UNIVERSITE FERHAT ABBAS DE SETIF FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR
DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE
Thèse
Présentée pour l’Obtention du Diplôme de Doctorat En Sciences en Electronique
Par
MOKEDDEM Diab
Thème
Contrôle Flou des Processus Biotechnologiques à Base d’Algorithmes Génétiques
Soutenu le : 11 juillet 2010 Devant le Jury :
MERZOUKI Abdelaziz Prof à l’Université de Sétif Président KHELLAF Abdelhafid Prof à l’Université de Sétif Rapporteur HAMMOUCHE Abderezak Prof à l’Université de Sétif Co-Rapporteur CHIKOUCHE Djamel Prof à l’Université de M’Sila Examinateur BELARBI Khaled Prof à l’Université de Constantine Examinateur BOUKABOU Abdelkrim Mc à l’université de Jijel Examinateur
J’exprime mes profonds remerciements à mes deux rapporteurs de thèse, Professeur Khellaf Abdelhafid et Professeur Hammouche Abderezak pour leur aide inestimable, leur patience et leurs encouragements tout au long de ce travail.
Leurs compétences ont été un atout indéniable à la réussite de ces travaux et m’ont permis d’apprendre énormément durant ces années de collaboration.
Je suis très reconnaissant envers le Professeur Merzouki Abdelaziz, d’avoir accepté avec Monsieur Belarbi Khaled Professeur à l’université de Constantine, d’étudier mes travaux et d’en être les examinateurs ainsi que pour l’intérêt et l’attention qu’ils ont accordés à cette étude.
J’exprime toute ma gratitude à monsieur Boukabou Abdelkrim Maitre de conférence à l’université de Jijel, ainsi que Monsieur Chikouche Djamel Professeur à l’université de M’sila d’avoir accepté d’examiner ce travail.
Je remercie également tous ceux qui ont contribué de prés ou loin au
parachèvement de ce travail de thèse, soit par leur savoir scientifique ou par leur
amitié.
L’objectif principal de cette thèse est la mise au point d’une méthodologie de travail pour l’optimisation par les Algorithmes Génétiques (AG’s) des conditions opératoires, applicables en conduite d’un procédé biotechnologique.
Dans cette direction, la commande des bioprocédés est développée avec deux objectifs principaux.
Le premier est primordial et concerne la croissance des microorganismes qui exige une valeur optimale de pH (acidité) et de réguler les variables d’intérêt autour des profils, cet objectif est assuré par un contrôleur flou (FLC) dans lequel les AG sont employés pour optimiser les paramètres du contrôleur (fonctions d’appartenance et règles floues). Le deuxième objectif est la détermination des conditions optimales de travail d’un bioréacteur semi continu où le débit d’alimentation (commande) joue un rôle primordial. Comme les produits nécessaires à l’alimentation du bioréacteur (inducteurs) sont très chers, un objectif naturel pour l'optimisation de la production de protéines est de maximiser la quantité de protéines produite tout en réduisant le volume d’inducteur ajouté. La productivité de ce processus est considérée comme un indexe de performance en combinant deux objectifs : maximisation de la production du protéine et minimisation du débit de l’inducteur.
D’autre part le problème est reformulé sous forme multiobjective qui est résolu par la méthode Non-dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA-II) pour aboutir à la zone de Pareto (zone de travail). Traditionnellement le même problème est résolu en utilisant la théorie de la commande optimale, et la programmation dynamique itérative basée sur une fonctionnelle (productivité) de type mono-objectif.
Les performances de la méthode d’optimisation multicritère (NSGA-II) proposée sont testées sur un procédé complexe discontinu multiproduit, qui peut être décrit comme une séquence d’événements chimiques, physiques ou biologiques à partir desquels on obtient un nouveau produit où les variables de décision sont la configuration du procédé, la taille et le nombre des équipements à chaque étape du traitement ainsi que les conditions opératoires ayant un impact majeur sur les critères d’optimisation.
L’aspect multicritère est pris en compte à travers une procédure dite de tri de Pareto.
Mots clés :Optimisation, Algorithmes Génétiques, Bioprocédés, Contrôleur Flou, multiobjectif, NSGA-II.
Introduction Générale...……….…….…... 2
1. Commande en logique floue…...……….……... 7
1.1. Introduction………... 7
1.1.1 Logique classique et logique floue………..……….... 8
1.1.2 Valeurs analogiques et logique floue……….……... 9
1.2 Sous-ensembles flous………... 9
1.2.1 Définitions……….... 9
1.2.2 Opérations sur les sous-ensembles flous………... 14
1.2.3 Normes et conormes triangulaires………... 15
1.3 Relations floues ………... 17
1.3.1 Concept de relation floue………... 20
1.3.2 Opérations sur les relations floues………...….... 20
1.4 Raisonnement en logique floue ………... 21
1.4.1 Variables linguistiques…...………... 21
1.4.2 Propositions floues .……….………... 23
1.4.3 Implications floues .……….………... 25
1.4.4 Inférence floue .………... 27
1.5 Commande floue ………. ……… .………... 28
1.5.1 Fuzzification ……….………...….... 29
1.5.2 Règles floues ……….………... 31
1.5.3 Inférences floues ……….………...………... 31
1.5.3.1 Inférence floue de Mamdani ………... 31
1.5.3.2 Inférence floue de Sugeno ………... 36
1.5.4 Défuzzification ……….………... 38
1.5.4.1 Défuzzification par centre de gravité….………... 38
1.5.4.2 Défuzzification par centre maximum………... 38
1.5.4.3 Défuzzification par valeur maximum ……….... 39
1.6 Conclusion ………... 39
2. Algorithmes Génétiques ………... 41
2.1 Introduction ………... 41
2.1.1 Terminologie ……… ..………... 43
2.1.2 Fonctionnement général des algorithmes génétiques ………. 44
2.3. Description ………...……….... 45
2.3.1. Codage et population initiale..………... 45
2.3.1.1 Codage binaire………. 45
2.3.1.2 Codage réel……….. 45
1.2.1.3 Codage en base n………. 46
2.3.2. La fonction d’évaluation .………... 46
2.4. Génération de population ………... 46
2.4.1 la sélection ...………... 46
2.4.2. Croisement...………..……... 47
2.4.3. Mutation ………... 48
