gi '

z

=

0

(1.71)

-(KI a2 + k₁₎ t

=

ôt v F 1 P 1 L b (an) cos ana e n ( 1. 72a )

gl n -(KI ~2 + k_{2 )} t

= ôt v

F 1 P 2 L b (~n) cos ~na e n ( 1. 72b) g2 n + F 3 L b (an) -n a2 _ y2 n n b (a ) E: (a ) n n - C 3 L -m L } n

(e

2 _ y2) (a2 _

e

2 ) m n n m (1. 72c) (1

+

--K4 ~ t

=

~t v P 4 {S 3 l: b (i',; ) COS i',;ma e

g4 m m

E (ç; )

n

(cos Ç;na - COS 1/J_na ---l,

E (1/Jn) + F 3 l: b (ç;n) -n ç;2 - 1/J2 -(K₄ ~ t) cos2 ~a e 1.5 Solution numérique n n (l.72d)

On peut résoudre numéri quement le système dl équati on (1. 2) à (1. 5) .

Une grille linéaire exige toutefois plusieurs centaines de points de grille afin de produire des valeurs acceptables de concentration près du sol. Par ailleurs, une grille log-linéaire est particulièrement bien adaptée à nos besoins: elle est presque logarithmique dans les basses couches, ce qui nous fournit une bonne résolution près du sol; elle devient presque linéaire aux niveaux supérieurs où les gradients dans la concentration des polluants sont moins prononcés. La transformation suivante, appliquée avec succès par Lelièvre (1976) pour solutionner un modèle complexe de la couche limite sera donc appliquée:

1

i',;

=

AC {-ln ((z + za)/za} + z/l a}

ka

où

l; = ordonnée log-linéaire;

z = ordonnée linéaire avec origine à z 0; Zo = hauteur de rugosité;

ko = _{constante de von Karman} = 0,4;

AC et 10 = constantes arbitraires définies par les énoncés suivants:

l;max

=

(nombre de points de grille) - 1;

- a

=

hauteur de l a couche l imi te compri se entre l;

=

~ et l;

=

Snax - 1;

- la source est exactement au point de grille l;

=

H.

La méthode utilisée pour solutionner l'équation (1.73) afin d'obtenir l es val eurs de z correspondant aux val eurs enti ères de l; est décrite à l'annexe LB.

Sachant que l Ion peut écrire:

al; 1 1

- -

AC [ ] + - (1.74)

az _ko (z + z 0) ₁₀

aG.

,

_aGi al;

- - - -

(1. 75)

az al; az

a aG a aG al; al;

- (K-)

₌

( - ( K - - ) ) (1. 76 )

Il est possible de transformer les équations (1.2) à (1.5) afin de les exprimer selon des ordonnées log-linéaires.

où

aGI 1 1 a aGI ar; ar;

-

= - -

G l + - G 2 - k IG l + ( - (K l - ) ) -at t _i t ₂ ar; ar; az az (1.77a) aG 2 1 1 a aG 2 a r; a r;

-

= - -

G 2 + - G l - k 2G 2 + ( - (K 2 - - ) ) - - _A2 G 2 (1. 77b ) at t ₂ t _i ar; ar; az az aG 3 1 1 3 a aG 3 a r; a r;

-

= - -

G 3 + - G 4 + - k IG l + ( - (K 3 - - ) ) - ( 1. 77 c ) at t _i t ₂ 2 ar; ar; az az aG 4 1 1 3 a aG 4 a r; a r;

-

= - -

G₄ + - G_{3 -} A4G4 + - k₂G₂ + ( - (K_{4 - - ) ) -} (1.77d) at t ₂ t _i 2 ar; ar; az az

Les conditions initiales sont:

G l (t

=

0)

=

f l (1 - F 4) 0 (r; - r;h) (1. 78a)

G 2 (t

=

0)

=

f 2 (1 - F 4) 0 (r; - r;h) (1.78b)

(1.78c)

(1.78d)

Les conditions aux frontières deviennent:

= a

z;;

=

~ax aGi az;; _Vg.

,

( - - - - G.) z;;

=

a

=

a

a z;; az Ki ' i = 1, 2, 3, 4 i = 1, 2, 3, 4 (1. 79) (1. 80)

Maintenant, il faut transformer les équations (1.77) à (1.80) en différences finies. La méthode implicite de Crank-Nicholson qui a l'avan-tage d'être stable numériquement et centrée dans le temps sera utilisée pour ce faire. Dans cette méthode, on calcule la moyenne des variables à

deux pas de temps successifs de sorte que:

1 G

= -

(G (n +l,j) + G (n,j}) 2 aG 1 - = - (G (n + 1,j) - G (n,j}) at llt

a aG az;; az;; 1 az;;

(1.81) (1. 82) ( - (K - - ) } -

= - {-

(j + 1/2) K (j + 1/2) [G (n + 1,j + 1) az;; az;; az az 2 az az;; + G (n,j + 1) - G (n + 1,j) - G (n,j)] - - (j - 1/2) K (j - 1/2) az az;; [G (n + 1,j) + G (n,j) - G (n + 1,j - 1) - G (n, j - 1)]} - (j) (1.83) az

où

n

=

indice du temps;

j

=

indice d'un des points de la maille verticale

=

ç + 1;

~t

=

pas de temps;

~ç

=

1, distance entre deux points de grille.

