2Attendus 1Unpeud’histoire. Chapitre1:Seconddegré

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Chapitre 1 : Second degré

Notation :: Dans l’ensemble du cours, on considèrefpxq “ax²`bx`c aveca,betc des réels eta‰0.

1 Un peu d’histoire.

Les premières équations du second degré répertorié sont du à al-Khawarizmi (780-850 environ) dans son ouvrage Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison. Il y décrit et résout les 6 équations s du second degré ainsi que les méthodes pour s’y ramener. Les mathématiques se détachent progressivement de la contrainte géométrique : c’est la naissance de l’algèbre. Dans son ouvrage on trouve notamment la résoltuion de l’équation : 3x`4“x². Les mathématiques se détachent progressivement de la contrainte géométrique : c’est la naissance de l’algèbre.

Le problème est le suivant. On construit un rectangle ABFE de côtéAB“xetAE “3 et l’on veut déterminer xą3 de sorte que dans le carré ABCD, l’air du rectangle CDEF soit de 4.

2 Attendus

Les pré-requis peuvent être revus page 16.

• Savoir représenter une fonction polynôme de degré 2.

• Déterminer la forme canonique d’une fonction polynôme de degré 2.

— Á partir de la forme développée .

— Á partir d’un graphique .

— Á partir de l’extremum et d’un point .

• Déterminer la forme factoriser d’une fonction polynôme de degré 2.

— Á Partir de la forme développée.

— Á partir de la représentation graphique

• Déterminer les variations d’une fonction polynôme de degré 2. (Utilisation de la forme canonique)

• Déterminer l’extremum d’une fonction polynôme de degré 2. (Utilisation de la forme canonique)

• Savoir utiliser la forme adéquate permettant la résolution d’un problème (forme développée, factorisée ou canonique)

• Détermination du discriminant et des racines d’une fonction polynôme de degré 2.

• Résolution d’équation et d’inéquation du second degré.

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3 Fonction polynômes du second degré

3.1 Définition

´6 ´4 ´2 0 2 4 6

10 20 30

x fpxq“x2´x`4

Définition 1. On appellefonction polynomiale du second degrétoute fonction définie surRet de la forme f :xÞÝÑax²`bx`c

aveca,betc des réels eta‰0. Ce sont lescoefficientsde la fonction polynomiale.

Remarque 1. Une fonction polynôme de degré 2 s’appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme".

Exemple 1. Voici certains exemples de polynômes :

1. 2x²´7x`4 est un polynôme du second degré aveca“2,b“ ´7 etc“4.

2. 2x`3 n’est pas une polynôme du second degré.

3. 5px´3qp4´xqest un polynôme du second degré qu’il faut developper pour trouver les coefficientsa, bet c. Cette est ce que l’on appelle la forme factorisée.

4. 5px´3q²´6 est la encore un polynôme du second degré sous sa forme canonique.

3.2 Forme Canonique

Définition-Proposition 1. On considère une fonction polynomiale f telle que fpxq “ ax²`bx`c. La fonction f peut s’écrire sous la formefpxq “apx´αq²`β. Cette expression est appeléeforme canoniquede la fonction polynomialef. Vidéo Méthode 1. https://youtu.be/OQHf-hX9JhM

Proposition 1. On a obtenu les expressions de α“^´b_2a etβ“fpαq.

Méthode 1. Pour déterminer la forme canonique du polynôme 2x²´8x`3. On a a “2,b “ ´8 et c “ 4. Donc pour déterminer

α“ ´b

2a “´p´8q 2ˆ2 “ 8

4 “2 Puis pour déterminer :

β “fpαq “fp2q “2ˆ2²´8ˆ2`3“ ´5 La forme canonique du polynôme est donc :

2x²´8x`3“apx´αq²`β “2px´2q²´5 Exercice 1. Déterminer les formes canoniques des expressions suivantes :

À Ppxq “2x²`x´3 Á Qpxq “x²´3x´4 Â Rpxq “3x²´6x`2

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Ã Hpxq “x²`4x`4

Proposition 2. La fonction polynôme fpxq “ ax²`bx`c admet pour extremum β et que cet extremum est obtenu en x“α. On a alors deux cas :

• Siaą0 le polynôme admet un minimum en α“´b

2a et ce minimum est fpαq.

