VARIÉTÉS ARITHMÉTIQUES : THÉORIE GLOBALE

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VARIÉTÉS ARITHMÉTIQUES : THÉORIE GLOBALE

Dans ce chapitre, on fixe un corps de nombresK. On désigne parM_K l’ensemble des places deK. Pour toute placev∈MK, soient|.|v la valeur absolue sur .

5.1. R-diviseurs adéliques

La notion de R-diviseur adélique sur une variété arithmétique est introduite par Moriwaki dans [?], qui généralise natuellement la notion de diviseur de Cartier arith- métique, où on remplace la structure entière par une famille de fonctions de Green sur les fibres de la variétés arithmétiques au-dessus des places non-archimédiennes du corps de nombres K. On étend la définition de cette notion dans le cadre de courbe adélique. Dans la suite, on considère un schéma projectif et géométriquement intègre X surSpecK. Pour toute placev∈MK, soitXv leKv-schémaX⊗KKv obtenu par extension de scalaires. On désigne parX_v^anl’espace de Berkovich associé àXv, dont la construction est rappelée dans §??.

Soit D un diviseur de Cartier sur X. Pour toute place v ∈ M_K, soit D_v la tirée en arrière deD sur le schéma Xv. Parfamille de Green de D on entend une famille g= (gv)v∈M_K, où chaquegv est une fonction de Green du diviseur de CartierDv. On introduit une loi d’addition sur l’ensemble des diviseurs de Cartier surX muni d’une famille de Green en posant

(D,(gv)v∈M_K) + (D⁰,(g_v⁰)v∈M_K) := (D+D⁰,(gv+g_v⁰)v∈M_K).

Cela définit une structure de groupe commutatif sur l’ensemble des diviseurs de Car- tier munis de familles de Green.

On suppose que le schéma X est plongé dans un espace projectif P(E), où E est un espace vectoriel de rang fini sur K, et que D est le diviseur associé à une section rationnelle non-nullesdeL=OE(1)|X, oùOE(1)désigne le faisceau inversible universel sur P(E). Si E est muni d’une famille de normes(k.kv)_v∈M_K de sorte que E = (E,(k.kv)v∈MK)devienne un fibré vectoriel adélique surS, alors chaque norme

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48 CHAPITRE 5. VARIÉTÉS ARITHMÉTIQUES : THÉORIE GLOBALE

k.kv induit une métrique continue sur Lv (la tirée en arrière de L sur Xv), comme expliquée dans §??. Par abus de langage, on désigne encore park.k_v cette métrique continue surLv, appelée la métrique deFubini-Study. Ainsi la famille(−lnkskv)_v∈M_K forme une famille de Green de D = (s). Le couple((s),(−lnkskv)v∈M_K)est appelé lediviseur adélique associé às, noté comme(s). La proposition suivante montre quec deux familles de Green obtenues de cette façon sont égales sauf sur un nombre fini de placesv∈M_K.

Proposition 5.1.1. — SoientE etF deux fibrés vectoriels adéliques,X un schéma projectif et géométriquement intègre sur SpecK, et L un fibré inversible sur X. On suppose queα:X→P(E)etβ :X →P(F)sont deux immersions fermées telles que L=α^∗(OE(1)) =β^∗(OF(1)). Alors pour toute sauf un nombre fini de placesv∈M_K, les fibrés vectoriels adéliquesE etF induisent la même métrique de Fubini-Study sur Lv.

Démonstration. — Traitons d’abord le cas où E =F et les immersions αet β sont identiques. Dans ce cas-là, les structures de fibrés vectoriels adéliques de E et F coïncident sur toute sauf un nombre fini dev∈M_K. Le résultat de la proposition est donc trivial. Plus généralement, si les applications de restriction

E= Γ(P(E),OE(1))→Γ(X, L) et F = Γ(P(F),OF(1))→Γ(X, L) sont toutes surjectives, alors les immersions fermées αet β se factorisent par X → P(Γ(X, L)). On se ramène donc au cas précédent en considérant les structures de fibré vectoriel adélique quotients surΓ(X, L).

