Méthodes de réalisation et d'interprétation des figures de pôles directes

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Méthodes de réalisation et d’interprétation des figures

de pôles directes

Daniel Ruer

To cite this version:

Daniel Ruer. Méthodes de réalisation et d’interprétation des figures de pôles directes. Matériaux. Université Paul Verlaine - Metz, 1971. Français. �NNT : 1971METZ003S�. �tel-01775547�























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&HGRFXPHQWHVWOHIUXLWGXQORQJWUDYDLODSSURXYpSDUOHMXU\GH

VRXWHQDQFH HW PLV j GLVSRVLWLRQ GH OHQVHPEOH GH OD

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KWWSZZZFIFRSLHVFRP9OHJOHJBGURLSKS



KWWSZZZFXOWXUHJRXYIUFXOWXUHLQIRVSUDWLTXHVGURLWVSURWHFWLRQKWP



A LA FACULTÉ

THÈSE

présentée

SCIENCES

DE L'UNIVERSTÉ

DES

s/ry

-il/r

DE METZ

pour obtenir le titre de

DocrEUR-ntcÉruteun

par

Daniel RUER

lngénieur C. N. A. M.

MÉTHODES DE RÉALISATION ET

D'INTERPRÉTNTION DES FIGURES

DE POLES DIRECTES

Soutenue le 27 novembre 1971 devant la commission d'examen:

R. BARO Président

P. COULOMB I

c. ,nuonol ' Examinateurs

BJELIOTHbQUb, _{U Jr J VCRS ITAIRE}

U . E . R. ''SCIENCES EXACTES ET NATURELLES '' dC METZ

(Faculté des Sciences)

PROFESSEURS M. LONCHAMP J.P. - I"lme CAGNIANT D. M . L E R A Y J . - M. BLOCH J.M. - M. GERARD R. - M. CHARLIER A. - M. TAVARD C. - M. tvEBER J.D, - M. WENDLING E. - !Îme SEC A. - M. WEIL M. MAITRES DE CONFERENCES CHARGES D IENSEIGNEMENT T . T . P . P h y s i q u e P . S . C . C h i m i e P . S . C . P h y s i q u e T. Chimie P . S . C . M a t h é m a t i q u e Physique Physlque Mécanique Chimie MathémaÈique Mathématique

AVANT-PROPOS

Le présent travaj-l a été réalisé au Laboratoire de Métallurgie Structurale de la Faculté des Sciences de METZ sous la direct.ion de Monsieur Ie Professeur R. BARO que je pri-e d'accepter I'expression de ma profonde gratitude Pour I' j-ntérêt et la confiance indéfectible quril n'a cessé de me manifester ainsi que pour son attitude libérale et constamment bienveillante à mon égard.

J'adresse mes plus vifs remerciements à

l4onsieur Ie Professeur P. COULOMB, de la Faculté des Sciences de TOULOUSE, pour f intérêt quril porte à mes travaux et suis très touché de I'honneur qu'il me fait en participant à mon j u r y .

Je remercie Monsieur C. TAVARD de mtavoir permis, par ses conseils et ses criti-ques, de formuler plus clairement ma conception de lranalyse des textures.

Je n'oublie pas de remercier tout spécialement, pour Ia qualité exceptionnelle de son travail, Monsieur A. THIL à qui nous devons la réalisation des circuits imprimés et des plans du traceur automatique de figures de pôles, la construc-tion des nouveaux canevas stéréographiques ainsi que Ia présen-tation des figures illustrant ce texte.

Monsieur A.

"i::jï"::';î:":""::,":::'::::"]

.o,,=.ruc,ion

et la finition de notre appareil ainsi qu'à Monsieur R. SALMON pour son importante contribution dans Ia mise au point du

dernier prototype.

Je remercie de même tous ceux qui ont facilité Ia réal j-sation de ce travail r êrl particuller

Monsieur J.J. HEIZMANN, pour son aide expérimentale,

Monsieur P. IvIAURICE, Directeur de I'Ecole Nationale d'Ingénieurs de METZ, pour les facilités offertes dans I'utilisation des installations de traitement automatique de son établissement, Monsieur A. VADON pour Ia programmation et le Èracé automatique des canevas ainsi que Madame A. PROFIZI, pour ses travaux photo-graphiques.

Mes sincères remerciements vont aussi à

Monsieur H. METZINGER pour sa coopération en généra1 €t' en particulier, pour les facilités accordées dans Ia réalisation des travaux de reproductj-on et de reliure.

Enfin, j'exprime mon entière satisfaction à Mademoiselle N. MORITZ pour le soin apporté à Ia présentation du texte ainsi qu'à toutes les Personnes ayant participé à son impression.

TÀBLE DES IIIATIEBES

INTBQDSCTION

Chapitre I. - NOTTON DE TE)(TURE

Paqes I 3 4 6 7 I

21

22

22

25

I.I : Notion d'orientatl,on

I.2 : Nction de texture simple

1.3 : Texture de fibre complète

1.4 : Texture de flbre partielle

Chapitre 2. - REPRESENTATION

GRÀPHIQIE. DE

I,A TEXTURE

2.I : La projection stéréographique .

2.2 : Figures de trÉIes drune texture

sLmp1e

2.3 : Figures de p,ôles d'une texture

de fibre partielle

@,@i--

CONSTRUCTION DES F'IGURES DE

POLES EXPERIMENTÀLES

3.1 : Les méthodes utlllsées

3.2 : Rappel de Ia méthode de SCHULZ

3.3 : RéalisatLon d'une flgure de pôIes

expérJ.mentale

3.4 : ConstructLon automatique des flgures

de pôles

3 .5 : L,e traceur automatlque TEXTUREX

3.5 : Rermrques sur les llnLtatlons

expérimentales

I 1 L 2

I4

l5

26

27

3I

Chapitre 4. - LIANALYSE DES TEXTURES

4. I : Introduction

4.2 : Etude des fj-gures de pôles directes 4 . 2 . I : Utilisation d e s t e x t u r e s de

fibres

4 .3 : Etude des figures de pôles inverses 4.4 : Réflexi-ons sur les différentes

méthodes d'analyse

Chapitre 5. INTERET D I UNE NOWELLE METHODE

5 . 1 : I n t r o d u c t i o n

5.2 : La méthode idéa]e

5 .3 : La méthode GPAWEN-I^IASSERMANN 5.4 : Remarques sur Ie "modèIe

GREWEN-WASSERMANN''

. REALTSATION DE NOUVEAUX CANEVAS

STEREOGRÀPHIQUES 6.1 : Présentation des canevas 6 . 2 : Intérêt des canevas

Chapitre 7. - I{ETHODE DIÀNALYSE A L'ATDE DES CANEVAS

37

38

38

42

48

5r

5 4 5 5 5 5 5 5 5 6 C h a p i t r e 6 . 7 . L 7 . 2 Chapitre 8. 5 9 6 6 6 4

70

7t

73

MéÈhode utilisée Résultats obtenus

- ANA],YSE DE LA TEXTURE DE LÀ}IINAGE DE T,IATUMINIUM D'APRES LES FTGURES DE POLES PUBLIEES PAR J. GREWEN ET

Chapitre 9. - ANALYSE DE LA TEXTURE DE LÀI{INAGE

DU CUIVRE DIAPRES LES FTGURES DE

POLES PUBLIEES PAR H.J. BUNGE ET

F . H A E S S N E R E N } 9 6 8

Chapitre IO. - ANALYSE DE IÂ TEXTUPE DE LAMINAGE

DIUN ECHANTILLON DE CUTVRE PRESEN-TANT UNE II,IPORPRESEN-TANTE ORIENTATION

(oo1) / Loo_/

RESUME ET CONCLUSION GENERALE

ANNEXE. - CALCUL ET CONSTRUCTION DES CANEVAS STEREOGRAPHIQUES BIBLÏOGRAPHTE

89

ro9

L23 L26

r38

I N T R O D U C T I O N

Depuis une dizaine d'années, 1'étude des textures s'est considérablement développée et intéresse des domaines de recherches de plus en plus variés. La publication de volumineux ouvrages sur ce sujet, notamment par G. WASSERMANN et J. GREWEN e n 1 9 6 2 /-t-7 / - 2 _ 7 , p â r t.D. DILLAMORE et W.T. ROBERTS e n