2.5. Recherche des paramètres optimaux ………... 49
2.6. Conclusion ……….. ………....………... 50
3. Conception d’un contrôleur Flou par AG ………..………... 52
3.1 Introduction ……….………..………... 52
3.2Optimisation des contrôleurs flous de type Mamdani par algorithmes génétiques…………... 54
3.2.1 Représentation des fonctions d’appartenance………….………... 55
3.2.1.1 Partitionnement avec des fonctions d’appartenance triangulaires……… 55
3.2.1.2 Représentation des fonctions d’appartenance trapézoïdales ………... 58
3.2.1.3 Représentation des fonctions d’appartenance Gaussiennes ………... 60
3.2.2 Codage des paramètres des fonctions d’appartenance …………...……….…….. 61
3.2.3 Représentation des règles floues... 62
3.2.4 Codage des règles floues ……….………... 62
3.2.5 Structure du chromosome... 63
3.2.6 Opérateurs génétiques... 64
3.2.6.1 Opérateur de Croisement... 64
3.2.6.2 Opérateur de Mutation... ... ... 64
3.2.7 Initialisation des chromosomes... 65
3.3 Commande d’un procédé biotechnologique……….………….……… 66
3.3.1 Procédé de fermentation……… 67
3.3.2 Modélisation des bioprocédés………. 69
3.3.2.1 Modèles non structurés……… 69
3.3.2.2 Modèles structurés……….. 70
3.3.3 Conduite d’un bioprocédé de production de levure………. 70
3.3.3.1 Cinétique propre pour chaque état ……….. 71
3.3.3.2 Cinétique de transition ………. 74
3.3.3.3 Phase discontinue……….. 77
3.3.3.4 Phase semi-continue……… 80
3.4 Contrôle flou à base d’algorithme génétique du pH d’un processus ………..……… ... 82
3.4.1 Description du processus……… 82
3.4.2 Modèle chimique du processus………. 84
3.4.3. Codage des paramètres ……… 85
3.4.4 Développement du FLC……….... 87
3.4.5. Résultats de simulation………. 88
3.4.6. Résultats expérimentaux……….. 88
4. Optimisation multicritère….……… 91
4.1 Introduction……….. 91
4.2 Adaptation de l’algorithme génétique au cas multicritère……….. 92
4.3 Concepts de base et terminologie concernant l’optimisation……… 92
4.4 Problème multiobjectif………. 94
4.4.1 Comparaison de vecteurs……… 96
4.4.2 Optimum de Pareto………. 97
4.4.3 Dominance au sens de Pareto………. 97
4.4.4 Ensemble non-dominé et frontière……….. 88
4.5 Exemple de problème multicritère………. 100
4.6 Recherche et décision……… 101
4.7 Difficultés additionnelles des problèmes multicritère……….. 103
4.8 Préservation de diversité génétique……….. 104
4.8.1 Partage (sharing)………. 104
4.9. Les méthodes non agrégées, non Pareto……….. 104
4.9.1 Vector Evaluated Genetic Algorithm (VEGA)……… 104
4.10 Algorithmes basés sur la dominance de Pareto……….. 106
4.10.1 Les techniques non élitistes……….. 106
4.10.1.1 Multiple Objective Genetic Algorithm (MOGA)………. 106
4.10.1.2 Non-dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA)……….. 108
4.10.2 Les techniques élitistes……… 109
4.10.2.1 Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA II)……… 109
4.10.2.2 Calcul de la distance de crowding (distance de surpeuplement)………111
4.11 Application 1 : Conception multicritère d’un procédé discontinu multiproduit………. 113
4.11.1 Discussion des résultats de l’exemple 1………. 116
4.11.2 Discussion des résultats de l’exemple 2……….………... 119
4.12 Application 2 : Conditions optimales de conduite d’un bioprocédé de production de la protéine………. 123
4.12.1 Conditions optimale de fonctinnement…….……….……….……… 123
4.12.2 Modèle cinétique d’un bioréacteur semi-continu…….……….. 123
4.12.3 Localisation du front de Pareto optimal……… 127
4.12.3 Amélioration du contrôleur par les AGs 128 Conclusion générale... 132
Bibliographie... 135
Introduction générale
L’industrie évolue d’une production artisanale-traditionnelle à des procédés de plus en plus automatisés. Deux facteurs encouragent cette évolution : d’une part la tendance de toute industrie est de devenir de plus en plus rentable et compétitive afin d’assurer sa permanence dans le système économique actuel ; d’autre part, les progrès technologiques et scientifiques mettent à disposition des outils mathématiques et informatiques de plus en plus performants, à l’aide desquels les caractéristiques et besoins particuliers d’un grand spectre de procédés différents (et de produits) peuvent être maîtrisés.
La rentabilité du système de fabrication suppose l’amélioration sans cesse des conditions d’exploitation et de maîtrise des procédés. Ces procédés constituent l’ensemble de moyens technologiques (et de leurs règles de conduite) qui permettent de conférer, ou d’inhiber, des propriétés à un produit.
Ainsi, l’optimisation, qui concerne toute amélioration économique, technologique et/ou de qualité, est devenue un objectif clef pour la production industrielle. Le champ d’opportunité de l’optimisation est très étendu : les améliorations réalisées en amont, au cours ou en aval du procédé, sur le produit (diminution de la variabilité, acquisition de nouvelles qualités), l’équipement (matériels, conception de la structure, le fonctionnement, la performance…), les méthodes d’analyse et d’information (assurance de la qualité, traçabilité des produits, progrès en capteurs et estimateurs, …), le procédé (gestion des flux, gestion de l’énergie, …) et l’usine (ordonnancement, gestion des systèmes de nettoyage, des charges, …).
Le champ d’utilité de l’optimisation en génie des procédés étant très étendu, nous nous sommes alors intéressés à une seule partie de cette problématique : l’optimisation des conditions opératoires pour la conduite des bioprocédés.
En pratique, l’optimisation des bioprocédés est fréquemment confrontée à deux problèmes : D’une part, la performance de l’optimisation étant très dépendante du modèle utilisé (sa capacité de prédiction, la région de validité, leur exactitude, etc.), d’autre part les meilleurs
résultats liés à l’optimisation des modèles de connaissance utilisés. Or, dans les bioprocédés, les transferts de matière et d’énergie surviennent en même temps que certaines réactions (chimiques, biochimiques et microbiologiques) et/ou transformations physiques (structurales, de taille, de forme).
