F F h h alias « Séparateurs à Vaste Marge » Brève introduction aux« Support Vector Machines » (SVM),alias « Séparateurs à Vaste Marge »

Brève introduction aux

« Support Vector Machines » (SVM), alias « Séparateurs à Vaste Marge »

Brève introduction aux SVM Fabien Moutarde, CAOR, MINES ParisTech 15/04/2010 1_{avril 2013}

alias « Séparateurs à Vaste Marge »

Fabien Moutarde

Centre de Robotique (CAOR) MINES ParisTech (ENSMP)

Fabien.Moutarde@mines-paristech.fr

http://perso.mines-paristech.fr/fabien.moutarde

Principe essentiel des SVM

Espace d'entrées X

Espace des représentations

internes

Espace de sortie

Φ h

Séparation Redescription

x y

Passer (indirectement) dans un espace de plus grande dimension

pour y faire séparation linéaire optimale...

Φ h

Séparation linéaire Redescription

non linéaire

Séparation linéaire

• Soient les exemples {(X_i, c_i), i=1,…, m} d’un problème de classification, avec X_i∈∈∈∈X⊂ℜ⊂ℜ⊂ℜ⊂ℜ^d, et c_i ∈∈∈∈{-1,+1}

c_i= +1

h(X)=0 h(X)>0

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• Une séparation linéaire est la partition en 2 par un hyperplan d’équation h(X) = w.X+b = 0

c_i= -1 h(X)<0

Infinité d’hyperplans

valides

Hyperplan optimal de séparation

Marge maximale

Hyperplan valide

D(x) > 1

w h(X)>1

Hyperplan optimal

D(x) = 0 D(x) = +1

D(x) = -1 Vecteurs

de support

D(x) < -1

1 w

h(X)<-1

h(X)=1

h(X)=-1 h(X)=0

Maximisation de la « marge »

• La distance d’un point p à l’hyperplan est

w p w b p

d .

)

( +

=

• On veut l’hyperplan tel que sa distance aux points les plus proches (=« marge ») soit maximale.

Maximiser cette marge revient donc à minimiser ||w||

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Maximiser cette marge revient donc à minimiser ||w||

sous la contrainte que l’hyperplan reste séparateur :



 



≥ +

∀ ( . ) 1

min

b X

i

w

c i

w

C’est un problème convexe d’optimisation

• Soit par méthode directe d’optimisation quadratique, possible en pratique uniquement si d « petite »

• Soit (le plus souvent) par méthode des

multiplicateurs de Lagrange

Résolution de l’optimisation sous contrainte

 

 L ^{( w ,} b ^, α ⁾ = ^w

− ∑

α

^{( X

^{. w} + b ^{) c}

− ^{1 }}



 

≥

∀

− +

−

= ∑

=

0

} 1 )

. {(

) , , (

1 i

i

i i

i

i

b X

b L

α

α

α ^{w w c}

w

( )

[ ¹ ] ⁰

, + − =

∀ i α

c

wx

b

= 0

∂

∂ w

Là où L est minimum, L

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ∑

=

=

i

i i i

c x w

1

*

α

De plus, conditions de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) :

seuls les αααα_i sur marge peuvent être non nuls

⇒

⇒⇒

⇒

Résolution par passage au problème dual



 



≥

∀

− +

−

= ∑

=

0

} 1 )

. {(

) , , (

1 2

i

m

i

i i

i

i

b X

b L

α

α

α ^{w w c}

w



∑

∑∑

se ramène au problème dual ci-dessous

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









=

≥

∀

−

∑

∑ ∑∑

=

= = =

l

i

i i

i m

i

m

i m

j

j i j i j i i

c i

X X c c

1

1 1 1

0 0

) . ( max

2 1

α α

α α

α

α

dont résolution est en O(m) au lieu O(d)

Solution du problème dual















−

=

=

+

=

∑

∑

= m

s i i i s

m

i

i i i

X X c c

b

X c

b h

*

*

1

*

*

*

*

) . ( ) .

( ) (

α α w

X w X

 = −

∑

= i

s i i i

s c X X

c b

1

) . α (

•La solution s’exprime explicitement en fonction des exemples de la base d’apprentissage

•Seuls les ααααi des points les plus proches de l’hyperplan sont non-nuls : ce sont les « points de supports ».

Variante SVM avec « marge douce »

• Pour tolérer quelques exemple non linéairement séparables, on relâche la contrainte de séparation :

b

X + ≥ − ξ

∀ i c

( w .

