Hydrologkal Sciences-Buttetin-des Sciences Hydrologiques, 25, 3, 9/1980
Interpolation de variables régionales et cartographie automatique: modèle triangulaire hydrologique ( M T H )
H I Z I R O N S O Y Karadeniz Teknik Ûniversitesi, Trabzon, Turquie C . B O C Q U I L L O N Laboratoire d'Hydrologie Mathématique, USTL, Montpellier, France
Reçu 25 juin 1979; revu 22 janvier 1980
Résumé. Indépendamment de la structure purement statistique des séries chronologiques, leur 'proxi- mité' dépend essentiellement de la proximité géographique des postes de mesures. Les propriétés de l'absance de dérive et de linéarité de ces variables permettent la mise au point d'une méthode d'interpola- tion linéaire à n points. Il semble logique de se contenter d'un système triangulé, qui permet une expression simple de l'interpolation. Cette méthode généralise les méthodes d'interpolation linéaire à deux points. Elle permet le calcul de la valeur de variable en tout point de l'espace (méthode MTH). On peut en conclure à l'inutilité de la décomposition pour le calcul des valeurs en un point sans mesure. Par contre, cette méthode garde toute son utilité pour la simulation. Enfin l'intégration de la fonction de point trouvé permet le calcul de la lame d'eau.
Interpolation of regional variables and automatic drawing of isoplets
Abstract. The degree of relationship between hydrological variables being independent of time series properties is especially related to the distance between gauging stations of these variables. The linear character of these variables without extreme deviation in time makes possible the use of a new method of interpolation. Following is an explanation of a method which generalizes methods of linear interpolation of two points. Computing the variable values at each point, automatic drawing of isoplets and the water height in a basin can be easily computed by this method.
INTRODUCTION
On peut rencontrer un certaine nombre de variables, soit les variables de pluies, soit les débits ou bien les coefficients de vecteurs propres de la matrice des corrélations (ou covariances) de ces variables en présente étude, etc. qui varient d'une point à l'autre avec une apparente continuité, sans que la formulation mathématique en soit possible. Suivant une méthode de Mathéron (1965) des variables 'régionalisées', qui procède à l'estimation de la valeur moyenne pondérée ou non, d'une variable régionalisée dans le champ. A, à partir des résultats d'une échantillonnage, le choix d'une valeur de la variable en un point sera possible en étudiant la structure du champ de valeurs et les valeurs prises alentour du point d'estimation.
CORRELATION SPATIALE Variogramme
Considérons deux points dans le champ x etx + h. En ces points la variable prend les
0303-6936/80/0900-0297802.00 © 1980 Black well Scientific Publications 2 9 7
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valeurs î{x) et i(x + h). En faisant varier x dans tout le champ à distance constante h, la valeur moyenne de l'accroissement quadratique'
[f(x + /r)-f(x)]2
caractérise i a ressemblance' entre la valeur en un point et la valeur au point situé à h indépendamment de la position du point initial.
'La fonction intrinsèque'
2g(h)=\\lf(x + h)-î(x)rdx A J
(A)
est l'expression mathématique de cette notion. Où, g(A) = g ( - A ) > 0 e t g ( 0 ) = 0
Lorsque g(h) est petit, l'influence du point est forte sur ses voisines, par contre lorsqu'il est grand, les valeurs deviennent indépendantes.
Stationnante
Pour que la notion de variable régionalisée soit simple, il est préférable que la variable considérée soit stationnaire, c'est-à-dire possède une moyenne n'ayant pas de tendance géographique, par exemple une dérive Est-Ouest, ou un gradient altimétrique. C'est pourquoi les interpolations ne sont pas faites directement sur les pluies, mais sur les vecteurs propres des composantes principales calculées à partir de la matrice des corrélations dans cet étude (exemple: la Turquie).
