Janvier 2010

PanaMaths

Janvier 2010

On considère le complexe : z = − 1 i . Calculer S = + + + + + 1 z z

z

... z

.

Analyse

Une propriété classique du module nous permet de nous ramener fondamentalement au calcul du module de z, calcul ne posant pas de difficulté particulière.

Résolution

Calcul commun aux deux approches.

On a classiquement :

2011

2 3 2010 1

1 ...

1

S z z z z z

z

= + + + + + = −

−

On a immédiatement : ^{1− = − − =z 1}

(

)

1

approche : utilisation du calcul de quelques puissances de z.

On a :

( )

2 1 1 2 1 2

z = −i = − − = −i i, ^{z3=z2× = −z 2 1i}

(

)

(

)

( )

^{( )}

Il est intéressant d’obtenir un réel. En effectuant alors la division euclidienne de 2011 par 4, il vient :

( ) ^{( )} ( ^{( )} )

( )

( ) ( ^{( )} )

( )

502 502

2011 4 502 3 4 3

502 1004

1005

4 2 1

4 2 1 2 2 1

2 1

z z z z i

i i

i

× +

= = × = − × − +

= × − + = − +

= − +

Alors :

( ) ( )

2011 1005 1005 1005

1−z = +1 2 1+ = +i 1 2 +2 i

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Finalement :

(

)

( )

2011 1005

1005 1005 1005

1 2 2

1 1 2

2 2 1 2

1 z i

S i

z i i

+ +

− +

= = = + = − +

−

( )

1005 1005

2 1 2

S= −i +

2

approche : utilisation de l’exponentielle complexe.

On a facilement : z = 2 et 1 1 ⁴

1 2 2

2 2

z i i e i

−π

⎛ ⎞

= − = ⎜⎝ − ⎟⎠= .

Dans ces conditions :

( )

2011 2011

2011 4 2011 4

502 3 2011

2010 4 1005 4

3

1005 4 1005

1005

2 2

2 2 2 2

1 1

2 2 2 2

2 2

2 1

i i

i i

i

z e e

e e

e i

i

π π

π π π

π

− −

⎛ ⎞

− +

− × ⎜⎝ ⎟⎠

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= × = ×

⎛ ⎞

= × = × ⎜⎝− − ⎟⎠

= − +

On retrouve le résultat obtenu précédemment et la suite est identique.

Résultat final

( ) ( )

( )

( )

(

)

0

1 1 1 ... 1 1 ⁿ 2 1 2

n

i i i i i

=

+ − + − + + − =

∑