Lycée Pilote de Gabes

Exercice n° : 1

(2 points)

I) (QCM) (

Répondre par (vrai ou faux) sans justification

⁾

Soit f une fonction dérivable sur

5 , 2

  

 

 

Et dont la courbe est donnée ci- contre.

On note

f

^' sa fonction dérivée et F la primitive de f qui v rifie (1)é F 2e

On précise :* _x

^lim

_

^{f x}   ^{ 0}

et pour tout x0, ( )f x 0 * la tangente à la courbe def au point A(2, 0) Passe par le point

B (1, e

²

)

1) ^{2 '}

0

f t dt ( )   2



2) ^f'

 

^{2 e2} 3) F présente un maximum en 2 4)

_

₀²

 ^{f t ( )  tf t}

^'

^{( )}  ^{dt  0} Exercice n° : 2

(6 points)

1) Soit f la fonction définie par

2 1

( ) x

f x x

  , ^{x }



^1,



^et

G

définie sur 0, 2







 

 ^par

1 ( )

( ) 1^{Cos x} ( ) G x 



f t dt a) Montrer que

G

est dérivable sur 0,

2







 

  et calculer

G x

^'

( )

b) En déduire que pour tout 0,

x 



2

  ^,G x( )tan( )x x

c) En déduire l’aire de la partie du plan délimitée par

 

^Cf (courbe de f dans un repère orthonormé( , , )o i j  ), L’axe ( , )o i

et les droites des équations

x  1

et

x  2

2) Soit h la fonction définie sur 0,

4







 

  ^par h x( ) x G x( ) (c’est à dire h x( )tan( )x ) a) Montrer que h réalise une bijection de 0,

4







 

  ^sur

 

^0,1

b) Montrer que h^1(fonction réciproque de h ) est dérivable sur

 

^0,1 et calculer

 

^{h1 '( )x} c) En déduire que

1

01 2 4

dt t









d) Déterminer le volume du solide de révolution engendré par la rotation de l’arc

OA

(de la courbe

 

: 2

1 C y x

x

  ^ou A le point d’abscisse 2) autour de l’axe ( , )o i



Lycée Pilote de Gabes

Prof : ^SOUILAH

Classes : 4 ^Math

Le : 02 /02/2010

(Devoir de contrôle N : 2) Durée : 2 h

Page N° 1/1

Exercice n° : 3

(6 points)

Pour tout n^ on pose : ₂

1

ln ( )

ⁿ

e n

I x dx

  x

1) a) Montrer que ₁ 2

1 I  e

b) Montrer que

 

In est décroissante et en déduire qu’elle convergente 2) a) Montrer que pour tout n^ et pour tout ^x

 

^1,e

on a :

     

2

lnⁿ x ln ⁿ x ln ⁿ x

xe  x  x

b) Montrer que pour tout n^ ,



^n11



^{e  In }



^n11



c) En déduire la limite de la suite

 

In

3) a) Montrer à l’aide d’une intégration par parties que : pour tout n^ , on a : 1

 

1 1

n n

I n I

   e b) Montrer par récurrence pour tout n^ , on a :

0

1 1 1

1 .

! !

n n

p

n I e

_

p

 

   

  

c) En déduire

0

lim 1

!

n n^ p_

p

 

 

  

Exercice n° : 4

^{(6 points)}

Dans le plan orienté P, on considère le triangle rectangle et isocèle I AB tel que



^{IA IB ,^}



^

^

₂ ²

^{  }

^.

On pose K  I A , L I B et   A B

1) a) Montrer qu’il existe un unique déplacement f tel que f A( )I et f I( )B b) Donner une mesure de l’angle



de f

c) En déduire que f est une rotation de centre 

2) Soit H le symétrique de I par rapportA, la perpendiculaire à



^H



^{en  coupe}

 

^{BI en}

C

Montrer que f H( )C

3) Soit g l’antidéplacement tel que g A( )I et g I( )B

a) Montrer que g est une symétrie glissante dont on déterminera ces éléments caractéristiques b) Déterminer et construire le point ^' image de  par g

c) On pose : ht og_{I A}^

Déterminer ^h

 

^{ et h A}

 

, caractériser alors

h

4) Soit M un point du plan, on pose

f M ( )  M

^' et

''

( ) g M  M

Montrer que M^'et

M ''

sont symétriques par rapport à une droite fixe que l’on précisera

Page N° 2/2