DS n°07

(1)

Exercice 1 : [5.5 points]

Cet exercice est un exercice à choix multiples. Vous devez choisir la ou les bonne(s) réponses.

Sur votre copie, vous indiquerez le numéro de la question ainsi que la lettre désignant la ou les bonnes réponses.

Partie A :

𝑓est une fonction dérivable [−10 ; 5]

qui admet le tableau de variations suivant :

1. La fonction 𝑓 admet un extremum local en :

a) −10 b) −6 c) −2 d) 0 2. D’après le tableau de variations :

a) 𝑓′(−10) <0 b) 𝑓(−7) < 0

c) On ne connait pas le signe de 𝑓(−7) d) ∀𝑥 ∈ ] − 1; 5] ∶ 𝑓(𝑥) ≤ 4

3. Le tableau de signe de f’(x) est :

x -10 -6 -2 -1 0 5 Signe f’(x) − 0 + 0 − + 0 −

Partie B :

Soit 𝑓 la fonction définie et dérivable sur [−4; 4].

La courbe ci-contre représente la fonction 𝑓.

a) 𝑓^′(1) = 0

b) ∀∈ [−4; 4] : − 2 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 2

c) Les solutions de 𝑓′(𝑥) > 0 sont ] − 0.5 ; 4]

Partie C :

Soit ℎ la fonction définie et dérivable sur ℝ par : ℎ(𝑥) = ^2𝑥

𝑥²+4

a) ℎ^′(𝑥) =¹

𝑥 b) ℎ^′(𝑥) = ^6𝑥²⁺⁸

(𝑥²+4)² c) ℎ′(𝑥) =^−2𝑥²⁺⁸

(𝑥²+4)²

DS n°07 – lundi 26 mars 2018 – 1^ère S ^{Nom :}

Exercice N°1 N°2 N°3 N°4 N°5 NOTE :

Barème : /5.5 /4.5 /4 /2 /4

/20

Compétences ^Acquis ^{En cours}

d’acquisition Non acquis Calculer un produit scalaire à l’aide des différentes définitions

Utiliser le théorème d’Al-Kashi et la formule des sinus Déterminer la mesure d’un angle

Déterminer l’équation cartésienne d’un cercle Montrer qu’un point appartient à un cercle

Déterminer l’équation cartésienne de la tangente à un cercle en un point donné Déterminer la fonction dérivée d’une fonction quotient

Extraire des informations d’un tableau de variations

a.

)

x -10 -6 -2 -1 0 5 Signe f’(x) − 0 + 0 + + 0 − b.

(2)

Exercice 2 : [ 4.5 points]

Soit 𝒞 le cercle d’équation : 𝑥² + 𝑦² − 2𝑥 − 6𝑦 + 8 = 0

1. Déterminer le rayon R et les coordonnées du centre Ω du cercle 𝒞.

2. Montrer que le point 𝐴(0; 4) appartient au cercle𝒞 . 3. Déterminer l’équation de la tangente en A au cercle .

Exercice 3 :[ 4 points]

ABCD est le trapèze rectangle ci-dessous tel que : 𝐴𝐵 = 8 ; 𝐶𝐷 = 3 𝑒𝑡 𝐴𝐷 = 6.

O est le point d’intersection de ses diagonales.

a) Démontrer que 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 36 b) Démontrer que 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12

Exercice 4 : [ 2 points]

Sur le billard représenté ci-dessous, les dimensions sont données en mm.

On note B le point où la boule est située.

Calculer la valeur de l’angle 𝜶 arrondie au degré.

Exercice 5 :[ 4 points]

A

C

L’axe de la tour Eiffel est représenté par le segment [SH] et une partie de l’avenue Anatole-France est représentée par le segment [HB].

Afin de contrôler la hauteur de la tour Eiffel, un géomètre a obtenu les mesures suivantes : 𝑆𝐷𝐻̂ = 50° ; 𝑆𝐸𝐻̂ = 39.7° 𝑒𝑡 𝐷𝐸 = 110𝑚 Calculer la hauteur de la tour Eiffel.

(3)

Premières S Correction DS7 17-18

Exercice 1 : Cet exercice est un exercice à choix multiples. Vous devez choisir la ou les bonne(s) réponses.

Sur votre copie, vous indiquerez le numéro de la question ainsi que la lettre désignant la ou les bonnes réponses.

Partie A :

𝑓est une fonction dérivable [−10 ; 5]

qui admet le tableau de variations suivant :

1. Réponses b) et d) : -1 est le minimum local atteint pour x= -6 et 4 est le maximum local atteint pour x=0 2. D’après le tableau de variations :

a) 𝑓′(−10) <0 Vrai car su [-10,-6] f est strictement décroissante b) 𝑓(−7) < 0 Faux on ne peut pas savoir

c) On ne connait pas le signe de 𝑓(−7) Vrai peut être positif ou négatif

d) ∀𝑥 ∈ ] − 1; 5] 𝑓(𝑥) ≤ 4 Vrai car Sur ] − 1; 5] , 4 est le maximum donc ∀𝑥 ∈ ] − 1; 5] 𝑓(𝑥) ≤ 4 . 3. La réponse b) est la bonne car lorsque f est croissante f’(x) est positive et lorsque f est décroissante, la dérivée est négative.

Partie B :

Soit 𝑓 la fonction définie et dérivable sur [−4; 4].