Ces phénomènes déterminent, à chaque instant de l’opération, l’état du produit et, en conséquence, sa qualité. Néanmoins, leurs mécanismes d’action sont souvent méconnus, ce qui rend difficile la réalisation des modèles mathématiques rigoureux (de connaissance).
L’établissement des modèles empiriques (du type boîte noire) est alors favorisé.
En conséquence, la plus grande partie des travaux sur l’optimisation est menée soit en absence de modèles mathématiques, soit avec un modèle mathématique (simple) empirique.
Dans ces cas, les résultats obtenus restent modestes aux prix de grands efforts expérimentaux (dont les données obtenues sont fréquemment sous-exploitées).
D’autre part, les résultats de l’optimisation dépendent de la ‘bonne’ construction du problème d’optimisation et du choix ‘adéquat’ de la méthode de résolution de ce problème.
‘Bien’ construire le problème d’optimisation signifie établir clairement les variables de commande, les critères (les objectifs de l’optimisation) et les contraintes afin de limiter l’espace des solutions admissibles. Alors que la méthode ‘adéquate’ est celle qui est la plus adaptée aux caractéristiques du problème d’optimisation, dans certains cas il est convenable d’utiliser une combinaison des méthodes pour obtenir les meilleurs résultats.
Or, la complexité du modèle utilisé, même si celle-ci suppose le déroulement de grands efforts de calcul, ne pose plus de problème pour les optima calculés hors ligne grâce à l’ensemble des méthodes numériques et des outils informatiques disponibles actuellement.
Une bonne stratégie d’optimisation consiste alors à utiliser le modèle mathématique le plus fiable, à poser convenablement le problème d’optimisation et, enfin, à choisir la méthode de solution la plus adaptée aux besoins. Dans cette optique, l’objectif de la thèse est de proposer des stratégies.
En effet les systèmes devenant de plus en plus complexes, les performances des régulateurs utilisés ne cessent de s’améliorer. Les méthodes de réglage conventionnelles comme la commande optimale, la commande adaptative ou la commande robuste, se basent sur une connaissance plus ou moins précise du modèle mathématique du système à réguler.
Lorsque le système est fortement non-linéaire, imprécis ou très complexe, il est parfois impossible de définir un modèle mathématique de son fonctionnement. Dans ce cas, les régulateurs conventionnels sont difficilement utilisables.
Le «soft-computing» qui regroupe principalement la logique floue et les algorithmes génétiques constitue une voie prometteuse pour aborder ce problème particulier de régulation.
Ces méthodes font intervenir des mécanismes qui ont été observés et étudiés dans des domaines de recherche initialement très éloignés de l’informatique : linguistique et raisonnement humain pour la logique floue, physiologie humaine et animale pour les réseaux de neurones ou encore génétique et sélection naturelle pour les algorithmes évolutionnistes.
Afin de régler dynamiquement les paramètres d’un système, nous utilisons un contrôleur flou. Ce principe de régulation, basé sur des concepts relativement simples, permet de faire intervenir dans le contrôleur des connaissances acquises par un expert humain.
L’intérêt principal de cette méthode est qu’elle ne nécessite pas de connaître le fonctionnement du système, mais simplement la façon de le commander. Les connaissances sont exploitées sous une forme linguistique par l’intermédiaire de règles comme « si condition alors action ». Une méthode de raisonnement (inférence) utilise ces règles pour définir les commandes qui sont envoyées au système.
Lorsque les règles de commande ne sont pas connues précisément, la conception du contrôleur flou peut être assimilée à un problème d’optimisation : comment choisir les paramètres du contrôleur afin d’assurer un fonctionnement optimal selon certains critères ?
De nombreuses techniques d’optimisation ont été décrites dans la littérature (méthodes linéaires, programmation dynamique, recuit simulé ...), qui ont trouvé des applications dans la plupart des domaines scientifiques. Pour rester dans le domaine du soft-computing, nous avons choisi d’utiliser les algorithmes génétiques afin d’optimiser la structure du contrôleur flou.
Le domaine technologique auquel nous nous intéressons dans le cadre de la présente thèse est le secteur des biotechnologies, en mots simples, les procédés biotechnologiques, telle que la fermentation, qui restent des procédés complexes à cause du caractère vivant du processus.
Ils sont non linéaires, non stationnaires et caractérisés par un manque de capteurs fiables et coûteux. Cependant, les performances des méthodes classiques de commande se dégradent d’autant plus que la dynamique du modèle utilisé s’éloigne de celle du procédé. On peut définir un procédé de fermentation comme la croissance de micro-organismes (qu’il s’agisse de bactéries, de levures, protéine,..) par la consommation de substrats ou de nutriments (source de carbone, d’oxygène…). Cette croissance n’est possible qu’en présence de conditions « environnementales » favorables. Par conditions environnementales, on entend les conditions physico-chimiques (pH, température, agitation, aération…) nécessaires à une
En premier lieu, on a appliqué les AG’s qui peuvent être considérés comme une alternative plus prometteuse pour l’apprentissage et l’optimisation des paramètres nécessaires à la conception d’un contrôleur flou efficace pour la commande d’un procédé chimique.
L’exploitation d’un contrôleur adaptatif par logique flou (FLC) dans le quel un AG’s est employé pour optimiser les fonctions d’appartenance du contrôleur. Dont le but est d’atteindre la référence du pH (acidité) d’une solution en un temps aussi court que possible.
L’optimisation est utilisée dans le but de proposer des points ou des trajectoires de fonctionnement lors de la conduite d’un bioreacteur semi continue (fed-batch). Les auteurs utilisent le terme de « commande optimale » pour désigner deux types de travaux : ceux qui fournissent les conditions opératoires optimales de conduite (calculées hors ligne) et ceux qui aboutissent à la mise en oeuvre de ces conditions optimales.
Présentation des chapitres
Ce travail est structuré en quatre chapitres :
Dans le premier chapitre, consacré à la commande floue, nous commençons par énoncer les fondements de la logique floue. Nous voyons comment elle permet d’exprimer selon un formalisme unique des informations très diverses (données incertaines ou imprécises, connaissances exprimées sous forme linguistique,…). Ensuite, nous présentons en détails les méthodes de raisonnement flou (propositions, implications et inférence) qui constituent la base de la commande floue. Enfin, nous décrivons la structure générale d’un contrôleur flou et les différents sous-ensembles qui le constituent.
