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Michèle Glass-Maujean
To cite this version:
Michèle Glass-Maujean. Etude, par la méthode des anticroisements, des niveaux n=3 et 4 de l’atome
d’hydrogène excité, formé par dissociation de la molécule H2. Physique Atomique [physics.atom-ph].
Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 1974. Français. �tel-00011819�
LABORATOIRE
DE
PHYSIQUE
DE
L’ÉCOLE
NORMALE
SUPÉRIEURE
THESE DE DOCTORAT D’ETAT ES SCIENCES
PHYSIQUES
présentée
A
L’UNIVERSITE PARIS
VI parMichèle GLASS-MAUJEAN
pour obtenir le
grade
de
Docteurès
SciencesSujet de la
thèse : ETUDE,
PAR LAMETHODE
DESANTICROISEMENTS,
DES
NIVEAUX
n - 3 et 4 DEL’ATOME
D’HYDROSENE
EXCITE,
FORME
PARDISSOCIATION
DELA
MOLECULE
H
2
.
Soutenus le 12
Février
1974,
devant
leCommission
d’Examen :
MM.
J. BROSSEL
Président
P.
JACQUINOT
C.COHEN-TANNOUDJI
Examinateurs
3 . P . DESCOUBES
Examinateurs
J.DURUP
THESE DE DOCTORAT D’ETAT ES SCIENCES
PHYSIQUES
présentée
A L’UNIVERSITE DE PARIS VI par Michèle G L A S S - M A U J E A N pour obtenirle
grade
de Docteur ès SciencesSujet
de la Thèse :"ETUDE, PAR LA METHODE DES ANTICRDISEMENTS, DES NIVEAUX n = 3 ET 4 DE L’ATOME
D’HYDROGEN E EXCITE, FORME PAR DISSOCIATION DE LA MOLECULE
H
2
".
soutenue le 12 FEVRIER 1974 devant la Commission d’Examen :
MM. J. BROSSEL Président
P.
JACQUINOT
C. COHEN-TANNOUDJI
J.P
DESCOUBES Examinateurs J. DURUPintellectuelles
remarquables.
Je
suis heureuse
d’exprimer,
ici,
maprofonde
reconnaissance
àJ.P.
DESCOUBES,
à
qui
je
dois
l’essentiel
de
ce quej’ai appris
durant
cesannées.
Ilm’a
fait profiter,
à
tousmoments,
de
sagrande expérience
et
de
saremarquable
intuition des
phénomènes
physiques.
Jevoudrais le
remercier,
aussi,
de
sonextrème
gentillesse
etde l’ambiance très amicale
qu’il
a su créerdans
sonéquipe.
Je
suis
reconnaissante à Monsieur
J. DURUP pouravoir
accepté
de
participer
aujury
et pour salecture
critique
du
manuscrit
etles
suggestions qu’il
abien voulu
mefaire
alors.
Je
remercie
C. COHEN-TANNOUDJI et A. OMONTpour les
fructueuses
dis-cussions que
nous avonseues, lors
de la mise
aupoint
du manuscrit.
Qu’il
mesoit
permis d’exprimer
magratitude
àMonsieur
P.JACQUINOT
pour
avoir bien voulu
participer
aujury
etpour l’interêt
qu’il
aporté
à
cetravail.
Madame
L. JULIEN aréalisé
unepartie
des
expériences
etdes
mesuresqui
sontdécrites.
Je laremercie vivement
pour sacontribution
importante
à ce
travail.
Je
voudrais remercier aussi
toutparticulièrement
T. DOHNALIK(de
l’in-stitut de
physique
de l’Université
Jagellonienne
de Cracovie)
pour sesremarques
stimulantes
et pour sacollaboration,
pendant
sonannée de
stage
aulaboratoire.
Sans
pouvoir
tousles
citer, je
remercie
vivement
tous mescamarades
de la "Halle
auxVins"
etplus particulièrement
R. BARBE et R. ROMESTAIN pourleurs
suggestions
surle
montage
expérimental.
Que
P.M. GUYON trouveici
mesremerciements
pourles très intéressantes
Je
remercie
M.HAI,
de la
C.I.F.T.E.,
pour
toutesles
facilités qu’il
m’a données lors de la construction des cellules.
