ARTheque - STEF - ENS Cachan | Algèbre de Boole et son application en technologie (Suite)

ALGEBRE DE BOOLE ET SON APPLICATION EN TECHNOLOGIE (Suite)

v -

La somme disjonctive

Elle ne sera pas enseignée en classe de quatrième. Le tableau de vérité

-x y _{---_} x 0 y x.y + x.y .. _--_. ..

__

...

_

..

__

.-0 0

---0 _--.- 1 ... ..

., _ ._

-0 0 0 0 - f - - +--- ---+---+_ -L_l _ _ ..

Elle représente la fonction caractéristique du théorème de Morgan. Propriétés :

Commutativité Associative

elle est apparente dans le tableau précédent.

elle sera démontrée dans un tableau à trois variables qui sera dressé en temps utile.

Elément neutre : 0 x + n

=

x

Elément symétrique x

x + S :II n

Conclusion: L'ensemble des variables booléennes muni de la loi de la somme disjonctive a une structure de groupe commutatif.

Introduction en classe de troisième

Deux possibilités qui ne sont pas équivalentes sur le plan de la richesse des découvertes pour l'enfant, s'offrent à nous.

1ère possibilité: Exploitation d'un exercice notamment le iii). On dressera d'abord son tableau de vérité

-

-

!

-

1

-

-

-1

x y x y x.y x.y x.y+x.y Diagramme de Venn

1 1 0 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 1

-0 0 1 J 0 0 0

On raisonnera ensuite sur le tableau pour l'étude du fonctionnement du circuit.

Par exemple

Posons x=I alors si

x=O alors si ( ( ( ( ( ( y=o y=I y=I y=o

L=I lampe allumée L=o lampe éteinte L=1 lampe allumée L=O lampe éteinte

Première conclusion : Quelque soit la position de x, y pourra allumer ou éteindre la lampe.

On remarquera alors que dans la formule booléenne du circuit les variables "jouent le même rôle". On pourra alors adméttre que quelque soit y, x pourra allumer ou éteindre la lampe.

Le schéma étant déjà fait dans l'exercice il suffira de lui donner sa forme de schéma électrique comme :

1

1-3

y

---

_c-0

•

1

Pour terminer on remarquera que ce circuit est la solution pour l'éclairage électrique d'une chambre munie de deux portes où chaque porte possède son "interrupteur" particulier. On remarquera ici que le mot

interrupteur couramment utilisé dans le langage populaire désigne en réalité un commutateur bipolaire.

Il faut maintenant si ce n'est déjà fait faire le montage pratique et le traduire sous forme de schéma architectural.

1

du courant

tube contenant deux conducteurs

!'t! rt

t

R

"'commutateur • porte '7=-,-"-r->"'r.=-",,-,,..,..,., ... ,,....,,,-,-:. _ _ -=:&/('L//;q;"' t ,''''' fenêtre bipolaire

2ème possibilité : La redécouverte :

Poser le problème : Avec les éléments de circuit que nous avons étudiés peut-on constituer un circuit à deux variables : interrupteurs ou commutateurs placés en des endroits différents et tels que chacun peut indifféremment de la position de l'autre allumer ou éteindre une lampe?

On fera donc un premier tableau de vérité des possibilités que le circuit doit réaliser. Il ne comportera évidemment que les deux variables et la solution préconisée comme suit :

x y solution S

1 1 1

1 0 0

0 0 1

0 1 0

Comme on le voit, on a fait une première convention de départ : pour x-I et y-I la lampe est allumée. On ne débouchera pas de cette manière tout de suite sur la somme disjonctive mais sur son complément mais cette manière de partir est à mon avis plus raisonnable du point de vue d'un élève et permettra d'utiliser à nouveau une relation d'équivalence que nous avons déjà mise en évidence entre le circuit électrique d'une fonction booléenne et le circuit représentant son complément.

L'utilisation de toutes les possibilités : fonctions booléennes, variables booléennes et leurs compléments amènera le tableau de recherche suivant

1)

2)

r

,

-

-

-

-

-

-

-

-

_{(x+y) • (x+y)}

X y S x y x+y x+y x.y xy X y X Y

1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1

0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1

12

12 permet de démontrer la distributivité du produit logique par rapport

à l'addition ou somme logique.

-

-

- -

₁

x.y + x.y x.y +xy

1 0

0 1

1 0

0 1

La colonne 13 est solution, monter le circuit et l'essayer. On

remarquera que les colonnes 12 et 14 représentent la fonction complément on fera encore ces montages qui mettront immanquablement la relation

d'équivalence déjà citée en évidence. On choisira le circuit le plus simple que l'on mettra en forme comme cela a été fait dans la première méthode.

