K Publié dans les Annales des Concours 1/19

(1)

© Éditions H

^&

K Publié dans les Annales des Concours 1/19

E3A Maths B PSI 2006 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bougnol (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (ENS Cachan).

Le sujet est composé de trois exercices complètement indépendants : deux d’algèbre et un d’analyse.

• On commence les agapes par un exercice d’algèbre. La première question pro- pose de calculer le très classique déterminant de Vandermonde. Les deux questions qui suivent sont des applications plus ou moins directes de ce calcul.

La première permet d’établir que la famille (X + λ

k

)

ⁿ

k∈[[0,n]]

où les λ

k

sont des nombres complexes deux à deux distincts, est une base de C

_n

[X]. La seconde application — un peu plus difficile — se place dans l’ensemble des fonctions de R dans C . Elle permet d’obtenir une condition suffisante pour que la famille de fonctions (t 7→ e

ⁱ^x^k^t

)

k∈N

soit une famille libre. Cet exercice nécessite une bonne maîtrise du calcul matriciel et permet de voir si les étudiants connaissent les propriétés du déterminant. Il est aussi l’occasion de réviser les nombres complexes.

• Le deuxième exercice se place dans l’espace euclidien M

n

( R ) muni de son produit scalaire canonique. On y étudie un endomorphisme de M

n

( R ). L’objectif est de déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que cet endomorphisme soit orthogonal. L’ensemble est assez facile : on y trouve beaucoup de questions de cours ou d’applications directes de ce dernier.

• Le troisième exercice porte sur la théorie de l’intégration. Il est composé de quatre grandes questions dépendantes les unes des autres. Dans la première, on définit la fonction Γ d’Euler (encore un grand classique). On y établit, via le théorème de convergence dominée, une jolie limite (la formule d’Euler) :

∀ x > 0 Γ(x) = lim

n→⁺∞

n

^x

n!

x(x + 1) · · · (x + n)

La suite de l’exercice se traite uniquement avec le programme de première année. On y trouve essentiellement du calcul intégral et des relations de com- paraison. Dans ces questions, on établit des équivalents d’intégrales. En outre, on obtient une très jolie formule donnant un équivalent simple (faisant in- tervenir la fonction Γ) de

Z

1 0

g(t)

ⁿ

dt lorsque n tend vers

⁺

∞ , sous certaines conditions portant sur la fonction g.

La moitié des questions du sujet portent sur le programme de première année.

C’est une tendance de plus en plus répandue ces dernières années. Les quelques heures passées à « plancher » sur ce sujet constituent un bon entraînement pour vous assurer que vos connaissances de première année sont solides, car elles seront nécessaires pour affronter les sujets proposés à la fin du printemps.

Téléchargé gratuitement sur Doc-Solus.fr

(2)

© Éditions H

^&

K Publié dans les Annales des Concours 2/19

Indications

Exercice 1

1 Montrer que l’on peut remplacer la dernière ligne du déterminant par la ligne P(a

1

), P(a

2

), . . . , P(a

n

)

où P est un polynôme unitaire de degré n − 1. Choisir ensuite le polynôme idoine pour développer facilement le déterminant par rapport à la dernière ligne.

2 Développer (X+λ

k

)

ⁿ

et calculer le déterminant de la famille (X+λ

k

)

ⁿ

k∈[[0,n]]

dans la base (X

ⁿ

, X

ⁿ⁻¹

, . . . , X, 1).

3.a Choisir α de manière à ce que tous les αx

k

appartiennent à un même intervalle ouvert de longueur 2π.

3.b.i Développer g(t +kα) en une combinaison linéaire de termes de la forme e

ⁱ^αx^k

. 3.c.i Exprimer X(t) en fonction de Y(t).

3.c.ii Raisonner par l’absurde en supposant l’un des c

k

non nul afin d’obtenir une contradiction avec la question 3.c.i.

Exercice 2

1 Regarder l’égalité C M = M C lorsque M est une matrice de la base canonique de M

n

( R ).

3 L’endomorphisme f

^∗

est défini par

∀ (M, N) ∈ M

n

( R )

²

h f (M) | N i = h M | f

^∗

(N) i 4.a.i Exploiter la relation f

^∗

◦ f (M) = M.

4.a.ii En partant de f

^∗

◦ f (M) = M, remarquer que

^t

A A commute avec toutes les matrices de M

n

( R ).

4.b Remarquer que les matrices A/ √ a et √ a B sont orthogonales.

Exercice 3

1.a Pour le calcul de Γ(1/2), faire le changement de variable t = u

²

. 1.b.i Utiliser la convexité de la fonction exponentielle.

1.b.ii Appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (f

n

).

1.c Pour la première égalité faire le changement de variable t = nu. Pour la seconde relation effectuer une intégration par parties.

1.d Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N et pour tout x > 0 I

n

(x) = n!

n

k=0

Π (x + k) 2.a Faire une intégration par parties.