Madame
M.HEYVAERTS
aassuré
la
frappe
de
cettethèse
avec unetrès
grande
compétence.
Jela
prie
de
trouverici
mesremerciements.
Madame
AUDOIN aaccepté, avec
unegrande
gentillesse,de
secharger
du
tirage
de
cettethèse,
dans des
délais
très
courts etje
lui
ensuis très
reconnaissante.
Je
remercie
également
Madame
L. ROBINpour
avoir,
avec
compétence
etgentillesse, réalisé
les
photographies
à
partir
desquelles
aété
tiré
uncertain nombre
de
figures.
Enfin
que tous ceuxqui
m’ont
apporté
leur
aide,
de
quelque
manière
que ce
soit,
pendant
la
réalisation de
cetravail, trouvent
ici
l’expression
CnAPITRE I
-RAPPELS
SUR
L’ATOME
D’HYDROGENE
7A/
La structure fine de
l’atome
d’hydrogène
71)
Equation
de Dirac 72)
Equation
de Pauli-Darwin 83) Résolution de
l’équation
de Dirac 11B/
La structure
hyperfine
C/
Les corrections radiatives
1) Le hamiltonien de
pertubation
162) Les
déplacements
radiatifs et la durée de vie 173) La renormalisation de la masse 18
4)
Lesdéplacements
radiatifs etl’électrodynamique
19quantique
D/
Les valeurs
numériques
21CHAPITRE
II - CALCUL DU
DIAGRAMME ZEEMAN
23A/
Principe
du
calcul
231) Le hamiltonien de Breit en
présence
ceH
252) Calcul du hamiltonien total dans la
représentation
|((~s) j,
I) f
m
f
>
25B/
Les
valeurs
numériques
des
matrices
représentant
le
hamiltonien total
27C/
Calcul
des
positions
des croisements
30D/
Calcul des fonctions d’onde
auxpoints
de croisement
33électrique.
2) Le calcul de
H
E
dans
la base des|(s~) j,
m
j
> 363)
Les résultatsnumériques
38B/
Calcul
des
probabilités
d’émission
spontanée
411) Equation
deHeisenberg
relative à l’émissionspontanée
412)
Calcul des w dans la base des|(s~) j
m.
j> 43
3)
Application
à l’observation transversale 45 4) Influence de laperturbation
par lechamp
électrique
48CHAPITRE
IV - LA
FORMATION
DES ATOMES
EXCITES
52A/
Preuves
expérimentales
du processus à 1
collision
1) Les différents processus
possibles
522) Les observations
expérimentales
54B/
Calcul de
l’état
atomique
après
le processus de
dissociation
56 1) Leshypothèses
572)
Evolution de la matrice densité lors du 58 processus d’excitationC/
Calcul
des
vitesses
des
fragments
de dissociation
611) Etat initial 62
2)
Vitesse de la moléculeaprès
collision 62 3)Explosion
deH
2
64 4) Vitesse des atomes dans lerepère
du laboratoire 64D/
Hypothèse
d’une
répartition
isotrope
de
~
H
*
661) Validité et limites 66
2) Calcul de la distribution de V dans
l’hypothèse
2)
Evolution propre dans l’état excité 713)
Désexcitation par émissionspontanée
724)
La solution stationnaire 72B/
Les
anticroisements
par
couplage
direct
73 1) Leshypothèses
732)
Le calcul des élémerts de matrice 03C3 733)
Intensité de la lumière observable 75 4) Discussion des effets liés auxpopulations
765)
Discussion de l’effet lié à l’excitation cohérente 78C/
Les
anticroisements
par
couplage
indirect
80 1) Calcul des éléments de la matrice 812)
Calculsapprochés
dans le cas d’uneperturbation
faible 85
3) Discussion des termes obtenus dans le cas d’une
perturbation
faible 864)
Calcul del’élargissement
88 5) Intensité de la lumière observable 90 6) Etude de la cohérence induite par laperturbation
électrique
entre les niveaux a et c 90D/
Etude
de
l’influence
de tous les autres
niveaux
95 1)Principe
du calcul desdéplacements
95 2) Les résultatsnumériques
