1 + 1 = 0 ou comment détecter les erreurs ?

(1)

1 + 1 = 0 ou comment détecter les erreurs ?

Nicolas Billerey et François Martin

Laboratoire de Mathématiques Université Blaise Pascal – Clermont-Ferrand 2

Fête de la science 2015

N. Billerey et F. Martin 1+1=0 ou comment détecter les erreurs ?

(2)

Les chiffres et les lettres Détecter les erreurs Interlude : un tour de prestidigitation D’un mot à l’autre

Le corpsF₂ Les encodages

Sommaire

1 Les chiffres et les lettres

2 Détecter les erreurs

3 D’un mot à l’autre

(3)

Quelques rappels...

nombre pair0 + nombre pair0 = nombre pair0 nombre impair1 + nombre pair0= nombre impair1 nombre impair1 + nombre impair1= nombre pair0

(4)

Quelques rappels...

Nombres pairs ={. . . ,−6,−4,−2,0,2,4,6, . . .}

Nombres impairs ={. . . ,−5,−3,−1,1,3,5, . . .}

nombre pair0 + nombre pair0 = nombre pair0 nombre impair1 + nombre pair0= nombre impair1 nombre impair1 + nombre impair1= nombre pair0

(5)

Quelques rappels...

Nombres pairs ={. . . ,−6,−4,−2,0,2,4,6, . . .}

Nombres impairs ={. . . ,−5,−3,−1,1,3,5, . . .}

(6)

Quelques rappels...

Nombres pairs ={. . . ,−6,−4,−2,0,2,4,6, . . .} Nombres impairs ={. . . ,−5,−3,−1,1,3,5, . . .}

nombre pair

0 + nombre pair0 = nombre pair0 nombre impair1 + nombre pair0= nombre impair1 nombre impair1 + nombre impair1= nombre pair0

(7)

Quelques rappels...

nombre pair

0

+ nombre pair

0

=

nombre pair0 nombre impair1 + nombre pair0= nombre impair1 nombre impair1 + nombre impair1= nombre pair0

(8)

Quelques rappels...

nombre pair

0

+ nombre pair

0

= nombre pair

0 nombre impair1 + nombre pair0= nombre impair1 nombre impair1 + nombre impair1= nombre pair0

(9)

Quelques rappels...

nombre pair

0

+ nombre pair

0

= nombre pair

0

nombre impair

1 + nombre pair0= nombre impair1 nombre impair1 + nombre impair1= nombre pair0

(10)

Quelques rappels...

nombre pair

0

+ nombre pair

0

= nombre pair

0

nombre impair

1

+ nombre pair

0

=

nombre impair1 nombre impair1 + nombre impair1= nombre pair0

(11)

Quelques rappels...

nombre pair

0

+ nombre pair

0

= nombre pair

0

nombre impair

1

+ nombre pair

0

= nombre impair

1 nombre impair1 + nombre impair1= nombre pair0

(12)

Quelques rappels...

nombre pair

0

+ nombre pair

0

= nombre pair

0

nombre impair

1

+ nombre pair

0

= nombre impair

1

nombre impair

1 + nombre impair1= nombre pair0

(13)

Quelques rappels...

nombre pair

0

+ nombre pair

0

= nombre pair

0

nombre impair

1

+ nombre pair

0

= nombre impair

1

nombre impair

1

+ nombre impair

1

=

nombre pair0

(14)

Quelques rappels...

nombre pair

0

+ nombre pair

0

= nombre pair

0

nombre impair

1

+ nombre pair

0

= nombre impair

1

nombre impair

1

+ nombre impair

1

= nombre pair

0

(15)

Quelques rappels...

nombre pair

0 + nombre pair

0

= nombre pair

0

nombre impair

1

+ nombre pair

0

= nombre impair

1

nombre impair

1

+ nombre impair

1

= nombre pair

0

(16)

Quelques rappels...

nombre pair

0 +

nombre pair

0 = nombre pair

0

nombre impair

1

+ nombre pair

0

= nombre impair

1

nombre impair

1

+ nombre impair

1

= nombre pair

0

(17)

