Devoir de contrôle 3

www.zribimaths .jimdo.com A.S 2018-2018 Page 1

maths zribi.jimdo.co m

L.S.Marsa Elriadh

Devoir de contrôle 3

4 ^èmeSc Bon Travail

Exercice 1 ( 4 points):

En vue de sa prochaine brochure d’information sur les dangers d’internet un lycée a fait remplir un questionnaire à chacun des 600 élèves, répartis dans les sections de deuxième, troisième et quatrième.

On obtient la répartition suivante :

− 240 élèves sont en deuxième.

− 35 % des élèves sont en troisième.

− parmi les élèves de deuxième, 70 % utilisent régulièrement internet.

− 30 % des élèves de troisième utilisent régulièrement internet.

− 560 élèves utilisent régulièrement internet.

Cette enquête permet de modéliser le choix d’un élève du lycée.

On choisit au hasard un questionnaire d’élève en supposant que ce choix se fait en situation d’équiprobabilité. On note :

− D l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de deuxième »

− T l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de troisième »

− Q l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de quatrième »

− I l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève qui utilise régulièrement internet » On donnera les valeurs arrondie au dixième.

1) Déterminer la probabilité d’obtenir le questionnaire d’un élève de deuxième qui utilise régulièrement internet.

2) Le questionnaire est celui d’un élève qui utilise régulièrement internet.

Calculer la probabilité que ce soit le questionnaire d’un élève de quatrième.

3) On choisit au hasard, successivement et avec remise, n questionnaires.

On désigne par X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de questionnaires d’un élève utilisateur régulier d’internet.

a) Déterminer la loi de probabilité de X.

b) Calculer la moyenne de X.

c) pn la probabilité qu’au moins un questionnaire soit d’un élève utilisateur régulier d’internet. Déterminer n pour que pn ≥ 0,99

www.zribimaths .jimdo.com A.S 2018-2018 Page 2 Exercice 2: ( 6points):

1) On a représenté ci-dessous les courbes représentatives C1 et C2 des deux fonctions

( ) 4 ² ^x ( ) 2 3 ^x

f x x e et g x x e .

a) Identifier la courbe de f et celle de g.

b) Donner le tableau de signe de h(x)=f(x)-g(x) .

2) Soit h la fonction définie par h(x)= h x( ) (4 ² 2x x³)e ^x . a) Vérifier que h’(x)= 2 ( ² 5x x x 4)e ^x.

b) Dresser le tableau de variations de h.

3) Pour n∈IN*, on pose

1

0

n x

In x e dx .

a) Calculer I1 , en utilisant une intégration par parties.

b) Montrer, en utilisant une intégrations par parties, que pour tout n∈IN* ;

1

1 ( 1)

n n

I n I e .

c) Calculer I2 .

d) Calculer l’aire A de la partie du plan délimité par la courbe de h, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=1

Exercice 3 ( 10 points):

Soit gla fonction définie sur IR par ^{g x( ) e x x 1} ; on désigne par Cg sa courbe représentative dans un repère orthonormé ^{O i j, , }

1) a) Calculer, pour tout x IR, g’(x).

b) Dresser le tableau de variations de g.

c) Justifier que, pour tout x IR, 0 g(x) ; en déduire que 1 ^{e x x} .

d) Calculer l’aire de la partie du plan limitée par Cg, l’axe des abscisses et les droites x=0 et x=1.

www.zribimaths .jimdo.com A.S 2018-2018 Page 3 Soit f la fonction définie par ^{f x( ) x} _x

x e ; on désigne par Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé ^{O i j, , }

2) Montrer que f est définie sur IR.

3) a) Vérifier que, pour tout x IR*, ^{( ) 1}

1 1_x f x

xe

.

b) Calculer lim ( ) lim ( )

x f x et x f x . Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

4) a) Montrer que, pour tout x IR, ^{'( ) 1} ₂

x x

f x x e

x e

.

b) Dresser le tableau de variations de f.

5) a) Donner une équation de la T tangente à Cf au point d’abscisse 0.

b) Vérifier que ( ) ^{( )} ( ) 1 x f x xg x

g x . c) En déduire la position de T et Cf.

6) Tracer Cf et T.

7) Soit U la suite définie sur IN par ⁰

1

1

( )

n n

U

U f U . a) Montrer que pour tout n IN, 0 U_n 1 . b) Prouver que la suite U est décroissante.

c) En déduire que la suite U est convergente et calculer sa limite.