E/
Conséquences
de
la
répartition
de
vitesses
surles
signaux
971)
Conséquence
sur les effets de cohérence 98 2)Conséquence
sur les effets depopulation
992)
Montage
et formation 1023)
Les domaines depression
1044)
Lemontage
électrique
106 5) Leschamps
électriques
parasites
107B/
Le
champ
magnétique
1101)
Les bobines de Helmholtz 1102) L’électro-aimant 112
C/
Le
système
de
détection
1161) Mesures sur l’intensité lumineuse totale 116 2) Mesures en
polarisation
119CHAPITRE
VII -
COMPARAISON EXPERIENCE-THEORIE
122A/
Les
anticroisements observés
et
leur
identification
122 1) L’observationglobale
1222) L’identification 124
B/
Détermination
des
différents
paramètres
126 1) Les différentsparamètres
126 2) Conditions de détermination des différentsparamètres
1283) Détermination des vitesses
atomiques
128 4) Détermination des coefficients p 130 5) Détermination des structures 132C/
Comparaison
des
courbes
théoriques
et
expérimentales
surn=3
au 133seuil d’excitation
1) Les huit anticroisements entre sous-niveaux P et D 134
2)
Les anticroisements entre sous-niveaux issus de2S
1
/2
m
j
= 1/2
,2
D
5/2
m
j
= -
3/2(E,03B1)
1403
2
D
m
j
=
-3/2 issu de2
D
3/2
(03B1,J)
160D/
Etude des anticroisements
pour des
énergies
d’excitation
légèrement
superieures
auseuil
1)
Les effets d’unerépartition anisotrope
163 2)Conséquence
des différences depopulations
àl’inté-rieur d’un même terme 164.
3)
Les anticroisements 3 SD 1 , 3 SD 2 1664)
Etude des courbes en intensité totale 168E/
Evolution
des
signaux
d’anticroisement
enfonction de
l’énergie
176d’excitation
F/
Etude
des
anticroisements
S D
sur n =4
186CHAPITRE
VIII -
DISCUSSION
DES RESULTATS
202A/
Les structures
atomiques
2021) Les résultats 202 2) La mesure
de f
2033)
Le Lamb-shift3
2
P
3/2
-
3
2
D
3/2
2054) Les
principales
causes d’incertitude 208B/
Les
résultats relatifs
à la
molécule
H
2
210 1) Polarisation des raies de Balmer 210 2) Etude de la dissociation deH
2
enfragments
excitéspar les anticroisements 211
3)
Leprojet
de Lure 2224)
Les courbes d’excitation 222INTRODUCTION
La connaissance de
plus
enplus
fine duspectre
de l’atomed’hydro-gène
est en trèsgrande
partie
àl’origine
des théories de plus enplus
élaborées de
physique atomique.
Le modèle de Bohr
(1913)
(
1
)
permit
de rendrecompte
de l’existencede series de raies : les raies de
Lyrnan
),
2
(
Balmer(
3
)
et Paschen(
4
)
eten outre d’en
préaire
leslongueurs
d’onde.Mais même en 1913, la résolution de certains
spectrographes
était suffisante pour faire soupçonner un dédoublement des raies de Balmer qui fut confirmé en 1916 par Paschen(
5
).
Le modèle de SommerFeld (1916)(
6
)
enrendait
compte.
Neuf ansplus
tard, en 1925, les observations de Hansen(
7
)
infirmaient le modèle de Bohr-Sommerfeld.
La
première
théorie dephysique
atomique
établie parSchrodinger
(
8
),
en
1928,
n’attribuait à l’atomed’hydrogène
que les niveauxd’énergies
décrltspar le modèle de Bohr.
L’équation
de Dirac en 1928(
9
)
sembla alors toutexpliquer.
Lesméthodes
a’investigation
étaient,à
l’époque,
fondées sur laspectroscopie
optique.
Les structures des raies de Balmer étaient dans ces conditions, trèsloin d’être
completement
résolues. En effetl’élargissement
Doppler
estparti-culièrement important sur les raies de
l’hydrogène,
leplus
léper de tous lesatomes.
