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Résumé du cours sur le nombre dérivé

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Résumé du cours sur le nombre dérivé

Notions

Le taux de variation de f entre deux réels a et b

 C’est le rapport f b( ) f a( ) b a

 .

 Concrètement, c’est le coefficient directeur de la droite (AB) avec A(a ; f (a)) et B(b ; f (b)).

Le rapport de Newton de f en un réel a

 C’est le rapport f a( h) f a( ) h

 

(taux de variation de f entre a et a + h, h  0).

 C’est une expression qui dépend de h.

 On dit que ce rapport est simplifié lorsque l’on a simplifié le h au dénominateur (« évanouissement » des h).

 Lorsque ce quotient est simplifié, on obtient une expression qui peut prendre diverses formes suivant l’expression de la fonction f.

 Concrètement, c’est le coefficient directeur de la sécante (AM) avec A(a ; f (a)) et M(a + h ; f (a + h)).

Le nombre dérivé de f en un réel a

 C’est le résultat de la limite du rapport de Newton quand h  0.

 C’est un nombre qui ne dépend pas de h.

 On l’obtient la plupart du temps en remplaçant h par 0 dans l’expression simplifiée (technique de calcul).

 Concrètement, c’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A(a ; f (a)).

 Il est noté f '(a).

Fonction dérivable f en un réel a

 C’est une fonction qui admet un nombre dérivé en a c’est-à-dire pour laquelle le quotient f a( h) f a( ) h

 

admet une limite finie quand h  0.

 Une fonction non dérivable en a est une fonction qui n’admet pas de nombre dérivé en a.

(2)

La tangente au point d’abscisse a

 C’est la droite qui passe par le point A(a ; f (a)) et qui a pour coefficient directeur f '(a).

 Elle a pour équation y = f '(a) (x – a) + f (a) .

(3)

Outils

 Calcul du rapport de Newton : « à la main » ou à l’aide d’un logiciel de calcul formel

 Calcul du nombre dérivé : « à la main », à l’aide de la calculatrice (valeur approchée) ou à l’aide d’un logiciel de calcul formel

 Détermination d’une équation de tangente : « à la main », à l’aide de la calculatrice ou d’un logiciel de tracé de courbes

 Tracé d’une tangente : « à la main », à l’aide de la calculatrice ou d’un logiciel de tracé de courbe

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