⋯−−−⋯ ⋯−−−⋯ ⋯−−−⋯ MATHÉMATİ QUES

MATHÉMATİQUES

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EXERCİCES D’ENTRAÎNEMENT À DESTİNATION DE TOUS LES ÉLÈVES ENTRANT EN 2

^nde GT

DANS LE BASSİN D’AJACCİO EN SEPTEMBRE 2015.

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La calculatrice n’est pas autorisée.

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Rappels

- Les corrigés de ces exercices seront mis en ligne aux environs du 15 août 2015.

- Une épreuve de mathématiques commune aux élèves de 2^nde GT du bassin d’Ajaccio est

prévue courant septembre 2015.

1° On considère une fonction f et sa courbe représentative

( )

Cf dans le plan muni d’un repère (O, I, J) Sachant que 𝑓𝑓(4) = −1 et que le nombre 3 a exactement deux antécédents par la fonction f,

les nombres −2 et 3, quels sont, parmi les points A, B, C, D et E donnés ci-dessous, ceux dont on peut affirmer qu’ils appartiennent à

( )

Cf ?

A(−1; 4) ; B(4;−1) ; C(−2; 3) ; D(3;−2) ; E(3; 3)

2° On considère la fonction 𝑔𝑔 définie par 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 et sa représentation graphique dans le plan muni d’un repère (O, I, J)

Pour chacune des affirmations suivantes concernant la fonction 𝑔𝑔, dire si elle est vraie ou fausse : a) 𝑔𝑔 est une fonction affine

b) 𝑔𝑔(𝑥𝑥) est une fonction linéaire

c) la représentation graphique de la fonction 𝑔𝑔 est une droite d) la représentation graphique 𝑔𝑔(𝑥𝑥) passe par le point O

e) le point d’abscisse 𝑥𝑥= 2 de la représentation graphique de la fonction 𝑔𝑔 a pour image le

nombre 6

3° f et g sont deux fonctions.

a) Traduire chacune des deux égalités ci-dessous par deux phrases, l’une contenant le mot « image », l’autre contenant le mot « antécédent ».

 𝑓𝑓(3) = 4

𝑔𝑔(0) =−2

b) Traduire chacune des deux phrases ci-dessous par une égalité.

 Par la fonction g, − 5,3 est l'image de 6.

 2,5 a pour antécédent 4,2 par la fonction f.

Exercice 2

On considère la fonction f dont la courbe représentative

( )

Cf dans le plan muni d’un repère (O, I, J) est donnée sur le graphique ci-dessous.

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Par lecture graphique, déterminer :

a) l’image par f de chacun des nombres suivants :

−5 ; +2 et +6

b) les éventuels antécédents par f de chacun des nombres suivants :

−5 ; −3 et 0

c) un nombre ayant exactement trois antécédents par f et ses trois antécédents.

Sur le graphique ci-dessous, le plan est muni d’un repère (O, I, J) et on donne cinq droites (d₁), (d₂), (d₃), (d₄), (d₅) et (d₆).

1° Par lecture graphique, déterminer les fonctions affines 𝑓𝑓₁, 𝑓𝑓₂, 𝑓𝑓₃, 𝑓𝑓₄, 𝑓𝑓₅et 𝑓𝑓₆ dont les représentations graphiques dans le repère (O, I, J) sont respectivement (d₁), (d₂), (d₃), (d₄) (d₅) et (d₆).

Les tracés utiles aux lectures graphiques demandées devront être visibles.

2° Sur le graphique ci-dessus, placer les points A 𝐴𝐴(−2; +1) et 𝐵𝐵(+4;−3) et déterminer, par le calcul, la fonction affine 𝑔𝑔 dont la représentation graphique dans le repère (O, I, J) est la droite (AB).

Exercice 4

Soit 𝑓𝑓 la fonction définie par : 𝑓𝑓 ∶ 𝑥𝑥 ↦(𝑥𝑥+ 1)(𝑥𝑥 −3) 1° Calculer :

a) 𝑓𝑓(4)

b) l’image du nombre −4 par f 2° Déterminer :

c) le ou les antécédents du nombre 0 par f d) le ou les antécédents du nombre −4 par f

Développer et réduire les expressions suivantes :

𝐴𝐴 = 3(2𝑥𝑥 −3) 𝐵𝐵= 2𝑥𝑥(3−7𝑥𝑥) 𝐶𝐶 = 3(2𝑥𝑥 + 1) − 3(7 − 2𝑥𝑥) 𝐷𝐷 = (3 − 2𝑥𝑥)(7 − 4𝑥𝑥) 𝐸𝐸 = (2𝑥𝑥 + 3)² 𝐹𝐹 = (6 − 4𝑥𝑥)²

𝐺𝐺 = 2𝑥𝑥(3 − 2𝑥𝑥) + 3(𝑥𝑥 − 8) 𝐻𝐻= (4𝑥𝑥 − 7)(2𝑥𝑥 − 3) − (2𝑥𝑥 − 3)² 𝐽𝐽= (6 − 𝑥𝑥)(6 +𝑥𝑥) − (6 − 𝑥𝑥) (4 − 𝑥𝑥)

Exercice 6

Factoriser les expressions suivantes :