Dans le deuxième chapitre, nous décrivons le principe des algorithmes génétiques. Sur la base d’un exemple simple, nous analysons l’intérêt des différentes phases de traitement : sélection des individus, croisement et mutation. Nous décrivons enfin plusieurs méthodes de représentation des informations traitées par un algorithme génétique sous la forme d’un codage binaire, ou par des nombres réels ou en base n
Le troisième chapitre est consacré à la description de la méthode de synthèse d’un contrôleur flou par un algorithme génétique. Nous débutons d’abord par une analyse bibliographique présentant les méthodes de synthèse d’un contrôleur flou décrites dans la littérature. Pour aborder ensuite le problème du codage des paramètres sur lequel repose en grande partie l’efficacité de la phase d’optimisation. Nous proposons une méthode de codage mixte qui permet de décrire tous les paramètres régissant le fonctionnement d’un contrôleur
flou. IL s’agit d’appliqué un contrôleur flou à un bioprocédé de production de levure de boulangerie en mode semi-continu, dans le but d’obtenir la plus haute productivité et un rendement optimal, en maintenant la concentration résiduelle de glucose dans le milieux constante au niveau optimal. Ainsi, en utilisant un algorithme génétique, nous pouvons optimiser simultanément les différentes parties du contrôleur flou. Ce contrôleur est testé sur un processus chimique de régulation de pH d’une solution.
Dans le quatrième chapitre de cette thèse, nous décrivons deux d’application. Nous illustrons d’abord les principes fondamentaux de l’approche multicritère en développant la notion d’optimalité au sens deParetoet le concept dedominance. Nous exposons par la suite les performances d’un algorithme multicritères élitistes Non-dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA-II) sur un exemple complexe de procédé discontinu multiproduit (4 variables entier, 14 variables réel et 31 contraintes), où il s’agit de classer les compromis par ordre d’importance, et de sélectionner les meilleurs. C’est la classe des meilleures solutions qui est mise à la disposition du responsable industriel ou décideur (Decision Maker (DM)), afin qu’il puisse faire son choix final.
La deuxième application consiste à définir une trajectoire optimale de la commande par l’approche multicritère d’un bioprocédé de production des protéines pour lequel nous voulons maximiser la quantité de protéines produite tout en réduisant simultanément le volume de l'inducteur ajouté. L’objectif final visé par la stratégie du contrôleur flou à base d’algorithme génétique sera de réguler la concentration du substrat (glucose) à une valeur de référence, tout en forçant le débit d’alimentation du glucose et inducteur à suivre les profils d’alimentations de références.
Chapitre 1
Commande en logique floue
1.1 Introduction :
De nos jours, la logique floue (fuzzy logic) est un axe de recherche important sur lequel se focalisent de nombreux scientifiques. Des retombées technologiques sont d’ores et déjà disponibles, tant dans le domaine grand public (appareils photos, machines à laver, fours à micro-onde), que dans le domaine industriel (classification, aide à la décision, réglage et commande de processus, complexes liés à l’énergie, aux transports, à la transformation de la matière, à la robotique, aux machines-outils).
Les bases théoriques de la logique floue ont été formulées en 1965 par le professeur Lotfi A. Zadeh, de l’Université de Berkeley en Californie [1]. Il a introduit la notion de sous- ensemble flou pour fournir un moyen de représentation et de manipulation des connaissances imparfaitement décrites, vagues ou imprécises. A cette époque, la théorie de la logique floue n’a pas été prise au sérieux excepté par quelques experts.
Dès 1975, Mamdani et Assilian publient les premiers résultats permettant une exploitation de cette théorie dans des systèmes de réglage [2]. En utilisant une structure de contrôleur
relativement simple, ils ont obtenu de meilleurs résultats lors de la commande de certains processus que ceux fournis par un régulateur standard de type PID.
Peu de temps après, en 1977, le danois Ostergaard [3] a appliqué la logique floue à la commande de tubes broyeurs pour la fabrication de ciment. A cette époque, la plupart des études concernant les systèmes de régulation exploitant la logique floue ont été réalisées en Europe [4]. A partir de 1985 environ, ce sont les Japonais [5] qui commencent à utiliser largement la logique floue dans des produits industriels et de consommation pour résoudre des problèmes de réglage et de commande.
1.1.1 Logique classique et logique floue
Dans le cadre de la logique classique, une proposition est soit vraie, soit fausse (1 ou 0).
Par exemple, la logique classique peut facilement partitionner la température d’une pièce en deux sous-ensembles, «moins de 15 degrés» et «15 degrés ou plus». La figure 1.1a montre le résultat de cette partition. Toutes les températures de moins de 15 degrés sont alors considérées comme appartenant à l’ensemble «moins de 15 degrés». On leur affecte une valeur de 1. Toutes les températures atteignant 15 degrés ou plus ne sont pas considérées comme appartenant à l’ensemble «moins de 15 degrés». On leur attribue une valeur de 0.
Cependant, le raisonnement humain s’appuie fréquemment sur des connaissances ou des données inexactes, incertaines ou imprécises. Une personne placée dans une pièce dont la température est soit de 14.95 degrés soit de 15.05 degrés, ne fera certainement pas de distinction entre ces deux valeurs. Cette personne sera pourtant capable de dire si la pièce est
«froide» ou «chaude», sans pour cela utiliser de température limite ni de mesure précise.
(a) Deux ensembles selon la logique classique (b) Deux ensembles selon la logique floue Figure 1.1 : classification des températures d’une pièce en deux ensembles.
0 15 45 1
0.5
0
chaud froid
Température 0 15 45
1
0.5
0
chaud froid
Température 0.7066
0.1724
La logique floue permet de définir des sous-ensembles, comme «froid» ou «chaud», en introduisant la possibilité pour une valeur d’appartenir plus ou moins à chacun de ces sous- ensembles.
1.1.2 Valeurs analogiques et logique floue
Lorsqu’on mesure une grandeur physique, on obtient une valeur qui peut ensuite être utilisée dans une série de calculs. Les grandeurs physiques sont en général continues (sauf par exemple en physique quantique) et le résultat de la mesure est un nombre réel. Dans bon nombre de systèmes de régulation ou de commande, on utilise directement la valeur de la mesure en tant qu’entrée du contrôleur.