Cepenoant
dès 1934, des doutes étaient émis ausujet
de la theorieIl fallut attendre l’avènement de la
spectroscopie
deradiofréquence,
pour voir
disparaître
les inconvénients de l’effetDoppler.
Lesexpériences
historiques
de Lamb et Retherford(
11
)
en1947,permirent
de montrer que leniveau
2
2
S
½
a
uneénergie
supérieure
de 1 000 MHz environ à celle du niveau2
2
P
1/2
;
cerésultat
mettait en défaut la théorie de Diracprévoyant
aucontraire, pour ces niveaux, la même
énergie.
Bethe
(
12
)
fut lepremier
àexpliquer
cedéplacement,
en tenantcompte
de l’interaction de l’atome avec le
champ
derayonnement
quantifié.
Mais lecalcul
complet
du "Lamb-shift" doit être relativiste et nécessite leforma-lisme de
l’électrodynamique
quantique
(
13
).
Depuis,
ce calcul n’a cessé d’êtrecorrigé
et amélioré(
14
)
tandis que les mesures devenaientplus
précises
(
15
);
un désaccord
persistait cependant
entre lesexpériences
et la théorie.En 1970,
Appelquist
etBrodsky
(
16
)
ontcorrigé
une erreur de signe dans les calculs antérieurs des effets radiatifs d’ordre 4 et ont donnéune nouvelle valeur
théorique
du "Lamb-shift" :en accord avec les résultats des mesures les
plus
récentes.La mesure des corrections radiatives
correspondant
à d’autresniveaux,
également
calculées avecprécision
(
17
),
offrent de même un trèsgrand
intérêt.Les "Lamb-shift"
n
2
S
½
-
n
2
P
½
ont été mesurés pour n = 3(
18
)
(
19
)
(
20
)
21
)
(
(
22
)
et n = 4)
(
19
(
20
) ;
par contre, aucuneexpérience
n’avaitpermis de mettre en évidence de manière certaine les
déplacements
radiatifsentre niveaux de J = 3/2. Cette mise
en évidence constitue le but premier du travail qui est
présenté
ici.Nous avons eu alors, à résoudre deux
problèmes :
choisir le modede formation des atomes
excités,
puis
déterminer latechnique
adaptée
àPour former des atomes
excités,
il est nécessaire de dissocier la molécule et d’exciter les atomes ainsi formés. La solution laplus
simple
estd’employer
un faisceau d’électrons lentsqui
entre en collisionavec de
l’hydrogène
moléculaire sous très faiblepression
dans une enceintescellée. De
plus,
latechnologie
correspondante
nous était familière(
23
).
Ce
procédé
avaitdéjà
été choisi par Lamb et ses collaborateurs(
19
)
(
24
),
Ils utilisaient, enoutre,
une méthode de détectionoptique
des transitionsdipolaires
électriques
deradiofréquence,
trèsanalogue
à la détectionoptique
de la résonancemagnétique
qui
avait été mise aupoint
dès 1951
(
25
).
La méthode des anticroisements de niveaux,
proposée
par Wieder et Eck(
25
),
permet
les mêmes mesures que latechnique
desradiofréquences ;
sur le
plan expérimental,
elle estplus simple
et comme nous le verrons,elle
permet
dans certains cas, des mesuresplus
précises.
C’est elle que nousavons utilisée.
Le
principe
en est l’étude locale dudiagramme
Zeeman des niveauxexcités de l’atome
d’hydrogène,
auvoisinage
des valeurs duchamp
magnétique
pourlesquelles
deux sous-niveauxZeeman,
deparités
différentes,
ont la mêmeénergie
(on ditqu’ils
se croisent).Considérons alors une
perturbation
convenable quimélange
cesdeux états ; le
diagramme
d’énergie
estmodifié,
il seproduit
unerépulsion
des sous-niveaux (on dit
qu’ils
"s’anticroisent"). Laperturbation
induit,d’autre
part,
des transitions entre ces deux sous-niveaux ; s’ils sont initia-lementpeuplés
différemment,
il estpossible
d’observer, sur la lumière defluorescence de ces sous-niveaux, une variation résonnante d’intensité,
quand
on
balaye
lechamp
magnétique
sur uneplage
contenant lepoint
d’anticroisenient Il faut noter que les deux sous-niveaux concernésayant
desparités
différentes leursdiagrammes
derayonnement
sont différents. Une condition nécessaireDe l’étude de ces
résonances,
on tire diversrenseignements
surle
phénomène
d’anticroisement de niveaux excités des atomesd’hydrogène
produits
par dissociation des molécules.Des
positions
desrésonances,
on déduit la structure enchamp
nuldu groupe de niveaux étudiés. Les
largeurs
de ces résonances donnent lagrandeur
de laperturbation responsable
dumélange.
