Mme LE DUFF Terminale STAV Fiche méthode : terminale - Calculer l’aire d’un domaine à l’aide d’une intégrale. Méthode :
- Hachurer le domaine si l’on dispose d’une représentation graphique. Attention : la fonction doit être positive (sa courbe sera donc située au-dessus de l’axe des abscisses).
- Déterminer l’intégrale à calculer.
- Poser le calculer, remplacer f(x) par son expression, déterminer une primitive et calculer l’intégrale. Attention le résultat est obtenu en unités d’aire.
- Si possible (si des unités ont été données dans l’énoncé) calculer la valeur en cm² d’une unité d’aire (aire du rectangle de 1 unité par 1 unité).
- Conclure en donnant l’aire du domaine en cm².
Exemple :
Soient f la fonction définie sur
[
−3;3]
par f(x)=2x2 +4x+1et C sa courbe représentative. Soit D le domaine limité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0etx=2Calculer l’aire en cm² du domaine D. Unités graphiques : 2cm pour 1 en abscisses et 1cm pour 1 en ordonnées.
On tracer la courbe C. On remarque que f est bien positive sur
[ ]
0;2 . On hachure D.L’aire du domaine D est donné en unités d’aire par
∫
2 0 f( dxx) . On calcule :[
]
(
) (
)
(
2 4 8 1) ( )
0 17 1 0 4 ² 0 2 1 2 4 ² 2 2 1 4 ² 2 1 4 ² 2 ) ( 20 2 0 2 0 = − + + × = + × + × − + × + × = + + = + + =∫
∫
f x dx x x dx x xL’aide de D est donc de 17 unités d’aire.
Une unité d’aire représente un rectangle de 1 unité par 1 unité :
Ici une unité d’aire représente donc 2 cm². Conclusion l’aire de D est de 17 * 2 = 34 cm²
