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(1)

N

OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

L EBESGUE

Sur les racines primitives de l’équation x

n

− 1 = 0

Nouvelles annales de mathématiques 1resérie, tome 11 (1852), p. 417-424

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1852_1_11__417_0>

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(2)

* 4*7 )

S U LES RACINES PRIMITIVES DE L'ÉQUATION

xn — i = o ; PAR M. LEBESGUE.

1. L'équation

( i ) *»=i

a n racines données par la formule

2i7T . 2 i n » xt = cos h sm d— i

n n y

dans laquelle il faut faire successivement

! = O, I , 2 , 3 , . . . , « — I.

On tire de là

i ik . ik ,

X = COS — 2 7T - | - S i n — 2 7T V

n n v

2 7T | S i n 2 7T V I •

n n v

Pour réduire x\ è l'unité, il faut rendre ~ entier ; d'où il suit qu'en prenant d pour plus grand commun diviseur de iet n, il faut que h soit multiple de -• La plus pe- tite valeur de k est donc -• On dit que la racine xt ap- partient à l'exposant-•

Les racines primitives sont celles qui appartiennent à Texposant n^ il y en a autant que de nombres premiers à n et moindres que n $ représentons ce nombre de nombres premiers à n par <f(n).

2. Soit n = a*bPcy.. .,a, b,c,... étant des nombres premiers différents $ les racines non primitives de x" = i

An*, de Mathémat., t. XL (Novembre i852.) 2J

(3)

appartiennent nécessairement à un exposant diviseur d'un , , n n n ^

des n o m b r e s - Î T> ->

a b c

De sorte que, si Ton cherchait le plus petit multiple

n n n

des binômes x* — i, x — i, xc — i,. . ., ce plus petit multiple étant X, l'équation aux racines primitives serait

xn — i

- x - = 0'

équation du degré <j) (n), ayant pour racines précisément toutes les racines primitives de xn = i.

Quant à la règle pour trouver le plus petit multiple de plusieurs fonctions entières ƒ (x), F (x), etc., elle est pré- cisément la même que celle qui sert à trouver le plus petit multiple de plusieurs nombres entiers. Je l'ai donnée et dé- montrée au commencement de Tannée 1829, à peu près comme le fait ci-dessus M. Serret (Bulletin du Nord, journal scientifique publié à Moscou) j j'ai rappelé ce théorème et son application à la recherche de l'équation aux racinesprimitives dans mes Recherches sur les nombres (Journal de Mathématiques, tome II, page 258).

n n n

* Si Ton observe que xa — 1, x — 1 ont xa — 1 pour

n n n

plus grand commun diviseur, que xa — 1, xh — 1, xc — 1

n

ont xabc — 1 pour plus grand commun diviseur, et ainsi des autres \ en posant

n, = n ( x « — 1) = \a? — i) v*? — 1) \ ^7— - 1 ) . . . , na = n vt«~6 — 1) = \a** — 1 ) \ a ^ — 1 ) . . . ( ^c— 1 ) . . , , IÏ3 = n ( * » - 1) = ( * £ - 1 ) . . . ( ^ - 1 ) . . . ,

(4)

en prenant pour dénominateur de n dans nt les aom- bres a, &, e,..*., dans IIj les combinaisons deux à deux, ou plutôtlisp^luitsah, a e , . . . , dans IId les combinai- sons <fu produits trois à trois, tels que abc, abd,...,

n n

le plus petit multiple des binômesxa—i, xh—i,...,sera

~~ n2. n4. n6. . . '

et, par suite, l'équation aux racines primitives sera

( 2 ) = O

Cette équation a été aussi donnée par M. Cauchy, en 1826, dans ses Exercices de Mathématiques.

3. Les remarques suivantes facilitent le calcul de la fonction cpn(x). Il suffit de les énoncer, la démonstration étant sans difficulté :

(*) On lit en plusieurs endroits que Tequation aux racines primitives est irréductible ; la démonstration est bien connue pour le cas de n pre- mier ou de a:* = i ; xn"l-+-xn^i <+• . . H- x -+- 1 =sfe «st alors l'équation aux racines primitives.

Il serait bon d'indiquer d'une manière précise la démonstration géné- rale relative au cas de n nombre compose

27.

(5)

42O )

et ainsi de suite,

5°. Pour n = ,

) n ( » 4 ) . . . a «J8 y _ = o, n = a a ft c . Cette dernière s'obtient au moyen de

*'* —

' — I•=**+!.

•Sur /es racines primitives de Véquation xp~l— i = py, le nombre p supposé premier.

4. Cette équation est satisfaite par a?=i, 2, 3 v. . , p — 1 . Si la racine a est telle que a* — ï soit la moindre puis- sance de a, qui ? diminuée de l'unité, donne un reste di- visible par p, la racine a appartiendra à l'exposant &, diviseur de p — 1 . Les racines primitives sont celles qui appartiennent à l'exposant p — 1.

