Plan Mise à niveau IAR, IMD, ST

(1)

Signaux aléatoires

Mise à niveau IAR, IMD, ST

Aymeric Histace

•  IntroducAon

Plan

(2)

1. IntroducAon

13/10/15 Aymeric Histace -‐ Signaux

aléatoires 3

•  Les phénomènes dynamiques couramment rencontrés sont généralement mesurés sous forme de l’amplitude d’une grandeur

physique en foncAon du temps

•  Exemple : Un signal électrique, une pression, une température, une image (en 2D), etc.

1. IntroducAon

•  On peut disAnguer deux grandes familles de signaux :

•  Les signaux déterministes

-‐ Il est alors possible de prévoir l’allure du signal au moyen d’une équaAon analyAque (une sinusoïde par exemple) et ce pour tout instant t

•  Les signaux aléatoires

-‐ Aucune informaAon a priori. Chaque nouvelle mesure du signal donne un enregistrement diﬀérent dans le

(3)

1. IntroducAon

aléatoires 5

•  Les signaux déterministes

1. IntroducAon

•  Les signaux aléatoires

C’est à cette catégorie de signaux que nous allons nous intéresser

(4)

•  IntroducAon

•  Signaux aléatoires et rappels

Plan

aléatoires 7

2. S.A. et rappels

•  Déﬁni.on

•  Signal aléatoire : Un signal est dit aléatoire lorsqu’un enregistrement ne peut être prévu même avec un erreur raisonnable

•  Réalisa5on : Pour ce type de signal, un

enregistrement unique x

_i

(t) pour une expérience

donnée représente une réalisaAon

(5)

2. S.A. et rappels

aléatoires 9

•  Déﬁni.on

•  Ensemble de réalisa5ons

En théorie, pour connaître x(t), il faut connaître toutes les réalisations possibles

2. S.A. et rappels

•  Nota.on (temps con.nu)

•  Un signal aléatoire peut donc s’écrire comme une foncAon x à deux variables :

X t,

(

ω

)

réalisation aléatoire temps

•  A t fixé, la fonction X est une variable aléatoire

•  A ω fixé, la fonction X est un signal temporel (on parle de trajectoire)

•  Si les deux paramètres sont fixés, X est un réel

(6)

2. S.A. et rappels

aléatoires 11

•  Nota.on (temps discret)

•  Un signal aléatoire peut donc s’écrire comme une foncAon x à deux variables :

X n,ω

( )

réalisation aléatoire échantillon

•  A n fixé, la fonction X est une variable aléatoire

•  A ω fixé, la fonction X est un signal temporel (on parle de trajectoire)

•  Si les deux paramètres sont fixés, X est un réel

2. S.A. et rappels

•  Exemples

•  Cours de la bourse

•  EvoluAon de la température maximale sur l’année dans une ville donnée

•  Les bruits d’acquisiAons

•  …

(7)

2. S.A. et rappels

aléatoires 13

•  Rappels de probabilités

•  Soit Ω l’ensemble de toutes les réalisaAons possibles associés à une expérience

•  Soit A un ensemble d’évènements inclus dans Ω.

La probabilité d’appariAon de A est déﬁnie par

P

( )

A ⁼^lim_n→∞^n(A) n

Nbre d’expériences réalisées

Nbre de fois ou

l’événement A s’est réalisé

Rq: il faut que la limite existe

2. S.A. et rappels

•  Axiomes de probabilité

•  Axiome 1

•  Axiome 2 : Pour A et B inclus dans Ω,

0≤P A

( )

^≤¹

P A

(

∪B

)

⁼^{P A}

( )

⁺^{P B}

( )

⁻^{P A∩}

(

^B

)

P

( )

Ω ⁼^1, ^P(∅)⁼⁰

(8)

2. S.A. et rappels

aléatoires 15

•  Variable aléatoire

•  Déﬁni.on

-‐ Il s’agit donc d’une foncAon X(ω) dont la valeur est déterminée par le résultat ω d’une expérience

aléatoire dans un ensemble d’évènements possible Ω

2. S.A. et rappels

•  Variable aléatoire

•  Déﬁni.on

-‐ Il s’agit donc d’une foncAon X dont la valeur est déterminée par le résultat ω d’une expérience

aléatoire dans un ensemble d’évènements possible Ω

•  Exemple

-‐ Un dé à 6 faces : l’événement aléatoire est l’appariAon d’une face, la variable aléatoire est l’enAer associé à chaque face (de 1 à 6… généralement J)

(9)

2. S.A. et rappels

aléatoires 17

•  Fonc.on de répar..on

•  Déﬁni.on

-‐ La foncAon de réparAAon F_X(x) d’une variable aléatoire X est déﬁnie comme la probabilité que X soit inférieure ou égale à x.

