IUT de Rodez Ann´ee universitaire 2008/2009
Informatique 1◦ann´ee TD de math´ematiques n◦3.
TD n
◦3
. Applications.
1
Injections, surjections, bijections
Exercice 1 Les fonctions suivantes sont-elles surjectives ? injectives ? 1. f : R → R+, f (x) = x2.
2. f : R → [−1, 1], f(x) = sin(x).
3. A chaque individu d’une classe, on attribue son ˆage.
4. A chaque pays, on attribue la latitude et la longitude de sa capitale. 5. A chaque livre, on attribue le nom de son premier auteur.
********************
Exercice 2 On consid`ere les fonctions f : A → B, g : B → C et h : C → D d´efinies ci-dessous :
x y z t a b c A B C 1 2 3 4 α β γ δ D
1. Ces fonctions sont-elles injectives ? Surjectives ?
2. D´efinissez les fonctions compos´ees k = g ◦ f et l = h ◦ g ? 3. Les fonctions k et l sont-elles injectives ? surjectives ?
********************
Exercice 3 1. Montrer que l’application f d´efinie par f (x) = 2x + 5 est une bijection de R dans R (`a l’aide de la d´efinition). Quelle est son application r´eciproque ?
2. Les deux fonctions suivantes ne sont pas des bijections. En donner la raison dans chaque cas. a) f : R −→ R x 7−→ ex + 2 , b) g : R −→ [−1, +∞[ x 7−→ x2 − 2x
3. Montrer que les fonctions suivantes sont des bijections (`a l’aide de la d´efinition), puis d´eterminer leur fonction r´eciproque.
a) f : R −→ ]2, +∞[ x 7−→ ex−1 + 2 , b) g : [1, +∞[ −→ [−1, +∞[ x 7−→ x2− 2x ******************** 1
2
Application caract´
eristiques
Soit E un ensemble fini de cardinal n. On a vu qu’`a tout ensemble A ⊂ E, on peut associer la fonction caract´eristique de A :
χA : E −→ {0, 1}
x 7→ 1 si x ∈ A 0 si x 6∈ A
Exercice 4 Soit E = {a, b, c} et soient f et g les applications d´efinies de E dans {0, 1} par : f(a) = g(b) = 0 et f (b) = f (c) = g(a) = g(c) = 1.
Donner les parties A et B de E dont f et g sont les applications caract´eristiques respectives. ********************
Exercice 5 Soit E un ensemble et soient A et B deux parties de E. On note χA et χB les
applications caract´eristiques de A et B dans E.
Exprimer χA, χA∩B, χA∪B, χA∆B et χA−B en fonction de χA et χB.
******************** Exercice 6 1. Que peut-on dire de la fonction
Φ : P(E) −→ {applications caract´eristiques des parties de E} A 7−→ χA
2. Compter le nombre d’applications caract´eristiques que l’on peut construire, et retrouver le cardinal de P(E).