1 9 6 5 /-3-7 et par J. BUNGE en 1969 /-4_7 est la preuve de I'im-portance croissanÈe de cette discipline. En partlculier, 1'étu-de 1'étu-des textures joue un rôle 1'étu-de plus en plus grand dans certai-nes technologies de pointe conrme, pâr exemple, la fabricatj-on de couches minces pour circuit,s intégrés électronlques. _{/-5_7 .}

Le point de départ de lrétude des textures étant évidemment 1a déterminat.ion précise de celles-ci, différentes méthodes dranalyse ont été imaginées. Certaines méthodes très

récentes traiÈent directement les données expérimentales à

Iraide de calculateurs de grande capacité. La représentation de la texture est obtenue, dans ce cas, sous la forme d'un ensem-ble de graphes, chaque graphe correspondant à une valeur cons-tante de 1'un des paramètres utilisés. Les résultats obtenus sont dif f i.ciles à exprimer de f açon simple. En partj.culier, dans Ie cas où une texture est coRstituée de plusieurs textures de fibres partielles, ces méthodes ne permettent pas Ia mise en évidence simple des axes de fibres.

Nous présentons ici une nouvelle méthode dranalyse d e s t e x t u r e s basée sur la notion de fibre partielle i n t r o d u i t e par J. GREWEN et c. I,VASSERMANN _{en 1955 l-6-7} La détermination d e l a r é p a r t i t i o n d e s o r i e n t a t i o n s s ' o b t i e n t d i r e c t e m e n t à p a r -t i r d e s f i g u r e s de pôles dii-ec-tes e-t les résul-ta-ts ob-tenus

s'expriment de façon simple. lJous comparerons les résultats ob-t e n u s p a r c e ob-t ob-t e n o u v e l l e méob-thode avec ceux obob-tenus à l'aide d'un dévelonpement en série sur la base des harmoniques sphériques généralisés dans le cas d,e Ia texture de laminage du cuivre.

l{ous appliquerons aussi notre méthode à l'analyse de la texture de laminage de 1 'aLuminium publiée par J. GREI^IEN et G. WASSERMANN ainsi gu'à la détermination de la texture de laminage d'un échantillon de cuivre présentant une orientation

3

Chapitre I

I - NOTTON DE TEXTURE

Les matériaux polycristallins (métaux, roches, etc. . . ) peuvent être consj-dérés comme essentiellement formés d'un assemblage de grains. Chaque grain peut être assimilé à un petit monocristal et désigné sous Ie nom de cristallite.

Tout cristallite est défini Par forme et son orientatlon dans l'échantlllon déré. Seule son ori.entation intervient dans de sa texture. S A du 1a positionr sâ matériau consi-détermination

I.I : Notion d'orientati-on

Un cristallite étant assimilé à un monocristal, son orienÈation sera déterminée par la connaissance des angles que font les plans réticulaires du cristallite avec des plans ou des directions fixes par rapport à 1réchantlllon étudié"

Dans tout ce qui suit, nous nous limlterons volon-tairement au cas des matériaux appartenant au système cubique. L'échantilton étudié sera supposé avoir Ia forme d'un prisme droit à base rectangulaire de sorte que Ie référentiel ortho-gonal Iié à I'échantillon sera formé respectlvement par les trois directions parallèIes à Ia longueur, à Ia largeur et à l ' é p a i s s e u r d e c e l u i - c i .

Dans le cas particulj-er des échantillons de tôIes laminées, les axes du référentiel fixe seront donc la directlon

de lamlnage Oi, Ia directLon transverse Ot et la normaLe Ofr au

plan de laminage (figure r) .

,5

Fig.1.Référentiel rié à 1'échantitlon

Ensemble de texture de surface de

cristallites appartenant à une fibre d'axe <OOI> normal à la I 'échantill-on.

,

,rrÊ

:n fl

L'orientation d'un cristallite peut être détermi-née de plusieurs façons. Nous choisirons pour le moment la con-vention utilisée en métallurgie. L'orientation drun cristallite sera connue par la donnée, dtune part, du plan réticulaire pa-rallèIe au plan de I'échantillon (ot, oÈ) êt, drautre part, Pâr I'indication de Ia rangée parallèle à Ia direction Ot.

Ainsi, I'orientation _{(ool) 1-\tO"7 signifie que Ie} plan (oof) est parallèle au plan de 1'échantillon et que la

+

rangêe / LLO-/ est paralIèle à La direction OL.

Eh fait, il n'est généralement pas possible de distinguer les uns des autres les plans réticulaires ayant les mêmes indices de Mi1ler. Pour cette raison, nous adopterons désormais Ia notation plus correcte {n,* 1} <u v hr> ce qui, dans le cas précédent, donne {oor} <Ïto>; par exemple.

L.2 : Notion de texture simple

-11 est dans certalns cas possible 9u€r à la suite de différents traitements mécaniques ou thermiques, une très grande proportion des cristallj-tes prennent une même orlenta-lion. Cett,e orientation est alors appelée orientation préfé-rentielle et I'on dit alors que I'échantillon possède une tex-ture simple.

L'un des exemples les plus connus est celui de la texture de Goss des tôles dracier dites "à grains orienté6"

I

utilLsées notarunent pour la confectLon des clrcults

maghétl'-ques de transformateurs. La texture de Goss est caractérlsée

par I'existence dtune seule orlentatlon préférentlelle,

I'orientation

{1ro} <oo1> .

Lorsqu'aucune orLentation préférentielle

n rest

i présente, iI y a absence de texture eL 1'échantillon présente

des propriétés physlques Lsotropes. 11 apparalt donc que

Irétu-de Irétu-de Ia texture est llée à celle Irétu-de 1'ani.sotrople

"dlrectlon-, ne1Ie" des cristallites.

1.3 : Texture de fibre comPlète

-une texture de flbre est la réunion drun grand

' nombre d'orientatlons préférentlelles admettant une directlon

commune f Lxe à La foi,s dans le trièdre atËaché à 1réchântl$.Ion

et dans Ie cristal.

Cette ditection commune qui, dâns te

sys-tèine eubLque, est perpendiculaire au plan réticul"aire commun,

pfend le nom d'axe de fibre.

I,a flgure 2 montre la disposition de cristallites

appartenant à une texture de fibre dont I'axe de flbre est

nOr-mal au plan de 1'échantillon.

Tous les cristallites

représentés

ont un même plan tOOl) paral]èle au plan de ltéchantlllon'

de

sorte que lraxe de fibre sera la rangée tOOlt '

Une texture de flbre sera déf,inl-e sl lron &ane

la position de lraxe de fibre par rapport à l',échantlll'On' I{€Ë

différentes

orientatlons préférentielles

constituant la

textu-re de fibtextu-re se dédulsent 1es unes des auttextu-res par unè fôt'atùon c

autour de 1r axe de f lbre. Iro'nsgue a prend toutes les val'eurs

possibles comprl,ses entre Oo et 35Oo on dlt qutLl stagLt drUne

texture de flbre comPlète.

t

I.4 : Texture de fibre Partielle

-La notion de texture de fibre partielle a êLé introduite par GREWEN-WASSERMANN / 6-7. D'après 1a définition de la fibre complète donnée au paragraphe précédent, une fibre partielle serait donc caractérisée par une valeur de o

infé-r i e u infé-r e à 3 6 0 o . o infé-r , l e s f i g u infé-r e s 3 a , 3 b e t 3 c m o n t infé-r e n t q u | i l nrest pas nécessaire que o prenne toutes les valeurs possi-bles de O à 3600 pour qu'une fibre soit conplète' En effet'

si I'axe de fibre est un axe de symétrie cristallographique

d'ordre 2,3 0u 4, il suffit que d prenne respectivement toutes res vareurs comprises entre oo et. r8oo, oo et Lzo" , oo et 9oo. La figure 3a qui représente symboliquement une fibre complète d'axe <I10> peut tout. aussi bien être considérée conme une

f i b r e p a r t i e l l e d ' a x e < 1 I O > p o u r l a q u e l l e s v a r i e d e O à I 8 O o " La distinction entre fibre complète et fibre partielle est donc inutile puisque, si I',on t,ient compte de l',ordre de symé-trie de I,axe cristall0graphique parallèIe à I',axe de la fibre' toute fibre complète peut être considérée comme une fibre par-t i e 1 l e .