•  Nota.on

F_X

( )

x ⁼^{P X}

(

^≤^x

)

2. S.A. et rappels

•  Densité de probabilité (d.d.p)

•  Déﬁni.on

-‐ La densité de probabilité de x se déﬁnit alors comme la dérivée première de la foncAon de réparAAon par rapport à x

•  Nota.on

p x

( )

⁼ ^dF^X

( )

^x

dx

(10)

2. S.A. et rappels

aléatoires 19

•  Densité de probabilité (d.d.p)

•  Exemple 1 : ddp uniforme

p x( )⁼

1

a−b si x∈[a,b]

O ailleurs

#

$%

&%

2. S.A. et rappels

•  Densité de probabilité (d.d.p)

•  Exemple 2 : ddp normale (gaussienne)

p x( )⁼ ¹

σ 2π^e

−(x−m)² 2σ²

Moyenne

Ecart-type

(11)

2. S.A. et rappels

aléatoires 21

•  Signal aléatoire : Exemple

•  Un récepteur reçoit un signal y tel que : y(t ) = 2sin(2 π t ) + b(t )

Partie déterministe

Bruit d’acquisition

(aléatoire)

2. S.A. et rappels

•  Exemple d’une réalisa.on

y(t)=2sin(2πt)+b(t) b(t) suit ici une

loi uniforme

(12)

2. S.A. et rappels

aléatoires 23

•  Exemple d’applica.on

y(t)=2sin(2πt)+b(t)

b(t) suit ici une loi normale

2. S.A. et rappels

•  Densité de probabilité jointe

•  Dans le cas d’ un s.a., on est amené à considérer

un ensemble de variables aléatoires dans la

mesure où à chaque instant t est associé une v.a.

(13)

2. S.A. et rappels

aléatoires 25

•  Densité de probabilité jointe

•  Déﬁni.on et nota.on

-‐ Soit X et Y deux variables aléatoires alors on déﬁnit la foncAon de réparAAon jointe comme étant:

-‐ et la ddp jointe associée est donnée par p(x,y)=∂²F(x,y)

∂x∂y F x,

(

y

)

⁼^{P X}

(

^≤^x,Y ^≤^y

)

2. S.A. et rappels

•  Densité de probabilité jointe

•  Propriétés

-‐ Soit X et Y deux variables aléatoires de ddp jointe p(x,y) alors :

Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque peut-être de mémoire pour ouvrir l'image ou l'image est endommagée. Redémarrez l'ordinateur, puis ouvrez à nouveau le fichier. Si le x rouge est toujours affiché, vous devrez peut-être supprimer l'image avant de la réinsérer.

(14)

2. S.A. et rappels

aléatoires 27

•  Densité de probabilité condi.onnelle

•  Déﬁni.on

-‐ Connaissant la ddp d’une variable, qu’elle est la loi de probabilité de l’autre ?

•  Nota5on

p x

(

|y

)

⁼ ^{p x,}

(

^y

)

p y

( )

Se lit, « la probabilité de x, sachant y »

2. S.A. et rappels

•  Densité de probabilité condi.onnelle

•  Déﬁni.on

•  Nota5on (de même)

p y

(

|x

)

⁼ ^{p y,}

(

^x

)

p x

( )

(15)

2. S.A. et rappels

aléatoires 29

•  Densité de probabilité condi.onnelle

•  Déﬁni.on

•  Théorème de Bayes

p x

(

|y

)

⁼ ^{p y}

(

^|^x

)

^{p x}

( )

p y

( )

•  IntroducAon

•  Signaux aléatoires et rappels

•  CaractérisaAon des v.a.

Plan

(16)

3. CaractérisaAon des v.a.

aléatoires 31

•  Moments d’une variable aléatoire

•  En pra.que

-‐ La connaissance de la ddp n’est pas toujours disponible.

-‐ On introduit alors la noAon de moments d’une variable aléatoire

-‐ Ils apportent des informaAons parAelles mais souvent intéressantes

3. CaractérisaAon des v.a.

•  Moments d’une variable aléatoire

•  Déﬁni.on et nota.on

-‐ Le moment g(x) d’une variable aléatoire est donné par l’espérance :

E g(

[

x)

]

⁼ ^g(^x)^p(x⁾^dx

−∞

+∞

∫

(17)

3. CaractérisaAon des v.a.

aléatoires 33

•  Moments d’une variable aléatoire

•  Déﬁni.on et nota.on

-‐ PraAquement, on prendra très souvent g(x)=x^m telle que

-‐ On parle alors de moment d’ordre m E X!" #$^m = x^mp(x)dx

−∞

+∞

∫

3. CaractérisaAon des v.a.

•  Moments d’une variable aléatoire

•  Moment d’ordre 1 et 2

-‐ Le moment d’ordre 1 est aussi appelé moyenne

-‐ Ce terme provient sans doute de l'uAlité des premières v.a. dans les calculs staAsAques sur les gains des jeux de hasard. L’espérance du gain correspond alors à la moyenne des gains au cours de nombreuses parAes.