• Siaă0 le polynôme admet un maximum enα“ ´b

2a et ce maximum estfpαq.

Méthode 2. Pour déterminer le minimum de la fonction polynôme de l’exemple précédent fpxq “ 2x²´8x`3. On a obtenuα“2 etfpαq “ ´5. Ici comme aą0 la fonction admet unminimumenα“2 et ce minimum vautfpαq “ ´5.

Exercice2. Déterminer l’extremum des expressions suivantes (vous donnerez la valeurαpour laquelle il est atteint. Vous direz si c’est un minimum ou un maximum et combien il vaut (fpαq) :

À Ppxq “2x²`x´3 Á Qpxq “x²´3x´4 Â Rpxq “3x²´6x`2 Ã Hpxq “x²`4x`4

Vidéo Méthode 2. Obtenir une forme canonique :https://youtu.be/OQHf-hX9JhM

Vidéo Méthode 3. Obtenir l’extremum d’une fonction polynôme du second degréhttps://youtu.be/KK76UohzUW4

3.3 Applications aux variations d’une fonction polynomiale

Soitf une fonction polynomiale de la formefpxq “ax²`bx`c. On peut distinguer 2 cas :

— Siaą0 alors on a une courbe et un tableau de variation de la forme suivante : x

fpxq

´8 ^´b_2a `8

`8

β β

`8

— Siaă0 alors on a un tableau de variation de la forme suivante : x

fpxq

´8 ^´b_2a `8

´8

β β

´8

´8 On peut voir que l’extremum de la fonction dans les deux cas estfp^´b_2aqet atteint enx“^´b_2a.

Méthode 3. Pour déterminer le tableau de variation de la fonction polynôme de l’exemple précédentfpxq “2x²´8x`3.

On a déja calculerα“2 etβ “fpαq “ ´5. Et commeaą0, on obtient le tableau : x

fpxq

´8 2 `8

`8

´5

`8

Exercice 3. Déterminer le tableau de variation des expressions suivantes : À Ppxq “2x²`x´3

Á Qpxq “x²´3x´4 Â Rpxq “3x²´6x`2 Ã Hpxq “x²`4x`4

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4 Résolution d’équations et inéquations du second degré

Dans cette partie nous allons donner une méthode pour résoudre les équations ou inéquations mettant en jeu une fonction polynomiale du second degré. Pour cela nous allons nous pencher sur l’équationfpxq “0 oùf est une fonction polynomiale du second degré.

4.1 Racine et Discriminant

4.1.1 Définitions.

Définition 2. On appelleracinedef tout nombre réelxtel que fpxq “0.

On appellediscriminantdefpxq “ax²`bx`cet l’on note ∆, le nombre ∆“b²´4ac.

Exercice 4. Pour les polynômes suivants, déterminer le discriminant ∆ et dire si -1 ou 1 ou 2 sont racines.

À Ppxq “ ´2x²`x´3 Á Qpxq “x²´3x`2 Â Rpxq “ ´3x²´6x`9 Ã Hpxq “x²´x´2 4.1.2 Propriétés.

Proposition 3. On considère fpxq “ax²`bx`c et son discriminant ∆“b²´4ac. On distingue alors 3 cas :

— Si ∆ą0 alors l’équationf possède 2 racinesx1 etx2 telles que x1“´b´?

∆

2a etx2“ ´b`?

∆ 2a etf peut être factorisé sous la formefpxq “apx´x1qpx´x2q.

— Si ∆“0 alors l’équationf possède 1 unique racinex0 telle que x0“´b

2a

etf peut se factoriser sous la formefpxq “apx´x0q². On dit de plus que x0 est une racine double

— Si ∆ă0 alors l’équationfpxq “0 n’admet pas de solutions réelle.

Méthode 4. Pour déterminer les racines de la fonction polynômefpxq “2x²´8x`6.