Enfin, leursamplitudes
permettent
d’évaluer les vitesses de formation des différents niveauxexcités dues, au processus de dissociation.
Le
présent
mémoire a pourobjet
derapporter
les résultats ainsi obtenus, de lesinterpréter
et de les discuter.Dans le
premier chapitre,
nous nous bornerons àrappeler l’origine
physique
des différentes structures.Le
chapitre
II traite de l’étudeprécise
dudiagramme
Zeeman,indispensable
pour relier les structures auxpositions
des anticroisements.La
perturbation
utilisée pourmélanger
les sous-niveaux est due àun
champ
électrique
statique.
Latechnique
des anticroisements n’est riend’autre ici
qu’une transposition
àfréquence
nulle de la méthode des résonancesdipolaires
électriques.
Le calcul de laperturbation
électrique
faitl’objet
du 3èmechapitre ;
on en utilise alors les résultats pour endéduire les différentes
probabilités
d’émissionspontanée.
Le
champ
électrique
induit (ouchamp
motionnel),
dû au mouvement de l’atome dans lechamp
magnétique
statique,
suffit pour provoquer lemélange
cherché. Les vitesses des atomes excitésdépendent
du processusde formation de ces atomes, donc de la dissociation de la molécule en
atomes excités. C’est ce que nous verrons dans le
chapitre
IV.Le
chapitre
V utilise les résultats deschapitres
qui leprécé-dent. Nous y traitons
complètement
les anticroisements entre sous-niveauxdirect) ou entre sous-niveaux
mélangés
indirectement par l’intermédiaire d’un troisième sous-niveau (anticroisement parcouplage
indirect).
Le
dispositif
expérimental
est ensuite décrit auchapitre
VI.Nous comparons dans le
chapitre
VII les courbesexpérimentales
ainsi obtenues aux courbes
prévues théoriquement
auchapitre
V. Nous endéduisons les valeurs des structures des niveaux
atomiques
et desinfor-mations sur les niveaux moléculaires
qui
se dissocient en donnant desatomes excités.
Enfin, ces résultats sont
interprétés
et discutés dans lechapitre
C H A P I T R E I
RAPPELS
SUR
L’ATOME
D’HYDROGENE
La
mécanique quantique
élémentaire nepermet
pasd’expliquer
tous les details du
spectre
de l’atomed’hydrogène.
L’introduction de larelativité,
avecl’équation
de Dirac, conduit à desprévisions
plus
précises
sur les niveauxd’énergie.
Il fautcependant
lescompléter
parun certain nombre de
corrections,
telles que : la structurehyperfine
et les corrections radiatives.A - LA STRUCTURE FINE DE L’ATOME D’HYDROGENE
1) L’équation
de Dirac
Lorsqu’un
atome H estisolé,
sanschamp
électromagnétique
extérieur,on
peut
décrire sespropriétés
grâce
à une fonction d’onde à 4composantes
qui
obéit àl’équation
de Dirac(
9
)
I.1 1
h ~ ~t
03C8
= (c03B1.p
+03B2 m
c
2
+eV)03C8
où p
= - i~ est
l’opérateur impulsion,
03B2 et
03B1
i
sont
les matrices deDirac 4
4 (pour
ces matrices voir réf. 27) et V lepotentiel
coulombien.Les états stationnaires du
système
sont décrits par des fonctions d’onde de la forme :où les vecteurs colonnes
1 2 : ~
et
X ne
dépendent
pas dutemps
et sontdésignés
respectivement
par lagrande
et lapetite composante.
Il n’est pas très facile de travailler avec une telle fonction
d’onde;
nous allons voirqu’il
estpossible
de se ramener à une fonction à deuxcomposantes (1 2)
seulement,régie
parl’équation
de Pauli -Darwin,au prix de certaines
approximations.