µ_X =E X

[ ]

⁼ ^xp(^x)^dx

−∞

+∞

∫

(18)

3. CaractérisaAon des v.a.

aléatoires 35

•  Moments d’une variable aléatoire

•  Moment d’ordre 1 et 2

-‐ Le moment d’ordre 1 est aussi appelé moyenne

-‐ Le moment d’ordre 2 centré est aussi appelé variance µ_X =E X

[ ]

⁼ ^xp(^x)^dx

−∞

+∞

∫

σ²_X =E X-^!_"

(

µ_X

)

²^#_$⁼

(

^x⁻^µ^X

)

² ^p(x⁾^dx

−∞

+∞

∫

3. CaractérisaAon des v.a.

•  Moments d’une variable aléatoire

•  Moment d’ordre 1 et 2

-‐ Le moment d’ordre 2 est aussi appelé variance

-‐ Rq : L’écart-‐type se déﬁnit comme étant σ²_X =E X!" #$−² E X

[ ]

²

σ_X = E X!" #$−² E X

[ ]

²

(19)

3. CaractérisaAon des v.a.

aléatoires 37

•  Moments d’une variable aléatoire

•  Exemple

-‐ Pour une ddp correspondant à la loi normale, montrer que le moment d’ordre 1 est la moyenne m, et le moment d’ordre 2 la variance σ.

p x

( )

⁼ ¹

σ 2π ^e

−(x−m)² 2σ²

3. CaractérisaAon des v.a.

•  Corréla.on et Covariance

•  Moments d’une loi jointe

•  Corréla.on

-‐ Il s’agit du moment d’ordre 1 de la loi conjointe p(x,y) E g(x,

[

y)

]

⁼ ^g(^x,^y)^p(x,^y)^{dx dy}

−∞

+∞

∫

−∞

+∞

∫

R_XY = xyp(x,y)dx dy

−∞

+∞

∫

−∞

+∞

∫

(20)

3. CaractérisaAon des v.a.

aléatoires 39

•  Corréla.on et covariance

•  Covariance

-‐ La covariance permet de caractériser l’interdépendance de 2 variables aléatoires -‐ Il s’agit de l’écart-‐type de la loi conjointe p(x,y)

C_XY =σ_XY =E X"#

(

−µ_X

) (

^Y⁻^µ^Y

)

$%

C_XY =

(

x−µ_X

) (

^y⁻^µ^Y

)

^p(^x,^y)^{dx dy}

−∞

+∞

∫

−∞

+∞

∫

3. CaractérisaAon des v.a.

•  Corréla.on et covariance

•  Coeﬃcient de corréla.on linéaire

-‐ Il s’agit d’une « quanAﬁcaAon » de l’interdépendance de 2 v.a.

r

_XY

= C

_XY

σ

_X

σ

_Y

∈ −1,1 [ ]

(21)

3. CaractérisaAon des v.a.

aléatoires 41

•  Corréla.on et covariance

•  Propriété 1 : indépendance

-‐ Deux v.a. indépendantes sont non corrélées

p x,

(

y

)

⁼ ^{p x}

( )

^{p y}

( )

R_XY =µ_Xµ_Y

C_XY =0⇔r_XY =0

3. CaractérisaAon des v.a.

•  Corréla.on et covariance

•  Propriété 2 : dépendance

-‐ Deux v.a. corrélées sont dépendantes

-‐ Le coeﬃcient de corrélaAon permet alors de mesurer le degré de dépendance linéaire entre les deux v.a.

r_XY =1, X et Y sont proportionnels et varient dans le même sens r_XY =−1, X et Y sont proportionnels et varient dans le sens opposé

(22)

3. CaractérisaAon des v.a.

aléatoires 43

•  Corréla.on et covariance

•  Illustra.on

3. CaractérisaAon des v.a.

•  Corréla.on et covariance

•  Exercice rapide

-‐ Pour deux v.a. X et Y de ddp de type loi normale, montrer qu’il y a équivalence entre indépendance et corrélaAon nulle

(23)

•  IntroducAon

•  Signaux aléatoires et rappels

•  CaractérisaAon des v.a.