1.5.1 Modèle à une dimension

Deux matrices G et S de dimensions (2N x 1) doivent être résolues:

où

c

=

(2N x 1) AG

=

C BS

=

D (1)

=

0 C (j)

=

al G₁ (n,j) + 13₁ (j + 1/2) G₁ (n,j + 1) 1 + 13₁ (j - 1/2) G₁ (n,j - 1) + - _{G2 (n,j)} 2t₂ C (N)

=

0 C (N + 1)

=

0 (1.84 ) (1.85 ) C (j + N) = a2 G2 (n,j) + _{132 (j} + 1/2) G2 (n,j + 1) 1 + _{13 2 (j - 1/2) G2 (n,j -} 1) + - G₁ (n,j) 2tl C (2N)

=

0 (1. 86)

D

=

(2N x 1) A (2N x 2N) D (1)

=

0 D (j)

=

_{a3 G3 (n,j)} + _{(33 (j - 1/2) G3 (n,j -} 1) + (33 (j + 1/2) 1 G3 (n, j + 1) + - _{G4 (n,j)} + _{3/4 k1[G 1 (n} + 1,j) + _{G1 (n,j)} 2t₂ D (N)

=

0 D (N + 1)

=

0 D (j + N) = a4 G_{4 (n,j)} + (34 (j - 1/2) G_{4 (n,j -} 1) al -6₁(3/2) 0 0 0 , 0 0 0 1 + (34 (j + _{1/2) G4 (n,j} + 1) + - _{G3 (n,j)} 2t₁ + 3/4 k₂ [G₂ (n,j) + G₂ (n + 1,j)] D (2N)

=

0 (1.87) -B I (3/2) 0 0 0 0 0 0 1 1₁(j) -6₁(j+1/2) 0 0

--

0 0 2t₂ 1 -BI (j-1/2) 11 (j) -6₁(j+1/2) 0 0

- -

0 2t₂ 0 _{-B I (N-1/2) +6}1 (N-1/2) 0 0 0 0 Il.88) 0 0 0 a₂ -6₂(3/2) 0 0 1

--

0 0 2t_l - 6₂(3/2) _{1 2}(j) -6₂(j+1/2) 0 1 0

--

0 2tl 0 -6₂(j-1/2) _{1 2}(j) -6₂(j+1/2) 0 0 0 0 0 -6₂(N-1/2) +6₂(N-1/2)

Notons que 11 indice de rangée j varie de 1 à N dans les moitiés infé-rieures et supéinfé-rieures des matrices.

a₃ -8₃(3/2) 0 0 0 0 0 0 1 -8₃(3/2) .t₃(j) -8₃(j+1/2) 0 0

--

0 0 2t₂ 1 0 - 8₃(j-1/2) 1₃(j) -8₃(j+1/2) 0 0

--

0 2t₂ 0 0 -8₃(N-1/2) +8₃(N-1/2) 0 0 0 0 B (1.89) (2N x 2N) 0 0 0 0 a 4 -84(3/2) 0 0 1 0

--

0 0 2t1 -8₄(3/2) .t₄(j) -8₄(j+1/2) 0 1 0 0

--

0 0 -8₄(j-1/2) 1₄(j) -8₄(j+1/2) 2t₁ 0 0 0 0 0 0 -8₄(N-1/2) +8₄(N-1/2) G (1)

₌

G₁ (1) G (N)

=

G₁ (N) G

=

G (N + 1)

=

G 2 (1) (1. 90) (2N x 1) G (2N)

=

G 2 (N)

s

(1)

₌

_G 3 (1) S (N)

=

G₃ (N) S

=

S (N + 1)

=

G₄ (1) (1. 91) (2N x 1) S (2N)

=

G₄ (N)

en posant: 1 1 1 al

= - - - -

(SI (j + 1/2) + SI (j - 1/2)) - -kl bot 2t l 2 (1.92a) 1 1 1 1 a 2

= - - - -

(S2 (j + 1/2) - S2 (j - 1/2)) - -k2 - - _{A2 (1.92b)} bot _{2t 2} 2 2 1 1 a3

= - - - -

(S3 (j + 1/2) - S3 (j - 1/2)) (1.92c) bot 2t l 1 1 1 1 Ait

ait = - - - - (SIt (j + -) - SIt (j - -)) (1.92d)

bot _{2t 2} 2 2 2 1 1 dl; dl; 1 S· (j ± 1/2)

