I) Les suites numériques :

CH III) Les suites numériques : les suites arithmétiques

CH III Les suites numériques : les suites arithmétiques.

Les ensembles de nombres de la série www.jaicompris.com (14 min 10) https://www.youtube.com/watch?v=R5ZmkmxT_jY

I) Les suites numériques :

Quel est le nombre qui suit logiquement 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; …… ; Quel est le nombre qui suit logiquement 2 ; -2 ; 2 ; -2 ; 2 ; …… ; Quel est le nombre qui suit logiquement 1 ; -2 ; 3 ; -4 ; 5 ; …… ;

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x) = 2x

+ 1. On pose U

= f(0), U

= f(1), … U

= f(n). Compléter le tableau :

U

U

U

U

U

U

U

1

 f(0), f(1), …, f(6) définit une suite numérique dont les termes sont numérotés

U

, U

, … U

. ………

………

U

est le terme de rang …….

U

est le terme de rang …….

…

U

est le terme de rang ……. ………

………

U

est le terme qui ……… U

. U

est le terme qui ……… U

.

 Une suite numérique est définie :

- Soit à l’aide d’une ………, où f est une fonction définie sur un ensemble de nombres entiers n. (Ex : u

= 5 – 2n)

- Soit à l’aide d’une ………qui exprime le premier terme de la suite u

et le terme u

en fonction de u

. (Ex : u

= 2 et u

= 3u

+ 0,5)

Calculer les premiers termes d'une suite (7 min 51)

https://www.youtube.com/watch?v=HacflVQ7DIE&feature=youtu.be

Exercice : Soit la suite u

= 5 – 2n. Calculer le terme de rang 10, puis le terme qui le précède et enfin celui qui le suit.

u

= ………

Le terme qui le précède est ………

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Le terme qui le suit est ………

Exercice : Soit la suite numérique v

définie pour tout entier positif par v

= 3 et tel que v

= 2v

+ 0,5. Calculer v

et v

.

v

= ………

v

= ………

II) Représentation graphique d’une suite numérique :

 Une suite est représentée, dans le plan rapporté à un repère, par des points de coordonnées (…… ; ……).

Exemple : Soit une suite U

, tel que U

= 0,5 et U

= -2U

+ 1.

Le terme initial est U

= 0,5. Il est représenté graphiquement par le point A(1 ; 0,5).

U

= ………. Il est représenté graphiquement par le point B(…… ; ……) U

= ………. Il est représenté graphiquement par le point C(…… ; ……) U

= ………. Il est représenté graphiquement par le point D(…… ; ……) Reporter les points dans le repère suivant. Déterminer les valeurs de U

et U

, reportez les dans le même repère.

U

= ………. Il est représenté graphiquement par le point E(…… ; ……).

U

= ………. Il est représenté graphiquement par le point F(…… ; ……).

-1 0 1 2 3 4 5 6 n

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 un

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Attention, on ne relie pas les points car n  ^ . Représenter graphiquement une suite (5 min 22)

https://www.youtube.com/watch?v=VpSK4uLTFhM&feature=youtu.be

III) Variations d’une suite :

 ^{La suite u}

est ……… signifie que pour tout entier n, on a ……….

La suite u

est ……… signifie que pour tout entier n, on a ……….

Déterminer la variation d’une suite (7 min 07)

https://www.youtube.com/watch?v=Sy7jOLyygeQ&feature=youtu.be

IV) Les suites arithmétiques : 1) Définition :

Une suite arithmétique est une suite de nombres, chacun d’eux s’obtient en

……… au précédent un nombre constant appelé ……….

2) Notation :

Dans une suite les termes sont notés u

, u

, u

, …… u

. u

est le ……… terme.

u

est le terme de rang ……, u

= ……….

La raison est notée …… . 3) Exemple :

Les nombres 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 sont les 5 premiers termes d’une suite arithmétique : - de premier terme u

= ……

- de raison r = …….