1^iére étape: On calcul le discriminant :

∆“b²´4ac“ p´8q²´4ˆ2ˆ6“16 2^ième étape On détermine le nombre de racines à partir du signe du discriminant.

Ici ∆“16ą0 . Donc la fonctionf admet deux racines.

3^ième étapeSi le discriminant les positif on détermine les racines : x₁“ ´b´

?∆

2a “ ´p´8q ´? 16

2ˆ2 “1 etx₂“´b`

?∆

2a “ ´p´8q `? 16 2ˆ2 “3 Exercice 5. Trouver les racines degpxq “x²`4x´1 ethpxq “2x²´12x`5 .

Exercice 6. Déterminer les racines si elles existent des expressions suivantes : À Ppxq “2x²`x´3

Á Qpxq “x²´3x´4 Â Rpxq “3x²´6x`2 Ã Hpxq “x²`4x`4

Vidéo Méthode 4. Résoudre une équation du second degré : https://youtu.be/youUIZ-wsYk

https://youtu.be/RhHheS2Wpyk https://youtu.be/v6fI2RqCCiE

(5)

4.1.3 Factoriser une fonction polynôme du second degré.

Vidéo Méthode 5. Factoriser un trinôme :https://youtu.be/eKrZK1Iisc8

4.2 Applications aux inéquations

4.2.1 Signe d’un trinôme.

Proposition 4. On obtient les 3 situations suivantes :

— Si ∆ą0 alors le signe defpxq “apx´x1q px´x2qest donné par le tableau suivant :

x ´8 x₁ x₂ `8

fpxq signe de a 0 signe de -a 0 signe de a

— Si ∆“0 alors le signe defpxq “apx´x0q² est donné par le tableau suivant :

x ´8 x0 `8

signe de a 0 signe de a

— Si ∆ ă0 alors le signe de fpxq “a`

px´αq²´_4a^∆2

˘ (On peut observer px´αq²´ _4a^∆2 ě ´_4a^∆2) est donné par le tableau suivant :

x ´8 `8

signe de a

Vidéo Méthode 6. Vidéohttps://youtu.be/sFNW9KVsTMYethttps://youtu.be/pT4xtI2Yg2Q

4.3 Résolution d’inéquetion du seond degré.

Pour résoudre une inéquation du second degré l’objectif sera d’utiliser ce que l’on sait sur le signe d’un trinôme (partie précédente)

Vidéo Méthode 7. Vidéo :https://youtu.be/AEL4qKKNvp8

5 Corrigés des exercices :

Correction exercice1. Déterminer les formes canoniques des expressions suivantes : À Ppxq “2x²`x´3

Donc pour déterminer

α“´b 2a “ ´1

2ˆ2 “ ´1

4 “ ´0,25 Puis pour déterminer :

β“fpαq “f ˆ´1

4

˙

“2ˆ ˆ´1

4

˙2

` ˆ´1

4

˙

´3“ ´13

4 “ ´3,25 La forme canonique du polynôme est donc :

2x²`x´3“apx´αq²`β“2

„ x´

ˆ´1 4

˙2

´13

4 “2px`0,25q²´3,25 Á Qpxq “x²´3x´4

α“ ´b 2a “ 3

2ˆ1 “3 2 “1,5 Puis pour déterminer :

β “fpαq “f ˆ3

2

˙

“ ˆ3

2

˙2

´3 ˆ3

2

˙

´4“´25

4 “ ´6,25 La forme canonique du polynôme est donc :

x²´3x´4“apx´αq²`β “ px`1,5q²´6,25

(6)

Â Rpxq “3x²´6x`2 Donc pour déterminer

α“´b 2a “ 6

2ˆ3 “1 Puis pour déterminer :

β“fpαq “fp1q “3ˆ1²´6ˆ1`2“ ´1 La forme canonique du polynôme est donc :

3x²´6x`2“apx´αq²`β“3px´1q²´1 Ã Hpxq “x²`4x`4

α“ ´b 2a “ ´4

2ˆ1 “ ´2 Puis pour déterminer :

β “fpαq “fp´2q “ p´2q²`4ˆ p´2q `4“0 La forme canonique du polynôme est donc :

x²`4x`4“apx´αq²`β“3px´ p´2qq²“3px`2q² Correction exercice2. Voir correction de l’exercice 3.