Les diagrammes de Venn associés aux fonctions permettront

de valoriser la somme disjonctive et son complément. On tracera le lien entre ces fonctiona et le théorème de t1organ.

Cette méthode est extrêmement riche car si l'on veut, on peut dresser un tableau de toutes les relations caractéristiques et de cette façon obtenir un nombre impressionnant de "règles" de calcul propres à l'algèbre de Boole.

En conclusion générale on donnera le nom à ce nouveau circuit : Le circuit va et vient.

La somme disjonctive est commutative cela découle du tableau précédent.

En se servant du tableau précédent on fera la somme disjonctive de trois variables :

xCV y

8

z

=

S

On posera : xC!) y = t

On aura grâce à la commutativité S

=

zG)

t

-S

=

z.t + z t

-x y + x y

par le tableau précédent on a

-

_t

₌

_{x.y + x.y}

donc

s

=

z (x.y +

x.y)

+ Z (x.y + x y) développons et ordonnons

• x y z + x y z + x y z + x y z

Le calcul en posant t

=

y(!)z montrera l'associativité et la distributivité du produit logique.

Schéma électrique de la forme booléenne

___ /

.7_--.,

y z

x z

x y

Associons les points communs et les x et x de même pour les z et z on aura

'---1 1

La partie incluse dans le carré pointillé fera le sujet de la définition d'un nouvel élément de circuit: l'inverseur bipolaire. a) Schéma du modèle de laboratoire

entrée

;-:

L' "

.'

_....

•

--.. ...

--"'-. ,.,.

.-'-Çl ..-

.

"-sortie

-,.,.

... 1JJIy--- ... r

-

-0

é"' VY

-Modèle connnerciai 1 2 )

.\,-J'

g3

sortie entrée 4 , / )

On réalisera maintenant le montage dont on étudiera les propriétés qui seront confirmées par le tableau de vérité suivant

1 ₁

...

!

X _{Y z} x y z x y z x y z x y z x y z

s

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

!

.

•

0 1 i 0 0 0 0 0 1 t 1 1 t 0 0 0 0 0 0 t 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 t 1 1 ---.

j

0 ₀ 0 0 _{0 0} 0 _{0 0 0} 0 0 _{0 0}

.

! 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

On fera le schéma d'architecte associé au montage puis on pourra généraliser pour n variables booléennes ce qui donnera la définition du montage de la cage d'escalier à n paliers. Le schéma succint pourra être :

".

><

10_--.- _

_•

y z n t

- - - ! - - X

ComEléments : __ =_s=== __ _

Symboles logiques courants :

SOJIDlle logique ou fOtlction

ou

produit logique ou fonction ET

fonction complément ou NON OU + NON .,. NI

@-+

-

--NON + OU • NOR NON + ET

-

NAND

_.-

--Comme les caractéristiques du courant électrique sont au programme de la classe de troisième, les effets magnétiques pourront amener à l'étude du relais, étude de son fonctionnement. On pourra alors montrer son utilité dans les circuits à cOJIDllutations notamment le circuit mémoire.

VI - La fonction mémoire est un circuit à séquence.

Celle que nous donnons ici sera à entrée et effacement séparés. Sa forme mathématique est

• + m pour la commande

Lm • e + m pour l'effacement.

Tableau succint de la séquence

m x m e e

o o

o

o o

o o

o

e

VII - Bibliographie

- et automatisme

- Algèbre de Boole - automatisme - L'automatisme par les problèmes - Cours de mathématiques supérieures

Algèbre de Boole

- Initiation à l'automatisme - Schémas d'équipement électrique - Algèbre moderne et commande

électrique

- Revue de l'enseignement des techniques industriels - Algèbre de Boole - Notion d'automatisme (1° B7) "1

o

Mr BOSSON et CHATY Editions Hachette Mr CLEMENT - DEGOULANGE Edi tions Dunod

Mr CHAPPERT - COJEAN - CAMPA Editions Foucher

Mr THUILLIER Editions !·fasson

Mr NORBERT -BOYER - PHILIPPE Editions La Capitelle COHBARNOUS - GUAZZORA Editions Desvigne Mr LALANNE BUP Nov. 1969 p. 123 . N° de mai 1968 Editions SEVPEN Mr CASANOVA

Collection Que sais-je N° 1246 Ur AUGER