Col le MP
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: semaine 6 du 7 au 11 novembre 2011
Analyse (première année)
4 Calul dif férentie l et intégral
4.2 Intégration sur un segment
4.2.1 Fontion en esalier, fontion ontinue par moreaux, approximation de fontion
ontinue par moreaux par de fontion en esalier.
4.2.2 IntégraledeRiemann d'unefontionenesalier, d'unefontionontinueparmoreaux.
Théorème de Chasle. Valeur moyenne d'une fontion, inégalité de la moyenne. Inégalité
de Cauhy-Shwarz. Somme deRiemann. Approximation d'uneintégrale : méthode de
trapèze, majoration de lerreur; méthode de Romberg.
4.2.3 Brève extension aux fontion à valeur omplexe. Intégrale, linéarité de lintégrale,
somme de Riemann, inégalité de la moyenne.
4.3 Intégration et dérivation
4.3.1 Primitive et intégrale d'une fontion ontinue. Théorème fondamental du alul dif fé-
rentie l.
4.3.2 Calul de primitive : intégration par partie, hangement de variable. Primitive de
fontion usue l le (attention, le fontion hyperbolique inverse sont de nouveau au
programme).
4.3.3 Formule de Tay lor (ave reste intégral, majoration de Lagrange, reste d'Young).
4.3.4 Déve loǑppementlimité d'une fontion, uniitéde la partie régulière. Espae vetorie l de
fontion de
DL n. CompoǑsition de D.L.
, D.L.
de 1/g
. Intégration d'un déve
loǑppement
limité, formule de Tay lor-Young, théorèmed'existene de déve loǑppementlimité pour
une fontion de lasse
C n. Appliation à létude de la poǑsition loale d'une ourbe au
voisinage d'un point
4.3.5 Déve loǑppement limité de fontion usue l le
exp t
,(1 + t) α, sin t
, cos t
, tan t
, sh t
, ch t
,
th t
, ln(1 + t)
, Arcsin t
, Arctan t
.
4.4 Approximation
4.4.1 Calul approhé de zéroǑ d'une fontion : méthode de Newton, algorithme de Newton-
Raphson.
4.4.2 Calul approhé d'une intégrale Déjà vu.
4.4.3 Valeur approhée de rée l Calul de
√ 2
par la méthode de Newton, par le déve loǑppe-ment en fration ontinue. Calul de
e
par son déve loǑppement en série, par la limitede
1 + n 1
n
. Calul de
π
par la formule d'Arhimède, par la formule de Mahin.1
5 Suite et fontion
5.1 Espae vetorie l normé rée l ou omplexe
5.1.7 Complétude,ompaité : omplétude : Suite de Cauhy, dé finition d'un espae omplet,
d'un espae de Banah, d'un espae de Hil bert.
R
est omplet. Un produit d'espaeompletest omplet.Danunespae deBanah, le partieomplètesont le fermé.
Critère de Cauhy pour le fontion.
Compaité : dé finition d'un ompat ave la proǑpriété de Bolzano-Weierstras. Si
A
est ompat,
B
fermé alorB
est ompat. Produit d'espae ompat. Théorème de Bolzano-Weierstras surR n et C n. L'image ontinue d'un ompat est un ompat.
Si
f
est ontinue sur un ompat alorf
est uniformément ontinue.La proǑpriété de Bore l-Le besgue est maintenant hor programme.
5.2 Espae vetorie l normé de dimension finie
5.2.1 ToǑpologie d'un espae vetorie l de dimension finie : dan un espae vetorie l de di-
mension finie, toute le norme sont équivalente. Conséquene. Norme d'un endo-
morphisme dan un espae vetorie l eu lidien.
5.2.2 Connexité par ar : sur
R
, il y a identité entre onnexe par ar et interval le.Dan un e.v.n., le onvexe sont onnexe par ar. L'image ontinue d'un onnexe
par ar est un onnexe par ar.
Bonne vaane