2)
L’équation
de
Pauli-Darwin
L’équation
de Dirac(I.1),quand
onexplicite
la fonction d’onde(I.2),se
décompose
en unsystème
de deuxéquations
couplées :
En éliminant X entre ces 2
équations,
on trouve que lagrande
composante ~
est solution de :L’énergie
E de l’atomecomprend
l’énergie
de masse etl’énergie
de liaisonE
obs’
c’est-à-dire celle que l’on observeexpérimentalement ;
ona,bien
sûr :de sorte que l’on
peut
écrire :Cette relation ressemble à une
équation
deSchrodinger,
indépen-dante du
temps,du
type :
où H serait
un hamiltonien de valeur propreE
obs
et de fonction propre ~.En fait, la
grande
composante ~
n’est pasnormalisée :
en effet, c’est la fonctiond’onde 03C8 qui
estnormalisée,
en ce sens que :Or il est facile de
voir, à
partir
de I.3 quela condition de normalisation devient :
Il faut donc
prendre
comme fonctiond’onde,l’expression
normaliséeEn utilisant la relation:
Cette
équation
neprésente plus
les difficultés rencontrées pourl’équation I.5;
la fonction 03A6 est normalisée,l’équation
I.7peut
donc être considérée comme une
équation
dutype
I.6.Elle est
appelée
équation
de Pauli-Darwin. Elle n’estqu’apprachée
mais elle offre un trèsgrand
intérêt :-
la fonction d’onde 03A6 n’a que deux
composantes
-
l’équation
apparaît
naturellement commel’équa-tion aux valeurs propres d’un hamiltonien, somme
du hamiltonien non relativiste habituel
p
2
/2m
+ eVet d’une série de termes correctifs que l’on
peut
interpréter physiquement.
Ainsi le troisième terme est la correction relativiste
apportée
à l’ordre le
plus
bas àl’énergie cinétique.
Le
quatrième
représente
l’interactionspin-orbite ;
en effet :ainsi cette correction s’écrit :
Le dernier
terme, enfin,
estappelé
terme de Darwin ; il vaut :On voit
qu’il
n’a d’effet que sur les états S. Il est lié à lanon localisation de l’électron de Dirac. En effet,
l’opérateur
position
d’un électron libre a des éléments de matrice entre états
d’énergie
> 0et états
d’énergie
< 0 ; la valeur moyenne < r >,pour unpaquet
d’ondescontenant les deux
types
d’états,comporte
unepartie
oscillante à desfréquences
~ 2mc
2
/h
etd’amplitude ~ /mc.
Cephénomène porte
le nomest que, à la limite non relativiste, l’interaction entre l’électron
et le
potentiel
n’estplus
locale : l’électronexplore
lepotentiel
dansune
région
de dimension linéaire de l’ordre deh/mc.
Endéveloppant
lepotentiel,
on retrouve le terme dit de Darwin à un facteur 3/4près.
Tous ces termes avaient été
déterminés,antérieurement
àl’equa-tion de Dirac, par
Darwin,à l’exception
du dernier terme(
28
).
Il nous faut maintenant évaluer les erreurs que l’on introduit
en utilisant une telle
équation;
pour cela il est nécessaire de comparer les résultats del’équation
de Pauli-Darwin à ceux del’équation
deDirac. Il
s’agit
donc de résoudrel’équation
de Dirac.3)
Résolution
de
l’équation
de
Dirac
Cette résolution est relativement connue, elle est
exposée
endétail dans la réf. 27. Nous nous bornerons à en donner les résultats.
On montre,
après
avoir déterminé les différentes constantes du mouvement, que lagrande
et lapetite composante (I.2)
de la fonction d’ondepeuvent
sedécomposer
enparties
radiales etparties
angulaires .
On a donc :
avec
Les
harmoniques
sphériques
spinorielles
y correspondent
toutDans ces conditions, à
partir
dusystème
I.3, on déduit unsystème d’équations
différentielles liantf(r)
etg(r).