On calcule le sixième terme en ajoutant r au cinquième.

u

= u

+ r = ……… u

= ……

4) Calcul d’un terme d’une suite arithmétique connaissant le premier terme : Si le premier terme est u

u

= u

+ r

u

= u

+ r = u

+ r + r = u

+ 2r

u

= u

+ r = u

+ r + r = u

+ r + r + r = u

+ 3r

… u

= u

+ ……r

Si le premier terme est u

u

= u

+ r

u

= u

+ r = u

+ r + r = u

+ 2r u

= u

+ r = u

+ r + r = u

+ r + r + r = u

+

3r

…

u

= u

+ ……r

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 Plus généralement u

= ……… ………

u

= ……… ………

Déterminer l’expression générale d’une suite arithmétique (6 min 09) https://www.youtube.com/watch?v=6O0KhPMHvBA&feature=youtu.be Démontrer qu’une suite est arithmétique (4 min 22)

https://www.youtube.com/watch?v=YCokWYcBBOk

5) Exercices :

Exercice N°1 : Donner les 4 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u

= 2,5 et de raison r = 1,2.

Exercice N°2 : Une suite arithmétique de raison r = 4,1 est telle que u

= -2. Calculer u

, u

, u

.

Exercice N°3 : Calculer les quinzième, vingt-troisième et quarante-deuxième termes de la suite arithmétique de premier terme u

= 2 et de raison r = - 2,6.

6) Représentation graphique d’une suite arithmétique :

 La représentation graphique d’une suite arithmétique est ………

sur une droite ……… et ……….

Exemple : En 2005, un institut de formation a recruté 35 élèves. Depuis, le nombre

d’élèves recrutés augmente de 15 par an. On note u

le nombre d’élèves recrutés en 2005, u

le nombre d’élèves recrutés en 2006, u

le nombre d’élèves recrutés en 2007, etc…

Écrire chaque terme u

, u

… jusque u

. Représenter les sur le graphique suivant.

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u

= ……

u

= ………

u

= ………

u

= ………

u

= ………

u

= ………

0 1 2 3 4 5 6 n

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Un

Variation d’une suite arithmétique :

Une suite arithmétique est croissante si ……….

Une suite arithmétique est décroissante si ……….

7) Calculer la somme des termes d’une suite arithmétique :

 Pour calculer la somme des termes d’une suite arithmétique, on utilise la formule : S =………

Exercice : Soit une suite arithmétique de premier terme u

= 3,2 et de raison r =4,5.

Calculer u

puis S

.

u

= ………

S

= ………

V) Utilisation du tableur pour résoudre un problème avec des suites :

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Aide pour le tableur :

La référence absolue et la référence relative : Observons les deux calculs suivants :

Pour le calcul de la proportion des ventes de l’année. On divise le

montant du 1

trimestre par celui du total de l’année.

On effectue le calcul : = C4/C9 Si l’on souhaite faire le même calcul pour le 2

trimestre, on recopie l’opération avec la poignée de recopie.

Or on arrive sur une erreur de calcul.

En effet en utilisant la poignée de recopie, l’ordinateur estime qu’il faut diviser la cellule C4+1 = C5 par la cellule C9+1 = C10. Or en C10 il n’y a pas de valeur, ce qui revient à diviser par 0, ce qui est impossible.

On utilise ici des valeurs relatives.

Il faut donc utiliser des valeurs absolues. Lorsque l’on va recopier la formule, l’ordinateur doit

comprendre qu’il faut passer de C4 à C5. Ce qui est fait naturellement.

Mais il faut toujours diviser par la

valeur de la cellule C9. Pour cela on

utilise le symbole $. L’opération

devient donc : = C4/$C$9

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Lors de la recopie, l’ordinateur utilisera toujours la cellule C9 qui écrite sous la forme $C$9 devient une valeur absolue.

On peut de la même manière utiliser l’écriture $D8 ou D$8 suivant le calcul demandé.

On peut faire apparaître les $ de C9 en cliquant sur la cellule et en

appuyant sur les touches majuscule et F4. L’ordinateur écrira lui-même

$C$9.

Aide pour le tableur :

La formule =SI(Test_logique ;Valeur_si_vrai;Valeur_si_faux) :

Lorsque l’on utilise une condition, on utilise la formule précédente. Ce qui avec Excel nous donne :

Par exemple: =SI(A1>0;”OK”;””) signifie que si le contenu de la cellule A1 est positif, on écrit OK, sinon, on laisse la cellule vide. Dans notre exemple, cette requète est déjà

identifiée comme étant fausse. (Remarque : un texte est toujours écrit entre guillemets…)