ExnupN o'AlArnsr 2 ets

(1)

/^

/ ^ls-

^Univ.^Paris

^VIII,

^2010-2011

ExnupN o'AlArnsr 2 ets

Les calculatrices sont i,nterdi,tes, et les téléphones portables doiuent être éteints.

Exercice

1

-

ü ^(a)

Démontrer que la suite

un: (-Z)" + H#

^convergeT^etdéterminer sa limite.

{? ^{(b) A}

I'aide du critère de d'Alembert, étudier le comportement de Iasérie determe général rq ^. _ut1,^_rn??"_

3n

Exercice 2 -

Donner Ie développement

limité

en

r :0

^desfonctions suivantes ^:

l?- ^@) ^f @): ^sin(2r)

^à^l'ordre^3.

lts ^(ù ^g(") : \fl - ⁿ

^à^l'ordre^2.

Exercice 3 -

D ^(a)

Calculer à l'aide d'une intégration par parties ,

ff/' r ^sin(r)

^d'r-

tZ ^(b)

Calculer à l'aide d'un changement de variable ,

Ji ffidr

^(on^pourra^poser^u

:

*2).

Exercice

4

-

^Calculer^les^dérivéespartielles, jusquà I'ordre ^{2, de}^Iafonction

f

@,y)

: (Inr)y2.

/C

On rappelie

qu'il s'agit

des

six

fonctions suivantes

, H,#,#,#,ffi.t #t ^@nt,

'

)

note aussi

fL, f[, ^f';*, _ilu, fio, fi).

Exercice 5 -

Considérons la fonction

f @,ù:2(r ⁺

¹⁾²

⁺

^3(A

-2)2.

/) ^(a)

^Calculer^lesdérivées partielles d'ordre 1 de

/,

c'est-à-dire ies deux fonctions suivantes ^:

H

^(aussi^notée

^{ft) et} ff

(aussinotée

f[).

/ I ^(b)

^Montrer^que

/

^aexacbement un point critique, et le déterminer (on rappelle qu'un point

' /

_critique

"rt

^,ro

^point

^(rs,^yo)

^tel ,$" _ff@o,go) :

0

et fi@o,yo) :

0.)

/ | ^(c)

La fonction

/

^a-t-elle

^un

(ou plusieurs) extrémum(s) ? Si oui, dire

s'il

s'agit

d'un

mini-

tt mum ou d'un maximum, local ou global.

ExnupN o'AlArnsr 2 ets

/ ls-

VIII,