•  CaractérisaAon des s.a.

Plan

aléatoires 45

4. CaractérisaAon des s.a.

•  Probléma.que

•  Un signal aléatoire, c’est donc

-‐ Une foncAon bidimensionnelle dépendant du temps et d’une variable aléatoire. On la notera X(t,ω)

•  Ques.on

-‐ Comment caractériser un signal dont la valeur à chaque instant est une variable aléatoire et dont on ne connaît pas la loi ?

(24)

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 47

•  Probléma.que

•  Exemple de 2 jets consécu.fs d’un dé à 6 faces

-‐ Le résultat est une paire de valeurs enAères (entre 1 et 6 -‐ Le « signal » (ou processus dans ce cas) décrit est un

vecteur de 2 variables aléatoires.

-‐ Le domaine temporelle du processus se réduit ici à T={0,1} (temps discret)

-‐ Le vecteur (X(1,ω), X(2,ω)) peut prendre 6*6 valeurs possibles

4. CaractérisaAon des s.a.

•  Probléma.que

•  Exemple de 2 jets consécu.fs d’un dé à 6 faces

-‐ Le processus aléatoire décrit est donc la foncAon :

-‐ Une réalisaAon i du processus s’écrira X: T×Ω→

{

1, 2, 3, 4, 5, 6

}

n,ω→X n,

(

ω

)

#

$%

&%

X

(

1,ωi

)

^,^X

(

^2,^ωⁱ

)

( )

(25)

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 49

•  ^Idée

4. CaractérisaAon des s.a.

•  ^Idée

•  Comparer 2 réalisaAons à 2 instants t

₁

et t

₂

du

processus.

(26)

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 51

•  Nota.ons et déﬁni.ons

•  On considère un signal aléatoire X(t,ω).

-‐ X(t,ω) est donc un ensemble de M signaux temporels {x(t)} correspondant chacun à la réalisaKon de N v.a.

sur l’axe temporel

-‐ Pour t donné_i, X(t,ω) est un ensemble de M réalisa5ons d’une même v.a. X_t(vecteurs de v.a.) à valeurs

complexes dans le cas général

-‐ Pour ω=ω_j, j=1..M, x est une réalisaKon du processus associé au N v.a.

4. CaractérisaAon des s.a.

•  Nota.ons et déﬁni.ons

•  A t

_i

donné :

X t

(

_i,ω

)

⁼

(

^Xⁱ

( )

^ω¹ ^,^Xⁱ

( )

^ω² ^,…,^Xⁱ

(

^ω^M

) )

E X t!"

(

_i,ω

)

#$=

(

E X!" _i

( )

ω₁ #$,E X!" _i

( )

ω₂ #$,…,E X!" _i

(

ω_M

)

#$

)

(27)

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 53

•  Nota.ons et déﬁni.ons

•  A t

_i

donné : opérateur « dague »

•  Si les v.a. sont à valeurs réelles, alors l’opérateur

« dague » est équivalent à l’opérateur

« transpose »

X t

(

_i,ω

)

^*⁼

(

^Xⁱ

( )

^ω¹ ^,^Xⁱ

( )

^ω² ^,…,^Xⁱ

(

^ω^M

) )

^T

4. CaractérisaAon des s.a.

•  Nota.ons et déﬁni.ons

•  Densité de probabilité d’un s.a.

-‐ La densité de probabilité du s.a. est la densité de probabilité jointe associée à l’ensemble des N variables aléatoires telle que

p(x₁,x₂,...,x_N)=∂^NF(x₁,x₂,...,x_N)

∂x₁∂x₂...∂x_N

F x

(

₁,x₂,...,x_N

)

⁼^P

(

^X¹^≤^x¹^{, X}² ^≤^x²^{,..., X}^N ^≤^x^N

)

avec

(28)

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 55

•  Nota.ons et déﬁni.ons

•  Moyenne

-‐ On déﬁnit alors la moyenne μ_i du s.a. à un instant t_i par le moment d’ordre 1 de la variable aléatoire X_i. -‐ En eﬀectuant l’ensemble des moyennes pour tout t, on

déﬁnit la moyenne pour tout instant t

µ (t ) = E X [ (t, ω ) ]

4. CaractérisaAon des s.a.

•  Nota.ons et déﬁni.ons

•  Moyenne

µ (t ) = E X [ (t, ω ) ]

(29)

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 57

•  Propriétés

•  Déﬁni.on : s.a. centré

-‐ Un s.a. est dit centré si

-‐ Exemple : montrer que pour un s.a. de type

avec b un bruit de mesure centré, la moyenne peut s’interpréter comme la parAe déterministe de X.