= -

K. (j ± -) - - (j) - (j ± -) (1.93) l l 2 2 dZ dZ 2 1 1 _{k l} 1 1 R._I = - + - + - + (SI (j + -) + SI (j - -)) (1.94a) bot _{2t l} 2 2 2 1 1 k 2 1 1 _A2 R.₂ = - + - + - + (S2 (j + -) + S2 (j - -)) + - (1.94b) bot _{2t 2} 2 2 2 2 1 1 1 1 R.₃ = - + - + (S3 (j + -) + S3 (j - -)) (1.94c) bot 2t l 2 2 1 1 1 1 Ait R._1t = - + - + (SIt (j +-) + SIt (j --)) + - (1.94d) bot _{2t 2} 2 2 2

vg. _l 1 + al',; 2 K. l (3/2) - (3/2) az o..

₌

_{Si (3/2)} (1. 95) l v gi 1 -al',; 2 Ki (3/2) - (3/2) az où i

=

1, 2, 3, 4

1.5.2 Conditions de stabilité et de convergence

Une analyse de la stabilité numérique des équations (1.77) nous révèle qu 1 ell es sont absol ument stabl es dans le temps, quel que soi t ~t.

Cepen-dant, certaines restrictions sur ~t doivent être satisfaites, si on désire prévenir soit un mauvais calcul de la diffusion soit des oscillations numé-riques.

En effet, un pas de temps trop long sous-estime la diffusion. Afin de préveni r ce phénomène, il faut Si assurer que la con di ti on approximative suivante est satisfaite partout:

G. (n + 1,j) - G. (n,j) l l ~t < (1.96 ) al',; K i ( j) - (j) ( G i ( n, j + 1) + G i ( n , j -1) - 2G i ( n , j ) ) az

Les oscillations près de la hauteur de la source ne devraient pas apparaître si: ~t < Ki (j) - - - + (k. (~Z}2 1 1 1 + - + A.) /2 1 pour i

=

1, 2, 3, 4

1.5.3 Modèle à deux dimensions

Utilisant les résultats de la section (1.4), on peut écrire:

Q Ci (n,j)

=

- - - - G i (n,j) F (e) 21Tr (n) u où r (n)

=

u t (n)

=

u ( t a + (n - 1) ~t } ; ta

=

temps initial

=

o.

1.6 Solution retenue (lo9]) (1.98 )

Les secti ons précédentes présentent 1 es hypothèses et méthodes de

base. Chaque solution a ses avantages et ses inconvénients. La solution analytique fournit des valeurs exactes des variables considérées pour tout temps t après l'émission, alors que la solution numérique conduit à des valeurs approximatives, selon un procédé de calcul itératif. Par ailleurs, si l'on choisit la solution analytique, on doit poser l'hypothèse d'indé-pendance entre 1 e processus de retombée humi de et 1 es autres processus considérés dans le modèle, alors que pour la solution numérique cette hypo-thèse n'a pas à être formulée.

Une version analytique et une version numérique du modèle ont donc été préparées pour étudier le cas où seules les retombées sèches sont considé-rées. Cette comparaison avait pour but de vérifier la précision de la version numérique. Les concentrations de S02 simulées à l'aide des deux versions à diverses hauteurs à l'intérieur de la couche limite et pour divers temps après l'émission, allant jusqu'à 300 000 secondes (plus de 80 heures), ont été comparées. Aucune différence si gnifi cati ve n'étant notée au niveau des valeurs comparées, la solution numérique a été consi-dérée tout aussi précise que la solution analytique.

Dans une seconde phase, le processus de retombée humide a été ajouté à la version analytique et les résultats des deux versions comparées une fois de plus. Cette seconde phase avait pour but de vérifier dans quelle mesure l'hypothèse d'indépendance de processus que l'on ne considérait pas indé-pendants en réalité, pouvait affecter les résultats. Il s'est avéré que la façon de traiter ces processus comme un produit de probabilité, a effecti-vement condui t à des résul tats qui ne diffèrent que de 1% envi ron, écart

non significatif par rapport aux autres sources d'erreurs possibles dans ce genre de modélisation. Il était donc possible d'utiliser l'une ou l'autre version pour la poursuite des essais.

Les étapes sui vantes demandai ent essenti ell ement de détermi ner des coeffi ci ents de transfert entre des cou pl es de sources et de récepteurs donnés. La version analytique permettant de calculer directement ces coef-fi ci ents, en foncti on des paramètres parti cul i ers à ces coupl es et sans processus itératif, il fut décidé de l'utiliser préférablement à la version numérique, d'autant plus que les calculs sur ordinateur étaient plus rapi des dans ces cas préci s. Notons toutefoi s que la versi on numéri que devrait être utilisée, s'il s'avérait nécessaire ultérieurement de faire varier la valeur de certains paramètres géographiquement, la hauteur de la couche limite et les caractéristiques des épisodes secs et humides, en particulier.

, ,

CARACTERISATION DES EPISODES SECS ET HUMIDES

A