Dans le cas général, il existe un entiern>1tel que les applications de restrictions SⁿE= Γ(P(E),OE(n))→Γ(X, L^⊗n)et SⁿF = Γ(P(F),OF(n))→Γ(X, L^⊗n)soient surjectives. On peut appliquer le résultat de la proposition dans cette situation pour montrer que toutes les structures de fibré vectoriel adélique surSⁿEetSⁿFinduisent la même métrique de Fubini-Study surL^⊗n_v pour toute sauf un nombre fini dev∈MK. Il reste à montrer que, si n > 1 est un entier et si SⁿE est muni d’une structure de fibré vectoriel adélique, alors la métrique de Fubini-Study sur L^⊗n_v induite par la structure de fibré vectoriel adélique sur SⁿE et la n^ième puissance tenso- rielle de la métrique de Fubini-Study sur Lv induite par la structure de fibré vectoriel adélique sur E coïncident pour toute sauf un nombre fini de v ∈ MK. La validité de cet énoncé ne dépend pas du choix des structures de fibré vectoriel adé- lique sur E et sur SⁿE. Sans perte de généralité, on suppose que E est muni de la famille de normes (k.ke,v)_v∈M_K, où e = (ei)^r_i=1 est une base de E; on suppose aussi queSⁿE est muni de la famille de normes (k.kSⁿe,v)v∈M_K, où Sⁿe est la base de SⁿE définie comme (e^m₁¹· · ·e^m_r^r)_m₁_+···+m_r_=n. Lorsque v est non-archimédienne, la norme k.kSⁿe,v s’identifie à la norme quotient induite par l’application surjective E^⊗n → SⁿE, où on considère la norme produit tensoriel sur E^⊗n (de sorte que (ei1⊗ · · · ⊗ein)(i₁,...,i_n)∈{1,...,r}ⁿ soit une base orthonormée). SiK_v⁰ est une extension

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valuée deKv et si`v est un quotient de rang1deE⊗KK_v⁰, alors l’homomorphisme surjectifE_K⁰

v →`_v induit par passage à la puissance symétrique un homomorphisme surjectif Sⁿ(EK_v⁰)∼=Sⁿ(E)⊗KK_v⁰ →`^⊗n_v , et la norme quotient dek.kSⁿe,v sur`^⊗n_v s’identifie à la norme quotient induite parE^⊗n⊗KK_v⁰ → `^⊗n_v . Le résultat est donc démontré.

Définition 5.1.2. — Soit D un diviseur de Cartier sur X. On dit qu’une famille de Green g = (gv)_v∈M_K sur D est de type presque Fubini-Study s’il existe un fibré vectoriel adéliqueE = (E,(k.kv)_v∈M_K), une immersion ferméei:X →P(E) et une section rationnelle non-nullesdei^∗(OE(1))tels queD= (s)et quegv=−lnkskFS,v

pour toute sauf un nombre fini de places v ∈ M_K, où k.k_FS,v est la métrique de Fubini-Study surOE(1)v induite park.kv.

L’existence de famille de Green de type presque Fubini-Study pour un diviseur CartierDentraîne que le diviseurDest très ample. Réciproquement, étant donné un diviseur de Cartier très ample D, il existe toujours une famille de Green de D qui est de type presque Fubini-Study. En outre, la proposition 5.1.1 montre que, sig et g⁰ sont deux familles de Green de type presque Fubini-Study d’un même diviseur de CartierD, alors l’égalitégv=g⁰_v est vérifiée pour toute sauf un nombre fini de places v∈M_K.

Proposition 5.1.3. — SoientDetD⁰deux diviseurs de Cartier surX,getg⁰deux familles de Green de D etD⁰ respectivement. On suppose que les familles de Green g etg⁰ sont de type presque Fubini-Study, alors la famille de Green g+g⁰ deD+D⁰ est aussi de type presque Fubini-Study.

Démonstration. — Soient E et F deux fibrés vectoriels adéliques,α:X →P(E)et β :X →P(F)deux immersions fermées telles queOX(D)∼=α^∗OE(1) et OX(D⁰)∼= β^∗OF(1). Pour toute placev∈MK, on munitOX(D)v etOX(D⁰)v des métriques de Fubini-Study (qui proviennent des normes surE⊗KK_v etF⊗KK_v respectivement).

