EXERCICE3 EXERCICE3: EXERCICE2: Polynˆomes EXERCICE1 Suited´efinieimplicitement DEVOIRMAISONn 6

DEVOIR MAISON n



6

Pour lundi 6 Janvier 2020

EXERCICE 1

:

Suite d´

efinie implicitement

Soit nP N, on note pEnq l’´equation x3 nx 1 d’inconnue x P R.

1. Montrer que pour nP N fix´e, l’´equation pEnq admet une unique solution.

On la note xn et on d´efinit ainsi une suite num´eriquepxnq que l’on ´etudie dans cet exercice.

2. (a) Montrer que pour tout entier naturel nP N, 0¤ xn¤ 1_n.

(b) En d´eduire la limite de la suite pxnq.

3. On pose, pour tout nP N, fnpxq  xn nx.

(a) Prouver que, pour tout nP N, fn 1pxnq  1 xn.

(b) En d´eduire le sens de variation de la suite pxnq.

4. Montrer que lim

nÑ 8nxn 1. En d´eduire un ´equivalent de xn.

5. On pose pour nP N, yn xn

1 n. (a) Montrer que yn 

8 1 n4. (b) En d´eduire xn  8 1 n
1 n4 o  1 n4 .

EXERCICE 2 :

Polynˆ

omes

Les questions ci-dessous sont ind´ependantes et relativement courtes normalement. 1. Soit nP N, montrer que An nXn 1
pn 1qXn 1 est divisible par pX
1q2.

2. Prouver qu’un polynˆome de RrXs de degr´e impair admet au moins une racine r´eelle. 3. Le polynˆome P  2019X8 πX6 eX4 ?2X2 ln 3 est-il irr´eductible dans R ? 4. Factoriser dans CrXs et dans RrXs le polynˆome P  X4
1.

5. Factoriser dans CrXs, puis dans RrXs le polynˆome P  pX2
X 1q2 1.

6. Factoriser dans RrXs le polynˆome P  X8 X4 1 (sans chercher les racines complexes).

EXERCICE 3 :

Matrices (Extrait sujet CCINP PSI)

Soit A     1 0
1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0    P M4pCq. On pose aussi P  XpX
1q3.

1. Soit nP N, d´eterminer le reste de la division euclidienne de Xn _{par P .}

(`a l’aide de la m´ethode 2. du cours et de l’ex 190 ). 2. Prouver que PpAq  04, c’est `a dire ApA
I4q3  04.

3. En d´eduire que pour tout nP N, Anpeut s’´ecrire comme une combinaison lin´eaire de I4, A, A2 et A3.

EXERCICE 3

(EXERCICE BONUS )

1. D´eterminer les racines du polynˆome 1 X X2 sous forme trigonom´etrique.

2. Pour quels nP N, le polynˆome p1 X4qn
Xn est-il divisible par 1 X X2 dans RrXs ?