Il est souhaitable que vous organisiez votreprésentation ommesi lejury n'avaitpas onnaissanedu texte.Le juryaura néanmoins letextesouslesyeuxpendant votreexposé

Mathématiques Année20092010

Tests de non primalité, tests de primalité

Ilestrappeléquelejuryn'exigepasuneompréhension exhaustivedutexte.Vousêteslaissé(e)

libre d'organiser votre disussion omme vous l'entendez. Il vous est onseillé de mettre en

lumièrevosonnaissanesàpartirdulonduteuronstituéparletexte.Lejurydemandeque

la disussion soit aompagnée d'exemples traités sur ordinateur. Il est souhaitable que vous

organisiez votreprésentation ommesi lejury n'avaitpas onnaissanedu texte.Le juryaura

néanmoins letextesouslesyeuxpendant votreexposé.

1. Introdution

Onpeutseposer troisquestionsdistintessurla naturearithmétiquede N ∈N:

• N ^{est-il omposé?}

• N ^{est-il premier?}

• ^Fatoriser N^.

Silestroisquestionssemblent équivalentes, ellessont enfaitdediultélargementdif-

férente.Ons'intéresseiiauxdeuxpremières.Àsavoir,ommentmontrerqu'unnombre

estomposé,puis,silaréponseest((apparemmentpas))^{,ommentmontrerqu'ilestpre-}

mier. Les tests proposés utilisent les notions néessaires aux aluls et raisonnements

dansZ/NZ,oùN ^{estun entier, parfoispremier.suivant.}

Théorème 1.1. Soit N ^{un nombre premier impair, et} a ^{un entier premier à} N^{. Si} N−1 = 2^eq^{, où} q ^{est un entier impair,alors :}

(1) Soita^q≡1 ^mod N^.

(2) Soitil existe i ^{tel que} 06i6e−1 ^{tel que} a^2iq ≡ −1 ^mod N^.

Làenore,laréiproqueestfausse,ommelemontrel'exempleoùN = 3277^eta= 2^.

Si un entier a ∈ {1, . . . N−1} ^{vérie l'une des propriétés (1) ou (2) du théorème de}

Rabin-Miller,ondit queN ^est pseudo-premier (de Miller-Rabin) pour labase a^.

Toutefois, la situation est meilleure que pour le test venant diretement du petit

théorème de Fermat. Le théorème suivant montre en eet que si un nombre N ^n'est

pas premier, et si l'on essaie un nombre susant de valeurs de a^{, on a une très forte}

probabilitéde trouver unebase a^{pour laquelle}N ^{n'est pas}pseudo-premier.

Théorème 1.2. Si N ^{est omposé, alors il est} pseudo-premier dans au plus 1/4 ^des

bases a^.

Pour démontrer e théorème, on peut proéder de la manière suivante. On érit

la déomposition de N ^{en produit de fateurs premiers} N = Q

pp^{fp. En utilisant le}

théorèmehinois, onvoit quelenombre A^d'élémentsa^{qui satisfont letest est égalà} Y

p

#n

x:qx≡0 mod (p−1)p^fp−1o

+

e−1

X

i=0

Y

p

#n

x:q2ⁱx≡(p−1)p^fp−1/2 mod (p−1)p^fp−1o .

Ontrouvealors que

A=

1 + 2^ωE−1 2^ω−1

Y

p

(q, p−1),

oùω^{estlenombredefateurspremiersde}N^,etoùE= min_pe_p^,l'entier e_p ^étantdéni

pour tout p ^{par :} e_p =v₂(p−1)^.La probabilité P ^{herhée est égale à} A/(N −1)^{. Si} ω= 1^{,on trouve} P = 1 ^sifp = 1^,etP 6(p−1)/(p^fp−1)61/(p+ 1)61/4^si fp>1^.

Siω >1^{,les inégalités} (q, p−1)6(p−1)/2^{ep et}Q

p(p−1)6N −1 ^{montrent que} P 6

1 +2^ωE−1 2^ω−1

/2^ωE.

Onobtientalorslamajorationvoulue,saufdansleasoùω= 2^{,oùonobtientseulement} P 6 1/2^{. Dans e as, on peut aner les inégalités préédentes pour obtenir le bon}

résultat, sauf si p−1 ^divise N −1 ^{pour tout} p ^{et si} N ^{est sans fateurs arrés. On}

montrealors que eas estimpossible.

2. Tests de primalité

Supposons que N ^{ait passé le test de} Rabin-Miller. Nous sommes alors à peu près ertainsqueN ^{estpremier.Ledémontrer}rigoureusement estunproblèmeplusdiile.

Nousdonnons ii un exemple de test, trouvé par Poklington et amélioré par Lehmer,

basésurlethéorème suivant.

Théorème2.1. Soit N >1^{unentier. Alors}N ^{est unnombre premiersiet seulement}

sipour tout diviseur premier p ^de N −1 ^{on peut trouver unentier} a_p ^{tel que} a^N−1_p ≡1 (mod N) et (a^(N−1)/p_p −1, N) = 1.

Eneet,siN ^{estpremier,etsi}g^{estuneraineprimitivemodulo}N^{,alors ilsutde}

poser a_p =g ^{pour tout}p^.Réiproquement,soit d^{undiviseurpremier de}N^,onmontre

quepourtoutp^divisantN−1^,p^{vp(N−1) divise}d−1^{,equi permet ensuitedeonlure}

queN =d^.

Cethéorèmefournituntest deprimalitérapide,dèsquel'ononnaîtlafatorisation

deN−1^.La fatorisationd'unentier estunproblème diileetpeutêtre unobstale à l'utilisation de e test. Il arrive toutefois qu'il ne soit pas trop diile de fatoriser

N −1^{. De plus, on n'a pas vraiment besoin de la} fatorisation omplète de N −1^,

omme le montrent les théorèmes 2.2 et 2.3 i-dessous, auxquels la démonstration du

Théorème 2.2. Soit N >1 ^{un entier. On suppose qu'on sait érire} N −1 =F U^{, où} (F, U) = 1^,F =Qg

i=1p^f_i^{i est} omplètement fatorisé,etoùU < F^.AlorsN ^{est premier}

sietseulement sipourtoutélément x=pi^,i∈ {1, . . . , r}^{, on peut trouver unentier} ax

tel que

a^N−1_x ≡1 (modN) ^et(a^(N_x ^−1)/x−1, N) = 1.

Théorème 2.3. Soit N >1 ^{un entier. On suppose qu'on sait érire} N −1 =F U^{, où} (F, U) = 1^, F =Qg

i=1p^f_i^{i est} omplètement fatorisé, où tous les diviseurs premiersde

U ^{sontplusgrandqu'unentier}B^,etoùBF >√

N^.AlorsN ^{estpremiersietseulement}

si pour tout élément x= p_i^, i ∈ {1, . . . , r} ^et x =U^{, on peut trouver un entier} a_x ^tel

que

a^N−1_x ≡1 (mod N) ^et (a^(N−1)/x_x −1, N) = 1.

3. Suggestions

Plusieurs armationssont données sanspreuve.Le andidat estinvité àles démon-

trer. Il est déonseillé d'essayer de démontrer qu'il existe une innité de nombres de

Carmihael.

Par ailleurs,lapreuvedeertainsthéorèmesn'est qu'ébauhée.Onpourraenfournir

plusde détails.

Plusieurs testssont proposés.Onpourraen implémenter ertains etlesommenter.

On peut aussi herher à illustrer expérimentalement la proportion des bases pour