UNIVERSITÉ DU QUÉBEC
À
MONTRÉAL
MODÈLES ADDITIFS GÉNÉRALISÉS DANS LA
MODÉLISATION DE L
'
IMPACT DU KILOMÉTRAGE ET DE
L'EXPOSITION AU RISQUE EN ASSURANCE AUTOMOBILE
MÉMOIRE
PRÉSENTÉ
COMME EXIGENCE PARTIELLE
DE LA MAÎTRISE EN MATHÉMATIQUES
PAR
STEVEN CÔTÉ
Avertissement
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supérieurs (SDU-522 -
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'auteur] concède
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à
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[l
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à
[ses] droits de propriété
intellectuelle. Sauf entente contraire
,
[l
'auteur] conserve la liberté de diffuser et de
commercialiser ou non ce travail dont [il] possède un exemplaire.
»
Je t
iens
d
'abord
à
remercier Jean-Philipp
e
Boucher, mon directe
ur de
recherche.
Merci de
m'avoir
confié ce
proj
et ambiti
eux
qui m
'aur
a
permis
d'atte
indre
un
niveau insoup
çonné de compréhension de conce
pt mathématiques
.
Merc
i
pour ton
impli
cation dans
l
'obtention du
stage
de
recherche en
ent
reprise
que j
'ai
effectué
au
cours
de
ma
maîtrise
.
Merci pour
tou
s
l
es commentaires et sugges
tions
qui
m'auront
permis d
'amé
lior
er
l
a qua
lit
é du contenu de ce
mémoire. Me
rci pour ton
support
financ
i
er.
Et s
urtou
t,
merci de
toujours avoir
cru
en moi
.
J
e tiens a
ussi
à
remercier tous
l
es
rn mbres
de
ma
famille,
particulièrement
mes
parents et mon fr
ère Bryan.
Il
s ont ét
' d'
un
suppor
t
imm
ense
à certains
moments
et n'ont jamais cessé de m'encourage
r au cours
des années
qu
'ont
duré rn
s études
uni
versitaires.
Je vo
us suis extrêmement.
rec
onna
i
ssant
, merci pour
tout.
REMERCIEME TS
. .
.
LISTE DES TABLEAUX
LISTE DES
FIGURES
RÉSUMÉ
. . .
CHAPITRE
I
INTRODUCTIO
r
1.1 Prim
e
pure
et
autres
définit
i
ons préalables
1.2
Segmentation
. . .
.
.
.
.
.
1.3
Modèles
l
in
éa
ir
es
généralisés
1.3.1
Structure générale .
1.3
.2
Famille
ex
pon
e
nti
e
ll
e
lin
éa
ir
e
1.3.3
Estimation
p
a
r maximum d
e vraisemblance
CHAPITRE
II
I
TRODUCTION AUX MODÈLES ADDITIFS
GÉ
ÉRALISÉS
2.1
Id
ée
générale
. .
. .
.
.
2.2
Introduction
aux splines
2.2.1
Sp
l
in
e
lin
éa
ir
e
d
'
int
e
rpol
at
ion
2.2.2
Spline cubique
d
'
int
e
rpolation
2.2.3
Spl
in
e c
ubiqu
e
d
'a
just
e
m
e
nt
.
2
.3 Construction
d
'
un mod
è
l
e
additif généralisé
2.3.1
Fonction
d
e
li
ssage
univari
ée
.
.
.
.
.
2.3.2
R
ég
r
ess
ion
pénalisée
par
spline
c
ubiqu
e
.
2.3.3
Estimation
du paramètre d
e
lissag
e
.
..
2.3.4
Ajustement
d
'
un modèl
e additif généralisé
2.3.5
Base de
l
issag
e
par produit
tensoriel
.
. .
lll
vu
lX Xl1
3
5
6
7
7
8
11
11
12
12
14
18
23
23
23
35
39
45
Vl
CHAPITRE
I
II
APPLICATIO
À L'ASSURANCE A
TOMOBILE
3
.