Correction exercice3. Pour les valeurs deαetβ voir exercice 1.

À Ppxq “2x²`x´3

Icia“2ą0 alors on a une courbe et un tableau de variation de la forme suivante : x

fpxq

´8 ^´1₄ `8

`8

´13 4

`8

La fonctionf admet donc un minimum en ^´1₄ qui vaut ^´13₄ . Á Qpxq “x²´3x´4

fpxq

´8 ³₂ `8

`8

´25 4

`8

La fonctionf admet donc un minimum en ³₂ “1,5 qui vaut ^´25₄ . Â Rpxq “3x²´6x`2

fpxq

´8 1 `8

`8

´1

`8

La fonctionf admet donc un minimum en 1 qui vaut´1.

Ã Hpxq “x²`4x`4

Icia“2ą0 alors on a une courbe et un tableau de variation de la forme suivante :

(7)

x

fpxq

´8 ´2 `8

`8

0 0

`8

La fonctionf admet donc un minimum en´2 qui vaut 0.

Correction exercice4. .

À Ppxq “ ´2x²`x´3 On a ∆“1²´4ˆ p´2q ˆ p´3q “ ´23.

-1 Pp´1q “ ´2ˆ p´1q²` p´1q ´3“ ´6‰0 Donc -1 n’est pas racine.

1 Pp1q “ ´2ˆ1²`1´3“ ´4‰0 Donc 1 n’est pas racine.

2 Pp2q “ ´2ˆ2²`2´3“ ´9‰0 Donc 2 n’est pas racine.

Á Qpxq “x²´3x`2 On a ∆“ p´3q²´4ˆ1ˆ2“1

-1 Pp´1q “ p´1q²´3ˆ p´1q `2“6‰0 Donc -1 n’est pas racine.

1 Pp1q “1²´3ˆ1`2“0 Donc 1 est racine.

2 Pp2q “2²´3ˆ2`2“0 Donc 2 est racine.

Â Rpxq “ ´3x²´6x`9 On a ∆“ p´6q²´4ˆ p´3q ˆ9“144.

-1 Pp´1q “ ´3ˆ p´1q²´6ˆ p´1q `9“12‰0 Donc -1 n’est pas racine.

1 Pp1q “ ´3ˆ1²´6ˆ1`9“0 Donc 1 est racine.

2 Pp2q “ ´3ˆ2²´6ˆ2`9“ ´15‰0 Donc 2 n’est pas racine.

Ã Hpxq “x²´x´2 On a ∆“ p´1q²´4ˆ p´2q “9.

-1 Pp´1q “ p´1q²´ p´1q ´2“0 Donc -1 est racine.

1 Pp1q “1²´1´2“ ´2‰0 Donc 1 n’est pas racine.

2 Pp2q “2²´2´2“0 Donc 2 est racine.

Correction exercice5. Trouver les racines degpxq “x²`4x´1 ethpxq “2x²´12x`5 .

Polynôme ∆ Nb de racines Racines s’il y en a.

gpxq “x²`4x´1 ∆“4²´4ˆ1ˆ p´1q “20 2 racines x1“ ^´b´

?∆ 2a “ ^´4´

?20

2 et x2“ ^´4`

?20 2

hpxq “2x²´12x`5 ∆“ p´12q²´4ˆ2ˆ5“104 2 racines x₁“ ^12´

?104

4 et x₂“^12`

?104 4

Correction exercice6. À Á Qpxq “x²´3x´4 Â Rpxq “3x²´6x`2 Ã Hpxq “x²`4x`4

Polynôme ∆ Nb de racines Racines s’il y en a.

Ppxq “2x²`x´3 ∆“4²´4ˆ1ˆ p´1q “20 2 racines x1“ ^´b´

?∆ 2a “ ^´4´

?20

2 et x2“ ^´4`

?20 2

hpxq “2x²´12x`5 ∆“ p´12q²´4ˆ2ˆ5“104 2 racines x1“ ^12´

?104

4 et x2“^12`

?104 4