µ (t ) = 0, ∀t

X(t,ω)=2sin(2πt)+b(t,ω)

4. CaractérisaAon des s.a.

•  Nota.ons

•  Covariance

-‐ On déﬁnit la covariance du s.a. entre deux instants t₁ et t₂ par

C_X

(

t₂,t₁

)

⁼^{E X}^"_#$

(

^(t²^,ω⁾⁻^µ(t²⁾

) (

^{X t}

(

¹^,^ω

)

⁻^µ^(t¹⁾

)

^*^%_&'

processus centré que l’on notera X_c(t,ω)

(30)

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 59

•  Nota.ons

•  Covariance

-‐  Pour simpliﬁer l’écriture, on peut introduire le décalage temporel τ tel que

C_X

(

t,t−τ

)

⁼^{E X}^"_# ^c

(

^t,^ω

)

^X^c

(

^t⁻^τ^,^ω

)

^*^$_%

4. CaractérisaAon des s.a.

•  Nota.ons

•  Covariance

Réalisation d’un bruit x(n+5) fonction de x(n)

(31)

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 61

•  Nota.ons

•  Covariance

S.a. à partie déterministe

Covariance (n et n+5)

x(n+5) fonction de x(n)

4. CaractérisaAon des s.a.

•  Nota.ons

•  Intercovariance

-‐ Pour comparer 2 s.a., X et Y, entre eux, on uKlise l’intercovariance telle que

-‐ On mesure la ressemblance entre deux instants diﬀérents des deux s.a.

C_XY

(

t,t−τ

)

⁼^{E X}^"_# ^c

(

^t,^ω

)

^Y^c

(

^t⁻^τ^,^ω

)

^*^$_%

(32)

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 63

•  Sta.onnarité

•  DéﬁniAon

-‐ La staAonnarité d’un processus aléatoire traduit une invariance dans le temps des propriétés staAsAques du processus

-‐ On disAnguera la staAonnarité stricte de la staAonnarité au sens large (ordre 1 et 2)

4. CaractérisaAon des s.a.

•  Sta.onnarité

•  StaAonnarité stricte

-‐ Un s.a. est strictement staAonnaire si les densités de probabilités conjointes de toutes les v.a. du s.a. sont invariantes dans le temps

p_t(x₁,x₂,...,x_N)= p_t+_τ(x₁,x₂,...,x_N)

Rq : Difficile à vérifier en pratique.

(33)

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 65

•  Sta.onnarité

•  StaAonnarité d’ordre 1

-‐ Un s.a. est staAonnaire au premier ordre si

-‐ Exemple : Montrer rapidement qu’un s.a. centré est aussi staAonnaire d’ordre 1

µ (t ) = E X [ (t, ω ) ] ⁼ ^µ

^X

⁼ ^cte

4. CaractérisaAon des s.a.

•  Sta.onnarité

•  StaAonnarité d’ordre 2

-‐ Un s.a. est staAonnaire au deuxième ordre si

-‐ Autrement dit, la covariance en dépend pas de t mais uniquement de τ

C

_X

( t, t + τ ) ⁼ ^C

^X

( ^0, ^τ )

(34)

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 67

•  Sta.onnarité

•  Remarque importante

-‐ Il n’existe pas a priori de lien entre la staAonnarité au 1^er et au 2^e ordre

-‐ Autrement dit, un s.a. peut-‐être staKonnaire au 2^e ordre sans l’être au 1er

4. CaractérisaAon des s.a.

•  Sta.onnarité

•  AutocorrélaAon : déﬁniAon

-‐ On considère un s.a. staAonnaire d’ordre 2. Alors

-‐ avec R_xla fonc.on d’autocorréla.on du s.a. (aussi notée γ_X)

C

_X

( t, t + τ ) ⁼ ^C

^X

( ^0, ^τ ) ⁼ ^R

^X

( ) ^τ

(35)

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 69

•  Sta.onnarité

•  AutocorrélaAon : propriétés

-‐ La foncAon d’autocorrélaAon d’un s.a. centré, peut s’interpréter comme un produit scalaire

-‐ R_Xest dit à symétrie hermi.enne posi.ve si dans le cas d’un staAonnarité d’ordre 2

R_X

( )

τ ⁼^{E X}_"# ^t^X^*^t−τ_$%⁼ ^X^t^,^X^t−τ

R_X

( )

τ ^≥⁰ R_X

( )

τ ⁼^R^X^*

( )

⁻^τ ^et

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 70

•  Sta.onnarité

•  AutocorrélaAon :

-‐ Ques5on : La connaissance de la foncAon

d’autocorrélaAon permet-‐elle de reconsAtuer ou de caractériser enAèrement un signal ?