Dans ces cond'itions, nous Pouvons désigner une texture de fibrer gu'elle soit complète ou partieller Pâr une expression unique :

< u v w > ( o , Y r a )

Dans cette exPression de I'axe de fibre, les angles ur et

<u v $r> indique la nafure v donnant sa Position Oil

Axe de f ibre (110 )

t%

T

J

d't

u

%.

a)

o!É

axe (oot )

c)

Exemple de fibre complèÈe d'axe (11O> ou e n c o r e f i b r e p a r t i e l l e < 1 f O > ( r , Y , I 8 O ) .

et c) Exemples de fibres partielles (les axes sont perpendiculaires au plan des figures) .

b)

t

D

Fig.3. a)

Axe de fibre (ttt)

b )

10

dans 1'échantillon et a I'amplitude de la rotation oô (figure 4). Nous conviendrons de prendre conme pour qr, Y et q le sens trigonomêtrique usuel (sens aigulIIes dtune montre) .

autour de

sens positif

l l

Chapitre 2

L 2

2 - REPRESENTAgTON _{çRAPHIQUE DE LA TEXTURE} 2.L : La projection stéréographique

-La représentation graphique d'une orientation pré-férentielle est identique à celle d'un monocristal ayant une certaine position Spatiale. Cette représentatlon graphique étant nécessairement une figure p1ane, iI est donc indispen-sable de représenter Ia posltion du monocristal représentant symboliquement I'orientation préférentielle Par une projection de celui-ci sur un plan. Le plan de projection serar êI1 génê-ral, Ie plan TOL de I'échantillon examlné (figure 1). La pro-jection généralement utilisée est ta projectlon stéréographi-que qui permet d'établir une correspondance biunivoque entre tous les plans rétlculaires du monocristal et les points du plan de projection tout en conservant, ce qui est essentiel, Ies angles formés par les plans réticulalres entre eux.

La correspondance biunivoque entre les plans réti-culaires et les points du plan de projection se fal-t en deux étapes. un plan rétj-culaire (h k r) étant supposé placé au centre O drune sphère imaginaire (X) , Ia normale à ce plan c o u p e ( x ) e n d e u x p o i n t s P t e t P 2 G i g u r e 5 ) . P t e s t d é s i g n é conrme te pôle du plan (h k I ) alors que P, est le pôle du plan tE Ë 11. On voit qu'il existe une correspondance biuni-voque entre I'ensemble des plans réticulaires et les points de Ia sphère (t) qui prend alors le nom de sphère des pôles. Soit S Ie pô}e de Ia projection stéréograPhique et (n) Ie plan ae projection. Les p6les PI et P2 se projettent respectivement e n p ' , e t P ' r . o n v o L t ( f i g u r e 5 ) q u e l e s p 6 1 - e s , t e l s q u e P 2 |

I3

Fig.4.

géométrique paramètres a v e c O Q . Représentation à l ' a i d e d e s 3 fibre coïncide d ' u n e f i b r e p a r t i e l l e a 1 Y e t c r . L t a x e d e

(E)

P,

I

/t

/ t

tl

i i,,

I , I I I

I

/

P;

c.

I

( hl(t )

T

C

I

"\

(cl,' r

, / \ I ' t \ l 1 t \ \ t I

I

I

s

t4

situés sur Ia deml-sphère inférieure au plan (n), se projettent e n P ' , , dans Ia région du plan (n) extérieure au cercle (o).

Dans Ia pratigu€, Ia projectj-on stéréographique est généralement restreinte à Ia demi-sphère des pô1es supé-rieure au plan (tr) (figure 5). La surface de projection se réduit alors au disque limité par Ie cercle (o) déterminé par f intersection de sphère (r) et du plan (n). Lrensemble des points p'I intérieurs à (o) interviennent dans Ia constructj-on d'une figure de pôles.

2.2 : Figures de p9les drune texture simple

-Dans I'étude de Ia texture, une figure de pôIes ne comprend que les pô1es correspondant à une même forme de plan. On conçoit donc qu'une même orientation puisse être représentée théoriquement par une infinité de figures de pôIes, une par forme de plan {h k f}. En fait, seules certaines formes de plans d'indices de Miller faibles sont susceptibles de diffrac-ter les rayons X de façon sensible. Dans la pratiguerle nombre total de figures de pôIes réalisables expérimentalement se ré-duit au maximum à quatre ou cinq.

Dans Ie système cubique centré, les figures de pôIes correspondant aux formes de plans {2OO} ' {llO} , {zLL},

{ 2 2 2 l i , t3fo} et {32f} sont rêalisables.

Dans le système cubique à faces centrées, les seules figure.s pratiquement réalisables correspondent aux forrites àe p l a n s {2Oo} , {II1} , {22o} et {31I}

t5

La texture de Goss, par exemple, Pourra être indlf-féremment représentée par I'une des figures de pôIes de Ia flgure 6 qut sont équivalentes.

L'exemple précédent montre que si, théoriquement, toutes les figures sont équivalentes, certalnes sont ptus sim-ples en raison de }a plus faible multiplicité du plan (h k 1) considéré. La figure 6a ne présente que 4 pôIes alors que la figure 6c en présente 14. Le nombre de pôles correspond'ant à une seule orientation _{est au molns éga1 à â , n déslgnant sa} multipticité. Ce nombre augmente d'une unité lorsqu'un pôle e s t s i t u é s u r I e c e r c l e ( q ) , c ' e s t - à - d i r e s u r l a c i r c o n f é r e n c e de la figure. Comme, en général, une texture est souvent com-posée de plusieurs orientations préférentielles, on voit qu'iI faut préférer les figures de pôles d'indices les Plus faibles si Iton veut espérer Pouvolr les interpréter. Heureusement, ce sont les f igures de pôIes les plus simples qui, expér5-rnen-talement, sont obtenues avec Ie plus de facilité et avec Ia plus grande précision.

2 . 3 . F i g u r e s d e p ô I e s d ' u n e t e x t u r e d e f i b r e p a r t i e l l e

-une texture de fibre partielle est constituée d'un grand nombre de cristallites d'orientations très voislnes se

succédant 1es unes aux autres Par rotation autbur de l'age:,de f,ibre; Si le nomb,ne Él'es oriêntations constituant Ia f ibre est suffisàrunent grand, on.-peut remPlacêr la successd.on -dtsCfète ëles pôIes représentatifs de ces orientatlonb par des tignes continues, ces lignes étant des arcs de cercles. D'ùn pôlnt de

t

I

rt-r

I 6

{zoo)

a)

{tr o}

{zrr}

Représentations équivalentes de par des fiqures de pôles suivant p l a n s dj-f f érentes. Ia t.exture de Goss trois formes de

b)

c)

t

I

l} t { t I

-r

t { t {t

Fig.6:

r7

vue purement géométriqUêr iI est équivalent de considérer une texture de fibre partielle comme la texture engendrée par la rotation d'un cristallite unique autour de I'axe de fibre. CeIa permet alors de représenter symboliquement une texture de fibre par ltexpression :

< U 1 v 1 V I 1 > t h O k 6 l 9 ) < u p v g t r t g > ( u r , Y , a ) .