Pourtant, réaliser une mesure sans tenir compte de sa précision est indigne d’un bon physicien. Non seulement la mesure est imprécise (le plus souvent à cause de l’appareil de mesure), mais elle peut également être incertaine puisque aucun appareil de mesure n’est parfaitement fiable : un capteur défectueux peut continuer à fournir une mesure erronée sans que le système de régulation en soit informé.
La logique floue permet de faire intervenir les notions d’imprécision et d’incertitude dans un système. Cela permet par exemple de faire intervenir une température «d’environ 15 degrés» dans un contrôleur flou. L’incertitude et l’imprécision peuvent également être prises en compte dans le cadre de la logique floue quand on utilise une connaissance issue d’un expert humain. Comment pourrait-on utiliser avec des outils standard une connaissance humaine du genre : «il pleut souvent en hiver» ?
1.2 Sous-ensembles flous
Dans cette section, nous décrivons rapidement les fondements mathématiques de la théorie des sous-ensembles flous [6]. Dans la théorie ensembliste classique, l’appartenance d’un élément à un sous-ensemble est définie par une valeur logique standard : 1 si l’élément appartient au sous-ensemble, 0 sinon. Dans la théorie floue, un élément peut appartenir en partie à un sous-ensemble : son degré d’appartenance est décrit par une valeur comprise entre 0 et 1.
1.2.1 Définitions
Etant donné un ensemble de référence X qui peut être fini ou infini, dénoté par ses éléments {x}, on peut indiquer les éléments {x} qui appartiennent à une certaine classe de X (on leur donne une valeur 1) et ceux qui n’y appartiennent pas (on leur donne une valeur 0).
Cette classe est alors un sous-ensemble classique de X caractérisé par une fonction caractéristiqueXA prenant simplement deux valeurs 0 ou 1 :
XA:X {0, 1} (1.1) Si l’appartenance de certains éléments de X à une classe n’est pas absolue (l’élément appartient un peu au sous-ensemble), on peut remplacer la fonction caractéristique par une fonction d’appartenance qui prend ses valeurs dans l’intervalle [0, 1]. Cette classe est appelée sous-ensemble flou deX. L’ensembleX sera également appeléunivers du discours.
Définition 1.1 (Sous-ensemble flou) : Un sous-ensemble flou A dans un univers du discours X est caractérisé par sa fonction d’appartenanceμA(x) qui associe à chaque élémentx deX une valeur dans l’intervalle des nombres réels [0, 1].
μA :X [0, 1]. (1.2) Ainsi un sous-ensemble flou A dans X peut être représenté par un ensemble de couples ordonnés
A ={(x, μA(x))|x X}. (1.3) Le sous-ensemble classique n’est en fait qu’un cas particulier de sous-ensemble flou dont la fonction d’appartenance ne prend que les valeurs 0 ou 1. Un sous-ensemble flouA deXest aussi souvent représenté par la notation suivante qui indique pour tout élément x de X son degréμA(x) d’appartenance àA :
X
A x x
A ( )/ siX est continu (1.4) et
X
x A i i
i
x x
A ( )/ siX est discret (1.5)
Comme les valeurs A(xi) représentent les degrés d’appartenance avec lesquels les xi
appartiennent àA, si A(xi)prend la valeur 1 pour tous les éléments de X, cela signifie queA est identique àX. Au contraire,A est vide si A(xi) prend la valeur 0 sur toutX.
Les gabarits de fonctions d’appartenance les plus utilisés sont représentés sur la figure 1.2.
En commande floue, les fonctions d’appartenance utilisées peuvent théoriquement être quelconques. Pourtant on choisit souvent des fonctions triangulaires ou trapézoïdales afin de simplifier les calculs.
Définition 1.2 (Support) : Le support d’un sous-ensemble flouA dans un univers du discours X est le sous-ensemble (au sens classique du terme) des éléments de X pour lesquels la
fonction d’appartenance prend une valeur strictement positive. C’est l’ensemble des éléments deX qui appartiennent au moins un peu àA :
S(A) = {x|μA(x) > 0}. (1.6) Définition 1.3 (Point de croisement) : Le point de croisement d’un sous-ensemble flou A dans un univers du discours X est le sous-ensemble des éléments de X pour lesquels la fonction d’appartenance prend une valeur égale à 0.5. C’est l’ensemble des éléments deX qui appartiennent autant àA qu’à son complémentaire :
C(A) = {x|μA(x) = 0.5}. (1.7) Définition 1.4 (Noyau) : Le noyau d’un sous-ensemble flouA dans un univers du discours X est le sous-ensemble des éléments deX pour lesquels la fonction d’appartenance vaut 1. C’est l’ensemble des points qui appartiennent intégralement àA :
N(A) = {x|μA(x) = 1}. (1.8) Définition 1.5 (Hauteur) : La hauteur d’un sous-ensemble flouA dans un univers du discours X est la valeur maximale prise par la fonction d’appartenanceμA sur l’ensembleX.
C’est le plus fort degré avec lequel un élément deX appartient àA :
) ( sup
)
(A X x
H x A . (1.9)
0 5 10 0,5
1,0
0 5 10
0,5 1,0
0 5 10
0,5 1,0
0 5 10
0,5 1,0
0 5 10
0,5 1,0
0 5 10
0,5 1,0
0 5 10
0,5 1,0
0 5 10
0,5 1,0
0 5 10
0,5 1,0
0 5 10
0,5 1,0
0 5 10
0,5 1,0
0 5 10
0,5 1,0
(b) Fonctions d’appartenance trapézoïdales
(c) Fonctions d’appartenance Gaussiennes
(d) Fonctions d’appartenance sigmoïdes (a) Fonctions d’appartenance triangulaires
Définition 1.6 (−coupe) : Pour toute valeur de l’intervalle [0, 1], on appel −coupe d’un sous-ensemble flou A de X, le sous-ensemble noté A des éléments de X pour lesquels la fonction d’appartenance est supérieure ou égale à :
xX (x)
A A (1.10)
Ce sous-ensemble est défini par la fonction caractéristique suivante :
1
XA si et seulement si A(x). (1.11) Si nous choisissons = 0, alorsA est l’univers du discours X. Si nous choisissons = 1, alorsA est le noyau deA, N(A). Sur la figure 1.3 nous illustrons les définitions précédentes par un exemple. Le sous-ensemble flouA est celui des températures tièdes dans l’univers du discoursX des températures.
Figure. 1.3 : Les concepts flous décrivant une température tiède.