-‐ Théorème : Etant donné R_Xune foncAon à symétrie hermiAenne de type posiAf, il existe un processus gaussien, staAonnaire et centré dont R_X est la foncAon d’autocorrélaAon

(36)

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 71

•  Sta.onnarité

•  StaAonnarité mutuelle

-‐ Deux s.a. sont dits mutuellement sta.onnaires si leur foncAon d’intercovariance ne dépend que de τ -‐ On déﬁnit alors l’intercorréla5on

R_XY

( )

τ ⁼^C^XY

(

^t,^t⁻^τ

)

4. CaractérisaAon des s.a.

•  Ergodicité

•  DéﬁniAon

-‐ Dans la praAque, on ne dispose souvent que d’une réalisaAon d’un phénomène aléatoire. Il devient donc diﬃcile de caractériser staAsAquement le signal aléatoire.

-‐ L’hypothèse d’ergodicité consiste à admeOre que l’évolu5on d’une trajectoire du s.a. apporte la même informa5on que l’ensemble des trajectoires

(37)

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 73

•  Ergodicité

•  DéﬁniAon

-‐ Si un système est sta5onnaire et ergodique d’ordre 2 alors :

µ_X =lim

T→∞

1

2T X(t)dt

−T +T

∫

R_X =lim

T→∞

1

2T X(t)

−T +T

∫

^X(t⁺^τ^)dt

4. CaractérisaAon des s.a.

•  Ergodicité

•  Exemple

Fonction journalière du résultat d’un jet de dé effectué toutes les minutes

Ergodique

X(t,ω_i)=ω_i où ω_i suit une loi uniforme entre 0 et 1

Non-ergodique

(38)

4. CaractérisaAon des s.a.

aléatoires 75

•  Ergodicité

•  Remarques

-‐ StaKonnarité n’implique pas ergodicité -‐ Ergodicité n’implique pas staAonnarité -‐ L’ergodicité simpliﬁe l’étude des s.a.

-‐ Ergodicité = l’histogramme est une bonne approximaAon de la ddp.

4. CaractérisaAon des s.a.

•  En résumé

(39)

•  IntroducAon

•  Signaux aléatoires et rappels

•  CaractérisaAon des v.a.

•  CaractérisaAon des s.a.

•  Aspect fréquenAel des s.a.

Plan

aléatoires 77

5. Aspects fréquenAels des s.a.

•  Cas des signaux aléatoire à temps continu

•  Hypothèse de travail

Tous les signaux sont supposés aléatoires stationnaires, c’est-à-dire que leurs propriétés statistiques sont

invariantes par translation temporelle.

(40)

5. Aspects fréquenAels des s.a.

aléatoires 79

•  Densité spectrale de puissance

•  Transformée de Fourrier

 Un signal aléatoire ne possède pas de Transformée de Fourrier

 La ques5on est donc de savoir si on peut tout de même caractériser la répar55on de la puissance d'un signal suivant les fréquences.

 En par.culier pour caractériser les bruits.

5. Aspects fréquenAels des s.a.

•  Densité spectrale de puissance

•  Déﬁni.on

 Pour un signal aléatoire X, on déﬁnit la densité

spectrale de puissance S_XX (foncAon de la fréquence f) par

^S^XX

( )

^f ⁼^lim_T_→∞ ¹

2T E X^#_$% _T

( )

f ²^&_'(

X_T(f) est la TF du signal aléatoire restreint à l’intervalle [-T,T]

(41)

5. Aspects fréquenAels des s.a

aléatoires 81

•  Densité spectrale de puissance

•  Théorème de Wiener-‐Khintchin

 Si le s.a. est staAonnaire au second ordre, alors la DSP s’obAent comme la TF de la foncAon d’autocorrélaAon

^S^XX

( )

^f ⁼ ^R^X

( )

^τ ^e⁻^j^2π^f^τ^d^τ

−∞

+∞

∫

Rq: Si en plus le s.a. est ergodique, R_X peut s’obtenir à partir d’une réalisation

5. Aspects fréquenAels des s.a.

•  Densité spectrale de puissance

•  Exemples

Réalisation d’un bruit Covariance (n et n+5)

(42)

5. Aspects fréquenAels des s.a

aléatoires 83

•  Densité spectrale de puissance

•  Exemples

Réalisation d’un s.a. avec partie déterministe Covariance (n et n+5)

DSP

5. Aspects fréquenAels des s.a

•  Densité spectrale de puissance

•  En résumé

(43)