Comme dans le cas del’équation
deSchrodinger,
oncherche,
enposant:
avec
les solutions
particulières
de la forme :En utilisant le fait que la fonction
d’onde 03C8
(I.2)
doit êtrenormée,
ondéduit un certain nombre de conditions, en
particulier
que les séries Fet G doivent être finies. On détermine ainsi les valeurs discrètes de
l’énergie
E :où 03B1 est la constante de structure fine
L’énergie
observable devient, endéveloppant
suivant les puissancesde 03B1 :
où l’on reconnaît
l’énergie
deRydberg
(mc
2
2 03B1
2
= Ry)
etl’énergie
destructure fine. Ces deux premiers termes sont ceux que l’on obtient à
partir
del’équation
de Pauli-Darwin. Nous pouvons ainsi connaître laprécision
pourlaquelle
l’approximation
de Pauli-Darwin est suffisante. Il suffit d’évaluer le terme suivantdu
développement
deE
obs
.
Il estque la structure fine des niveaux de n = 3. La
précision
de nos mesuresn’atteint pas 10-5 en
énergie.
De toute manière les effets radiatifs interviennent avant. Nous utiliserons doncl’approximation
de Pauli-Darwin, et enparticulier,
les fonctions d’ondequi
décrivent l’électrondans cette
représentation ;
ce sont les fonctions propres bien connuesde
l’équation
deSchrodinger
avecspin.
E -
LA
STRUCTURE HYPERFINE
Dans la théorie
qui
précède,
on a admis que le noyau estinfini-ment lourd et on a
négligé
tout cequi
le concernait.Or,
unproton
estune
particule
de Fermi,qui,elle
aussi,
obéit àl’équation
de Dirac. Nous devons donc considérer lagénéralisation
del’équation
de Dirac à deuxparticules
qui
est uneéquation
approchée,appelée l’équation
de Breit.La fonction d’onde a 16
composantes qui
correspondent
à la combinaisondes 4
composantes
de l’électron et des 4composantes
duproton.
Le hamiltonien s’écrit, pour unsystème
sanschamp
extérieur(
29
) :
Les indices e et N caractérisent les
grandeurs
rattachées respec-tivement à l’électron et au noyau.Le premier et le second terme
figurent
déjà
dansl’équation
de Dirac d’un électron libre; de
même,le
troisième et lequatrième
figurent
dansl’équation
analogue
pour le noyau ; le dernier est le terme decouplage
entre ces oeuxparticules.
Ilcomprend
deuxparties :
2
-
l’interaction de Coulomb : - e /r
-
Cette dernière ne constitue
qu’une
approximation :
ellecorres-pond
àl’échange
d’unphoton
transversal entre l’électron et le noyau ; sontnégligés
leséchanges
deplusieurs
photons
...L’interaction de Coulomb est souvent considérée comme résultant
de
l’échange
entre l’électron et le noyau d’unphoton
longitudinal
outemporel.
Il est
possible,
enchangeant
dereprésentation,
de trouver unhamiltonien
analogue
à celui de Pauli-Darwin et dont les fonctions propres sont à 4composantes :
2 pour lespin
de l’électron et 2 pour celui du noyau(
29
)
(
30
).
A une
précision supérieure
à10
-5
,
ce hamiltonien s’écrit :où H
0
est
le hamiltonien de Pauli-Darwin où la masse de l’électron estremplacée
par sa masse réduitem/(1+m M).
Le hamiltonien de structure
hyperfine H
shf
est le transforméde l’interaction de Breit dans cette
représentation ;
il s’écrlt :où
g
S
etg
N
sont les facteurs de Landé de l’électron et duproton.
Dans la théorie de Dirac,
g
S
etg
N
valent 2, mais il est bienconnu que
g
S
etg
N
ont
des valeurs anormales et cette formepermet
d’en tenircompte.
Les vecteurs propres
de H
0
sont lesvecteurs
|n
((s,~)
j, I ) f
m
f
>
Ils ne sont pas vecteurs propres
de H
shf’
mais
celui-ci s’écritsimplement
dans cette base ;0394E
shf
est la matricecorrespondante :
où
représente
l’élément de matrice :et de même pour I.L.