Théorème 1.1 (Théorème de décomposition) : Le théorème de décomposition montre qu’il est possible de reconstituer un sous-ensemble flou A à partir de ses −coupes. En fait, le théorème permet de définir la fonction d’appartenance μA à partir des fonctions caractéristiques des−coupes :
) ( sup
)
(x [0,1] x X
x A A
(1.12)
0 45
1
0.5
0
A=tiède
N(A) C(A) A
H(A), S(A)
1.2.2 Opérations sur les sous-ensembles flous :
Supposons queA etB sont deux sous-ensembles flous définis dans un univers du discours X par les fonctions d’appartenanceμA etμB. On peut définir des opérations ensemblistes telles que l’égalité, l’inclusion, l’intersection, l’union et le complément grâce à des opérations sur les fonctions d’appartenance.
Définition 1.7 (Egalité) : A et B sont dits égaux, propriété que l’on note A = B, si leurs fonctions d’appartenance prennent la même valeur en tout point deX :
x X μA(x) =μB(x). (1.13)
Définition 1.8 (Inclusion) : A est dit inclus dans B, propriété que l’on note A B, si tout élémentx deX qui appartient à A appartient aussi àB avec un degré au moins aussi grand :
x X μA(x)μB(x). (1.14)
Les définitions d’intersection, d’union et de complément de sous-ensembles flous définies ci-dessous font intervenir les opérateurs de minimum, maximum et de complémentation à 1.
Cela correspond à une extension triviale des opérateurs ensemblistes standard.
D’autres définitions sont également possibles lorsque l’on fait intervenir les concepts de normes triangulaires et de conormes triangulaires, qui seront présentés dans la section suivante.
Définition 1.9 (Intersection) : L’intersection de A et B, que l’on note A B, est le sous- ensemble flou constitué des éléments de X affectés du plus petit des deux degrés d’appartenanceμA etμB :
) ( ) ( )) ( ), (
min( x x x x
X
x A B A B A B
. (1.15)
Dans cette définition, min et désignent l’opérateur de calcul du minimum des deux valeurs.
Définition 1.10 (Union) : L’union deA et B, que l’on note A B, est le sous-ensemble flou constitué des éléments deX affectés du plus grand des deux degrés d’appartenanceμA etμB :
) ( ) ( )) ( ), (
max( x x x x
X
x A B A B A B
. (1.16)
Définition 1.11 (Complément) :Le complément deA, que l’on noteAc, est le sous ensemble flou deX constitué des élémentsx lui appartenant d’autant plus qu’ils appartiennent peu àA :
) (
1 x
A X
x c A
. (1.17)
Définition 1.12 (Produit cartésien) : Le produit cartésien est une méthode de combinaison de sous-ensembles flous définis sur des univers du discours différents. Par exemple, cela permet de définir simplement ce que signifie chaud et humide sur un univers du discours température et hygrométrie.
SoientA1, A2, . . . ,An des sous-ensembles flous définis respectivement dans les univers du discoursX1, X2, . . . ,Xn. Le produit cartésien deA1, A2, . . . , An, que l’on noteA =A1×A2 × · · ·
×An, est le sous-ensemble flou défini dans l’univers du discours produitX =X1×X2 × · · · ×Xn
par la fonction d’appartenance :
) ( ))
( ),..., ( ), ( min(
) ( )
,...., ,
2 1 1
2
1 1 2 A i
n n i A A
A A
n X x x x x x
x x x
x n
i (1.18)
1.2.3 Normes et conormes triangulaires :
Comme nous l’avons vu dans le paragraphe précédent, la définition d’une opération entre ensembles flous est basée sur une combinaison des fonctions d’appartenance. Les définitions les plus simples utilisent les opérations de minimum, maximum et de complément à 1. Les normes et conormes triangulaires constituent une généralisation des opérations de combinaison de type minimum ou maximum.
Définition 1.13 (Norme triangulaire, t-norme) : Une norme triangulaire T est une fonction définie sur l’ensemble [0, 1] × [0, 1] et prenant ses valeurs dans l’intervalle [0, 1], qui satisfait les conditions suivantes :
x, y[0, 1] : T(x, y) = T (y, x) (commutativité),
x, y, z [0, 1] : T(x, T (y, z)) =T (T(y, z), z) (associativité),
x, y, z, t [0, 1] : T (x, y) T(z, t) sixz etyt (monotonie),
x [0, 1] : T(0, 0) = 0, T (x, 1) = T (1,x) =x (élément neutre 1).
Définition 1.14 (Intersection définie par une t-norme) : On vérifie simplement que l’opérateur minimum est une t-norme. La définition d’une opération d’intersection entre deux sous-ensembles flous se réfère à une t-norme, qui remplace l’opérateur minimum :
xX μAB(x) =T(μA(x), μB(x)). (1.19)
Définition 1.15 (Conorme triangulaire, t-conorme) : Une conorme triangulaire est une fonction définie sur l’ensemble [0, 1] × [0, 1] et prenant ses valeurs dans l’intervalle [0, 1], qui satisfait les conditions suivantes :
x, y[0, 1] : (x, y) = (y, x) (commutativité),
x, y, z [0, 1] : (x, (y, z)) = ( (y, z), z) (associativité),
x, y, z, t [0, 1] : (x, y) (z, t) sixz etyt (monotonie),
x [0, 1] : (1, 1) = 1, (x, 0) = (0,x) =x (élément neutre 0).
Définition 1.16 (Union définie par une t-conorme) : On vérifie simplement que l’opérateur maximum est une t-conorme. La définition d’une opération d’union entre deux sous- ensembles flous se réfère à une t-conorme, qui remplace l’opérateur maximum :
xX μAB(x) =(μA(x), μB(x)). (1.20) Les t-normes et t-conormes les plus utilisées sont représentées dans le tableau 1.1 :
Tableau. 1.1 : Définitions des t-normes et t-conormes les plus utilisées.
t-norme t-conorme négation nom
min(x,y) max(x,y) 1-x Zadeh
x.y x+y-x.y 1-x probabiliste
max(x+y-1,0) min(x+y,1) 1-x Lukasiewie
) )(
1
( x y xy
xy
xy
xy xy
y x
) 1 ( 1
) 1 (
1-x Hamacher ( 0
on sin 0
1 1 x si y
y si x
on sin 0
0 0 x si y
y si
x 1-x Weber
La figure 1.4 montre les représentations graphiques des t-normes et t-conormes décrites dans le tableau 1.1. Les opérateurs de Hamacher sont des opérateurs plus généraux dont les propriétés dépendent d’un paramètre . Si tend vers l’infini, les opérateurs de Hamacher deviennent identiques à ceux de Weber. Si = 1, on retrouve les opérateurs probabilistes.