D a n s c e t t e e x p r e s s i o n , i h o k g I p ) < u g v g w 0 t représente 1a position initiale d.'un cristallite, Position à parÈir de laquetle celui-ci tourne d'un angle o autour de I t a x e < u 1 v 1 $ r 1 > . L a p o s i t i o n d e c e t a x e d a n s I ' é c h a n t i l l o n est repéré par les angles rrr et v.

on remarque que lrexpression proposée utilise douze paramètres qui ne sont pas tous indépendants. s'il est indispensable de préciser I',orientation initiale :

tho ks to ] <ue

Ia donnée de Ia rangée <u1 V1 wi n ' e s t p a s n é c e s s a i r e c a r c e l l e - c i naissance simultanée de {ho ks I9 Par c,ontre, la connaissance de :

v g w o t , > parallèIe à I'axe peut se déduire de ) . u o V 6 w g > e t d e ( o , de 1 a fibre con-Y , a ) . < l J 1 V 1 W 1 > ne permet de trouver e t d e { h o k q l s } < u o v o w o > que (l) et Y. L'exPression : < u l v 1 w 1 > { h o k g 1 O } < u g v g W g >

ne peut donc pas représenter une texture de fibre car elle ne permet pas de connaltre Ia valeur de ct. Par conSéqUent, la représentation symbotique la plus simple d'une texÈure de

r8

fibre sera obligatoirement :

t h o k 9 1 o ) < u g v g $ I g > ( , r r , v r c)

Ainsi, la texture de fibre représentée par Ia f i g u r e 7 p o u r r a ê t r e n o t é e : { O O t } . Ï O O t ( 4 5 , I 8 O ' - 3 5 ) a u I j - e u d e : < l I O > { O O I } . Ï O O t ( 4 5 , 1 8 O , - 3 5 ) .

Pour construire les différentes projections stéréographiques de la figure 7,on Peut utiliser l',abaque connu sous Ie nom de canevas de Wulff (figure 8) '

La représentation graphique dtune texture connue n'offre guère de difficultés lorsque cette texture est relati-vement simple. Malheureusement, dans Ia pratiguêr les textures

sont souvent très complexes et le problème de Ia construction précise des figures de pôles expérimentales ne peut s'obtenir que par des procéd.és modernes de t.raitement automatique.

\ \ \ \

(11 o)

Représentation la texture de

des pôIes trlo)

fibre <llo> {oot}

appartenant à

<foo) (45, r8o, -35) .

20

2t

Chapitre 3

22

3 - CONSTRUCTION DES FIGURES DE POLES EXPERIMENTALES

3 . 1 : L e s m é t h o d e s u t i l i s é e s

-A I'heure actuelle, la détermination expérimen-tale des textures se fait essentiellement par diffraction des rayons X suivant Ia méthode très connue due à Schul" /'7-7 /- 8 -7 l- 9 -7 l- to -7 l- tt -7 . certains auteurs ont utilisé Ia diffraction des électrons grâce au mj-croscope électronique

/- 12 -7 l- û -7 l- L4 -7 l- É -7 /- L6 -7 l- r7 -7 l- L8 --/ aLors que

d ' a u t r e s c o m m e n c e n t à u t i l i s e r I a d i f f r a c t i o n d e s n e u t r o n s /-Lg-7. Les résultats obtenus par ces différentes

métho-des concordent bien, mais les rayons X permettant une étude beaucoup plus rapide et plus facile conservent, Pour cette r a i s o n , u n e n e t t e p r é f é r e n c e .

3.2 : Rappel de la méthode d.e Schulz

-Le problème consiste à obtenir Ia distribution statistique des normales d'une forme du plan {h k I} donnée à f i n t é r i e u r d ' u n é c h a n t i l l o n p o l y c r i s t a l l i n .

On place pour cela I'échantillon de telle façon que les rayons X incidents fassent, avec le plan de l'échan-tillon, un angle O éga] à I'angle de Bragg correspondant à Ia condition de diffraction d'un plan réticulaire (h k I) donné

( f i g u r e 9) .

L'échantillon est soumis à deux rotations slmul-tanées. La rotation azimutale V correspond à une rotation de l'échantillon sur lui-même. La seconde rotatlon est la décli-n a i s o décli-n 0.

23

Rayons X

incidents

. /j\ . / \

0 t..

R. X. diffractés

Translation

tl

,lr

G-

.^

2 4

Les angles Y et g sont des fonctions du temps. A un instant t donné, Ie plan (h k 1) se trouvant en position de d i f f r a c t i o n s e r a r e p é r é p a r l e s a n g l e s v ( t ) e L Q ( t ) . Y ( t ) représente Ia positi-on angulaire par rapport à une direction fixe eui, dans Ie cas des tôles, est généralement Ia direction de laminage. I (t) représente I'angle que fait la normale au plan (h k f) qui diffracte avec la normale au plan de I'échan-t i 1 l o n .

Le plan situé en position de diffraction sera re-présenté sur Ia figure de pôles par Ia projection stéréographi-que de son pôle. En raison de cette projection, la posi-tion du plan (h k I) considéré sera représentée sur Ia figure de pôles par le point P dont les coordonnées polalres (p, e) seront :

O P = o ù R e s t l e r a y o n d e I a f i g u r e L g Q/2 (t)

(r)

d e p ô I e s ( f i g u r e 1 0 ) . n = P

e-\y

Fig.1O. Représentation

25

De plus, à tout point P sel:a associée une valeur I ( h k f) de I'intensiLé X d i f f r a c t é e .

Les rotations y et p étant des fonctions contj-nues linéaires du temps, on voit que I'ensemble des points P est une spirale. Le pas de cette spirale dépend des valeurs resDectives d e Y ( t ) e L d e Q ( t ) .

Le goniomètre de texture Sj-emens que nous avons utilisé permet Ie tracé d'une spirale complète en 3 h 36 mn. De plus, il soumet l'échantillon à un mouvement de translation alternative dans son plan de façon à réduire I'influence d'une éventuelle anomalie locale dans la dlstribution des orientations Grâce à I'adjonction d'un dispositif supplémentaire que nous avons réalisé, le pas de la spirale décrite en 3 h 36 mn est d e L , 2 5 o a u l i e u d e 2 , 5 o " .

3.3 : Réalisation d'une f igure de pôIes eëPéIiMntale

-L e s r a y o n s x d i f f r a c t é s p a r 1 ' é c h a n t i l l o n é t a n t captés par un compteur Geiger-Muller (figure 9) , les impulsions reçues sont comptées et intégrées de façon à produire une ten-sion électrique proportionnelle au taux de comptage. La baie de mesure Siemens utilisée donne une tension variable entre O

et IO volts. Cette tension est normalement enregistrée sur un diagramme linéaire à I'aide d'un enregistreur potentiométrique traditj-onnel . C'est à partir de ce diagramme que I'on construit I a f i g u r e d e Pôles.

Principe de Ia transformation 4U 4lggfgggg-g!

L

-fisures_Êe-PQleg

La tension enregistrée sur le diagramme représente la fonction I (h k f) où I est la densité de

pré-26

3 . 4 :

p ô I e s a é t é

l - r â ^ ô r 1 r q . ê T 1

sence de Ia forme de plan {h k 1} visée pour tout couple de valeurs (v (t) , A (t) ) . CeIa revient donc à associer à tout polnt P (v , A) de Ia pro-jection stéréographique la va1eur correspondante

d e r .

cette opération qui- demandait autrefois des heures de travail est aujourd'hui grandement facilitée grâce aux différents procédés de traçage automati-que mis au point ces trois dernières années et automati-que nous rappellerons brièvement.