1 Introduction
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
. .
.
. .
3.1.1
Import
a
nc
e
d
e
l'
uti
l
isation du véhi
c
u
l
e
3
.
1.2
Pay-A
s
- You-Dr-i
ve
:
trois structures
s
ug
gé
r
ées
3.1.3
No
uv
ea
u potenti
el
pour
la
r
ec
h
e
rch
e
3.2 Donn
ées et stat
i
st
iqu
es
d
esc
riptiv
es .
.
.
..
5
3
53
54
5
6
58
59
3.2.1
Ki
lo
m
ét
r
age,
dur
ée
d
'ex
posi
t
ion
et
nombr
e
d
e
r
écla
m
at
i
o
n
s .
60
3.2
.
2
Autres
ca
r
acté
ri
st
iqu
es
du
risque .
.
.
6
5
3.3
Mo
d
é
li
sat
ion
avec
mod
èles
additifs
gé
n
é
r
a
li
sés
3.3.1
Modé
lisat
ion
avec
s
p
l
in
es c
ubiqu
es
ind
épe
nd
a
nt
es
3.3.2
Modélisation avec
un
e
ba
se
par produit
tensoriel .
3.3.3
Ana
lyse c
ompara
t
iv
e . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
. .
.
.
3.4
Mo
d
èles
lin
éa
ir
es gé
n
é
r
alis'
s ou
mod
è
l
es a
ddi
t
if
s gé
n
é
r
a
li
sés? .
67
67
72
7
5
81
3.4.1
Ajustement d
'
un
GLM Poisson aux
donn
ées
d
'
assurance
82
3.4.2
Comparaison d
'
un
e tar
ifi
cat
ion
classique GLM
vs
GAM
.
84
3.5 Structure tarifaire
s
imp
l
e
Pay-As-
Y
ou
-D
r-ive
(PAYD)
CHAPITRE
IV
CO CLUSIO
A NE
XE
A
EXEMPLES
D
U
CHAPITRE 2-
COMPLÉMENT
A.1 Sp
l
in
e
cubique
d
'
int
e
rpo
l
ation
. .
. . .
.
A
.2 R
ég
r
ess
ion p
é
n
a
l
i
sée
par
sp
lin
e c
ubiqu
e
A
EXE
B
A ALYSE
GRAPHIQUE
B
.
1
A
n
a
l
yse grap
hiqu
e
d
e
l
a
s
urf
ace
pr
é
di
te
p
a
r l
e
modèl 3.1
.
B.2
Ana
l
yse g
raphiqu
e
d
e
la
s
urf
ace
prédite p
ar
l
e
modèle
3.2
.
RÉFÉRE
CES
. . . .
. . . .
.
. . . . .
. .
.
. .
. .
.
. .
91
97
101
101
103
107
107
111
117
Tableau
Page
2.1
Fonctions de base pour spline
c
ubiqu
e
d'ajustement
26
2.2 Définitions des matrices nécessaires pour
un
e
régression par
sp
lin
e
c
ubiqu
e
. .
.
.
.
. . . .
.
.
. . .
. . . . .
.
. .
. .
.
. . .
26
3.1
Distribution du nombre de réclamations pour
domm
ages
matériels
sans
faute de
l
'ass
ur
é
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
. . .
. .
. .
. .
.
. .
.
. .
63
3.2 Statistiques descriptives pour
l
e
kilom
étrage
, l
a
durée
et
l
e
nombre
de réclamations
.
.
.
.
. .
. .
.
.
.
.
. . . . .
.
.
.
. . .
.
.
. .
.
63
3.3 Statistiques descriptives pour
l
'âge
de
l
'assuré et
l
'âge
du véhicule
66
3.4 Fréquence des modalités pour
l
e sexe et
l
e
type de
stationnement
66
3.5 Résultats pour l
a
partie paramétrique du modèle 3.1
68
3.6 Résultats pour la partie non-paramétrique du modèle 3.1
68
3.7 GCV pour l
e
modèle 3.1 . . . .