5. Aspects fréquenAels des s.a

aléatoires 85

•  Densité spectrale de puissance

•  Quelques signaux par.culiers

Réalisation d’un bruit blanc de variance σ₀

5. Aspects fréquenAels des s.a

•  Densité spectrale de puissance

•  Quelques signaux par.culiers

Bruit blanc de variance σ₀

(44)

5. Aspects fréquenAels des s.a

aléatoires 87

•  Densité spectrale de puissance

•  Quelques signaux par.culiers

Les s.a. ne comportant aucune parAe périodique sont à spectre purement conAnu

5. Aspects fréquenAels des s.a

•  Densité spectrale de puissance

•  Quelques signaux par.culiers

Bruit corrélé

(45)

5. Aspects fréquenAels des s.a

aléatoires 89

•  Densité spectrale de puissance

•  Quelques signaux par.culiers (périodiques)

5. Aspects fréquenAels des s.a

•  Densité spectrale de puissance

•  Quelques signaux par.culiers

Les signaux purement périodiques possèdent des

DSP dites de raies

(46)

5. Aspects fréquenAels des s.a

aléatoires 91

•  Densité spectrale de puissance

•  Quelques signaux par.culiers

Les signaux mixtes, comportant une parAe périodique et une parAe non périodique, ont des spectres comportant à la fois une parAe conAnue

et une parAe discrète

5. Aspects fréquenAels des s.a

•  Densité spectrale de puissance

•  Quelques signaux par.culiers

(47)

5. Aspects fréquenAels des s.a

aléatoires 93

•  Densité spectrale de puissance

•  Pour les signaux échan.llonnés

L’échantillonnage provoque quelques légères différences par rapport à la version continue (fonction de fenêtrage), mais la TF et la TFD étant homogène, on retrouve les résultats déjà vus en continu

5. Aspects fréquenAels des s.a

•  Densité spectrale de puissance

Spectre de densité spectrale d'une candidate géante rouge, montrant des modes d'oscillations régulièrement espacés en fréquence.

(48)

5. Aspects fréquenAels des s.a

aléatoires 95

•  Densité spectrale de puissance

•  Filtrage, Quadra.on, Intégra.on (FQI)

-‐ Méthode ancienne uAlisant

•  Une baperie de ﬁltres sélecAfs

•  Un élévaAon au carré pour l’esAmaAon de la puissance instantanée

•  Une intégraAon pour le calcul de la puissance moyenne autour de la fréquence d’étude

Les analyseurs de spectre travaillant jusqu’à plusieurs GHz uAlisent encore cepe approche (Limite des CNA et CAN à ces fréquences)

5. Aspects fréquenAels des s.a

•  Densité spectrale de puissance

•  Corrélogramme (tout type de signaux)

-‐ Directement inspirée du théorème de Wiener-‐Kinchine :

La DSP d’un signal est la TF de sa foncAon de corrélaAon

S ˆ

_X

(k) = TFD { C ˆ

_X

(τ ) }

(49)

5. Aspects fréquenAels des s.a

aléatoires 97

•  Densité spectrale de puissance

•  Périodogramme

-‐ Méthode directe:

La DSP d’un signal échanAllonné est la TFD au carré du signal calculée directement

S ˆ

_X

(k) = I

_N

(k) = 1

N X (k)

²

5. Aspects fréquenAels des s.a

•  Densité spectrale de puissance

•  En pra.que

-‐ Ni l’un ni l’autre ne foncAonne bien… car les esAmateurs de la corrélaAon sont biaisés… (on ne converge vers

l’espérance que si N tend vers l’inﬁni).

(50)

5. Aspects fréquenAels des s.a

aléatoires 99

•  Densité spectrale de puissance

•  En pra.que : Corrélogramme

La DSP d’un signal est la TF de sa foncAon de corrélaAon apodisée (fenêtrée)

Plan Mise à niveau IAR, IMD, ST

Signaux aléatoires

Mise à niveau IAR, IMD, ST

• IntroducAon

Plan

1. IntroducAon

• Les phénomènes dynamiques couramment rencontrés sont généralement mesurés sous forme de l’amplitude d’une grandeur

physique en foncAon du temps

• Exemple : Un signal électrique, une pression, une température, une image (en 2D), etc.

