Résumé de Cours Résumé de Cours Résumé de Cours

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Résumé de Cours – –– – EM EM EM EM1 11 1 ---- Electro Electro Electrostatique Electro statique statique statique – –– – 1/ 1/ 1/2 1/ 22 2

Distribution de C Distribution de C Distribution de C

Distribution de Charges harges harges :::: harges

Densité volumique / surfacique de charges :

ρ

= d q τ

d

^{en C.m}

-3 et

σ = d q

d S

^{en C.m}

-2

M M M

Mise ise ise en évidence ise en évidence en évidence en évidence du du du Champ du Champ Champ Champ Electrique Electrique Electrique Electrique ::::

Définition : Une distribution de charges produit une modification des propriétés de l’espace que l’on appelle champ électrique

E

. On ne peut le caractériser que par son action.

Action sur une particule chargée : Force de Lorentz

= ⋅ F q E

Loi de Coulomb entre charges : Loi de Coulomb

πε

^→

= ⋅

1 2 1 2 2

0

1 4

F q q u

r Expressions du champ électrostatique

Expressions du champ électrostatique Expressions du champ électrostatique Expressions du champ électrostatique ::::

Expression : _{( )}

ρ τ

πε πε

= ⋅ = ⋅

2 2

0 0

1 1

4 4

M

d q d

d E u u

r r

à intégrer…

Avec

πε ^{= ⋅}

9 0

1 9 1 0

4 u

^{S I} la permittivité du vide Remarque :

B

_(comme

E

) n’est pas défini en un point d’une distribution linéique.

Expressions du POTENTIEL électrostatique Expressions du POTENTIEL électrostatique Expressions du POTENTIEL électrostatique Expressions du POTENTIEL électrostatique ::::

Expression : _{( )}

ρ τ

πε πε

= ⋅ = ⋅

0 0

1 1

4 4

M

d q d

d V r r

à intégrer…

Symétries du champ magnétique Symétries du champ magnétique Symétries du champ magnétique Symétries du champ magnétique ::::

Le champ

E

possède les mêmes symétries que les charges qui lui donnent naissance

Plan de Symétrie :

^{P ' = sym}

^π

( ) ^{P ⇔ ρ ' = ρ ⇔ d E = sym}

^π

( ) ^{d E}

π ∈

E

sy m (contenu dans les plans de symétrie, l’inverse de

B

₎

Plan d’Antisymétrie :

^{P ' = sy m}

^π*

( ) ^{P ⇔ ρ ' = − ρ ⇔ d E ' = − sy m}

^π*

( ) ^{d E}

π ⊥

a n tisy m

E

(orthogonal au plan d’antisymétrie, l’inverse de

B

) Axe de Symétrie de Révolution : Le champ ne dépend pas de θ :

^{E r z} ( ) ^,

En un point de l’axe, alors :

^{E = E}

^z

( ) ^{z ⋅ u}

^z

Symétrie cylindrique infinie : Distribution invariante par translation selon Oz et rotation autour de Oz Le champ sera radial :

^{E = E}

^r

( ) ^{r ⋅ u}

^r

C C C

Circulation du champ irculation du champ irculation du champ électrique irculation du champ électrique électrique électrique :::: ^C = ∫

_{( )C}

^{E d l} ⋅

Relation :

( )

 = ⋅ = − ∆



 = −



∫

_(C)

C E d l V

E g r a d V

Circulation NON conservative / INDEPENDANT du chemin

Travail et Energie Potentielle Travail et Energie Potentielle Travail et Energie Potentielle

Travail et Energie Potentielle :::: ^{δ W = ⋅ F d l = q E d l ⋅ = − ⋅ q d V ⇒ W}

^AB

^{= q V} (

^A

^{− V}

^B

)

On peut définir une énergie potentielle :

( )

 = ⇒ = − ∆

 

 = −

B

P A P

P

E q V W E

F g ra d E

Déf du gradient : Fct tq

^{d V = g ra d V} ( ) ^{⋅ d l}

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Résumé de Cours – –– – EM EM EM EM1 11 1 ---- Electrostatique Electrostatique Electrostatique – Electrostatique –– – 2/ 2/ 2/2 2/ 22 2

Flux du Champ magnétique Flux du Champ magnétique Flux du Champ magnétique Flux du Champ magnétique ::::

Théorème de Gauss :

Φ = ∫∫ ⋅ = ε

^{in t}

S 0

E d S Q

NON conservation du flux

Conséquences :

- Fluc CONSERVATIF dans une région vide de charges

- Un extremum de potentiel en un point suppose une charge en ce point

- Discontinuité du Champ électrique à la traversée d’une surface :

σ

→

ε

→

∆ = ⋅

1 2 1 2

0

E n

Application du Théorème de Gauss Application du Théorème de Gauss Application du Théorème de Gauss Application du Théorème de Gauss ::::

Comme le théorème de Gauss : - Analyse des invariances et des symétries - Choix du contour fermé de Gauss - Application du Théorème Exemples usuels : - Plan Infini :

( ) ^{= ± σ} _ε ^⋅

2

0 ^z

E z u

- Fil Infini :

λ

= π ε ⋅

2

0 ^r

E u

r

- Sphère (ext) :

( )

⁼

^ρ _ε

³2 ^⋅

3

0 ^r

E r R u

r

- Sphère (int) :

( ) ^{= ρ} _ε ^⋅

3

0 ^r

E r r u

Extension aux cas variable Extension aux cas variable Extension aux cas variable

Extension aux cas variable : Equations de Maxwell : Equations de Maxwell : Equations de Maxwell : Equations de Maxwell

Liées au Champ

B

:

( )

( )

ρ

ε ε

 = ⇒ Φ = ⋅ =



 = ⇒ = ⋅ =



∫∫

∫

in t

0 0

( )

0 0

S

C

d iv E E d S Q M a x w e ll G a u s s

r o t E C B d l M a x w e ll F a r a d a y

Potentiel scalaire :

^{E = − grad V} ( ) ^{( en V ) ⇒} ∫ ^{E dl ⋅ = −∆ V}

Equation de Poisson :

ρ

∆ + ε =

0

0 V

Densité volumique d’énergie électrique :

^u

^e

( ) ^{M = ε} ₂

⁰

^E

²

( ) ^M

^{en J.m-3}

Dipôle Dipôle Dipôle

Dipôle électrique électrique électrique électrique ::::

Définition :

= ⋅

p q AB

Potentiel en 1/r² : _{( )θ}

θ

πε πε

⋅

= ⋅ =

, 2 2

0 0

cos

4 4

r r

p u V q l

r r

Champ crée en 1/r³ :

_{( )}

⁼ _πε

³

( ^{θ ⋅ + θ ⋅}

^θ

)

0

2 cos sin

4

^r

M

E p u u

r

Actions subies : Dans un champ

E

- Couple :

Γ = ∧

p B

(aligne avec le champ)

- Force :

≈ ⋅ ∂

∂

x

F p E

x

(idem en y et z) Si le champ extérieur

E

est uniforme, alors pas de force subie, il ne fait que s’aligner Energie potentielle :

≈ − ⋅

E

P

p E Analogie Electrostatique / Gravitation Analogie Electrostatique / Gravitation Analogie Electrostatique / Gravitation Analogie Electrostatique / Gravitation ::::

Analogie :

⇔ πε ⇔ − ⇔

0

1

q m 4 G E G

Capacité :

= ε

⁰

S

C e

Théorème de Gauss pour la Gravitation :

π

⋅ = −

∫∫

^{G d S 4 G M}

^{in t}

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