L'équation aux racines primitives est

la fonction cpp_i {x) étant formée comme il a été dit plus haut. La démonstration s'établit facilement au moyen des propriétés communes aux équations

xV-x — 1 = 0 , xP~x — 1 — py.

Ces propositions d'algèbre supérieure, ces curiosités de la science, si l'on veut, n'appartenant point à l'enseigne- ment des lycées, devraient naturellement trouver leur place dans l'enseignement des facultés ; car l'expérience a prouvé que les curiosités de la science en deviennent assez souvent un jour des nécessités.

Les Tables de racines primitives, ou plutôt les Tables

(6)

( 4« )•

d'indices correspondant aux nombres, et^e nombres cor- respondant aux indices, pour un nombre premier donné, sont tellement utiles pour la résolution des équations nu- mériques indéterminées f que l'illustre Jacobi s'.est occupé de leur formation. Ces Tables ont été publiées à Berlin {Impensis Academiœ litterarum regiœ Borussiœ) (*).

Dans un ouvrage assez récent, M. Desmarest a donné quelques règles pour trouver, presque sans calcul, une racine primitive pour certaines classes de nombres pre- miers. Il est fâcheux que son ouvrage renferme, au sujet des Recherches arithmétiques de M. Gauss, des assertions qui ne seront point acceptées par ceux qui auront lu avec attention cet ouvrage si justement célèbre.

Pour démontrer ces règles, il suffit de se rappeler les théorèmes suivants :

p — i

I. L'équation x 2 -\-i = py est l'équation aux non- résidus quadratiques.

II. Si p = 4<7 -+-1, — i est résidu quadratique $ Si p = 4 <? -H 3, — i est non-résidu quadratique ; Si p = 8 k ± i, i est résidu quadratique y Si p = 8ftzh3, 2 est non-résidu quadratique.

III. Si p est résidu quadratique de q, q sera résidu quadratique de p 5

Si p est non-résidu quadratique de q, q sera non-ré- sidu quadratique de p.

On suppose ici p et q premiers impairs, Tun au moins étant de forme 4 k •+-1.

IV. Les nombres premiers p et q étant tous deux de forme 4 # -i- 3 ,

(*) L'arithmologie a subi une nouvelle perte*, cruelle, irréparable.

EisENTEiN est mort, jeune d'années, vétéran de la science Nous y reviendrons.

(7)

«Si' p est residu quadratique de q, q sera non-résidu quadratique diSfp, et réciproquement.

Ceci posé, on a céÈ théorèmes :

A. Si p = 2* + 1 est premier^ tout non-résidu est ra- cine primaire. 3 est toujours racine primitive.

L'équation aux racines primitives est qui est aussi l'équation aux non-résidus car

donc p non-résidu de 3, et 3 non-résidu de p.

B. Si p = il a H- i, Véquation aux racines primitives est

les non-résidus sont racines primitives, en exceptant seulement ceux qui donneraient

application :

1 = 1, /) = 2fl + I.

Tous les non-résidus sont racines primitives, sauf — i r

qui satisfait à l'équation

x -f- i = PX'

Pour

ö = 4 Z - f - i , /? = 8 * 4 - 3 ,

2 est non-résidu et racine primitive.

Pour

— % est racine primitive.

Pour

i=2, pz=z /±a 4 - 1 ,

(8)

( 4*3 ) a = i k -f-1 donnant

2 est racine primitive.

Si

22 -h I == 5 = p

il y a exception j cela arrive pour si

f = 3, p=z Sa *+- i;

pour

rt=3, <2 = 6 A -{- I, p n'est plus nombre premier} pour

ö = =6 ^ — i , /> = 3*-4-2 = (48X — 7 ) ,

/; étant non-résidu de 3, 3 sera non-résidu de p ^ et, par suite, racine primitive ; à moins que l'on n'ait

3* 4- 1 = 82 = 2.4* = # r , l'exception tombe sur

/ > = 4 i .

Il serait facile de multiplier les exemples.

Le théorème A est de M. Richelot. Les théorèmes pour

p rr la -f-1,

ou d'autres analogues, ont été donnés par M. Prouket;

les autres se trouvent dans l'ouvrage de M. Desmarest.

Bien que je n'aie plus cet ouvrage entre les mains,.je crois pouvoir assurer que la marche ici tracée peut faire trouver les règles que l'auteur y a données, et bien d'autres de menue nature. On détermine un non-résidu quadratique du nombre premier p , et l'on fait voir qu'il est racine de l'équation aux racines primitives. Soient

(9)

l'équation aux racines primitives,

Féquation aux non-résidus quadratiques *, on a N = RQ.

Le non-résidu n, qui est racine de N = pj", le sera aussi de R =py> si Q=zpy n'a pas n pour racine.

Références

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