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Preprint submitted on 10 Mar 2020
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Calcul des caractéristiques de propagation des milieux
périodiques 1D décrits par des impédances et des
segments de lignes à l’aide de la matrice ABCD
Laboratoire de physique et d’étude des matériaux
UMR8213
Jérôme, René Lucas, Emmanuel Géron
To cite this version:
Jérôme, René Lucas, Emmanuel Géron. Calcul des caractéristiques de propagation des milieux
péri-odiques 1D décrits par des impédances et des segments de lignes à l’aide de la matrice ABCD
Labo-ratoire de physique et d’étude des matériaux UMR8213. 2020. �hal-02503641�
Laboratoire de physique et d’étude des matériaux UMR8213
Calcul des caractéristiques de propagation des milieux périodiques 1D décrits par
des impédances à l’aide de la matrice ABCD
Jérôme Lucas : jerome.lucas@espci.psl.eu Émmanuel Géron : emmanuel.geron@espci.fr
Introduction
Ce document présente comment il est possible de calculer les caractéristiques de propagation des milieux périodiques 1D décrits par des impédances à l’aide de la matrice ABCD. C’est-à-dire équation de propagation et impédance caractéristique. Le calcul est limité aux milieux a modèle symétrique et donc réciproque. Cette technique est applicable non seulement en condition “métamatériaux” : l ≪λ, mais aussi en condition de Bragg : l ≫λ. Pour cela le modèle utilisé intègre des lignes de propagation qui permettent de prendre en compte la propagation en les éléments discrets du model.
Milieu périodique 1D.
Considérons un milieu périodique 1D infini. Il peux être schématisé comme une succession infinie du motif élémentaire que l’on appelle cellule élémentaire. Dans le cas d’un milieu 1D, ce motif est un quadripôle.
Cellule élémentaire n-2 n-1 n n+1 n+2 Vn+1= Vne−iθ Vn ℓ ~z
On suppose chaque quadripôle linéaire. Le milieu de propagation est donc régit par une équation différentielle linéaire. Comme le milieu est périodique de période ℓ selon l’axe des abscisses, l’équation différentielle qui le régit est une équation différentielle du type par exemple en tension :
dmV(z) dzm + p1(z) dm−1V(z) dzm−1 + p2(z) dm−2V(z) dzm−2 + . . . + pm(z)V (z) = 0 (1)
où les coefficients pidépendent de la structure de la cellule, et sont de période ℓ : ∀i ∈ N, pi(z + ℓ) = pi(z) . Selon le
théorème de Floquet1 2(parfois appelé Floquet-Bloch), il existeθ
∈ C appelé exposant caractéristique tel que :
Vn+1 = Vne−iθ (2)
en prenant comme unité de longueur, la longueur de la cellule (ℓ = 1). La relation de dispersion du milieu est la relation :θ= f (ω). Il existe pour les même raisons une relation de ce type en courant donc :
In+1 = Ine−iθI (3)
Comme les équations différentielles en courant et en tension ne sont pas nécessairement les mêmes on a pas nécessairement
θ=θI.
De plus, compte tenu de la périodicité du système : ∀(n, p) ∈ N2,Vn
In =
Vp
Ip donc :
∃Zc ∈ C tel que ∀n
Vn = ZcIn (4)
Avec l’équation 2 et l’équation 4 : Vn+1= ZcIn+1= ZcIne−iθI = Vne−iθI = Vne−iθ .
Finalement :
θ = θI (5)
1. http ://en.wikipedia.org/wiki/Floquet_theory
Matrice ABCD.
Définition générale et propriétés de base
3.
On considère un quadripôle linéaire comme celui de la figure suivante :
Quadripôle Vn
In
Vn+1
In+1
Comme le quadripôle est linéaire, et avec la causalité, les tensions et courants d’entrée peuvent s’écrire comme une combinaison linéaire des courants et tensions de sortie.
Ce qui s’écrit sous forme matricielle : Vn In = A B C D Vn+1 In+1 (6)
Le gros intérêt de cette matrice est qu’elle est chaînable. Ainsi si l’on considère le montage ci dessous :
Vn In Vn+1 In+1 Vn+2 In+2 M1 M2
Par définition de matrice, on a de façon naturelle :
Vn In = M2.M1 Vn+2 In+2 (7)
Interprétation physique des coefficients A, B, C et D
On peut interpréter les coefficients comme suit :
A = Vn Vn+1 In+1=0 (8)
Coefficient de transmission en tension en circuit ouvert
Attention
: On ne peut pas ici (équation 8) utiliser la relation 2 car on n’est plus dans le cas d’un milieu périodique. On brise la périodicité en imposant In+1= 0. On ne peut donc pas en particulier écrire A = eiθ D = In In+1 Vn+1=0 (9)
Coefficient de transmission en courant en court circuit. B = Vn In+1 Vn+1=0 (10)
Transimpédance en court circuit.