Théorème 1.2 (Propriétés des t-normes et des t-conormes) : On peut démontrer les propriétés suivantes, vérifiées par toute t-norme et t-conorme :
x, y[0, 1] :
TWeber(x,y) T(x,y) TZadeh(x,y), (1.21)
Zadeh (x,y) (x,y) Weber(x,y),
Exemple 1.1. Si les fonctions d’appartenance de la température d’une pièce aux catégories
«froid» et «tiède» sont celles présentées sur la figure 1.1b, les sous-ensembles flous «froid et tiède» et «froid ou tiède» pour les différentes t-normes et t-conormes sont représentés
sur la figure 1.5.
1.3 Relations floues :
Dans la section précédente, nous avons présenté le produit cartésien de deux sous ensembles flous. Cette méthode permet de construire un sous-ensemble flou sur un univers du discours qui est lui même un produit cartésien. Dans l’exemple présenté précédemment sur un univers du discours température et hygrométrie, le produit cartésien n’est assurément pas une bonne méthode pour définir le sous-ensemble flou chaud et humide : en effet, les grandeurs initiales ne sont pas indépendantes.
Figure. 1.4 : t-normes et t-conormes les plus utilisées [6].
Figure. 1.5 : Exemples de définition de «froid et tiède» et de «froid ou tiède».
1.3.1 Concept de relation floue :[6]
Une relation floue est un concept qui permet de définir un sous-ensemble flou sur un univers du discours qui est un produit cartésien, tout en tenant compte des relations qui relient les univers du discours initiaux. La fonction d’appartenance définissant ce sous-ensemble flou ne se résume pas forcément à une simple combinaison de fonctions d’appartenance définissant des sous-ensembles flous dans les univers du discours initiaux.
Définition 1.17 (Relations floues) : Une relation floue du n-ième ordre est un sous ensemble flou dans l’univers du discours produitX =X1 ×X2 × · · · ×Xn, qui s’exprime par :
RX = {((x1,x2, . . . ,xn),μR(x1,x2, . . . ,xn))|(x1,x2, . . . ,xn) X}. (1.22) oùμR(x1,x2, . . . ,xn) est une fonction de mappage :
μR(x1,x2, . . . ,xn) :X1 ×X2 × · · · ×Xn [0, 1] (1.23) Une relation floue du deuxième ordre R, définie entre deux univers du discours de cardinaux infinis X et Y, peut s’exprimer de la façon suivante :
);
, ( ) ,
(x y x y R
Y X
R Y
X
xX, yY (1.24) Si les univers du discours X et Y sont des ensembles de cardinaux finis, la relation du deuxième ordre R peut s’exprimer sous la forme d’une matrice constituée des valeurs de la fonction d’appartenance :
) , ( )
, ( ) , (
) , ( )
, ( ) , (
) , ( )
, ( ) , (
2 1
2 2
2 1
2
1 2
1 1
1
n m R m
R m
R
n R R
R
n R R
R
y x y
x y
x
y x y
x y
x
y x y
x y
x R
(1.25)
1.3.2 Opérations sur les relations floues :
Puisqu’une relation floue entre X et Y est un sous-ensemble flou défini sur l’univers du discours produit X ×Y, les opérations définies sur les sous-ensembles flous permettent de définir des opérations de combinaison des relations floues. SiR etS sont deux relations floues
S et l’inclusion R S, sont définies par les relations suivantes appliquées sur les fonctions d’appartenance :
μRS(x, y) =μR(x, y)T μS(x, y) μRS(x, y) =μR(x, y)μS(x, y) μRC (x, y) = 1 −μR(x, y)
xX,y Y,R = SμR(x, y) =μS(x, y)
x X,y Y, R SμR(x, y)μS(x, y)
On peut également définir des opérations de combinaison de relations floues lorsque les univers du discours sont distincts. Cela permet de déduire une relation entre les univers du discoursX etZ lorsqu’on connu des relations existant entreX etY d’une part etY etZ d’autre part.
Définition 1.18 (Composition de relations floues) : Si R et S sont deux relations floues définies entreX etY d’une part etY etZ d’autre part, la composition deR etS est une relation floue notée parRS définie par :
R S = {[(x, z), sup(μR(x, y) TμS(y, z))],xX, yY,zZ}. (1.26)
En commande floue, on choisit quelquefois l’opérateur min en tant que t-normeT.
Puisque sup est une opération qui consiste à rechercher le maximum d’un ensemble de valeurs, la composition définie en (1.26) est alors appelée «composition max-min».
1.4 Raisonnement en logique floue :
Un des apports principaux de la logique standard a été la formalisation des méthodes de déduction, qui sont en quelque sorte un outil de raisonnement. Les méthodes de déduction utilisées en logique standard permettent de définir une nouvelle certitude à partir d’autres connaissances certaines. Dans le cadre de la logique floue, il est possible de généraliser les méthodes de raisonnement lorsqu’on dispose de connaissances incertaines ou imprécises.
1.4.1 Variables linguistiques :
Pour qu’il soit possible de raisonner simplement sur un problème, il faut tout d’abord spécifier clairement les connaissances disponibles. Les variables linguistiques permettent de décrire dans un cadre très général la connaissance acquise sur une variable, même lorsqu’elle est vague ou imprécise.
Définition 1.19 (Nombre flou) : Un nombre flou Q est un sous-ensemble flou défini sur l’ensemble des nombres réels R, qui possède deux propriétés. Il est normalisé :
max(μF (x)) = 1, (1.27) et convexe :
μF (·x1 + (1 −) ·x2) min(μF(x1),μF (x2)) (1.28) x1, x2R, [0, 1].
On appelle intervalle flou un nombre flou qui correspond à un intervalle dont les bornes sont connues de façon imprécise.
Définition 1.20 (Partition floue) : Un ensemble de sous-ensembles flous A1,A2, · · · ,An
définis sur un univers du discours X par les fonctions d’appartenance )
( , ), ( ),
( 2
1 x A x An x
A
est une partition floue si et seulement si :
n
i A x
X x
1
1 )
1(
. (1.29) Définition 1.21 (Variables linguistiques) : Une variable linguistique est caractérisée par un quintuplet (V,T(V ),G,M), dans lequel :
–Vest le nom de la variable définie sur l’univers du discoursX.