.
. . .
.. .
3.8 Résultats pour la partie paramétrique
du
modèle 3.2
3.9 Résultats pour l
a
partie non-p
a
r
amét
riqu
e
du modèle 3.2
68
73
73
3.10 GCV pour l
e
mod
è
l
e
3.2
. . . .
.
.
. . .
.
. .
. .
. .
.
.
73
3.11 Variables binaires
utili
sées
pour la
segme
n
tat
ion
du
kilom
ét
ra
ge
82
3.12 Résultats de
l
'estimation
des paramètres du modèle 3.3
83
3.13 GCV pour
l
e
modèle 3.3
. . . . .
.
.
.
.
. . . .
. .
. .
83
3.14 Variables binaires utilisées pour l
a segmentat
ion
de
l'
âge
88
3.15 Résultats de
l
'estimation
des paramètres
associés
à
l
'âge
88
3.16 Primes pour
assurés âgés
de 25
ans et
moins .
.
.
. .
. .
90
V Ill
3.17 Primes pour
assurés âgés
de 26
à
30
ans .
.
.
. .
.
.
.
3
.
18 Primes pour assurés âgés
de plus de 30
ans (référence)
3.19 Structure
tar
if
a
ir
e simp
l
e
PAYD . .
.
3.2
0
Structure tarifaire s
impl
e
PAYD (2)
.
90
91
93
94
Figure
Page
2.1
Spli
ne linéaire d'interpo
lation
13
2.2
Spline
cubique
nat
urelle . . .
17
2.3 Distribut
ion de
la consommation de 32 modèles
de
voitures
31
2.4
Exemple sur
la consommation
d
'essence- Fonctions de base
32
2.5 Exemple
sur la consommation
d
'essence
- Courbe ajustée
35
2.6 Effet
du paramètre de
lissage
sur l'aj
ustement .
.
.
.
.
.
36
2. 7
Exemple sur
la consommation
d'esse
nce -
Courbe aj
ustée optimale
39
2.8 Fonction
de
lissage bivariée construite
par produit tensoriel
.
48
3.1
Distribution du kilométrage pour les contrats
PAYD
effectifs
n 2011 60
3.2
Distr
ibution de
la
durée
observée
de
contrats
PAYD pour l'année
2011
.
. .
. . . .
.
.
.
. . .
. .
. .
. . . . .
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
61
3.3
Distribution observée du nombre de réclamations selon le kilométrage 64
3.4 Distrib
ution
observée du
nombre de réclamations
selon
la
durée
65
3.5 Modè
le
3.1 - Fonctions de
lissage
ajustées .
. . .
.
70
3.6
Modèle
3.2 - Fonction de
lissage
](km
,
d)
ajustée
3.7 Modèle
3.1 vs tlodèle
3.2 (1)
.
3.8 Modèle 3.1 vs Modèle 3.2 (2)
.
3.9 Modèle
3.1
vs Modèle 3.2 (3) .
3.10
Modèle 3.3
-
Surface
des prédict
ions
.
3.11 Comparaison
des résidus de prédiction
74
76
77
78
84
86
x
3.12 Struct
ure tar
if
a
ir
e
PAYD- Surface
d
es
prédictions
.
. .
93
3.13 Structure
tarifa
ir
e
PAYD- Surface d
es
prédictions
(2)
.
95
B
.1 Décomposition par tranche
(fréqu
enc
x
durée) d
e
l
a
figure
3
.7
a
107
B.2
Décom
posit
ion par
tranche (fréquence x
kilométrage)
de
l
a
fi
gur
e
3.7a
.
.
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
. .
.
. .
.
. . .
.
. .
.
110
B
.
3
Décom
position par tranche (fréquence x
durée)
de
l
a
fig
ur
e 3.7b
111
B
.
4
Déco
mposition par
tranche
(fr
équ
ence
x
kilom
étrage) de
l
a
figure
Bi
e
n qu
e
propo
sés
pour
la
pr
e
mi
è
r
e
foi
s e
n 1986
,
l
es
mod ï
s a
dditif
s gé
n
é
r
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ommun
é
m
e
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ron
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GAM
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.
