CHAPITRE
11 décision et Prise de estimation
Sommaire
Partie A (s17) 2
1 Échantillonnage. . . 2
1.1 Intervalle de fluctuation d’une fréquence 2
1.2 Prise de décision 3
Ch.11 Prise de décision et estimation TaleSTI2D
Partie A (s
17)
Lorsqu’on s’intéresse à une caractéristique d’une population, il est parfois impossible de tester chaque individu, on est alors amené à travailler sur des échantillons. L’inférence statistique consiste à induire les caractéristiques inconnues d’une population à partir d’un échantillon issu de cette population.
Les méthodes d’inférence statistiques ont connu deux grandes phases de développement. La première commence à la fin duxixe siècle, avec des travaux qui dégagent les notions de test d’hypo- thèse et d’intervalle de confiance.
La seconde, qui perdure aujourd’hui, a été rendue possible grâce à la puissance de calcul des ordinateurs et à la banalisation de l’outil informatique à partir de la fin des années 1940.
1 Échantillonnage
1.1 Intervalle de fluctuation d’une fréquence
La théorie de l’échantillonnage se pose la question suivante :
en supposant connus les paramètres statistiques d’une population, que peut-on en déduire sur les échantillons prélevés dans la population ?
On suppose que ces échantillons de taillen sont prélevés au hasard et que le tirage de ces échantillons est effectué avec remise. On connait la proportionpdu caractère C de la populationP et on cherche la fréquencef théorique de ce caractère.
PopulationP Proportionp du caractèreC
Échantillon de taillen
fréquence fdeC?
Soit p la proportion d’un caractère C d’une population P. Dans un échan- tillon de taille nvérifiantn≥30, np≥5 et n(1−p)≥5, la fréquencef du caractère C appartient à l’intervalle :
p−1,96
sp(1−p)
n ;p+ 1,96
sp(1−p) n
avec un probabilité de 95 %.
Cet intervalle est appeléintervalle de fluctuation asymptotiqueà 95 %.
Définition 1.
en seconde, on avait
p− 1
√n;p+ 1
√n
http://mathematiques.daval.free.fr 2/3 Lycée Georges Brassens
Ch.11 Prise de décision et estimation TaleSTI2D
Mais pourquoi cette formule étrange ? À quoi correspond 1,96 ?
SoitX la variable aléatoire qui a un échantillon de taillenassocie le nombre d’indi- vidus présentant le caractèreC de proportionp dans la population totale.X suit la loi binomialeB(n, p) qui peut être approchée par la loi normaleNnp,pnp(1−p).
voir chapitre 10
Dans ce cas, P(µ−2σ ≤ X ≤ µ+ 2σ) ≈ 0,95 à 10−2 près mais on peut préciser davantage : à 10−5 près, on obtient P(µ−1,96σ ≤X ≤µ+ 1,96σ)≈0,95.
D’où : Pnp−1,96pnp(1−p)≤X ≤np+ 1,96pnp(1−p)≈0,95.
On considère maintenant la variable aléatoireF = X
n correspondant à la fréquence : P np−1,96pnp(1−p)
n ≤ X
n ≤ np+ 1,96pnp(1−p) n
!
≈0,95
admis
P
p−1,96
sp(1−p)
n ≤F ≤p+ 1,96
sp(1−p) n
≈0,95 ! Exemple 2
Dans une chaîne de production fonctionnant normalement, 6 % des pièces produites pré- sentent un défaut de fabrication. Le responsable de la chaîne souhaite savoir s’il est néces- saire de procéder à un entretien de la chaîne. Pour cela, il prélève au hasard 100 pièces. Il détermine l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % :
I=
"
0,06−1,96
r0,06×0,94
100 ; 0,06 + 1,96
r0,06×0,94 100
#
= [ 0,015 ; 0,107 ].
1.2 Prise de décision
À l’aide d’un échantillon de taillen, on souhaite vérifier si on peut raisonnablement penser que la proportionp de la population est bien celle annoncée. Pour cela, on effectue un adopte la procédure suivante :
• on détermine l’intervalle de fluctuation de la fréquence au seuil de 95 % ;
• on calcule la fréquencef réelle dans l’échantillon ;
• on conclut :
— si f est dans l’intervalle, on accepte l’hypothèse selon laquelle p est bien la proportion de la population ;
— sif n’est pas dans l’intervalle, l’hypothèse faite sur p est rejetée.
Test 3.
Exemple 4
On reprend l’exemple 2 précédent. Si le responsable trouve 9 pièces défectueuses, doit-il procéder à un entretien de sa chaîne ? Même question si 12 pièces sont défectueuses.
• 9 pièces correspondent à une fréquence de 9
100= 0,09. Or, 0,09∈[ 0,015 ; 0,107 ] donc, on peut considérer, au seuil de 95 % que la chaîne fonctionne normalement ;
• 12 pièces correspondent à une fréquence de 12
100 = 0,12. Or, 0,12 ∈/ [ 0,015 ; 0,107 ] donc, on peut considérer, au seuil de 95 % que la chaîne doit être réparée.
http://mathematiques.daval.free.fr 3/3 Lycée Georges Brassens