Construction d'un variogramme
La valeur d'un point du variogramme est la moyenne sur leur champ infini de l'accroissement quadratique,
2g(h)=j\[î{x + h)~ï(x)fàx
(A)
L'estimation de g(A) se heurte à plusieurs difficultés: (1) le caractère fini du champ d'intégration qui fait que le variogramme local fluctue autour du variogramme théorique avec des fluctuations d'autant plus grandes qu'on s'éloigne de l'origine;
(2) le caractère fini de l'échantillon; le variogramme est estimé sur un nombre fini d'éléments. Donc, l'erreur d'estimation est proportionnelle au nombre de couples utilisés dans le calcul; (3) le caractère discret des valeurs de h. On peut, pour construire un variogramme disposer de valeurs situées à des espacements réguliers.
Dans ces conditions il est facile de calculer le variogramme pour des accroissements multiples de cet espacement. Mais il est plus difficile de calculer le variogramme pour des postes répartis d'une manière quelconque; (4) anisotropic possible du variogramme. Ces diverses raisons obligent à faire des regroupements par classes:
(a) classes de direction; (b) classes de distances.
Afin de réduire l'erreur d'estimation du variogramme et ses fluctuations il est nécessaire de prendre des classes assez grandes et d'effectifs de même ordre.
Nature des variogrammes
On peut classer les variogrammes habituels selon les types suivants: fonctions
Interpolation de variables régionales 299 intrinsèques de comportement parabolique à l'origine; fonctions intrinsèques de comportement à une tangente oblique à l'origine; cas des variables purement aléatoires.
RELATION VARÏOGRAMME: COEFFICIENT DE CORRELATION D'après la définition du variogramme, on peut écrire,
2g(h) = 4 £ [f(x + A)-fWp
d'où avec la variable centrée f on écrit le coefficient de corrélation, en appelant f(jc + A) = f,-etf(jO = f},
c ( / 2 ) =
_ . I
f'
f'
d'autre part
Yif2^NS2etSi = SJ^S donc
2g(A) = i X ( f ? + f?-2f/f)) en remplaçant f par les variances
2gV0=±[NS* + NSj-2Ïd{ifH
g(h)^S2-C^S2N N finalement on trouve
g (A) C(h):
S2
C A R T O G R A P H I E A U T O M A T I Q U E D E S VARIABLES Exposé de la méthode
Soit une configuration dont on connaît en un certain nombre de points A,B,C les réalisations des variables correspondantes. On veut calculer la réalisation de cette variable au point M quelconque (Fig. 1).
Si cette configuration géométrique se déplace dans le plan, on peut en faire plusieurs réalisations.
Les hypothèses faites sur les variables en point sans mesure sont: (1) une regres- sion entre les coefficients au point M et A,B,C ne dépend que de sa géométrie.
L'espérance mathématique est constante dans le champ E(x„) = C'e; (2) le phéno-
FIG. 1. Triangle MTH.
mène n'a pas de dérive, la variance, est constante dans le champ Var(x,„) = C"' (indépendance de l'orientation).
La variable peut s'écrire comme une combinaison linéaire des coefficients des variables,
où F, est la combinaison linéaire (vecteur à n réalisation), X/; sont des variables, b, sont des coefficients de la combinaison linéaire.
Calcule des coefficients bt
D'après l'hypothèse on peut écrire pour les espérances mathématiques, E(Y) = E(X,) = E(Xi)
de même pour les variances,
Var(F)=Var(A-,) = Var(X;) et
E(eij) = 0 ou Y, ejj — minimum pour les bj, on a
D'où
Yi-E(Y) = li[Xij-E(X)]bi + eiJ
En centrant toutes les variables, sur la même valeur,
Dans ce cas-là, on a en variables centrées. On explicite Y [Yi— X Xy è/]2=minimum sachant que,
Par la méthode des multiplicateurs de Lagrange il vient,
M= X [Yi- X Xv b,]2-L[X bi- 1] = minimum la dérivée partielle par rapport à bt devient alors
( Oj j L k
Interpolation de variables régionales 301
I ^ r / - I * * X * / * * - T = °
soit
ou l'écriture matricielle,
X'Y-~b(XX)-- = 0 qui définit les bt connaissant les X'X.