–T(V ) =A1,A2, . . . ,An est un ensemble des termes linguistiques qui sont des nombres flous, définissant des restrictions sur les valeurs que prendV dansX.
– G est un ensemble de règles syntaxiques qui permettent de former d’autres termes linguistiques à partir de T(V ). On les appelle modificateurs linguistiques. Par exemple, pour définir la fonction d’appartenance du terme linguistique «pas A» on utilise l’expression μpasA = 1 − μA. On peut aussi définir des nouveaux termes linguistiques comme «très très A»,
«trèsA», «assezA», «comparable àA», «un peuA», «un petit peuA» en utilisant par exemple les fonctions d’appartenance :μA4,μA2,μA1.25,μA0.75,μA0.5,μA0.25.
– M est l’ensemble des règles sémantiques qui permettent de définir les termes linguistiques.
Exemple 1.2. Afin de décrire la température d’une pièce par une variable linguistique, on peut utiliser l’ensemble des termes suivants : T(V) = {froid, tiède, chaud}. D’autres termes linguistiques peuvent être formés en utilisant le modificateur linguistique «très», comme «très froid» ou «très très chaud». En considérant que l’univers du discours est l’intervalle [0, 45], on peut utiliser les règles sémantiques suivantes pour définir les termes linguistiques : «froid»
est «une température environ inférieure à 10 degrés», «tiède» est «une température d’environ
17 degrés» et «chaud» est «une température environ supérieure à 24 degrés». Ces termes peuvent être caractérisés par les fonctions d’appartenance représentées sur la figure 1.6.
N’importe quelle fonction d’appartenance, par exemple la fonction «froid», définit un nombre flou.
1.4.2 Propositions floues :
Une proposition floue est définie à partir d’un ensemble de variables linguistiques afin de représenter une connaissance. Par exemple, «la température de la pièce est froide».
Définition 1.22 (Propositions floues élémentaires) : Une forme élémentaire de proposition floue est définie à partir d’une seule variable linguistique (V, T(V ),X,G,M) et exprimée simplement par la phrase :
p :V estA
où est une variable qui prend sa valeur dans l’univers du discours X, et A est l’un des termes linguistiques de T(V). Une valeur particulière V = appartient à A avec le degré d’appartenance μA(). Cela permet de définir la valeur de vérité V (p) de la proposition lorsque vaut :
V (p) =μA().
Figure. 1.6 : Variable linguistique (V,T(V),X,G,M)pour décrire la température.
x degrés
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
0,5 1,0
T(x)
froid tiède chaud
Variable linguistique T
Règle sémantique
Exemple 1.3. Supposons que l’on veuille définir la température V d’une pièce en utilisant la variable linguistique définie dans l’exemple 1.2. La proposition floue correspondante est exprimée par la phrase :
p :V est tiède.
A partir de la fonction d’appartenance définissant «tiède», nous trouvons que le degré d’appartenance d’une température de 15 degrés au sous-ensemble flou «tiède» est de 0.7, comme on le voit sur la figure 1.7a. La valeur de vérité V(p) de la proposition p lorsque la température vaut 15 degrés est donc de 0.7.
Nous voyons clairement que le rôle de la fonction V(p) est de définir un lien entre les sous-ensembles flous et les propositions floues. Comme la valeur de véritéV(p) est exprimée à partir de la fonction d’appartenanceμA(x) dans l’équation 1.30 et qu’elle est introduite pour décrire clairement une connaissance, nous remplaçons directement la valeur de véritéV(p) par la fonction d’appartenanceμA(x). Une explication plus détaillée est disponible dans [6].
Figure. 1.7 : Valeur de vérité de la proposition floue p : la température est tiède
Définition 1.23 (Propositions floues générales) : Une proposition floue générale est obtenue par la composition de propositions élémentaires «x estA», «y estB»,... pour des variablesx, y, . . . supposées non indépendantes.
Habituellement les propositions floues générales sont classées en quatre types : – La conjonction de propositions floues élémentaires :
p : (X1estA1) et · · · et (Xn estAn).
Dans ce cas, la conjonction est associée au produit cartésienA1 ×A2 × · · · ×An
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5
0 ,5 1 ,0
X degrés
T(x) froid tiède chaud
0,7 1
0 0,7 1
V(p)
A(x)
caractérisant la variable conjointe (X1,···,Xn) sur les univers de discoursX1 ×X2 × ··· ×Xn. Sa valeur de vérité est alors définie par :
V(p) = min{μA1(X1), ··· ,μAn(Xn)} (1.31) – La disjonction de propositions floues élémentaires :
p : (X1 estA1) ou ... ou (Xn estAn).
La valeur de vérité de la disjonction sur les univers du discours X1 ×X2×···×Xn est définie par :
V(p) = max{μA1(X1), ···,μAn(Xn)} (1.32) – Les implications entre propositions floues :
Règle 1 : Si (X estA1) ; alors (YestB1), Règle 2 : Si (X estA2) ; alors (Y estB2), · · ·
Règle n : Si (X estAn) ; alors (Y estBn).
Les implications seront présentées plus en détail dans le paragraphe suivant.
– Les combinaisons de conjonction, disjonction et implication de propositions floues élémentaires. Par exemple, «Si (X1 estA11) et (X2 estA12) ; alors (Y estB1)», etc.
1.4.3 Implications floues :
Dans la proposition flouep : «Si (X estA) ; alors (Y estB)», les propositions «X est A» et
«Y est B» sont construites à partir des deux variables linguistiques (x, T(x), X, G, M) et (y, T(y), Y, G, M) qui sont a priori indépendantes. L’implication floue permet de définir une liaison entre la prémisse «X estA» et la conclusion «Y estB» de cette règle.
Définition 1.24 (Implications floues): Considérons p : «X est A», q : «Y est B» deux propositions floues construites à partir de deux variables linguistiques (x, T(x),X, G,M) et (y, T(y),Y,G,M). Notonsa,b les valeurs de vérité possibles dep etq respectivement.
Une implication floue, que l’on noteI(a,b), est une fonction :
I(a,b) : [0, 1] × [0, 1][0, 1], (1.33)
