Terminale S -Méthode 1 Programme 2020
1/ 4
Méthode -1 : Analyse dimensionnelle et chiffres significatifs
Introduction Dans une mesure physique, le nombre de chiffres significatifs indique la précision de la mesure. Il s'agit des chiffres connus avec certitude plus le premier chiffre incertain.
1. Chiffres significatifs
1.1. Le système international d’unité (SI):
1 1.1 Unités fondamentales
Dans ce système, le seul qui soit légal, il y a 7 unités fondamentales :
grandeur longueur masse temps
intensité de courant
électrique
température
quantité de matière
intensité lumineuse
unité mètre kilogramme seconde ampère kelvin mole candela
symbole m kg s A K mol cd
Les noms des unités (noms communs) commencent tous par une minuscule. Les symboles des unités dont les noms viennent de noms propres commencent par une majuscule.
Il y a deux unités complémentaires qui correspondent à des grandeurs sans dimension : grandeur angle plan angle solide
unité radian stéradian
symbole rad sr
1.1.2 Unités dérivées
Toutes les autres unités SI dérivent de ces unités fondamentales et peuvent donc s'exprimer par des produits ou des quotients avec celles-ci. Par exemple :
Masse volumique en kg.m–3 Densité volumique de courant en A.m–2 Masse molaire en kg.mol–1 Accélération en m.s–2
Certaines portent un nom et ont un symbole. Par exemple :
Fréquence en hertz Hz = s–1 Force en newton N = kg.m.s–2
Puissance en watt W = kg.m2.s–3 Tension électrique en volt V = kg.m2.s–3.A–1 Charge électrique en coulomb C = A.s Énergie ou travail en joule J = kg.m2.s–2 Conductance électrique en siemens S = Ω–1 = A.V–1 = kg–1.m–2.s3.A2
1.1.3 Multiples et sous multiples :
10–1 10–2 10-3 10-6 10–9 10–12 10–15 10–18
préfixe déci centi milli micro nano pico femto atto
symbole d d m µ n p f a
101 102 103 106 109 1012 1015 1018
préfixe déca hecto kilo méga giga téra peta hexa
symbole da h k M G T P H
Terminale S -Méthode 1 Programme 2020
2/ 4 Par exemple
1 cm2 = (10–2 m)2 = 10–4 m2 1 g.cm–3 = (10–3 kg).(10–2 m)–3 = 103 kg.m–3 Notons qu'on utilise encore :
Le litre comme unité de volume : 1 L = 1 dm3 = 10–3 m3.
Le degré (°), la minute d'angle (') et la seconde d'angle (") : 180° = π rad 1° = 60' = 3600 ".
La minute et l'heure comme unités de temps : 1 h = 90 min = 3600 s.
L'électronvolt (eV) comme unité d'énergie :1 eV = e . 1 V = 1,6022.10–19 J.
1.2. Présentation des résultats numériques:
1. 2.1 Nombre de chiffres significatifs
→
Lorsqu'on exprime le résultat d'une mesure ou d'un calcul réalisé à partir de valeurs Mesurées, on s’arrête au premier chiffre incertain.Par exemple : L = 6,35 cm signifie en général que cette longueur est selon toute vraisemblance Comprise entre 6,345 cm et 6,355 cm.
→
Le nombre de chiffres significatifs est le nombre de chiffres que l'on écrit après les éventuels zéros qui sont devant : que l'on écrive 6,35 cm ou 6,35.10–2 m ou 63,5 mm ou 0,0635 m, on a écrit cette longueur avec 3 chiffres significatifs.→
Les zéros finaux sont significatifs : la vitesse de la lumière dans le vide s'écrit : 2,9979458.108 m.s–1 avec 8 chiffres significatifs.2,998.108 ms–1 avec 4 chiffres significatifs.
Elle s'écrit 3,00.108 m.s–1 avec 3 chiffres significatifs car on est certain qu'elle est comprise entre 2,995.108 m.s–1 et 3,005.108 m.s–1.
Alors que si l'on écrit 3.108 m.s–1 cela signifie seulement que l'on est certain quelle est comprise entre 2,5.108 m.s–1 et 3,5.108 m.s–1, ce qui serait une donnée très imprécise.