Soit γ : X → P(E ⊗_K F) l’immersion fermée induite par le morphisme de Segre ς : P(E)×K P(F) → P(E ⊗K F). Pour toute place non-archimédienne v ∈ MK, la métrique produit tensoriel sur OX(D+D⁰)v ∼= OX(D)v⊗ OX(D⁰)v induite par les métriques de Fubini-Study sur OE(1)_v et OF(1)_v coincide avec la restriction de la métrique de Fubini-Study sur O_E⊗F(1)v par le plongement γ, où on considère les normes du fibré vectoriel adélique ε-produit tensorielE⊗εF (voir §?? pour sa définition). La proposition est donc démontrée.

Corollaire 5.1.4. — Soient D etD⁰ deux diviseurs de Cartier très amples tels que D −D⁰ soit aussi très ample. Si g et g⁰ sont des familles de Green de D et D⁰ respectivement, qui sont de type presque Fubini-Study, alors la famille de Greeng−g⁰ deD−D⁰ est aussi de type presque Fubini-Study.

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Démonstration. — Soit g⁰⁰ une famille de Green de D−D⁰ qui est de type presque Fubini-Study. La proposition 5.1.3 montre queg⁰⁰+g⁰est une famille de Green de type presque Fubini-Study deD. D’après la proposition 5.1.1, on obtient queg_v⁰ +g⁰⁰_v =gv

pour toute sauf un nombre fini de places dans MK. La famille de Greeng−g⁰ est donc de type presque Fubini-Study.

Définition 5.1.5. — On appelleR-diviseur adélique surX tout couple de la forme (D, g= (g_v)_v∈M_K),

où D est un R-diviseur de Cartier sur X et gv est une fonction de Green de Dv, qui satisfont à la condition suivante : il existe des diviseurs de Cartier D1, . . . , Dn

surX, des familles de Greeng1, . . . , gn de type presque Fubini-Study deD1, . . . , Dn

respectivement, et des nombres réels λ₁, . . . , λ_n, tels queD =λ₁D₁+· · ·+λ_nD_n et que

∀v∈M_K, g_v=λ₁g_1,v+· · ·+λ_ng_n,v.

On désigne par Divd_R(X) l’espace vectoriel des R-diviseurs adéliques sur X. On a une application R-linéaire de K(X)^×⊗_ZR vers Divd_R(X) qui envoie toute fonction rationnelle non-nullef en

(fc) := ((f),(−ln|f|_v)_v∈M_K).

Les R-diviseurs adéliques qui appartiennent à l’image de cette application sont dits principaux.

Proposition 5.1.6. — Soient(D, g)et(D, g⁰)deuxR-diviseurs adéliques surX qui ont le même R-diviseur sous-jacent. Alors la relation gv =g⁰_v est vérifiée pour toute sauf un nombre fini de places v∈M_K.

Démonstration. — Montrons l’énoncé suivant qui est équvalent à celui dans la proposition : si(0, g)est unR-diviseur adélique, où0désigne leR-diviseur trivial, alors g_v = 0 pour toute sauf un nombre fini dev ∈M_K. Par définition, il existe des diviseurs de CartierD1, . . . , Dn surX, des familles de Greeng1, . . . , gn de type presque Fubini-Study deD1, . . . , Dn respectivement, et des nombres réelsλ1, . . . , λn tels que λ₁D₁+· · ·+λ_nD_n=0et que

∀v∈MK, gv=λ1g1,v+· · ·+λngn,v.

Sans perte de généralité, on peut supposer que D1, . . . , Dm sont linéairement in- dépendantes dans Div(X)⊗_ZQet que D_m+1, . . . , D_n appartiennent au sous-espace vectoriel de Div(X)⊗_ZQ engendré par D₁, . . . , D_m. Soit N > 1 un entier tel que N Dj ∈ZD1+· · ·+ZDmpour toutj∈ {m+ 1, . . . , n}. On écritN Dj sous la forme

N Dj=aj,1D1+· · ·+aj,mDm,

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oùaj,1, . . . , aj,m sont des entiers. La proposition 5.1.3 et son corollaire 5.1.4 montrent que

g⁰_j:=aj,1g1+· · ·+aj,ngn

est une famille de Green de type presque Fubini-Study deN Dj. La proposition 5.1.1 montre que l’égalitég⁰_j,v=N gj,v est vérifiée pour toute sauf un nombre fini de places v∈M_K. CommeD₁, . . . , D_msont linéairement indépendantes, on a

∀i∈ {1, . . . , m}, λi+

n

X

j=m+1

aj,i

λj

N = 0.