Le problème du traçage automatique des figures de résolu de nombreuses manières. on peut classer les troj-s catégories, suj-vant le procédé utilisé '

La première catégorie comprend les traceurs basés sur I'impression d'un film photographique à développement rapi-de l'2o-7 , I 2t_f. Ce procédé est très rapirapi-de mais il est peu précis et les figures de pôles obtenues sont d'un format trop petit pour permettre une étude directe '

La seconde catégorie comprend. les traceurs digi-taux utilisés comme terminaux d'ord.inateurs /'22-7 ' Dans cer-tains cas, Ie traçage se fait directement par I'imprimante de l'ordinateur _l-n-7 à I'aide de symboles alphanumériques' II existe également un prograrrune permettant la visualisation de Ia figure de pôles sur un écran cathodiqve I 24-7 ' Tous ces procédés ont en coflImun le fait qu'ils nécessitent I'emploi d'un

-27

ordinateur, ce qui lmplique un prix de reVient relativement élevé. La qualité des figures obtenues varle considérablement suivant les auteurs. Lrutilisation de f imprimanter êf, particu-Iier, nous paraÎt un procédé mal adapté '

La troisième catégorie comprend les traceurs à plumes commandés par des dispositifs séquentiels simples et relativement bon marché tels les traceurs de GETSSLER I 25-7 et de CHIRER /-26-7 qu" nous avons déjà décrits par ailleurs l ' 2 7 - 7 L ' a p p a r e i l q u e n o u s a v o n s c o n ç u , r é a l i s é e t m i s a u point appartient à cette catégorie. It est commercialj-sé sous Ie nom de TEXTUREX €t, actuellement, Cinq exemplaires sont d é j à e n s e r v i c e d . o n t u n a u x U . S . A . . L e s p r i n c i p a l e s c a r a c t é r i s -tiques de notre appareil sont rappelées au paragraphe suivant.

3.5 : Le traceur autom@

-Le traceur automatique que nous avions réalisé e n 1 9 6 8 l-2i _7 a été arnélioré /'28-7 . Les f igures 11 et L2

montrent respectivement le prototype de 1968 et sa version com-merciale actuelle. La figure l3 montre le schéma général de

I ' a p p a r e i l .

L'intérêt de ce traceur automatique est de suppri-rner totalement le temps nécessaire au tracé drune figure de pôIes. Celle-ci est en effet tracée en temps réel pendant Ie d é r o u l e m e n t d e I ' e x P é r i e n c e .

Le synchronisme parfait indispensable entre Ie traceur et le gonionètre est obtenu grâce à des moteurs syn-chronisés Sur Ia fréquence du courant secteur. Cela permet

30

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3 I

d'utiliser Ie TEXTUREX avec n'importe quelle installation de goniométrie de texture. Les intervalles AI de I'intensité dif-fractée peuvent être choisis par I'opérateur lul-même et leur nombre (1O au rnaximum) peut être réduit à vol-onté. Enfin, le tracé obtenu est définitif et le tracé manuel des lignes de n i v e a u x n ' e s t p l u s n é c e s s a i r e s i 1 ' o n c h o i s i t u n p a s d e s p i r a l e de I,25o . Chaque niveau est représenté par une couleur et une épaisseur de trait déterminées. Le code des couleurs utilisé e s t d o n n é p a r l e t a b l e a u f .

A titre de comparaison, nous présentons (figure f4) une figure de pôles {2ooi tracée manuellement et (figure 15) la même figure obtenue automatj-quement avec le TEXTUREX. La figure 16 représente Ia figu::e de pôles { frO} du même échantil-I o n .

3.6 : Remarques sur les limitations expérimentales

-La méthode de Schulz en réflexion que nous utili-sons ne permet généralement pas d'obtenir une figure de pôIes complète. Pour des valeurs de A supérieures à 60o, la défocali-sation du faisceau X diffracté ajoutée à 1'augmentation de f in-fluence de I'absorption massique de 1'échantillon font que la

/ valeur de I obtenue est inférieure à sa valeur réelle . ''

Les renseignements fournis par une figure de pôles non corrigée pour les valeurs de @ supérieures à 60o ne sont pas pour autant inutiles, car ils permettent de déterminer la posi.tion des maximums de diffraction €t, par voie de consé-qyence, de déterminer 1es orientations préférentielles les plus importantes.

3 2

TABLEAU I

CODE DES COULEURS

Couleurs Intervalles _{d e I a t e n s i o n d ' e n t r é e}correspondants

b l a n c O moins de I V j a u n e I d e : I V à : 2 V z rouge f i n d e z 2 V à : 3 V é p a i s d e : 3 V à z 4 V 4 5 vert f i n d e z 4 V à : 5 V épai s d e : 5 V à z 6 V 6 r L L A ! ! V r r 7 f i n d e : 6 V à z 7 V é p a i s d e 7 V A : 8 V 8 9 b l e u f i n d e : 8 V à z 9 V épais d e : 9 V à : 1 O V n o i r 1 0 plus de IO V

@'t ;p a ^ æ\o o\ r-l \./ X Ft] É, ,J E-' X Fl H o Fl J tt .F{ +J rd F->-l o +J r-( d t-.1 F( o O d |{ +J ) rtc o O{ +J o +J o t{ A I ?-F ô

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X H & D, F{ X t4 H a () r-{ (o p1 () 15 a a) ! F{ f,lt .-l tH o ÎJ c) r-( o-r '-l +J rd o +J F{ d l-{ -{ 0) U rd l-{ +J Fl (J () r-l r-l q) F{ +J U rd êÈ.{ o .-l +J rd +J ê H o m\c) l-l tr{ I

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\=- _{- ê -/}

3 5

La figure 17 montre une figure de pôIes complète, sans cdrrection, obtenue par réflexion des rayons X sur les p l a n s ( f f t ) d ' u n é c h a n t i l l o n d e c u i v r e p o l y c r i s t a l l i n . B i e n q u e les intensités diffractées pour des valeurs de / voisines de 9oo s o i e n t i n c o r r e c t e s , i I n ' e n r e s t e p a s m o i n s q u ' e I l e s p e r m e t t e n t de déterrniner sans ambigulté Ia présence des 3 orientations

pré-férentielles importantes qui constituent 1a texture. Ces orien-tations admettent une forme de plan { lfo} paraltèIe au plan de I'échantillon. La texture de cet échantillon est donc presque exclusivement composée par les trois orj-entations idéales

i o l r t . Ï o o t , { o 1 1 i . f î r > e t i o r l I r r Ï ' . M a l h e u r e u s e m e n t , I'analyse d t une texture est rarement aussi facile et ce problè-me fondaproblè-mental, malgré les progrès spectaculaires de ces trois d e r n i è r e s a n n é e s , r e s t e u n p r o b l è m e t r è s d i f f i c i l e .

r O r O e O ' -a -a -a -a

3 6

Fig.17 Figure de 'pôles {ttt} d'un échantillon de cul.vre montrant une texture composée essentiellement

des 3 orientations icléales: A fOrrl 1Ïoo>_{t J \ t}

( \

3 7

C h a p i t r e 4

3 8

4 - L'ANALYSE DES TEXTURES

4 . 1 : I n t r o d u c t i o n

Nous classerons Ies différentes solutions propo-sées pour résoudre Ie problème de I'analyse des textures en deux groupes.

Le premier groupe comprend les solutions obtenues à partir des figures de pôIes dont nous venons de parler. Ces figures sont appelées figures de pôles directes,par opposition aux figures de pôIes inverses qui sont à la base des solutions proposées ddns le second groupe. II existe également des métho-des optiques, magnétiques et ultrasoniques dont nous ne parle-r o n s p a s .

4 . 2 : E t u d e d e s f i g u r e s d e p ô I e s d i r e c t e s

-I 1 s ' a g i t r à 1 ' a i c l e d e p r o j e c t i o n s s t é r é o g r a p h i q u e s standards de quelques orj-entations idéales simples telIes que c e l l e s d e s f i g u r e s 1 8 , 1 9 e t 2 0 , d e d é t e r m i n e r c e l l e s q u i c o l n -cident avec les taches de diffractj-on les plus importantes des différentes figures de pôles d'un mêrne échantillon.

