ESSEC 1981 MII

7-10- 2013 J.F.C. p. 1

ESSEC 1981 MII

PR ´ELIMINAIRE

Montrer que, si X est une variable al´eatoire `a valeurs dansN^∗, on a, pour tout ´el´ementndeN^∗:

∑n

k=1

k P(X =k) =

n∑−1

k=0

P(X > k)−n P(X > n).

PARTIE I

Q1 petssont deux ´el´ements deN^∗.

Trouver le cardinal de l’ensemble Ds ={(d1, d2, . . . , dp)∈N^p | 1 6d1 < d2 <· · · < dp 6s} des suites strictement croissantes dep´el´ements de [[1, s]].

Q2 petqsont deux ´el´ements deN^∗.

Cq ={(c1, c2, . . . , cp)∈N^p|16c16c26· · ·6cp6q} est l’ensemble des suites croissantes dep´el´ements de [[1, q]].

Pour tout ´el´ement (c1, c2, . . . , cp) deCq on pose : Φ

(

(c1, c2, . . . , cp) )

= (c1, c2+ 1, c3+ 2, . . . , cp+p−1).

Montrer que l’on d´efinit ainsi une application Φ deCq dansDp+q−1.

Montrer, tr`es proprement, que Φ est bijective. En d´eduire queCq a pour cardinal

(p+q−1 p

) .

PARTIE II

N est un ´el´ement de [[3,+∞[[. On consid`ere une urne contenantN jetons num´erot´es de 1 `aN.

On tire au hasard, successivement et SANS REMISE tous les jetons de l’urne et l’on note (u1, u2, . . . , uN) la suite des num´eros obtenus.

X_N est la variable al´eatoire ´egale au plus petit entier non nulr, s’il existe, tel queu_r> u_r+1et `aN si un telrn’existe pas.

Q1 Montrer que sinest un ´el´ement de [[0, N−1]] :P(XN > n) = 1 (n+ 1)!· CalculerP(X_N > n) pour tout ´el´ementnde [[N,+∞[[.

Q2 D´eduire, avec soin, de ce qui pr´ec`ede la loi deX_N (il est conseill´e de faire une “v´erification”).

Montrer que :E(XN) =

∑N k=1

1 k!· Q3 D´eterminer lim

N→+∞E(X_N).

J.F.C. p. 2 Q4 Montrer qu’il existe une variable al´eatoireX, `a valeurs dansN^∗, telle que pour toutkdansN^∗:

P(X=k) = lim

N→+∞P(XN =k) Montrer queX poss`ede une esp´erance, et la comparer `a lim

N→+∞E(XN).

Q5 Ecrire, en TP4, une fonction calculantE(XN).

PARTIE III

N est un ´el´ement de [[3,+∞[[. On consid`ere toujours une urne contenantN jetons num´erot´es de 1 `aN.

On tire au hasard et AVEC REMISE remise des jetons de cette urne et l’on note (u₁, u₂, . . . , u_n, . . .) la suite des num´eros obtenus.

Q0 α est un r´eel et q est un r´eel tel que |q| < 1. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral n^αqⁿ est absolument convergente (cette question n’est pas dans la correction).

Q1 Calculer, pour tout ´el´ementnde [[2,+∞[[,vn=P(u16u26· · ·6un). Dans la suite on posev1= 1.

Q2 Montrer que les suites

((N+n−1 n

))

n>1

et

( n^N−1 (N−1)!

)

n>1

sont ´equivalentes.

Montrer que les s´eries de terme g´en´erauxvn,nvnetwn=vn−vn+1convergent. Donner la valeur de

+∞

∑

n=1

wnet donner une interpr´etation probabiliste de ce r´esultat.

Q3 En d´eduire l’existence d’une variable al´eatoireZN, `a valeurs dansN<sup>∗</sup>, telle queZN =r si et seulement sirest le plus petit entier tel queur> ur+1 (faire tr`es simple).

Montrer queZN admet une esp´erance et queE(ZN) =

+∑∞ n=1

vn (on pourra utiliser le pr´eliminaire).

Q4 a) Montrer que f:x → 1

(1 +x)^N est de classe C^∞ sur son domaine de d´efinition et calculer f⁽ⁿ⁾ pour tout

´

el´ement ndeN.

b) En appliquant l’in´egalit´e de Taylor-Lagrange `af sur [−1/N,0] montrer que :

∀m∈N^∗, ( 1

1−_N¹)N −1−

∑m n=1

v_n

6 vm+1

(1−_N¹)N+m+1

En d´eduireE(ZN) et lim

N→+∞E(ZN).

Q5 Montrer qu’il existe une variable al´eatoireZ, `a valeurs dansN^∗, telle que :

∀k∈N^∗, P(Z=k) = lim

N→+∞P(ZN =k) ComparerZ etX.

Q6 Ecrire une fonction qui simule cette exp´erience et donne la valeur der.

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PARTIE IV

On reprend ici les conditions de la partie III.

Q1 nest un ´el´ement deN^∗.

Si kest ´el´ement de [[1, N]], trouver la probabilit´e de l’´ev´enement ∀i∈[[1, n]], k < ui+1

En d´eduire la probabilit´e de l’´ev´enementAn d´efini par :∀i∈[[1, n]], u1< ui+1.

Q2 On posex0= 1 et∀n∈N^∗, xn=P(An). Montrer que la s´erie de terme g´en´eralxnconverge et calculer

+∑∞ n=0

xn. Q3 Prouver l’existence d’une variable al´eatoire T_N, `a valeurs dansN^∗, telle que T_N =r si et seulement si rest le plus petit entier strictement positif tel que u_r+16Inf(u₁, u₂, . . . , u_r).

Q4 Montrer queTN admet une esp´erance math´ematique que l’on calculera. D´eterminer lim

N→+∞E(TN).

Q5 Montrer qu’il existe une variable al´eatoireT, `a valeurs dansN^∗, telle que :

∀k∈N^∗, P(T =k) = lim

N→+∞P(TN =k).

Montrer queT n’a pas d’esp´erance.