En particulier, pour toute sauf un nombre fini de placesv∈M_K, on a

n

X

k=1

λkgk,v=

m

X

i=1

λigi,v+

n

X

j=m+1

λ_j N

m

X

i=1

aj,igi,v= 0.

Le résultat est donc démontré.

5.2. Système linéaire adélique

Soient S = (K, MK,ΘK) une courbe adélique et X un schéma géométriquement intègre surSpecK. Étant donné unR-diviseur adéliqueD= (D,(gv)v∈MK), on peut construire une famille de normes surH⁰(D)⊗_KK_v,v∈M_K, qui est définie de manière suivante. Tout élémentf ∈H⁰(D)⊗KKv détermine une fonction rationnelle surXv

que l’on note encore comme f par abus de langage. En outre, on a (f) +Dv > 0.

Par conséquent,|f|v·e^−g^v s’étend en une fonction continue surX_v^an(cf. la remarque 4.4.2), que l’on note comme kfk_g_v ou commekfk_D,v. Si la fonction rationnellesest non-nulle, cette fonction n’est pas identiquement nulle. On définit

kfkg_v,sup:= sup

x∈X_v^an

kfkg_v(x).

Le nombrekfkg_v,sup est noté aussi commekfk_D,v,supSi f1 et f2 sont deux éléments deH⁰(D)⊗_KK_v, alors on a

kf1+f₂kgv 6kf1kgv +kf2kgv.

On en déduit quek.kgv,sup est une norme surH⁰(D)⊗KK_v. Cette norme est ultra- métrique lorsquev est une place non-archimédienne.

Dans le cas oùDest un diviseur de Cartier, l’espace vectorielH⁰(D)est isomorphe à l’espace des sections globales du faisceau inversible O(D). Comme expliqué dans

§4.4, la fonction de Greeng_vdétermine une métrique continue sur le faisceau inversible O(D)v. Sif est un élément deH⁰(D)⊗KKv, alorskfkg_v s’identifie à la norme de la sectionf sD par rapport à cette métrique, oùsD est la section rationnelle canonique deO(D).

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Définition 5.2.1. — Soit D = (D,(gv)v∈MK) un R-diviseur adélique sur X. On suppose que D est effectif. La fonction rationnelle de l’unité 1 appartient donc à H⁰(D). Pour toutv∈MK, on a

k1kg_v,sup= exp

− inf

x∈X_v^angv(x) ,

où on a considéré gv comme une application continue de X_v^an vers ]− ∞,+∞]. En particulier, si toutes les fonctions de Green (g_v)_v∈M_K sont bornées inférieurements par zéro, alors on ak1kg_v,sup 61 pour toute place v ∈ MK. Dans ce cas-là, on dit que leR-diviseur adéliqueD esteffectif.

SoientDetD⁰deuxR-diviseurs adéliques surX. La loi de multiplication deK(X) induit une applicationK-linéaire deH⁰(D)⊗KH⁰(D⁰)versH⁰(D+D⁰). En outre, sif est un élément deH⁰(D)⊗KKv et sif⁰ est un élément deH⁰(D⁰)⊗KKv, alors on a

kf f⁰k_D+D0,v=kfk_D,v· kfk_D0,v, oùv est une place dansMK. En particulier, on a

kf f⁰k_D+D⁰_,v,sup6kfk_D,v,sup· kf⁰k_D0,v,sup.

On en déduit que, si D et D⁰ sont deux R-diviseurs adéliques tels queD⁰−D soit effectif, alors on a H⁰(D) ⊂ H⁰(D⁰). De plus, pour toute place v ∈ M_K et tout élémentf ∈H⁰(D)⊗_KK_v, on akfk_D,v6kfk_D0,v. En d’autres termes, l’application d’inclusion deH⁰(D)⊗KK_v dansH⁰(D⁰)⊗KK_v a pour norme d’opérateur61.

Les propositions suivantes ainsi que leur corollaire montrent que, pour tout R- diviseur adéliqueD, l’espace vectorielH⁰(D)muni des normes(k.k_D,v,sup)_v∈M_Kforme un fibré vectoriel adélique.

