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Jeudi 22 mai 2014 – 2h00Devoir surveillé n°9.
Dérivée – Suites – Applications du produit scalaire – Loi binomiale
L’énoncé est à rendre avec sa copie.Penser à écrire son nom en entête sur cet énoncé.
On soignera la rédaction et la présentation.
Le barème n’est qu’indicatif. Le devoir est noté sur 20 points.
EXERCICE1(5 points).
Soitf la fonction définie surDf =]− ∞; 1[∪]1 ;+∞[ par
f(x)=−x2+7x−10 x−1
La courbeC représentative def est donnée sur la figure9.1en annexe.
On note f′la fonction dérivée de f surDf. 1. (a) Montrer quef′(x)=−x(x2+−1)2x2+3.
(b) Déterminer les variations de f.
2. Déterminer les abscisses des points deC où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
3. Déterminer l’équation de la tangenteT à la courbeC au point d’abscisse 2.
4. Dans le repère de la figure9.1, tracer :
• les tangentes àC parallèles à l’axe des abscisses ;
• la tangenteT. EXERCICE2(5,5 points).
Une entreprise du secteur « Bâtiments et Travaux Publics » doit réduire la quantité de déchets qu’elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale.
En 2007, l’entreprise rejettait 40 000 tonnes de déchets. Depuis cette date, l’entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu’elle rejette de 5 % par rapport à la quantité rejetée l’année précé- dente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du dévelop- pement de nouvelles activités.
Pour tout entier natureln, on noternla quantité, en tonnes, de déchets pour l’année (2007+n). On a doncr0=40 000.
1. (a) Calculerr1etr2.
(b) Cette suite est-elle arithmétique ? Cette suite est-elle géométrique ? Pour la suite, on admettra quern+1=0,95rn+200.
2. Soit (sn) la suite définie pour tout entier naturelnparsn=rn−4 000.
(a) Démontrer que la suite (sn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
(b) Pour tout entier natureln, exprimersnen fonction den.
En déduire que, pour tout entier natureln: rn=36 000×0,95n+4 000.
3. Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.
(a) La quantité de déchets rejetés diminue-t-elle d’une année sur l’autre ?
(b) L’entreprise s’est engagée, à terme, à rejetter moins de 20 000 tonnes de déchets par an.
L’entreprise arrivera-t-elle à respecter son engagement ?
Jeudi 22 mai 2014 – 2h00
EXERCICE3(5,5 points).
La suite (un) est définie, pour toutn∈N, par :
½ u0=5
un+1=0,125u2n+1
1. On donne en annexe la figure9.2où est tracée la courbe représentative de f(x)=0,125x2+1.
(a) Construire sur cette figure la représentation en chemin de la suite (un) jusqu’àn=5 en indiquantu0,u1, etc. sur l’axe des abscisses.
(b) À l’aide de cette représentation, conjecturer la convergence de la suite (un).
2. On admet que si la suite (un) converge, c’est vers l’une des éventuelles solutions de l’équation f(ℓ)=ℓ.
(a) Montrer que les solutions de cette équation sont 4+2p
2 et 4−2p 2.
(b) À l’aide de la question précédente et de la représentation en chemin, en déduire la limite de la suite (un).
3. On donne l’algorithme très incomplet ci-dessous.
ENTREE e
...
INITIALISATION
n PREND LA VALEUR 0 u PREND LA VALEUR 5
...
TRAITEMENT
TANT QUE ... FAIRE
...
...
FIN TANT QUE SORTIE
n
(a) Recopier et compléter l’algorithme afin qu’il permette de déterminer, pour une valeur deedonnée par l’utilisateur de l’algorithme, la première valeur dentelle queun−ℓ<e. Toutes les lignes ne sont pas forcément à compléter et on pourra, au besoin, ajouter des lignes.
(b) Recopier et compléter le tableau ci-dessous à l’aide de cet algorithme.
e 0,5 0,1 0,01 0,001 n
(c) Poure=10−6l’algorithme renvoien=15. Interpréter ce résultat.
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Jeudi 22 mai 2014 – 2h00EXERCICE4(4 points).
On traitera,au choix, soit la partie A, soit la partie B.
Partie A : Applications du produit scalaire Les questions sont indépendantes.
1. Pierre (P) est en bord de mer. Il observe à proximité, comme indiqué sur la figure ci- contre (les distances et les angles n’y sont pas respectés), une bouée (B) et un arbre (A).
Comme beaucoup de garçons, il veut nager jusqu’à la bouée mais, plus prudent que la plupart des garçons, il ne veut pas présager de ses forces et il sait qu’en mer il ne peut pas na- ger plus d’un kilomètre.
b b b
P A
B
On a les données suivantes :
• PA=600 m
• APB =15◦
• PAB=115◦
(a) Pierre peut-il nager jusqu’à la bouée et revenir à son point de départ ? (b) Pierre peut-il nager jusqu’à la bouée et revenir à l’arbre ?
2. (a) Démontrer que, pour toutx∈¤ 0 ;π2£
, tanx=1−sin(2x)cos(2x). (b) En déduire les valeurs exactes de tanπ8 et tan12π. Partie B : Loi binomiale
Une usine d’emballage de pommes entreprose ses pommes dans un hanger.
On noteEl’événement : « Une pomme prélevée au hasard dans le hangar est de bon calibre ».
On suppose que la probabilité deEest 0,85.
On prélève au hasard 10 pommes de ce hangar pour vérification. Il y a suffisamment de pommes pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 pommes.
On noteX la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 10 pommes, associe le nombre de pommes de bon calibre de ce prélèvement.
Les résultats seront, au besoin, arrondis au millième.
1. Justifier que la variable aléatoireX suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, exactement 9 pommes soient de bon calibre.
3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus 8 pommes soient de bon calibre.
4. Calculerp(X >6).
5. (a) Calculer l’espérance mathématique deX.
(b) 10 pommes pèsent environ 2 kg. Le kilogramme de pommes est vendu 2,30(. Seules les pommes de bon calibre sont vendues. Quelle recette peut-on espérer obtenir par la vente d’un tel prélèvement ?
Jeudi 22 mai 2014 – 2h00
FIGURE9.1: Figure de l’exercice1
5 10 15
−5
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8 O x
y
FIGURE9.2: Figure de l’exercice3
1 2 3 4 5 6 7
−1
1 2 3 4 5 6 7
−1 O x
y