Définition des coefficients de corrélation
Les coefficients XX peuvent être simplement calculés de la façon suivante; les distances étant classées, on définit les diverses classes. La première classe caractérise par sa valeur moyenne d\ comporte
n couples "U,,V," et n couples permutés Les deux valeurs U et Fjouent le même rôle;
"Vi,U,"
v„u,
C--
•[^u-of^v-vn
sur l'ensemble des 2«
0= V= W (les moyennes)
X (U- W){V- W) = 2 X (U- W)(V- W)
D'où
X
(f/_
Wf= Y. (Y-
w?= X (u- wy+ x {y- wf
2n 2/7 n n
c= Y
d(,u-wf+ Y.(
V~
W)
2On peut avoir une meilleure estimation du dénominateur en écrivant,
X (u- wf+ X (v- wf=[ X (tf+v*)]
TitP+v
2)
On a vu que pour la pluie,
ensemble des points
distances
FIG. 2. Relation distance-coefficient de corrélation.
302
Plus généralement,
C = l - d
pour<is;7?a
définissant un rayon d'action et une puissance d'action (qui est égale à 1 pour les coefficients des vecteurs propres).
Si d> Rd, les variables sont indépendantes. Les coefficients Ra et m peuvent être estimés à partir de l'ensemble de tous les couples de points du réseau en diverses classes de distance d.
Cas de deux points:
XiY-^X] -b,XiX^- = 0
i . 2
X-,Y-bxXxX^-b-,X\ - - = 0
" " - 2 />l+/>2-l = 0 X X] = Y. X\ = S2n (valeurs centrées)
'dn
On sait que,
et
lXiXj =
X< Y= 1 •
'-•ié
S2,!S2n
On pose djj = Dih on trouve finalement, - D , , + O + 620i2- -D^ + biDr. + O-
~ 2 S2n L / Îa
= 0
soit
bx +62— 1 = 0
1 D , , - . ^ 1 ^ i p - ^
2Di_
Remarque fondamentale: RR n'intervient pas.
D'où l'interpolation avec deux points (Fig. 3),
2£>p
FIG. 3. Interpolation entre deux points (M en dehors de ligne).
Interpolation de variables régionales 303 Cas particulier:
a. M sur AB
b,= Dn-Dxp + Dip 2Dn
Du~~Dlp=D2p
Di„ Dlp
ly ! = . ^ _ et f}2 = _ . (interpolation linéaire)
D\2 D\2
b, M loin de AB (Fig. 4)
% ..-•
donc on trouve Cas d'un triangle:
FIG. 4. Interpolation entre deux points (M sur la ligne).
è , = 0 e t è , = l
Xx Y-bi X]-b2 Xx X2-b3 Xt X3~^- = 0
X2 Y-b\ Xi X2-b2 Xl-bi X2 X3-j = Q
X3 Y-bx X, x3-b2X3X2-b3Xl-j = 0 bl+b2 + b3~- 1 = 0
Suivant la même procédure que deux points, on obtient pour le système linéaire, L-IL
^Dip + 0 + b2Dn + b3Dx
2S2-n L-Ra
= 0
-D2p + biDl2+0 + b3D23---T^=0
-D3p + b1Dl2 + b2D23 + 0- 2S2-n
L-IL 2S2-n 0
-l+bi+b2 + b3-0=0 Le déterminant du système est,
0 Dn Dn 1
Dl2 0 D23 1
013 i>23 0 1
1 1 1 0
Le domaine sur lequel la lame d'eau doit être évaluée est découpé en mailles régulières fines. Les régressions représentatives de chaque point de la grille sont calculés une seule fois et affectées au point de la grille.