Proposition 5.2.2. — SoientEun fibré vectoriel adélique,Xun sous-schéma fermé géométriquement intègre de P(E), et L la restiction de OE(1) àX. On suppose que l’application de restriction H⁰(P(E),OE(1)) → H⁰(X, L) est surjective. Pour tout v∈M_K, soitk.kFS,vla métrique de Fubini-Study surL_vinduit par la norme d’indicev dans la structure de fibré vectoriel adélique deE. Pour tout éléments∈H⁰(X_v, L_v) = H⁰(X, L)⊗KKv, soit

kskv,sup= sup

x∈X_v^an

kskFS,v(x).

Alors l’espace vectoriel H⁰(X, L) muni des normes (k.k_v,sup)_v∈M_K forme un fibré vectoriel adélique sur K.

Démonstration. — Quitte à remplacer E par H⁰(X, L) muni des normes quotients, on peut supposer que E=H⁰(X, L). Il existe alors des pointsP₁, . . . , P_n deX dans une extension finie K⁰ de K, qui forment un système génératrice et linéairement indépendant de sous-espaces vectoriels de rang 1 de E^∨⊗KK⁰ (ici on considère les K-points deP(E)à valeurs dansK⁰ comme des quotients de rang1 deE⊗KK⁰, ou

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des sous-espaces de rang1deE^∨⊗KK⁰). Soit(s1, . . . , sn)une base deE⊗KK⁰telle que, pour tout i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j, la restriction de s_i à la droite P_j soit nulle.

Le résultat de la proposition ne dépend pas du choix des normes dans la structure du fibré vectoriel adélique sur E. On peut donc supposer, sans perte de généralité, que (s₁, . . . , s_n)est une base orthonorée deE⊗KK_v⁰ lorsque v∈M_K est une place non- archimédienne (comme dans la remarque ??, on étend arbitrairement chaque valeur absolue|.|vsurK⁰afin d’étendre la normek.kvsurE⊗KK_v⁰). Sis=λ1s1+· · ·+λnsn

est un élément deE⊗KKv (vu comme un sous-ensemble deE⊗KK_v⁰), alors on a kskFS,v(x)6kskv= max(|λ1|v, . . . ,|λn|v)

puisque la métrique de Fubini-Study est induite par les normes quotients. En outre, pour touti∈ {1, . . . , n} on a

ksk_FS,v(P_i) = inf

α∈E⊗KK⁰_v α|_Pi=0

ks+αk_v =|λ_i|_v.

On obtient donckskv,sup=kskv, d’où le résultat de la proposition.

Proposition 5.2.3. — SoitD = (D,(g_v)_v∈M_K) un R-diviseur adélique sur X. On suppose que D est effectif. Alors la relation

x∈Xinf^an_v g_v(x) = 0

est vérifiée pour toute sauf un nombre fini de places v ∈ MK. En particulier, pour toutR-diviseur adéliqueD sur R, il existe toujour une famille de Greeng deD telle que leR-diviseur adélique(D, g)soit effectif.

Démonstration. — Traitons d’abord le cas oùDest un diviseur de Cartier. On choisit un diviseur de CartierD1 surX qui est très ample et tel queD2:=D+D1soit aussi très ample. SoientE₁=H⁰(D₁)et E₂=H⁰(D₂). CommeDest un diviseur effectif, on aE1⊂E2. On munitE2 d’une structure de fibré vectoriel adélique(k.kv)_v∈M_K et munitE1des normes induites. Soientg1= (g1,v)v∈M_K etg2= (g2,v)v∈M_K des familles de Green deD₁ etD₂, qui proviennent des métriques de Fubini-Study surO(D1)et O(D₂)respectivement. En particulier, on a g_2,v>g_1,v pour toutev∈M_K.

La proposition 5.1.6 montre que la validité du résultat de la proposition présente ne dépend pas du choix de la famille de Greeng. On peut donc supposer, sans perte de généralité, queg=g₂−g₁. Dans ce cas-là, pour toute placev∈M_K, la fonction gv est bornée inférieurement par zéro. En outre, la proposition précédente??montre qu’il existe un sous-ensemble finiSdeMK tel que les relations

k1kg_1,v,sup=k1kg_2,v,sup= 1

soient vérifiées pour toute placev∈M_K\S(voir aussi la remarque??). Cela montre que, pour toutev∈M_K\S, il existex_v∈X_v^antel que

k1kg1,v(xv) =k1kg2,v(xv) = 1.