Les résultats obtenus de cette manière peuvent ê t r e e x c e l l e n t s s i l a t e x t u r e e s t s i m p l e ( c a s d e I a f i g u r e 1 7 ) ' Généralement, la description de Ia texture par superposition d,orientations idéales est cependant décevante. ou bien cette description est très médiocrer ou bien eIIe fait intervenir des o r i e n t ê t i o n s d ' i n d i c e s i h k f ] < u v w > t r è s é I e v é s , d ' o ù u n e

39

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40

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1- rrl -l .

42

d e s i f a i b l e d e n s i t é a t o m i q u e q u ' i l s n ' o n t g u è r e d r i n t é r ê t p h y s i q u e . L ' é t u d e d e s o r i e n t a t i o n s p a r m i c r o s c o p i e é l e c t r o -nique conduit notamment à des orientations de ce type, telles q u e p a r e x e m p l e ( r B 2 4 5 1 ) /-3 2 2-7 ou Qo 35 64) l-g 4 5-7 citées par certains auteurs /- 24 -7 . L'examen de Ia figure 2r montre cependant que Ie résultat peut être très bon ' Cette fi-gure représente I'analyse de la texture de laminage d'un échan-tillon de culvre d'après DILLAIîORE et ROBERTS /'3-7'

4 -2 - r 9!rltge!191-qe9-lgrlsree-Ée-!rbrcs

A I ' o r i g i n e , I e s t e x t u r e s d e f i b r e s c o m p l è t e s sont intervenues pour décrire la texture des fits métalliques. II est aPparu cependant que cette notion ne s'adaptait pas à la description d e s t e x t u r e s d e f e u i l l e s l a m i n é e s . D è s 1 9 5 5 , J. GREWEN et G. WASSERMANN _l-6-f onL utitisé la notion de texture de fibre timitée que nous appelons également texture de fibre partielle ' Les résultats obtenus de cette manière appa-r a i s s e n t s u appa-r l e s f i g u appa-r e s 2 2 a , 2 3 a e t 2 4 a q u i

représentent Ia texture idéale de lamj-nage de I'aluminium. Les figures 22b, 23b et 24b re-présentent les figures de pôIes expérimentales correspondantes. cette texture se composerait, d'après les auteurs, de deux fibres partielles

d ' a x e s < I l I > e t d ' u n e f i b r e p a r t i e l l e d ' a x e < I o o > La position des axes est visible sur les figures

4 3

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&

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O (8,12.23) (zsa)

* (re, z+,sl (szz) A {zo,ss, o+) (s+s)

F i g . 2 1 . D e s c r i p t i o n d e l a t c x t u r e r 1 e d'après DILLAMORE et ROBERTS de pôles {r r r}

{rss} ( zr r)

(tou) (zr r)

l a m i n a q e o u c u i v r e , à - p a r t i r C ' u n e f i g u r e

I

A

4 4

Fig. 22 a)

Fig. 22 b)

o

( C a l q u e ) - F i g u r e d e p ô l e s t h é o r i q u e _{{ t t t }}

proposée par J. GREWEN et G. h'ASSERMANN.

F i g u r e d e p ô l e s e x p é r i m e n t a l e _{{ r r r }} d ' a p r è s

J. GREWEN et G. WASSERMANN. Axes de f ibres .: 1I I > .

4 5

tf

a)

( C a 1 q u e ) - F i g u r e d e PôIes théorique _{{ r O O ) .}

proposée par J. GREVJEN et G. \\ASStrR!1ANN.

f l g u r e d e p ô l e s e x p é r i m e n t a l e _{{ Z O O } d ' a p r è s}

J. GREWEN Ct G. WASSERMANN.

b)

d e s a x e s e s t d e t 3 O o a u t o u r d e a u t o u r d e < lO O > .

1 t

I 1 1 > e t d e t I 5 o

Si l'on excepte le fait que HEYE et WASSERMANN _149/ ont montré que I'amplitude de Ia rotation des

c r i s t a l l i t e s a u t o u r d e s a x e s d e f i b r e s n ' é t a i t pas constante mais dépendait des conditions du laminager orr peut dire que cette méthode d'ana-lyse directe des figures de pôIes n'a absolument pas évolué depuls sa création. Par contre, des progrès importants ont êLê réalisés grâce

I'utilisation d'une méthode mathématique issue d e l a t h é o r i e d u g r o u p e d e s r o t a t i o n s . I I s ' a g i t de la méthode de détermination de Ia fonction de répartition des orientations grâce à un dé-veloppement en série sur Ia base des harmoniques

s p h é r i q u e s g é n é r a I i s é s . L e s d e u x v a r i a n t e s d e cette même méthode dues respectivement à BUNGE l - 4 - 7 e t à R o E l - 2 g - 7 n ' o n t p u s e d é v e l o p p e r g u e g r â c e à I ' a p p a r i t i o n d e c a l c u l a t e u r s é l e c t r o n i -ques de grande capacité. Avec ces nouveaux pro-cédés entièrement automatiques , Ie tracé des fi-g u r e s d e p ô I e s n r e s t p l u s n é c e s s a i r e s i c e n r e s t pour vérifier le bon déroulement du progframme e t l a p r é c i s i o n d e I ' a n a l y s e o b t e n u e .

Ces nouvelles méthod.es présentent cependant des inconvénients. Elles sont difficiles à mettre en oeuvre et les résultats obtenus sont présentés

4 8

sous une forme compliquée (figure 25) . Afin de permettre d'expliquer ces résultats de manj-ère plus compréhensible, certains chercheurs ont calculé et construit des abaques /-gO_7 à par-tir desquels on peut exprimer les résultats de 1 ' a n a l y s e s o u s 1 a forme drorientations i d é a l e s

( h k 1) l-u v w-f

4 . 3 : E t u d e des flgures de pôIes inverses

-Les figures de pô1es inv.erses sont appelées é g a l e m e n t f i g u r e s de pôIes axia-Ies. A 1'originerelles r e p r é -sentaient Ia projection stéréographique dans Ie triangle

O O l - O 1 I - t I I d e l a d i s t r i b u t i o n d e s d e n s i t é s d e I ' a x e d ' u n f i l (figure 26) . De nombreux auteurs ont proposé des méthodes dif-f é r e n t e s p o u r l a c o n s t r u c t i o n et I'interprétation d e s f i g u r e s de pôles inverses : HARRIS /-3I_7, JETTER, McHARGUE et

W]LLIAI\,IS /-32-7, MTTCHELL Ct ROWLAND I N-7, ROE Ct KR]GBAUM / 3 4 _ / , B U N G E / 35_/. L'intérêt d e c e s f i g u r e s e s t d e p e r m e t -tre, dans Ie cas des fils, une analyse complète avec une seul-e f i g u r e a x i a l e , alors qu'il faudrait obligatoirement plusieurs f i g u r e s d e p ô l e s directes. Dans le cas de la figure 26, par exemple, iI faudrait évidemment au moins deux figures de pôIes d i r e c t e s p o u r déceler la présence des deux fibres d'axes res-p e c t i f s . 1 1 1 , _{e t . 1 O O > . D a n s I e c a s d e s t ô I e s , p â r contre,} it faudrait réaliser au moins deux figures de pôIes inverses par éihantillon. Même dans ce cas, MUELLER, CHERNOCK et BECK / ' 3 6 - 7 o n t m o n t r é q u ' i I n ' é t a i t p a s p o s s i b l e d e d é t e r m i n e r l a

400

Fonction de répartltion des orientations de la texture de laminage du cuj-vre t(fr , Q eL 9z\ d'après J. BUNGE

(Yf , Q eL V2 sont les angles d'Euler du repère formé par 3 axes <OOI> dans les cristallites) .

5 0

(oo1)

25

20

15

10

o,25

F i g u r e d e p ô l e s inverse m o n t r a n t l a d i s t r i b u t i o n d e s d e n s i t é s d e I ' a x e d ' u n f i 1 d r a l u m i n i u m ( d ' a p r è s WILLIAMS) .