𝐴𝐴 = 6𝑥𝑥 –𝑥𝑥² 𝐵𝐵 = 9𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) + 9𝑥𝑥(10 + 2𝑥𝑥) 𝐶𝐶 = (2𝑥𝑥 + 1)(8 + 𝑥𝑥) − (3𝑥𝑥 − 1)(2𝑥𝑥 + 1) 𝐷𝐷 = 4𝑥𝑥² + 7𝑥𝑥

𝐸𝐸 = (11𝑥𝑥 − 3) ² + (11𝑥𝑥 − 3)(5 + 9𝑥𝑥) 𝐹𝐹 = 𝑥𝑥² − 10𝑥𝑥+ 25 𝐺𝐺 = (2 − 𝑥𝑥)(9 + 𝑥𝑥)−(2− 𝑥𝑥) 𝐻𝐻 = (5𝑥𝑥 + 1) ² − 81 𝐽𝐽= (7𝑥𝑥 + 2) ² − (3𝑥𝑥+ 4) ² 𝐾𝐾= 100 + 60𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 ² 𝐿𝐿= 5𝑥𝑥² + 𝑥𝑥 𝑀𝑀 = (5𝑥𝑥 −2) ² − 9(𝑥𝑥+ 1)²

Exercice 7

Résoudre les équations suivantes d’inconnue 𝑥𝑥 : (E₁): 𝑥𝑥 − 5 = − 3

(E₂): 5 − 𝑥𝑥 = 0 (E₃): 6𝑥𝑥 = 30 (E₄): 1 + 5𝑥𝑥 = −9 (E₅): ^𝑥𝑥₃= 7

(E₆): ^2𝑥𝑥+4₄

=

^𝑥𝑥−3₃

(E₇): 2− ^𝑥𝑥−6₁₀ =𝑥𝑥

(E₈): (2𝑥𝑥 −1)(𝑥𝑥 −5) = 0 (E₉): (3𝑥𝑥+ 2)² = 0 (E10): (4𝑥𝑥 − 7)² = 36 (E₁₁): 5𝑥𝑥² = 2𝑥𝑥

(E₁₂): _𝑥𝑥+5^𝑥𝑥

=

^𝑥𝑥−2₃

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1° Résoudre les inéquations suivantes d’inconnue 𝑥𝑥.

(𝐼𝐼₁): 3 +𝑥𝑥> 0 (𝐼𝐼₂): 5 – 𝑥𝑥 ≥7 (𝐼𝐼₃): 2𝑥𝑥< −8 (𝐼𝐼₄): −3𝑥𝑥 ≤9 (𝐼𝐼₅): −2𝑥𝑥>−10

2° Résoudre les inéquations suivantes d’inconnue 𝑥𝑥 et représenter graphiquement leurs solutions en bleu sur une droite graduée.

(𝐼𝐼₆): 13𝑥𝑥 − 4 < 4𝑥𝑥 + 2 (𝐼𝐼₇): 7𝑥𝑥+ 9 < 11𝑥𝑥+ 2 (𝐼𝐼₈): 10𝑥𝑥 −15≥12(𝑥𝑥 −1) (𝐼𝐼₉): 6(𝑥𝑥+ 3)≥ 𝑥𝑥+ 14

Exercice 9

Effectuer les calculs en écriture fractionnaire et donner les nombres ci-dessous sous forme de fraction irréductible. Les étapes des calculs doivent apparaître.

2 5 4 3 3 7 A= + ×

1 7 2 5 5 3 B= − ×

7 4 5 30 3 2 C = − ÷

𝐷𝐷 = 95 34 4 8 16 9 9 5 E= − ÷

7 2 4

5 3

4 F

= − + 𝐺𝐺 = −12

5 × 10

−3 ×�− 7 44� 𝐻𝐻 =7

6−5 9−1

3

Les éventuelles étapes de calculs doivent apparaître.

1° Ecrire les nombres suivants sans radical : 𝐴𝐴 =√25 𝐵𝐵= �(−13)²

2° Exprimer les nombres suivants sous la forme 𝑎𝑎√𝑏𝑏 où a et b sont des entiers, b étant positif et le plus petit possible :

𝐶𝐶 =√180 𝐷𝐷 = √6075 𝐸𝐸 = 2√44 + 3√99−7√275

3° Donner une écriture fractionnaire des nombres suivants dont le dénominateur est un entier : 𝐹𝐹 =�⁹₅ 𝐺𝐺 =

�

¹²₇

4° Ecrire le nombre 𝐻𝐻 = �4 + 5√2�²− �2√2−3��3√2 + 7� sous la forme 𝑎𝑎+𝑏𝑏√𝑐𝑐 où a et b sont des nombres entiers relatifs et c un nombre entier positif.

5° L’unité de longueur est le cm.

Soit un carré de coté 𝑐𝑐 =√5 + 2 et un rectangle de longueur 𝐿𝐿= 2√5 + 2 et de largeur 𝑙𝑙 = 3√5−1 a) Ecrire le nombre suivant sous la forme la plus simple possible :

�√5 + 2�²− �2√5 + 2��3√5−1�

b) En déduire laquelle des deux figures, carré ou rectangle, a la plus grande aire.

Exercice 11

Pour chacune des figures codées tracées à main levée ci-dessous, dire, si possible, si le quadrilatère ABCD est, ou non, un parallélogramme ? Justifier les réponses.

Figure 1

(AC) et (BD) sont sécantes en O.

Figure 2

Figure 3 Figure 4

M∈ [AB] et N∈ [DC]

Figure 5 Figure 6

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