Quelques rappels...

nombre pair

0 +

nombre pair

0 =

nombre pair

0 nombre impair

1

+ nombre pair

0

= nombre impair

1

nombre impair

1

+ nombre impair

1

= nombre pair

0

(18)

Quelques rappels...

nombre pair

0 +

nombre pair

0 =

nombre pair

0

nombre impair

1 + nombre pair

0

= nombre impair

1

nombre impair

1

+ nombre impair

1

= nombre pair

0

(19)

Quelques rappels...

nombre pair

0 +

nombre pair

0 =

nombre pair

0

nombre impair

1 +

nombre pair

0= nombre impair

1

nombre impair

1

+ nombre impair

1

= nombre pair

0

(20)

Quelques rappels...

nombre pair

0 +

nombre pair

0 =

nombre pair

0

nombre impair

1 +

nombre pair

0=

nombre impair

1 nombre impair

1

+ nombre impair

1

= nombre pair

0

(21)

Quelques rappels...

nombre pair

0 +

nombre pair

0 =

nombre pair

0

nombre impair

1 +

nombre pair

0=

nombre impair

1

nombre impair

1 + nombre impair

1

= nombre pair

0

(22)

Quelques rappels...

nombre pair

0 +

nombre pair

0 =

nombre pair

0

nombre impair

1 +

nombre pair

0=

nombre impair

1

nombre impair

1 +

nombre impair

1= nombre pair

0

(23)

Quelques rappels...

nombre pair

0 +

nombre pair

0 =

nombre pair

0

nombre impair

1 +

nombre pair

0=

nombre impair

1

nombre impair

1 +

nombre impair

1=

nombre pair

0

(24)

Cherchez l’erreur !

1 + 1 = 0 ? ? ?

(25)

Cherchez l’erreur !

1 + 1 = 0 ? ? ?

(26)

Arithmétique modulo 2

+ 0 1

0

0 1

1

1 0

× 0 1 0

0 0

1

0 1

On note F₂ l’ensemble{0,1}muni de ces deux lois d’addition et de multiplication.

Un élément de l’ensembleF2 s’appelle unbit. Une suite de bits s’appelle unmot (binaire).

(27)

Arithmétique modulo 2

+ 0 1

0 0

1

1 0

× 0 1 0

1

(28)

Arithmétique modulo 2

+ 0 1

0 0 1

1

1 0

× 0 1 0

0 0

1

0 1

(29)

Arithmétique modulo 2

+ 0 1

0 0 1

1 1

0

× 0 1 0

1

(30)

Arithmétique modulo 2

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

× 0 1 0

0 0

1

0 1

(31)

Arithmétique modulo 2

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

× 0 1 0

1

(32)

Arithmétique modulo 2

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

× 0 1

0 0

0

1

0 1

(33)

Arithmétique modulo 2

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

× 0 1

0 0 0

1

(34)

Arithmétique modulo 2

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

× 0 1

0 0 0

1 0

1

(35)

Arithmétique modulo 2

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

× 0 1

0 0 0

1 0 1

(36)

Arithmétique modulo 2

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

× 0 1

0 0 0

1 0 1

(37)

Arithmétique modulo 2

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

× 0 1

0 0 0

1 0 1

Un élément de l’ensembleF2 s’appelle unbit.

(38)

Arithmétique modulo 2

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

× 0 1

0 0 0

1 0 1

Un élément de l’ensembleF2 s’appelle unbit.

Une suite de bits s’appelle unmot (binaire).

(39)

Un intérêt pratique

Les bits forment les briques du langage des ordinateurs :

(40)

Un intérêt pratique

Les bits forment les briques du langage des ordinateurs : 0↔ le circuit est ouvert (le courant ne passe pas)

1↔ le circuit est fermé (le courant passe)

(41)

Un intérêt pratique

Les bits forment les briques du langage des ordinateurs : 0↔ le circuit est ouvert (le courant ne passe pas) 1↔ le circuit est fermé (le courant passe)

(42)

Un exemple d’encodage : ASCII

On dispose de 128 caractères (caractères latins, chiffres, signes de ponctuation, etc) :

Chaque caractère est remplacé par un mot de 7 bits.