Pour un événement défini, la variable en chaque point est estimée en variable transformée et puis brute. L'ensemble des valeurs est sommées pour calculer la lame d'eau.
L'intérêt de la méthode réside essentiellement dans son automatisme dans son objectivité. Un programme de traitement a été élaboré, qui permet d'éliminer la longue et fastidieuse opération de tracé manuel des isohyètes.
En développant par rapport à la dernière colonne
A = D2n + Dl3 + D2i3~2 Dn Di3~-2 D23 Dn~2Dl3 D23
soit
2DlpD23 + D2p(Dll-Dl3-D23) + Dîp(Du~-Di2~~D23)~D[oD2^DnDn + D2.3
bl= : _ : ^ ^
En forme symétrique,
biA = Dn[2Dll,-D2P-D3p + D23-Dl2-D]3] + (D2l-D3l)(D2p-D3P) d'où par permutation,
b2A = Dl3[2D2p-Dlp-D3p + Du~~Dl2-D23] + (Dl2^D32)(Dlp-~D3p) b3A = Di2[2D3p-- D]p~~- D2p + Dn-~ D23-Dl3] + (Dl3-~- D23)(D]p- D2p)
VALIDITE DE LA METHODE
Cette méthode a été appliquée: à l'estimation des lames d'eau mensuelles sur l'ensemble de la Turquie. La validité de la méthode a été vérifiée en calculant les hauteurs mensuelles en 10 stations connues. La reconstitution est excellente; à l'estimation des lames d'eau relatives à certains événements pluvieux sur le bassin versant de la Loire. Dans cette application, les lames d'eau ont été estimées par trois méthodes (Thiessen, cartographie manuelle des isohyètes avec interpolation et Méthode MTH).
Les estimations suivant les trois méthodes sont pratiquement identiques.
Les résultats obtenus ne permettent pas de définir la meilleure méthode car les écarts entre les diverses méthodes ne sont pas significatifs. La méthode MTH présente l'avantage d'être objective et automatique et sa justification théorique est meilleure, que pour les autres méthodes proposées.
CONCLUSIONS Cartographie automatique
L'analyse précédente a permis la mise au point d'une méthode de cartographie automatique, dite Méthode Triangulaire Hydro logique MTH.
Cette méthode est applicable aux données de variables régionalisées station- naires. Elle comporte: une triangulation optimale de l'espace à cartographier; le
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calcul des noeuds d'un système réticulé à pas constant; l'interpolation simple (cubique) entre les noeuds.
La triangulation optimale
Les stations sont reliées entre elles par un reseau tel que tout le domaine défini par le contour convexe des stations soit décomposé en triangles. La configuration choisie doit être telle qu'il n'existe aucun point de mesure intérieur à un triangle, et que la somme des carrés des cotés des triangles soit minimum. Cette triangulation optimale est trouvé de la façon suivante.
A partir d'une triangulation non optimale vérifiant la première propriété, on permute les diagonales des quadrilatères conduisant à un système plus petit. On recommence l'opération jusqu'à ce que aucune permutation ne soit possible.
L'espace est découpé en mailles régulières fines, chaque noeud situé dans un triangle est calculé à partir des valeurs prises aux trois sommets de triangle.
Ainsi la variable V(M) pourra s'estimer sous la forme X(M) = b[{M){\) + b2{M)(2) + b3(M)(i) b\, b2, b3 étant les fonctions définies au paragraphe précédent.
Enfin pour la cartographie, une simple interpolation cubique entre les mailles permet le tracé automatique.
Finalement, il sera donc possible de déterminer des valeurs de pluies en des postes aux données manquantes, dans les points sans mesures et de calculer la lame d'eau dans le bassin étudié.
REFERENCE
Mathéron, G. (1965) Les Variables Régionalisées et Leur Estimation. Masson et Cie, Paris.