2.b Calculer le produit télescopique

n k=1

Π

a

k

a

k−1

.

Téléchargé gratuitement sur Doc-Solus.fr

(3)

© Éditions H

^&

K Publié dans les Annales des Concours 3/19

2.c Faire apparaître le terme de la question 1.d dans le terme général a

n

.

2.d Montrer que (1 − c

^p

)

ⁿ

= o(a

n

) et revenir à la définition des suites équivalentes.

3.a.i Commencer par chercher une condition nécessaire et suffisante sur c pour que 1 − λ

2

c

^p

> 0. Remarquer que

1 − g(t) t

^p

−−−→

x→0

λ et revenir à la définition de la limite.

3.a.ii Intégrer l’inégalité de la question 3.a.i puis établir que g(t)

ⁿ

6 g(c)

ⁿ

pour tout t ∈ [ c ; 1 ].

3.a.iii Montrer dans un premier temps que λ

^1/p

u

n

a

n

c λ

^1/p

−−−−→

n→∞

1 Pour cela on revient à la définition de la limite à l’aide de ε. On établit dans un premier temps que

λ λ

2

1/p

a

n

c λ

21/p

a

n

c λ

^1/p

6 λ

^1/p

u

n

a

n

c λ

^1/p

6 λ

λ

1

1/p



 a

n

c λ

11/p

a

n

c λ

^1/p

+ g(c)

ⁿ

λ

11/p

a

n

c λ

^1/p





On exploite ensuite le fait que l’on peut choisir λ

1

et λ

2

aussi proches de λ que l’on veut et l’équivalent de la question 2.d.

4.a Remarquer simplement que l’intégrande est prolongeable par continuité en 0.

4.b Établir que la fonction t 7→ t/ sh (t) vérifie toutes les contraintes explicitées au début de la question 3. On montre que la dérivée a le même signe que th (t) − t puis on utilise des arguments de convexité.

Téléchargé gratuitement sur Doc-Solus.fr

(4)

© Éditions H

^&

K Publié dans les Annales des Concours 4/19

Exercice 1

1 L’objectif de la première question est le calcul du déterminant de la matrice







1 1 · · · 1

a

1

a

2

· · · a

n

.. . .. . .. . a

1n−1

a

2n−1

· · · a

nn−1







Commençons donc par le calcul du « fameux » déterminant de Vandermonde.

Même si celui-ci n’apparaît pas explicitement dans le programme de la filière PSI, son calcul a été probablement fait en cours ou lors de travaux dirigés.

Il s’agit donc de le rédiger proprement pour faire bonne impression sur le correcteur. Par conséquent, on évite de faire un raisonnement de proche en proche une fois la formule récurrente établie mais un raisonnement par récur- rence rigoureux. Il ne faut pas perdre de vue que la première question va conditionner la bienveillance du correcteur durant toute la correction de la copie : vous devez y apporter un soin tout particulier.

Le déterminant étant une forme n-linéaire alternée, sa valeur ne change pas si on ajoute à la dernière ligne une combinaison linéaire des autres. L’idée est de se ramener à une dernière ligne avec un seul coefficient non nul. On considère le polynôme

P =

n−1

k=1

Π (X − a

k

) = X

ⁿ⁻¹

+ α

n−2

X

ⁿ⁻²

+ · · · + α

1

X + α

0

où (α

0

, α

1

, . . . , α

n−2

) ∈ C

ⁿ⁻¹

. On effectue l’opération élémentaire L

n

← L

n

+

n−2

P

k=0

α

k

L

k+1

On obtient V (a

1

, . . . , a

n

) =

1 1 · · · 1 1

a

1

a

2

· · · a

n−1

a

n

.. . .. . .. .

a

1n−2

a

2n−2

· · · a

_nⁿ⁻²−1

a

nn−2

P (a

1

) P (a

2

) · · · P (a

n−1

) P (a

n

) puis, comme a

1

, . . . , a

n−1

sont racines de P,

V (a

1

, . . . , a

n

) =

1 1 · · · 1 1

a

1

a

2

· · · a

n−1

a

n

.. . .. . .. .

a

1n−2

a

2n−2

· · · a

_n−1ⁿ⁻²

a

nn−2

0 0 · · · 0 P (a

n

)

En développant ce déterminant par rapport à la dernière ligne, on obtient bien

V (a

1

, . . . , a

n

) = V (a

1

, . . . , a

n−1

)

n−1

k=1

Π (a

n

− a

k

)

Pour établir la formule générale, raisonnons par récurrence. On définit, pour n ∈ N , n > 2, la propriété P (n) :

« V (a

1

, . . . , a

n

) =

_16i<j6n

Π ^(a

^j

− a

i

) »

• P (2) est vraie puisque V (a

1

, a

2

) = a

2

− a

1

=

_16i<j62

Π ^(a

^j

− a

i

).

Téléchargé gratuitement sur Doc-Solus.fr