C = In Vn+1 I n+1=0 (11)
Transconductance en circuit ouvert. Ces différentes interprétations sont utiles en pratique pour calculer les valeurs de A,B,C et D.
Application à un milieu périodique 1D réciproque.
Dans le cas d’un milieu périodique 1D réciproque, on peut toujours décrire la cellule élémentaire grâce à un quadripôle symétrique en son milieu. Dans ce cas, on peut écrire :
Vn In = A B C D Vn+1 In+1 Vn+1 −In+1 = A B C D Vn −In
Ce qui revient à écrire que le quadripôle se comporte de la même façon dans un sens et dans l’autre. On à un système de 4 équation à 4 inconnues que l’on peut résoudre en A,B,C,D.
On obtient : A= D = In+1Vn+1+ InVn InVn+1+ In+1Vn (12) B C = Vn+12 −Vn2 In+12 − In2 (13) Compte tenu de l’équation 4, l’équation 13 devient :
B
C = Z
2
c (14)
Avec les relations 2, 5 et 12 on obtient :
A = cos(θ) (15)
Application aux métamatériaux 1D et ligne périodique Z1Z2Z1.
Nous allons utiliser les résultats précédents pour calculer les relations de dispersion et les impédances caractéristiques des métamatériaux classiques à cellule élémentaire en T, respectivement dans l’hypothèse méta puis dans le cas général ou l’on peut se trouver en condition de Bragg.
Matrices ABCD utiles à notre problème.
Cellule en T
Dans le cas des métamatériaux à cellule élémentaire en T, cette dernière présente l’allure suivante :
Vn In Vn+1 In+1 Z1 Z1 Z2
On calcule A en se plaçant en condition de circuit ouvert (In+1= 0), Il vient directement Vn+1= VnZ1Z+Z2 2 (Pont
diviseur).
Comme le quadripôle est symétrique on a tout de suite : D = A. De même on calcule C en circuit ouvert : C = In
Z2In = 1/Z2
Pour calculer B on se place en condition de court circuit :
Vn In In+1 Z1 Z1 Z2 In+1= In×Z1Z+Z2 2 =Z1+ZV1n//Z2×Z1Z+Z2 2 = Vn×Z2 Z2 1+2Z1Z2 d’où : B = Z21 Z2 + 2Z1. Résumé : MT= Z1 Z2 + 1 Z21 Z2+ 2Z1 1 Z2 Z1 Z2+ 1 ! (16)
cos(θ) =Z1
Z2+ 1 (17)
et que (eq 14) :
Zc2 = Z12+ 2Z1Z2 (18)
Ces deux derniers résultats sont les résultats que nous avions déjà établi directement en considérant une succession de cellules et en appliquant les lois de Kirchoff en conjonction avec la relation 2.
Segment de ligne
On cherche à obtenir les caractéristiques de propagation pour un métamatériaux 1D à toutes fréquences même quand la condition méta n’est pas respectée.
Pour cela on ajoute à la cellule précédente des segments de lignes au modèle pour tenir compte de la propagation. On a donc besoin de connaitre la matrice ABCD d’un segment de ligne.
Z0
Vn
In
Vn+1
In+1
Segment de ligne sans perte ℓ
On considère un segment de ligne terminé en n + 1 par un circuit ouvert. Le coefficient de réflexion en tension vaut alors 1 (Γ(n) = 1). Par conséquence les ondes de tensions progressives vers la droite et la gauche en n+1 sont égales : Vn+1+ = Vn+1− .
L’onde progressive vers la droite en n+1 est issue de n : V+
n+1= Vn+e−iβ ℓ.
L’onde progressive vers la gauche en n est due à la réflexion de l’onde progressive vers la droite issue de n : V−
n = Vne−2iβ ℓ. On a alors A = Vn++V− n Vn+1+ +V− n+1 =Vn+(1+e−2iβℓ) 2V+ n e−iβℓ = cos(βℓ). Finalement A = D = cos(βℓ).
Le coefficient de réflexion en courant dans les même conditions vaut -1. On a alors C = In++I− n Vn+1+ +V− n+1 =In+(1−e−2iβℓ) 2V+ ne−iβℓ = j sin(βl)/Z0 A l’aide de l’équation 14 : B = Z2 0C Soit : B = j sin(βl)Z0. Résumé : MS= cos( βℓ) jsin(βl)Z0 jsin(βl)/Z0 cos(βℓ) (19) On en déduit immédiatement que (eq 15) :
cos(θ) = cos(βℓ)
θ = ±βℓ (20)
Métamatériaux 1D
On vient de voir dans la section précédente que l’on retrouve directement à l’aide de la matrice ABCD, les expressions de l’équation de propagation et de l’impédance pour un métamatériau à composants localisés sans tenir compte de la propagation entre les composants. On cherche ici à généraliser ce résultat en tenant compte de la propagation.