La courbe ci-contre représente la fonction 𝑓.

a) 𝑓^′(1) = 0 Vrai tangente horizontale b) ∀∈ [−4; 4] : − 2 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 2

Vrai sur [−4; 4] le maximum est 2 et le minimum est -2.

c) Les solutions de 𝑓′(𝑥) > 0 sont ] − 0.5 ; 4]

Faux. Sur [1 ;4] f’(x) <0 car f est décroissante.

Partie C

Soit ℎ la fonction définie et dérivable sur ℝ par : ℎ(𝑥) = ^2𝑥

𝑥²+4

ℎ =^u

v et ℎ’ = ^𝑢^′^{𝑣−𝑢𝑣′}

𝑣² avec 𝑢(𝑥) = 2𝑥 𝑒𝑡 𝑢’(𝑥) = 2 𝑣(𝑥) = 𝑥² + 4 𝑒𝑡 𝑣’(𝑥) = 2𝑥

donc ℎ’(𝑥) = ^2(𝑥²^{+4)−2𝑥×2𝑥}

(𝑥²+4)² = ^{2𝑥²+8−4𝑥²}

(𝑥²+4)² = ^−2𝑥²+8

(𝑥²+4)² soit la réponse c)

Exercice 2 :

Soit 𝒞 le cercle d’équation : 𝑥² + 𝑦² − 2𝑥 − 6𝑦 + 8 = 0

1. Déterminer le rayon R et les coordonnées du centre Ω du cercle 𝒞.

𝑥² − 2𝑥 = (𝑥 − 1)² − 1² 𝑦² − 6𝑦 = (𝑦 − 3)² − 9

2. Montrer que le point 𝐴(0; 4) appartient au cercl𝑒𝒞 .

𝐴(0 ; 4) ∈ 𝒞 (𝑥_𝐴− 1)²+ (𝑦_𝐴− 3)² = 2 or (0 − 1)²+ (4 − 3)² = 1+1 = 2 donc 𝐴(0 ; 4) ∈ 𝒞 3. Déterminer une équation de la tangente en A au cercle.

Soit 𝐓_𝐀 la tangente au cercle en A .

 T_A passe par le point A

 T_A est perpendiculaire au rayon [ΩA].

ΩA⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées (0 − 1 ; 4 − 3) = (−1 ; 1) T_A a une équation de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 𝑜

𝑥² + 𝑦² − 2𝑥 − 6𝑦 + 8 = 0 (𝑥 − 1)² − 1²+(𝑦 − 3)² − 9 + 8=0 (𝑥 − 1)²+ (𝑦 − 3)² = 2

𝒞 est le cercle de centre Ω (1 ;3) et de rayon √2

Commentaire [WU1]:

Partie A : 1.1 pt 2.1 pt 3.1pt Partie B 1 pt Partie C 1.5 pts

1.1.5 + 0..5 (centre et rayon) 2.0.5 pt

3.2pts

(4)

ΩA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ T_A  −𝑥 + 1𝑦 + 𝑐 = 0 ; A(0 ;4) ∈T_A −0 + 1x4 + 𝑐 = 0  c= −4 donc T_A : −𝑥 + 𝑦 − 4 = 0.

Exercice 3

a) Dans le triangle ADC rectangle en A D’après le théorème de Pythagore AC² = AD² +DC²  AC² = 36 +9 =45 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = ¹

2 (AC² +AD² -DC² ) = ¹

2 (45 +36 -9)=36 Autre méthode : (Par projection orthogonale) Le point D est le projeté orthogonal de C sur (AD) Donc : 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷² = 6² = 36

a) Démontrer que 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12

𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (CD⃗⃗⃗⃗⃗ +DA⃗⃗⃗⃗⃗ ) .(DA⃗⃗⃗⃗⃗ + AB)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 car (CD)⊥(DA) et 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 car (DA)⊥(AB)

𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝐶𝐷 × 𝐴𝐵 = −3 × 8 = −24 car les vecteurs sont colinéaires et de sens opposés.

𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐴² = 36 donc 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 − 24 + 36 = 12

Exercice 4 :

Calculer la valeur de l’angle 𝜶 arrondie au degré.

D’après le théorème d’Al Kashi :

𝐴𝐶² = 𝐵𝐴² + 𝐵𝐶² − 2 𝐵𝐴 × 𝐵𝐶 × 𝑐𝑜𝑠(𝐴𝐵𝐶̂)

AC²−BA²−BC²

−2BAxBC = cos(ABĈ )

 cos(ABĈ )= 1100²−1400²−1200²

−2x1400x1200 Donc ABĈ ≈49°

Exercice 5

Angle SDÊ =180-50 =130°

Angle DSÊ =180-130-39.7 =10,3°

Dans le triangle SDE

DE sinŜ =^DS

sin Ê DS = ^DE

sinŜ x𝑠in Ê  DS = ¹¹⁰

sin10.3 x𝑠in 39.7 ≈392.97 m Dans le triangle SHD rectangle en H

𝑠in SDĤ = ^SH

DS SH =DS x 𝑠in 50 ≈ SH =392.97 x 𝑠in 50≈ 301.03 m

Conclusion : Donc la tour Eiffel a, d’après les mesures effectuées, une hauteur de 301 mètres.

(Elle est réputée pour mesurer 300mètres)

A

C

a)2 pts b)2pts

2 pts

0.5 angle SDE 0.5 angle DES 1.5 mesure de SD 1.5 mesure de SH

(5)