C
H
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U CT
I
0 N
Dans le
mond
e de l'assurance,
le t
ravail d
'un ac
tuaire est de qu
antifier
le plus
jus-tement possible le risqu
e financier
que
représe
nte un client ou un potentiel client
.
Avant
même de songer
à
comment
y
parvenir
, il
est crucial
de posséder des
don-nées sur lesquelles travailler. Bien que celles-ci se
fon
t
rares
dans certains . egment
s
de
l'a surance «
ince
ndie, accidents et
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es
divers»
(lARD)
, par
exe
mple
des
données sur
les sinistres
résultant d'inondations
en
assur
ance
habitation
,
ce
n
'est
heureusement pas
le cas en
assurance a
utomobile.
Pour donner un
e id
ée
,
le Group
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A) au
Québec
en 2014. Pour
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produite au Qu'bec
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(1.1)
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raisons on associe la
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mathématique
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de
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d'
une
variable a
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est
la valeur moyenne
que
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attendrait si
l'on
pouvait
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la
même ex
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ence al
' atoire
un
très grand nombre
de
fois.
Si
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par X
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JE
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Y] lE
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X
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est
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mémoire, on ne s'
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s
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sivement qu
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l
a fréquenc et à
sa
modé
li
sa
tion. Ainsi, pour l
rest
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l
'ouvrage,
lorsque le mot «
prime» est utilisé,
il
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t gard
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tête
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l'on
est
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de
parler d
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lE
[
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Très souvent
, en
prat
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l'
hyp
othèse
qu
e
la
fréqu
ence
de
réclamations suive
une
loi de
Poisso
n
est effectuée.
Loi de Poisson
:
La
loi
de
Poisson
est
une
loi
de
prob
abilité
discrète
qui
a ét
é
proposée
par
le
mat
hématicien fr
ançais
Siméon-Denis
Poisson
en 1837 dans son
ouvrage «
Recherches sur
l
a pr
obabili
té
des
jugements en matière crimin
e
ll
e et
en
5
mat
ière civile ».
La
fonct
ion de probabili
té
d
e Poisson
est
défini
e comme suit :
{ ,\Ye-"' .
0
1 2
- 1- SIy
=
,
,
, ...
Pr [
Y
=
y]
=
y.0
sinon
,
(1.2)
où
).
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un nombr
e réel strictemen
t
positif et dit paramètre
d
e la
distribution de
Poisso
n
.
Il
p
eut
être
démon
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qu
e
l'
esp
érance
m
ath
ém
atiqu
e et
la variance
de
la
loi
de
P
oisso
n
sont égales à
la va
leur de son paramètre.
Ainsi, si
Y,..., P
oisson
().)
, on
a
l'égalité suivante :
E
[
Y]= Var[
Y]
=
À
.
1.2
Segmentat
ion
La segment
ation
en
assurance est défini
e comme le process
us p
ar
lequel l
'
ass
ureur
distingue
les
risqu
es
qu
'
il
accepte
d
'
assurer.
Cet
te
op
éra
tion
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p
ermet de créer des
classes
homogè
nes
de
risqu
e et de leur
app
l
iqu
er
un
trai-tem
en
t commun
et ad
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.
P
ar
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mple,
les assureurs
distingu
en
t généralement
les
h
ommes
des
femmes
,
les véhi
cul
es spor
t
des véhicules
familiaux
,
etc.
Une segmentat
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permet aux assu
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l'an
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, ph
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de
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assur
an
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On parle
d
'ant
isélection
lorsqu
'un
assuré
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des
informations
sur son propr
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'
acciden
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'
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ureur ignore. Cette asy
m
' t
rie d
ans
l'in-formation peut
se traduire en pertes
imp
ortan
t s
p
our un
ass
ureur qui
en
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victime.