1. IntroducAon

• On peut disAnguer deux grandes familles de signaux :

• Les signaux déterministes

• Les signaux aléatoires

1. IntroducAon

• Les signaux déterministes

1. IntroducAon

• Les signaux aléatoires

• IntroducAon

• Signaux aléatoires et rappels

Plan

2. S.A. et rappels

• Déﬁni.on

• Signal aléatoire : Un signal est dit aléatoire lorsqu’un enregistrement ne peut être prévu même avec un erreur raisonnable

• Réalisa5on : Pour ce type de signal, un

enregistrement unique x

(t) pour une expérience

donnée représente une réalisaAon

2. S.A. et rappels

• Déﬁni.on

• Ensemble de réalisa5ons

2. S.A. et rappels

• Nota.on (temps con.nu)

• Un signal aléatoire peut donc s’écrire comme une foncAon x à deux variables :

(

)

2. S.A. et rappels

• Nota.on (temps discret)

• Un signal aléatoire peut donc s’écrire comme une foncAon x à deux variables :

( )

2. S.A. et rappels

• Exemples

• Cours de la bourse

• EvoluAon de la température maximale sur l’année dans une ville donnée

• Les bruits d’acquisiAons

• …

2. S.A. et rappels

• Rappels de probabilités

• Soit Ω l’ensemble de toutes les réalisaAons possibles associés à une expérience

• Soit A un ensemble d’évènements inclus dans Ω.

La probabilité d’appariAon de A est déﬁnie par

( )

2. S.A. et rappels

• Axiomes de probabilité

• Axiome 1

• Axiome 2 : Pour A et B inclus dans Ω,

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

2. S.A. et rappels

• Variable aléatoire

• Déﬁni.on

2. S.A. et rappels

• Variable aléatoire

• Déﬁni.on

• Exemple

2. S.A. et rappels

• Fonc.on de répar..on

• Déﬁni.on

• Nota.on

( )

(

)

2. S.A. et rappels

• Densité de probabilité (d.d.p)

• Déﬁni.on

•  IntroducAon

•  Les phénomènes dynamiques couramment rencontrés sont généralement mesurés sous forme de l’amplitude d’une grandeur

•  Exemple : Un signal électrique, une pression, une température, une image (en 2D), etc.

•  On peut disAnguer deux grandes familles de signaux :

•  Les signaux déterministes

•  Les signaux aléatoires

•  Les signaux déterministes

•  Les signaux aléatoires

•  IntroducAon

•  Signaux aléatoires et rappels

•  Déﬁni.on

•  Signal aléatoire : Un signal est dit aléatoire lorsqu’un enregistrement ne peut être prévu même avec un erreur raisonnable

•  Réalisa5on : Pour ce type de signal, un

•  Déﬁni.on

•  Ensemble de réalisa5ons

•  Nota.on (temps con.nu)

•  Un signal aléatoire peut donc s’écrire comme une foncAon x à deux variables :

•  Nota.on (temps discret)

•  Un signal aléatoire peut donc s’écrire comme une foncAon x à deux variables :

•  Exemples

•  Cours de la bourse

•  EvoluAon de la température maximale sur l’année dans une ville donnée

•  Les bruits d’acquisiAons

•  …

•  Rappels de probabilités

•  Soit Ω l’ensemble de toutes les réalisaAons possibles associés à une expérience

•  Soit A un ensemble d’évènements inclus dans Ω.

•  Axiomes de probabilité

•  Axiome 1

•  Axiome 2 : Pour A et B inclus dans Ω,

•  Variable aléatoire

•  Déﬁni.on

•  Variable aléatoire

•  Déﬁni.on

•  Exemple

•  Fonc.on de répar..on

•  Déﬁni.on

•  Nota.on

•  Densité de probabilité (d.d.p)

•  Déﬁni.on

•  Nota.on

•  Densité de probabilité (d.d.p)

•  Exemple 1 : ddp uniforme

•  Densité de probabilité (d.d.p)

•  Exemple 2 : ddp normale (gaussienne)

•  Signal aléatoire : Exemple

•  Un récepteur reçoit un signal y tel que : y(t ) = 2sin(2 π t ) + b(t )

•  Exemple d’une réalisa.on

•  Exemple d’applica.on

•  Densité de probabilité jointe

•  Dans le cas d’ un s.a., on est amené à considérer

•  Densité de probabilité jointe

•  Déﬁni.on et nota.on

•  Densité de probabilité jointe

•  Propriétés

•  Densité de probabilité condi.onnelle

•  Déﬁni.on

•  Nota5on

•  Densité de probabilité condi.onnelle

•  Déﬁni.on

•  Nota5on (de même)

•  Densité de probabilité condi.onnelle

•  Déﬁni.on

•  Théorème de Bayes

•  IntroducAon

•  Signaux aléatoires et rappels

•  CaractérisaAon des v.a.

•  Moments d’une variable aléatoire

•  En pra.que

•  Moments d’une variable aléatoire

•  Déﬁni.on et nota.on