(011)

oJo

o,5

Fig.26.

R e p r é s e n t a t i o n d e c u i v r e à l r a i d e c l e b i a x i a l e s ( d ' a p r è s

la texture <le laminage du flgures de pôIes inverses VùILLTAMS) .

(111)

5r

t e x t u r e d e f a ç o n c e r t a i n e e t q u ' i I é t a i t i n d i s p e n s a b l e , p o u r é v i t e r t o u t e e r r e u r , d ' u t i l i s e r d e s f i g u r e s i n v e r s e s t r i d i -mensionnelles. Cette constatation a incité WILLIAMS à déveIop-per une nouvelle méthode d'analyse de Ia texture à I'aide de figures de pôles biaxiales. Cette méthode nécessite aussi I'emploi d.'un ordinateur. Comme la méthode de BUNGE-ROE, bien que faisant appel à des techniques mathématiques différentes, elle aboutit à des résultats se présentant sous forme d'un e n s e m b l e d e c o u r b e s d ' i n t e r p r é t a t i o n d i f f i c i l e ( f i g u r e 27). Tout essai de simplification des résultats se traduit égale-m e n t p a r u n e I i s t e d ' o r i e n t a t i o n s i d é a l e s .

4 . 4 : Réflexions sur l-es différentes méthodes d'anal S E

Les différentes méthodes d'analyse des textures que nous venons de présenter rapidement ne nous paraissent

rê-soudre qu'imparfaitement le problème posé. Les plus récentes méthodes dues à BUNGE, ROE et WILLIAMS sont à Ia fois très

ingénieuses et très puissantes, mais elles manquent de simpli-cité €t, surtout, elles ne font jamais apparaître de fibres partielles. Or Ia notion de fj-bre partielle est une notion physique importante qui est intimement associée à toute défor-mation plastique, aussi bien du monocristal que d'un agrégat polycristallin. Les travaux de BUNGE /-37-7 concernant I'appli-cation stricte de Ia théorie de TAYLOR /-38-7 à la déformation plastique des Polycristaux cubiques montrent Irexistence de

relations étroites entre déformation et axes de fibres par-t i e l l e s . D ' a u t r e s a u t e u r s , n o t a m m e n t L U C K E l-39-7,ont essayé d e d é c r i r e I a t e x t u r e à I ' a i d e d e f i b r e s p a r t i e l l e s , m a l s l e s

5 2

résultats obtenus sont compliqués (figure 28) . Leur simplifica* tion ne peut également se faire que sous forme d'orientations i d é a I e s .

53

t'{..1 +) tr rd! P{d P{ t6 o o\o trU' 'Fl F{ J ..{ o+J j rJ d o tn' (d HV 'Fl \ rl ÉFl G3G) Fl .-l +J on!.(Jod .{ P{ (]bt t-r.ÉA =I4(d(J +JMtr XUX.a ODJ'-l +JÈdt+l dOJJO -t/oi1lc trn o g.{;{ o 'rJ(dèg) H 1'd Ë. ?,

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5 5

5 - INTERET D I UI'IE NOWELLE I4ETHODE

5. I : Introduction

Parmi toutes les méthodes proposées, aucune ne nous paraÎt fournir de résultats qui soient à la fois précis et faciles à interpréter. Il nous paraÎt donc souhaitable soit d ' a m é I i o r e r o u d e c o m p l é t e r l e s m é t h o d e s e x i s t a n t e s , s o i t d ' e n trouver une nouvelle. Avant toute chose, cependant, il convient d e d é t e r m i n e r l e s q u a l i t é s q u e d e v r a i t , à n o t r e a v i s , p o s s é d e r une méthode idéale d'analyse de Ia texture.

5 . 2 : L a m é t h o d e i d é a l e

Il serait souhaitable de disposer d'une méthode qui soit simple à mettre en oeuvre et qui donne des résultats précis, ayant un sens physique et faciles à interpréter.

une telle méthode devraj-t permettre, pensons-nousf à p a r t i r d ' u n e o u d ' u n p e t i t n o m b r e d e f i g u r e s d e p ô l e s d i r e c t e s , même incomplètes et non corrigées, de faire une analyse pré-cise de Ia texture à I'aide de composantes formées de fibres p a r t i e l l e s .

En fait, une telle méthode avait déjà été esquissée par GREWEN et WASSERMANN _l-6-7.

5.3 : La méthode de GREWEN-WASSERIqANN

cette méthode est basée sur I'hypothèse que seules quelques rangées cristallographiques bien précises peuvent occuper des directions bien définies dans les échantillons de tôles. Ces rangées cristallographiques sont assimilées à des

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axes de fibres partielles _/-t-7. Dans le cas particulier de la texture de laminage de 1'aluminium, GREWEN et WASSERI{ANN ont suptrrosé que ces axes de fibres étaient des axes <ltI> et

<IOO>. Les résultats obtenus ont été reproduits au chapitre précédent (figures 22, 23 et 24). Les figures de pôles théo-riques construites à I'aide de cette méthode sont en bon accord avec les figures de p6les expérimentales. Dans la littératurercet exemple remarquable est souvent cité comme Ie "modèle GREI{EN-WASSERMANN" .

Bien que ces auteurs n'aient pas expliqué leur façon de procéder, il ne fait pas de doute qu'ils ont utilisé pour leurs contructions géométriques le seul outil à leur disposition : Ie canevas de lrlulff . Connaissant les distances angulaires entre les rangées <111>. et <1OO> avec les nOrmales aux plans {ttli , {2OO} et {22O} ils ont dû, Pâr une méthode d'essais et d'erreurs, détermj-ner Ia position sur les figures de p,ôles des axes de fibres <111' et <IOO> choisis a priori. Ils ont ensuite déterminé 1'amplitude des rotations autour de ces axes de façon à suivre Ie plus fidèIement possible les

zones de forte densité des différentes figures de pôles.

5.4: Remarsues sur Ie "modèle GREWEN-WASSERMANN"

-11 apparaît inunédiatement que la méthode utilisée par GRE!{EN-WASSERIIIANN nlest Pas systématigue. En particulier, notre tentative d'apPlication de cette méthode à la détermi-nation de la texture de laminage du culvre présentant une

5 7

Cet échec nous a amené à choisir entre les deux conclusions suivantes :

ou bien Ia texture ne peut généralement pas être décrite à I'aide d'un petit nombre de fibres partielles.

ou bien la méthode de GREWEN-WASSERMANN nrest pas adaptée pour mettre ces fibres partielles en évidence.

Nous avons retenu la seconde conclusion parce que nous avons pensé que I'échec gue nous avions rencontré était dt au fait que cette méthode comportait une hypothèse non jus-tifiée : Ie choix a priori de 1a rangée cristallographj-que

parallèIe à I'axe de fibre. Nous en avons conclu qu'iI était nécessaire de trouver une méthode qui soit plus systématique et qui ne comporte plus d'éléments choisis arbitraj.rement.

Malheureusement la mise en oeuvre dtune telle méthode lorsqu'on ne dispose que du canevas de Wulff et du

canevas polaire est une chose pratiquement impossible.

En effet, le canevas de Wulff est bien adapté à Ia mise en évidence dtaxes de fibres lorsque ceux-ci sont situés dans le plan de projection, crest-à-dire dans le plan de I'échantillon. Le canevas polaire ne convient que pour lee axes de flbres perpendiculaires au plan de projection. Or, en général, les axes de fibres sont inctinés. 11 apparalt donc indispensable de posséder des canevas stéréographlques intermédiaires qui seraient bien adaptés Pour mettre en évI-dence les axes de fibres ayant une incllnaison quelconque Par

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rapport au plan de projection.

N o u s a v o n s r p o u r c e t t e r a i s o n , c a l c u l é e t r é a l i s é de nouveaux canevas stéréographiques.