Imaginons
un
exemple simple
où deux ass
ureurs
,
A et B
,
offr
en
t
une couverture
pour dommages
matériels survenus
à
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d
'
un
accident
d
'
auto
.
L
'assur
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A offre
la couvertur
e à
un
coût
de
100 doll
ar
.
. Du
côté
d
e
l'
assureur B,
le coût
est auss
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de
100 dollars,
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i
s
un
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de
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si
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l
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.
L'
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un
e
vo
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ture sport
iv
e représente un risque d'acc
id
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plus é
l
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standard
. Dans
un
exempl
e comme celui-c
i
, un
assuré ayant
un
e voi
ture sport
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magas
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d'ass
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l.
La
prochaine section mon
trera
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éaires généralisés
permettent
d'
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égrer
l
a segmentat
ion des
risques d
ans
un
e distribu
t
ion
de
proba-bilité c
hoi
s
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e
pour expliquer
un
phénomè
n
e a
l
éatoir
e.
1.3
Modèl
s
lin
éaires gé
n
éralisés
Les mod
è
l
es
lin
éa
ir
es gé
néra
li
sés
(GL
M),
proposés
par
e
id
er et Wedderburn
(1972)
,
sont
un
généra
li
sation du
con
cept
d
e
régress
ion lin
éaire.
D
ans
un
mo-dè
l
e de r
'gression
lin
éa
ir
e,
on
tente d
'expliquer
l
a
vale
ur
d'
un
e
qu
antit
é
in
connue
(varia
ble
dépend
ante
ou réponse)
par une combinaison
lin
éa
ir
e
de
d
'a
u
tres
fac
-teurs (vari
ables
indépend
antes ou
explicat
i
ves). La combin
a
i
son
lin
éa
ir
e impliqu
e
qu
e
l
a
vari
at
ion
de
l
a
v
ari
able répon
e est directement
propor
tionne
ll
e à
l
a
vari
a-tion d
'
un
e variable explicative. D plu
s,
l
e cadre classique de
la
régress
ion lin
éa
ir
e
s
uppo
se
que la variable
r
éponse s
uit un
e distribution normale
(Wood 2006, section
1.1.3).
Or
,
il
arri
ve so
uvent en prat
ique
qu
e ces
hypo
t
hèses
ne soient
pas appropriées.
L'idée
derrière
l
e
GLM est
justement
de
re
l
axer
ces
hypot
hèses
. D une
part,
le
-7
cadre théo
rique
des
GLM
perm
et
de supp
oser
une
loi
de
prob
abilité a
ut
re
qu
e
la
loi
normale
pour
la
variable
dépend
ante.
D
'autre
part
,
l'introdu
ction d
'
une
fon
ction de
lien permet
de
mod
éliser
un
e
transform
ation de
l'espérance
de
la
variable
réponse.
1.3
.1
St
ru
ctur
e général
Concrète
ment
, un
m
odèle linéaire généralisé a
la stru
ct
ure
g
(
p,
i)
=
fJ
o
+
fJ1X1i+
fJ
2
X
2
i
+
{J
3X3
i
+
.. ·
+
fl
t
X
t
i
=
X
J
J,
(1.
3)
où /-Li
=
lE [Yi],
X
i est la
i-ème ligne d'
une matrice de design form
ée par les vari
ables
explicatives
x
1
, j
=
1, ..
. ,
l
,
et
f3
est un vecteur de param
ètres à
estimer. La fon
ction
g
est appelée
fonction de lien
et perm
et de
li
r
la
moye
nne de la
distribut
ion qu
e
sui
t
Yi
au
prédicteur
linéaire.
Conce
rnant
la
di
stribu
tion de
probabilit
é, celle-ci
doit apparte
nir à
la
famille expon
entiell
linéaire.