Par exemple, a est codé par 1100001, et 1111000 correspond à x.

(43)

Un exemple d’encodage : ASCII

à x.

(44)

Un exemple d’encodage : ASCII

(45)

Un exemple d’encodage : ASCII

(46)

On sait coder/décoder

Tout va bien !

Sauf si :

le CD est rayé

la connexion est de mauvaise qualité il y a du bruit, de l’interférence.

Si on ne fait rien l’information (texte, voix, son, image) qui arrive à son destinataire est de mauvaise qualité, voire inintelligible.

(47)

On sait coder/décoder

Tout va bien ! Sauf si :

le CD est rayé

(48)

On sait coder/décoder

Tout va bien ! Sauf si :

le CD est rayé

(49)

On sait coder/décoder

Tout va bien ! Sauf si : le CD est rayé

(50)

On sait coder/décoder

la connexion est de mauvaise qualité

il y a du bruit, de l’interférence.

(51)

On sait coder/décoder

(52)

On sait coder/décoder

(53)

Sommaire

(54)

Code de parité

Les codes détecteurs dans la vie courante

Comment faire ?

Idée générale : il faut ajouter de la redondance mais pas trop !

(55)

Code de parité

Comment faire ?

Idée générale : il faut ajouter de la redondance

(56)

Code de parité

Comment faire ?

Idée générale : il faut ajouter de la redondance mais pas trop !

(57)

Code de parité

Code de parité : définition

mot de 7 bits mot de 8 bits (=octet).

1 si le nombre de 1 du mot de 7 bits est impair Maintenant a est codé par 11000011et x par 11110000

(58)

Code de parité

Code de parité : définition

Le 8-ième bit, appelé bit de parité, vaut

0 si le nombre de 1 du mot de 7 bits est pair 1 si le nombre de 1 du mot de 7 bits est impair

Maintenant a est codé par 11000011et x par 11110000

(59)

Code de parité : définition

Le 8-ième bit, appelé bit de parité, vaut

0 si le nombre de 1 du mot de 7 bits est pair 1 si le nombre de 1 du mot de 7 bits est impair Maintenant a est codé par 11000011et x par 11110000

(60)

Code de parité

Code de parité et addition

Définition

On appelle code de parité l’ensemble des mots de 8 bits de la forme b₁b₂b₃b₄b₅b₆b₇(b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆+b₇)

oùb_i =0 ou 1 et l’addition est celle deF₂.

01101010 est-il un élément du code de parité ?

OUI !

0000111

1

est un élément du code de parité.

(61)

Code de parité

Code de parité et addition

Définition

01101010 est-il un élément du code de parité ? 0000111 est un élément du code de parité.

(62)

Code de parité

Code de parité et addition

Définition

01101010 est-il un élément du code de parité ?

OUI ! 0000111

1

(63)

Code de parité

Code de parité et addition

Définition

01101010 est-il un élément du code de parité ? OUI !

0000111 est un élément du code de parité.

(64)

Code de parité

Code de parité et addition

Définition

01101010 est-il un élément du code de parité ? OUI ! 0000111

1

(65)

Code de parité et addition

Définition

01101010 est-il un élément du code de parité ? OUI ! 00001111 est un élément du code de parité.

(66)

Code de parité

Code de parité et détection

Si on change 1 bit dans un octet du code de parité, le résultat n’est plus dans le code de parité.

Le code de parité détecte donc 1 erreur, mais il ne la corrige pas !

On parle de code détecteur.

(67)

Code de parité

Code de parité et détection

(68)

Code de parité

Code de parité et détection

(69)

Code de parité et détection

(70)

Code de parité

Le numéro INSEE

Les deux derniers chiffres du numéro INSEE correspondent à la clé.