P o u r d é c r i r e l e s r o t a t i o n s e f f e c t u é e s à l r a i d e d e ces canevas, nous avons adopté la notation symbolique suivante

t h k 1 ' - u v w > ( p , L r l v , u ) .

O n r e c o n n a î t d a n s c e t t e e x p r e s s i o n , à I ' e x c e p t i o n de la variable p, la notation symbolique présentée au chapi^tre 2 La variable supplémentaire p représente ici un coefficient de pondération associé à chaque fibre partielle et destiné à per-m e t t r e u n e d e s c r i p t i o n q u a n t i t a t i v e d e 1 a t e x t u r e . L ' e x p r e s s i o n

{ h k f } . u v w \ ( O , w , v , s ) n e r e p r é s e n t e d o n c p a s u n e t e x t u r e de fibre, mais seulement une rotation au sens géométrique. Dans l e c a s o ù I ' a n a l y s e n ' e s t q u e q u a l i t a t i v e , n o u s d o n n e r o n s a r b r -t r a i r e m e n -t à p la valeur I.

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Chapitre 6

REALISATTON DE NOUVEAUX CANEVAS STEREOGRAPHIQUES

60

6 . REALISATION DE NOUVEAUX CANEVAS STERE'OGRAPTITPUES

6 .1 : Présentati-on <les canevas

Considérons une sphère de 10 cm de rayon sur laquelle on a tracé un réseau de mérj-diens et de parallèles. Cette sphère est mobile autour d'un axe horizontal y'y contenu dans Ie plan de projection supposé fixe (figure 29). Lraxe joignant Ies points de concours des méridiens est supposé faire un angle ur avec Ie plan de projection. Nous avons réalisé Ia projection stéréographique des mérj-diens et des para11èIes de cette sphère en faisant varier o avec un pas de 5o, depuis Oo j u s q u ' à 9Oo, ce qui semble suffisant dans Ia pratique. Le cane-vas de Wulff et le canecane-vas polaire apparaissent donc ici conrme deux cas particuliers correspondant respectivement à uJ = Oo et o) = 9Oo. La figure 30 représente un ensemble des canevas l o r s q u e I ' o n f a i t v a r i e r r ù d e , l O o e n l O o . L e s m é r i d i e n s e t l e s parallèIes sont également tracés de IOo en IOo. On remarque .que le canevas 3Oo est différent des autres. En effet, nous

avons réalisé deux sortes de canevas :

a) les canevas simples qui sont Ia projection de la demi-sphère située au-d.essus du plan de projection i

b) Ies canevas doubles qui sont Ia projectj-on de la sphère complète, Ia projection de Ia demi-sphère inférieure étant tracée en traits plus fins (figure 3f) .

Nous ferons observer que Ies projections des deux demi-sphères peuvent se dédulre I'une de I'autre par une

6l o€ br()..1 5 .c ct O{'-l lr P{ U'd Ofr ro ol tiO \o \o +J tr o \c) +J çul

o

'n I{ IJO O'.'{ --o

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o

X aÉ o.6 F{ F{ Ug{ tl o() OF.| Otr a Ê,1 (ÛÀ o o+J\oÉ tr -.{ JQl € +J Fl o+J nut a ()u! FIA Oi ç .-t ^ o(0! oo (d(n o \q) o (,DG (l)t{ Fl +J Y' ôl ô

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62 0) Ê{ \J m .tJ .Fl r-4 +J a U cî o (d L) AJ È o F4 ë CJ o FI C) t7'l ,rJ fr rd 3 G) -( H lr a 0) (d o o) E rJ .a o fl Êl

6 3

z

N

-{ P;

\ \ ï

Ps

Y,

P

5

z

X

x'

Fig.31.

Les canevas doubles

Le point P situé sur projette suivant Fp, sphère i-nférieure se

représentent Ia sphère complète. la demi-sphère supérieure se le po j-nt P' situé sur Ia demi-p r o j e t t e suivant n'n'i

6 4

rotation de tBOo autour de Ia normale au centre de la projec-tion. Les canevas doubl-es, tels Ie canevas 3Oo de la figure 32, ne sont donc pas indl-spensables, mais ils permettent un gain de temps lorsqu'on désire représenter Ia sphère complète.

6 . 2 : I n t é r ê t d e s c a n e v a s

Les canevas ainsi réalisés présentent les avanta-ges suj-vants :

1o) iIs permettent de vérifier immédiatement par si-mple l e c t u r e I ' h y n o t h è s e d ' u n e t e x t u r e d e f i b r e d o n t l r a x e e s t

supposé faire un angle o arbitraire avec la surface de 1'échan-tillon. I1 suffit pour cela de superposer à la figure de pô1es étudiée Ie canevas correspondant à cette valeur de o.

2") Ia projection stéréographique d'une texture de fibre quelconque est immédiate. La figure 33 montre une texture de f i b r e p a r t i e l l e { O O I } . I O O > ( I , 3 0 , 2 0 , 4 0 ) t e l l e q u ' e l l e

apparaîtrait sur une figure de pôles directe suivant les plans { 1 1 0 i . Cette construction est obtenue très facilement à l'aide du canevas 30,

3") ces canevas sont intéressants également pour traiter le problème classique de la détermination des distances angu-Iaires séparant deux pôIes donnés. En effet, si nous choisis-sons un canevas te1 que Ie point 0 de celui-cl coincide avec un pôle quelconque de Ia projection stéréographlque, tous les autres pôIes de Ia projection se trouvent alors obligatoire-ment dur des rnéridiens. Cela permet d'obtenir, par simple

65

Fig. 32. Canevas double représenté à I'échelle I : I .

6 6

B

?

!

A

I

a

I

_o

\

o

_to

B

a

B

/

o

./

att/

O- o-o-o-O

A

B

A

A

B

!--t---o-2 0 , 4 0 )

V04

{oorJ

a-ttttttOB

o-O

Figure de pôIes théorique texture de fibre partielle t r a c é à I r a i d e du canevas

{r ro}

représentant Ia

<too> (1, 3e,

w

f i g u r e 3 2 .

Fis.33.

d e l a

6 7

lecture, Ies distances angulaires rlu premler oôIe par rapport à t o u s l e s a u t r e s ( f i g u r e 3 4 ) .

Remarque .' lorsque ,.,,r n'est pas un muttipl-e exact de 5o,

1 ' e r r e u r q u e I ' o n c o m m e t e s t f a i b l e ê t , d a n s u n p r e m i e r t e m p s , p e u t toujours être négligée, En cas de nécessité, il est tou-jours possible de construire le canevas correspondant exacte-ment au cas étudié. La figure 34 montre Ie canevas tracé auto-matiquement par une table traçante BENSON-I20 pilotée par un ordinateur IBM 1I3O. Ce canevas correspond à ur = 3215". Le progranme FORTRAN et le tracé de ce canevas ont êLê réalisés par A. VADON l-qO-7. La demi-sphère inférieure est représentée ici par des pointillés tels que 1'espace entre deux points consécutifs correspond à un intervalle de deux degrés. Les canevas que nous avons personnellement utilisés ont été

des-s i n é des-s p a r A . T H I L /-lt-7.

On trouvera en annexe les renseignements relatifs au calcul et à la construction géométrique de ces nouveaux c a n e v a s .

go"

1450

Projection standard des pô1es {rro} de 1'orienta-tion (oo1) /-rrc-7. Les dlstances anguraires entre 1e pôle {ttr} et Ies p61es (rro) Ae cerre fisure se l i s e n t . d i r e c t e r n e n t _{s u r le canevas (, = 35o) . ïl} suf f it d'amener le point sr en coTncidence avec r_e pôIe {t t ù.

Canevas double correspond'ant à tracé automatlquement Par une pilotée Par un'ordinateur IBM (d'après a. VADoN) .

ur = 32 r5o

tablc BENSON L2O I I 3 O

7 0

C h a p i t r e 7