1.3.2
Famjlle expon
enti
elle
linéair
e
Pour
tou
te vari
able aléatoire
Y
,
la
famille exponentielle linéaire correspond
à
un
ensembl
e
de
distribu
tions
dont
la
loi
de
probabilité (discrète ou
continu
e) peut
être exprimée sous
la
forme
f
o(
Y
) =exp [
{ye
-
b(e)}
ja(<P)
+
c(
y
,
<!J)]
,
(1
.4)
où
b
, a
t c sont
des
fon
ctions arbitraires.
De
plu
s,
<P
e t
le
param
ètre canonique
alors qu
e e
est
le paramètre
de dispersion.
D
s développem
ents
peuvent êt
re fait
s
pour obtenir des formula
tions générales pour l'espérance et la vari
ance d'
une dist
ri-bu
tio
n
appartenant
à
la
famille exponentielle linéaire (Wood 2006, section 2.1.1)
.
En
e
ff
et,
on
a
qu
e
e
t
JE
[
Y]
=
b' ((7
)
Var-[Y]
= b"
(e)
a(
cp)
= b"(e)
cp/w
=
V(J.t)
c/J,
(1.
5)
(1.6)
où
b' ( e)
e
t
b" ( e)
s
ont
le
s d
é
riv
ées
pr
e
mi
è
r
e
s
e
t s
ec
ond
es
d
e
b
p
a
r rapport
à
e.
D
e
plu
s,
f.t
JE
[
Y],
a(
cp
) =
cpjw
e
t
V(J.t)
=
b"(e)
j
w
,
où
w
es
t
une c
on
s
t
a
nt
e c
onnu
e
(h
a
bi
t
u
elle
m
e
n
t
1).
P
a
rmi
les
di
st
ribu
tions
notoir
s a
pp
a
r
te
n
a
n
t
à
l
a
f
a
mill
e
ex
pon
e
n
t
i
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linéa
ir
e,
n
ot
on
s
les
lo
i norm
ale, ga
mm
a,
bin
o
mi
ale et
Poi
sso
n
.
1.3
.
3
E
s
tim
a
tion p
a
r m
a
ximum
.
d
e
vr
a
i
se
mbl
a
n
ce
L'
est
im
at
ion du v
ecte
ur d
e
p
a
r
a
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è
tr
es
{3
d
a
n
s
(1.3)
es
t
e
ff
ect
u
ée
p
a
r m
ax
imum
d
e
vr
aise
mbl
a
n
ce.
L'in
t
uitio
n d
e
rri
è
r
e ce
tt
e
t
echniqu
e
d
'est
ima
t
ion
est
qu
e l'
on v
a
che
r
c
h
e
r
le
v
ecte
ur
{3
qui m
a
ximi
se
r
a
l
a
d
e
nsit
é c
onjoin
te
qu
e la
v
a
ri
a
bl
e
r
é
pon
se
pr
e
nn
e c
h
a
qu
e
val
e
ur ob
se
rv
ée
d
a
n
s
les
donn
ées
d
e
m
o
d
élis
a
tion,
d
é
p
e
ndamm
e
nt
d
e
la loi
d
e
pr
o
b
a
bili
té c
hoi
s
i
e et
d
e
l'e
ns
e
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e
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ob
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pour
les
v
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bl
es
e
xpli
cat
iv
es
.
Don
c, e
n
s
upp
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n
t
un
c
on
texte o
ù
Yi
rvf
eJY
i),
où l
'o
n
a
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es
ob
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s
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bl
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un
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pr
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bili
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e
n
a
n
t
à
l
a
f
a
mill
e
e
xpon
e
n
t
i
elle,
la
fon
ct
i
o
n d
e v
rai
se
mbl
a
n
ce est
d
é
fini
e c
omm
e
n
L
(
{3)
=
IJ
f
oi (Y
i)
·
i=l9
Généra
l
eme
nt
,
l
a
fonction de
vr
a
i
sembl
ance est
m
ax
imi
sée via
maximisation de
l
a
fonction de
lo
g-v
r
a
i
semblance,
pour d
es
raisons
de s
impli
c
i
té
. Ainsi,
on
a
pour
fon
ct
ion
de
lo
g
-vr
a
i
semblance
n
i=l
n