La clé est définie par

97−(le reste de la division euclidienne deN par 97), où N est le nombre formé des 13 premiers chiffres.

(71)

Code de parité

Le numéro INSEE

où N est le nombre formé des 13 premiers chiffres.

(72)

Code de parité

Le numéro INSEE

La clé est définie par

97−(le reste de la division euclidienne deN par 97), où N est le nombre formé des 13 premiers chiffres.

(73)

Les numéros ISBN

Pour le dernier chiffre - la clé - on calcule la sommeS des douze premiers pondérée par les coefficients 1,3,1,3, etc.

Si S est divisible par 10, la clé est 0.

Sinon, c’est

10−(le reste de la division euclidienne deS par 10)

(74)

Code de parité

Peut-on mieux faire ?

Comment corriger les erreurs trouvées ?

(75)

Choisir un entier entre 0 et 15.

1 L’entier choisi est-il inférieur ou égal à 7 ?

2 L’entier choisi est-il dans l’ensemble{0,1,2,3,8,9,10,11}?

4 L’entier choisi est-il pair ?

(76)

Répondre aux sept questions suivantes. On a le droit de mentir (au plus) UNE fois. À la fin je révèle l’entier choisi (et

l’éventuel mensonge !)

(77)

Répondre aux sept questions suivantes. On a le droit de mentir (au plus) UNE fois. À la fin je révèle l’entier choisi (et

l’éventuel mensonge !)

(78)

Correction et distance Détecter et corriger

Sommaire

(79)

triqvent

2

xxqqqqqqqqqqq ₃

&&

MM MM MM MM MM

trouvent prouvent

(80)

triqvent

2

xxqqqqqqqqqqq ₃

&&

MM MM MM MM MM

trouvent prouvent

On corrige au plus proche !

(81)

Une distance entre les mots binaires ?

Définition intuitive :

Par exemple, on ad(1001001,0001000) =2. Propriétés élémentaires

d(m,m) =0 et d(m,m⁰) =d(m⁰,m) quels que soientm et m⁰.

(82)

Une distance entre les mots binaires ?

d(m,m⁰) =]{bits différents entre met m⁰}

Par exemple, on ad(1001001,0001000) =2. Propriétés élémentaires

(83)

Une distance entre les mots binaires ?

Par exemple, on ad(1001001,0001000) =

(84)

Une distance entre les mots binaires ?

Par exemple, on ad(1001001,0001000) =2.

Propriétés élémentaires

(85)

Une distance entre les mots binaires ?

Par exemple, on ad(1001001,0001000) =2.

Propriétés élémentaires

(86)

Distance et poids

ω(m) =]{1 apparaissant dans l’écriture du mot m}

s’appelle lepoids du motm. Par exemple, on a

ω(1001001) =3 et ω(0001000) =1.

(87)

Distance et poids

s’appelle lepoids du motm.

(88)

Distance et poids

Par exemple, on a

ω(1001001) =

3 et ω(0001000) =1.

(89)

Distance et poids

Par exemple, on a

ω(1001001) =3

(90)

Distance et poids

Par exemple, on a

ω(1001001) =3 et ω(0001000) =

1.

(91)

Distance et poids

Par exemple, on a

ω(1001001) =3 et ω(0001000) =1.

(92)

Poids et somme

Définition

On appelle somme des motsm etm⁰ et on note m+m⁰ le mot (de même longueur quemet m⁰) dont chaque bit est la somme des bits correspondants dem etm⁰.

1 0 0 1 0 0 1

+ 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 1 On aω(m+m⁰)≤ω(m) +ω(m⁰).

(93)

Poids et somme

Définition

1 0 0 1 0 0 1

+ 0 0 0 1 0 0 0

(94)

Poids et somme

Définition

1 0 0 1 0 0 1

+ 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 1

On aω(m+m⁰)≤ω(m) +ω(m⁰).

(95)

Poids et somme

Définition

1 0 0 1 0 0 1

+ 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 1 On aω(m+m⁰)≤ω(m) +ω(m⁰).