1.2.2 Règles pour déterminer le nombre de chiffres significatifs
Cas 1 : multiplication et division
Le nombre de chiffres significatifs du résultat d’une multiplication ou d’une division est celui de la grandeur en possédant le moins.
Cas 2 : addition et soustraction
Pour chaque terme de la somme, repérer la dernière décimale et déterminer sa puissance de 10.
La dernière décimale du résultat correspondra à la plus grande de ces puissances de 10.
Le plus souvent, si l'on ne donne qu'un seul chiffre significatif dans toutes les données d'un exercice, c'est qu'il ne s'agit pas des résultats de mesures réellement effectuées mais seulement de données destinées à effectuer des calculs purement théoriques et qui sont supposées être exactes. Dans ce cas, l'usage est garder 2 ou 3 chiffres significatifs dans les résultats du calculs effectués.
2. Equation aux dimensions 2.1. Principe:
Une équation aux dimensions s’écrit avec les symboles des grandeurs entre crochets plutôt qu'avec ceux des unités.
Par exemple :
Vitesse : [v] = [L] [T]–1 tension électrique: [U] = [M] [L]2 [t]–3 [I]–1= [P] [I]–1= [W] [q]–1
( ici : P pour puissance, L pour longueur, W pour travail ou énergie, q pour charge électrique ...)
Terminale S -Méthode 1 Programme 2020
3/ 4
Les expressions des unités, comme 1 J = 1 kg.m2.s–2 donnent le même renseignement et les symboles des unités ont l'avantage d'être universels alors que ceux des grandeurs sont parfois différents et une même lettre représente parfois plusieurs grandeurs.
2.2. Méthodes :
2.2.1 Méthode 1 (SI) : Recherche de l’unité de G :
On sait que : 2 '
d m G m
F =
'
2
m m
d G F
=
On remplace alors chaque grandeur par son unité : 2 2 2
2 = −
N m kg
kg m N
L’unité de G dans le S.I. est : Nm2kg-2 m3kg-1s-2 2.2.2 Méthode 2 (Dimensions) : On pose
f v K = d .
On a alors : 1 2 1
2
]
[ − −
− =
= L T
T T L K L
Donc l’unité de K dans le S.I. est : m2s-1
A retenir : - [A] signifie dimension (et donc unité) de A - L est en mètres
- T est en secondes s - M est en kilogrammes kg - I est en ampères A - U est en volts V - N est en moles mol - etc.…
2.3. Exercices:
a) Retrouver l’expression en unité de base de la force.
b) Même question pour l’énergie.
c) Sachant que : qE F = et
d
E =U avec U la tension, E le champ électrique et d la distance retrouver l’expression en unités de base du volt.
d) Quelle est, dans le S.I., l’unité de la résistance électrique ? Retrouver son expression en unités de base.
e) Pour chacune des constantes proposées ci-dessus, donner une relation dans laquelle elles apparaissent.
f) Citer deux autres exemples de constantes.
g) Dans les exemples ci-dessus, la constante h est-elle exprimée dans le S.I. ? h) Exprimer les constantes R et h dans les unités de base du S.I.
i) A l’aide de l’expression PV = nRT, retrouver le volume molaire d’un gaz parfait à 0°C et sous 1 atm.
j) A l’aide de l’expression du poids retrouver les unités de l’intensité du champ de pesanteur.
Terminale S -Méthode 1 Programme 2020
4/ 4
k) L’intensité sonore est équivalente à la puissance d’un son par unité de surface. Déterminer l’unité de l’intensité sonore dans le S.I.
l) Une équation indique que : g mv
a+ k = avec g l’intensité du champ de pesanteur Déterminer l’unité de a et celle de k dans le S.I.
2.3.1 Retrouvez l’unité de a
a) d
c
a= b2 avec : b en m ; c en kg ; d en kg
b) 2
c d
a=b avec : b en m/s ; c en m ; d en m/s
c) d e
b c
a= 2 avec : b en kg ; c en L/kg ; d en L ; e en L/kg 2.3.2 Retrouvez l’unité et la valeur de a
On sait que a = b 2 (c/ d) avec b = 200 cm, c = 0,50 N∙m –1 et d = 4,0 m.
2.3.3 Puissance et énergie
a) Quelle est la relation qui lie la puissance P au travail W ?
b) En déduire une expression possible du joule en fonction de la seconde et du watt.
c) Rechercher alors la correspondance entre lekWh et le J.