) 1

Ceci revient à minimiser w ^{2 +} C

∑

ξ

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Ceci revient à minimiser

∑

=

+

i

C i

w

1

ξ

On retrouve exactement le même problème dual que dans cas d’une marge « stricte », mais avec contrainte

0 ≤≤≤≤ αααα_i ≤≤≤≤ C

Idée du « changement de variable » pour « linéariser » un problème

• En passant de l’espace (x

,x

) à (x

,x

,x

,x

), on

a rendu le problème linéairement séparable !!

Application SVM aux problèmes non-linéairement séparables

• Si {(X_i,c_i), i=1,…, m} non linéairement séparable, chercher une transformation ΦΦΦΦ : X F telle que les exemples transformés {(ΦΦΦΦ(X_i),c_i), i=1,…, m} soient linéairement séparables dans F

Espace d'entrées X

Φ h

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Pour chaque transormation ΦΦΦΦ, on sait trouver dans F le classifieur optimal en terme de « marges »

Séparation linéaire Redescription

non linéaire

Φ h

x y

• La séparation linéaire optimale dans F est alors la solution de :

Trouver la transformation φ : φ : φ : φ : l’astuce du noyau

• Pour tout « mapping » φφφφ de X F, on peut poser









≤

≤

∀

∑ − ∑∑

= = =

m

i m

i

m

i m

j

j i j i j i i

C i

X X k c c

1 1 1

0

) , ( max

2 1

α

α α

α α







∑ =

= m

i i i

i

c

1

α 0

Chercher φφφφ revient donc à trouver le bon « noyau » k

b X X k c h

NS

i

i s i s i

s ( , )

) (

1

) ( ) ( )

( +

=

∑

=

α

qui est : X ^{où Xs(i) sont les Ns}

« points de support » Tout ça peut être calculé en connaissant k(X,Z) uniquement

(i.e. sans connaître φφφφ !!)

Noyaux usuels :

Condition de Mercer :

pour toute fonction k(X,Z) symétrique ET vérifiant

pour toute fonction f L2-intégrable (i.e. tq soit finie), il existe une fonction φφφφ telle que ∀∀∀∀ X,Z k(X,Z)=φφφφ(X). _φφφφ(Z)

Notion de noyau

0 )

( ) ( ) ,

( ≥

∫^{k X Z f X f Z dXdZ}

∫ ^{f( X)2dX}

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Noyaux usuels :

•Polynomiaux

•RBF

•sigmoïde

Z q

X Z

k(X, )=( . +1)

2 2

) 2

,

( ^σ

Z

e Z X k

− −

=

X

) .

( tanh )

,

(X Z aX Z b

k = −

Forme « neuronale » d’un classifieur SVM

b X

X k h

NS

i

i s i

s ( , )

) (

1

) ( )

( +

=

∑

=

β X

k(X ,X) β

Peut se mettre sous forme d’un réseau neuronal avec une couche cachée de Ns neurones type « noyau » (avec poids respectifs = vecteurs-support) et une sortie linéaire :

(avec β_s(i)=α_s(i)c_s(i) )

x₁

x₂

x₃

k(X_s(1),X) k(X_s(2),X)

k(X_s(Ns),X) k(X_s(j),X)

…

ΣΣΣΣ

β_s(1)

h(X)

β_s(Ns) Ns = nb de « vecteurs-support » X

Les SVM en pratique

1. Choisir type et paramètres du noyau k

2. Choisir éventuellement paramètre de tolérance C (cas d’une « marge douce »)

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Noyaux polynomiaux de degrés respectifs 2, 5, 8

Noyaux RBF gaussiens avec σσσσ = 2, 5, 10

Les SVM en pratique (2)

• Le choix des paramètres doit généralement se faire par méthode empirique rigoureuse type

« validation croisée »

• Validation croisée :

– Découper ensemble d’exemples en k sous-ensembles disjoints de taille m/k

de taille m/k

– Apprendre sur union de k-1 des parties – Calculer erreur sur k-ième partie

– Erreur finale = moyenne des k erreurs

Comparaison erreurs moyennes obtenues avec divers noyaux et paramètres choix meilleure combinaison

[Démo SVM]

QUELQUES REFERENCES SUR LES SVMs

• Learning with kernels:support vector machines, regularization, optimization, and beyond,

Bernard Scholkopf & Alexander J. Smola, The MIT Press, 2002.

Brève introduction aux SVM Fabien Moutarde, CAOR, MINES ParisTech 15/04/2010 17_{avril 2013}

• Support Vector Machines and other kernel-based

learning methods, John Shawe-Taylor & Nello

Cristianini, Cambridge University Press, 2000

http://www.kernel-machines.org/