Pour cela, on considère donc le modèle suivant ;
Z0 Z0
Z1
Z1
Z2
Segments de ligne sans perte ℓ ℓ/2
La matrice ABCD de la nouvelle cellule s’écrit donc simplement :
M = MS.MT.MS (21)
A partir de la, on obtient directement l’équation de dispersion correspondante. Elle n’est cependant pas “légère à écrire” en fonction de Z1et Z2. Après simplification, elle reste assez élégante en l’exprimant en fonction des paramètres
AT, BT, CT et DT de la matrice MT. cos(θ) = ATcos(βℓ) + 1 2jsin(βℓ) CTZ0+BT Z0 (22) On note tout de suite (avec bonheur) que dans l’hypothèse métamatériaux (cos(βℓ) ≈ 1 et sin(βℓ) ≈ 0), elle se ramène à cos(θ) = AT ce qui est le résultat déjà connu.
On obtient de la même façon l’impédance caractéristique du milieu :
Z2c = Z02cos(βℓ)BT+ Z
2
0CT + BT− Z20CT + 2 jZ0ATsin(βℓ)
cos(βℓ)BT+ Z02CT − BT− Z20CT + 2 jZ0ATsin(βℓ)
(23)
Application à la ligne gauche
Dans le cas de la ligne gauche on a :
Z1 = 1
jCω
Z2 = jLω (24)
La figure suivante présente les résultats obtenu pour une ligne de ce type avec C = 3.3 nF, L = 4µH, soit une fréquence de début de propagation pour le modèle sans les segments de lignes de : f1=2π√12LC≈ 0.98 MHz et ℓ =λ2 à fo= 2 MHz.
En pratique, on a remplacéβℓ parπff
0 pour l’application numérique.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 MHz S an s di m en si on cos(θ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Real Imag Rsdt ISdt MHz f0 f1 × π ra d θ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 MHz Ω Zc
On voit bien apparaitre, les bandes passantes supplémentaires conformément aux mesures et simulations.
Application à la ligne droite
Dans le cas de la ligne droite, les rôles du condensateur et de l’inductance sont échangés, on a donc :
Z1 = jLω
Z2 = 1
jCω (25)
La figure suivante présente les résultats obtenus pour une ligne de ce type avec les mêmes valeurs pour les composants que dans le cas de la ligne gauche : C = 3.3 nF, L = 4µH, soit une fréquence de coupure pour le modèle sans les segments de lignes de : f1=π√1 2LC≈ 1.96 MHz −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 S an s di m en si on cos(θ) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Real Imag Rsdt ISdt × π ra d θ 100 101 102 103 104 105 Ω Zc
Cristaux photoniques 1D
Il est aussi possible d’appliquer la méthode a la ligne “Z1Z2”. Il faut pour cela modèliser ce type de ligne avec une
cellule élémentaires symétrique :
Z1 Z2 Z1
ℓ
ℓ/4
ℓ/4 ℓ/2
Cellule élémentaire Segments de ligne sans perte
La matrice ABCD de la cellule élémentaire symétrique vaut :
MZ1Z2 = MZ1(ℓ/4).MZ1(ℓ/2).MZ1(ℓ/4) (26)
On obtient alors (ici encore après simplification) l’équation de dispersion :
cos(θ) = cos(βℓ)Z1+ Z2 2
−Z1− Z22
4Z1Z2 (27)
On constate avec plaisir que lorsque Z1=Z2on obtient cos(θ) = cos(βℓ). On peut aussi constater que les rôles de Z1
et Z2sont interchangeables.
On obtient pour l’impédance caractéristique :
Zc2 = Z21 Z2cos2(βℓ4) − Z1sin2(βℓ4) Z1cos2(βℓ4) − Z2sin2(βℓ4)= Z 2 1 sin(βℓ)(Z1+ Z2)2− 2 sin(β2ℓ)(Z12− Z22) sin(βℓ)(Z1+ Z2)2+ 2 sin(β2ℓ)(Z12− Z22) (28)
Les deux expressions sont équivalentes et à utiliser selon les besoins.
0 50 100 150 200 250 300 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 MHz S an s di m en si on cos(θ) 0 50 100 150 200 250 300 −1 0 1 2 3 4 5 6 Real Imag MHz × π ra d θ 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 120 140 MHz Ω Zc