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On obtient doncgv(xv) = 0.

Pour le cas oùD est unR-diviseur quelconque, on peut écrire D sous la forme D=λ1D1+· · ·+λnDn,

oùD₁, . . . , D_n sont des diviseurs de Cartier effectifs, et λ₁, . . . , λ_n sont des nombres positifs. Sans perte de généralité, on peut supposer lesDi effectifs. Soienta1, . . . , an

des entiers tels queai>λipour touti∈ {1, . . . , n}, et

D⁰ = (D⁰,(g⁰_v)_v∈M_K) :=a₁D₁+· · ·+a_nD_n.

Par définition, on a g_v⁰ >gv >0 pour toutev ∈MK. Comme D⁰ est un diviseur de Cartier effectif, d’après ce que l’on a démontré plus haut, on obtient qu’il existe un sous-ensemble fini Sde MK tel queinf_x∈Xan

v g_v⁰(x) = 0pour toutev ∈MK\S. On en déduit que inf_x∈X_v^angv(x) = 0pour toute v ∈ MK \S. Le premier énoncé de la proposition est donc démontré.

Pour établir le deuxième énoncé, on peut commencer par une famille de Green arbitraire eg telle que (D,eg) soit un R-diviseur adélique. Le premier énoncé de la proposition montre que, pour toute sauf un nombre fini dev∈MK, la fonctionegvest bornée inférieurement par zéro. En outre, d’après la remarque 4.4.2, toute fonctioneg_v est bornée inférieurement. Quitte à rajouter des constantes positives à un nombre fini de fonctions de Greenegv, on obtient une famille de Greengqui consiste des fonctions bornées inférieurement par zéro et telle que (D, g) soit un R-diviseur adélique. Le résultat est donc démontré.

Corollaire 5.2.4. — Soit D = (D, g) un R-diviseur adélique sur X. L’espace vectoriel H⁰(D)muni des normes(k.k_D,v,sup)_v∈M_K forme un fibré vectoriel adélique.

Démonstration. — SoitD⁰un diviseur de Cartier très ample surXtel queD⁰⁰:=D⁰− Dsoit effectif. D’après la démonstration de la proposition 5.2.3, il existe une famille de Greeng⁰⁰surD⁰⁰telle que(D⁰⁰, g⁰⁰)soit effectif. On munit le diviesur de CartierD⁰de la famille de Greeng⁰ :=g⁰⁰+g. En outre, on identifieH⁰(D)à un sous-espace vectoriel de H⁰(D⁰). Commeg_v⁰⁰>0pour toute placev∈MK, on obtient quekfk_D,v>kfk_D0,v, et donckfk_D,v,sup>kfk_D0,v,suppour toutf ∈H⁰(D)⊗KKv. D’après la proposition 5.2.2, l’espace vectoriel H⁰(D⁰) muni des normes (k.k_D0,v,sup)_v∈M_K forme un fibré vectoriel adélique. Soit (e_i)^m_i=1 une base de l’espace vectorielH⁰(D). On la complète en une base de l’espace vectoriel H⁰(D⁰) par des vecteurs em+1, . . . , en. D’après la remarque??, il existe un sous-ensemble finiΘdeMK, qui contient toutes les places archimédliennens et tel que(e_i)ⁿ_i=1soit une base orthonormée deH⁰(D⁰)⊗KK_vpour toute placev∈MK\Θ. En outre, d’après la proposition 5.2.3, on obtient que, quitte à élargir l’ensembleS, on peut supposer quekeik_D,v,sup= 1 pour toutev∈MK\Θ.

On en déduit que, pour toutev∈MK\Θet tout(λ1, . . . , λm)∈Kv, on a kλ1e1+· · ·+λmemk_D,v,sup>kλ1e1+· · ·+λmemk_D0,v,sup= max

i∈{1,...,m}|λi|v.

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En outre, on a

kλ1e1+· · ·+λmemk_D,v_sup6 max

i∈{1,...,m}|λi|v· keik_D,v,sup.

Cela montre que (ei)^m_i=1 est une base orthonormée de H⁰(D)⊗K Kv pour toute v ∈MK\Θ. Autrement dit, H⁰(D)muni des normes (k.k_D,v,sup)v∈M_K est un fibré vectoriel adélique.