Or
Ainsi
Ce calcul n’est pas valable pour les niveaux de ~ = 0 ; en
repre-nant correctement le calcul, dans ce
cas
(
29
),
on retrouve le 1er termede
l’équation
I.9.C -
LES CORRECTIONS RADIATIVES
Classiquement,
unélectron,
libre oulié, crée
unchamp
électro-magnétique.
Que
cechamp puisse
réagir
sur cetélectron,
fut unpoint
longtemps
discuté(
31
).
Dans la théoriequantique
durayonnement,
cet effet est traduit par le processus à deuxétapes
suivant :-
l’électron émet un
photon
virtuel)
-
L’énergie
d’interaction estappelée
la"self-énergie".
Elle est inobservable pour un électronlibre,car
il estimpossible
desupprimer
lecouplage
entre l’électron et lechamp
derayonnement.
Cependant,
dans lecas d’un électron
lié,l’effet
de cecouplage
peut
varier d’un niveau à l’autre et ilpeut
se traduire par undéplacement
des niveauxd’énergie.
Il est
possible
de rendrecompte,
engrande
partie,
de cesdépla-cements, sans utiliser une
équation
relativiste pour l’électron.L’interac-tion entre l’atome non relativiste et le
champ
derayonnement
est traitéecomme une
perturbation.
1)
Le
Hamiltonien de
perturbation
Le hamiltonien du
système :
atome etchamp
derayonnement
eninter-action
comprend
3 termescorrespondant
à l’atome seul, lerayonnement
seul,
et l’interaction :
Le
champ
électromagnétique
dont il estquestion
ici est tel que lepotentiel
scalaire est nul et ~.A = 0. On dit alorsqu’on
utilise "lajauge
de Coulomb". Ledéveloppement
de A s’écrit :dans
l’approximation
dipolaire
électrique ;
a
k,03BB
eta
+
k,03BB
sont
lesopéra-teurs annihilation et création de
photon,
de vecteur d’ondek,(03C9
=|k|c),
de
polarisation
03B5
03BB
perpendiculaire
à k (03BB =1,2).
V est le volumeLes vecteurs propres
de H
at.
+H
R
sont
lesKets |~
1
,n
>correspondant
à l’atome dans l’état|~
i
> enprésence
de nphotons.
Il
s’agit
donc de connaître l’influence de tous les états|I,1
>(atome dans l’état I et un
photon
d’énergie
E
03B3
)
sur
un état|A,O
> , donc liés à|A,O
>par le processus d’émission ou
d’absorption
d’unphoton.
2)
Les
déplacements
radiatifs
et la
durée de vie
Le calcul des effets de cette
perturbation
sont assez connus, nousne les retracerons pas (voir par
exemple
les références(
27
)
(
32
)
).
On obtient à la fois undéplacement
enénergie
0394E
A
du niveau et la durée de vie de cet état excité03C4
A
:où P
désigne
lapartie
principale.
On remarque que dans
0393
A
intervient la fonction03B4(E
A
-E
i
-E
03B3
).Seuls les
photons
dontl’énergie
respecte
la loi de conservation del’énergie participent
au processus alors que pour0394E
A
,
tous lesphotons,
même non résonnants, interviennent : on dit que les transitionscorres-pondantes
sont virtuelles.L’intégrale
(I.10)
sur toutes lesénergies
E
03B3
possibles diverge
linéairement pourE
03B3
~
~.3)
La
renormalisation de
la
masseOn
peut
résoudre cette difficulté enremarquant
que la masseutilisée dans le hamiltonien
atomique
H
at
est la masseexpérimentale
mde l’électron libre. Or cet électron est en interaction avec le
rayonne-ment, il n’est pas "nu". La masse de l’électron "nu",
m
0
,
est inaccessi-bleexpérimentalement ;
or c’est ellequi
devrait intervenir dansH
at
.
En utilisant m au lieu dem
0
,
on a doncdéjà
tenucompte
de l’émissionet de la
réabsorption
d’unphoton
par l’électron libre. Or il est bienconnu que
(
32
)
l’effet desphotons
de trèsgrande
énergie
estsensible-ment le même pour l’électron libre et l’électron
lié,
car letemps
qui
sépare
l’émission et laréabsorption
d’un telphoton
esttrop
court pourque l’effet du
potentiel
qui lie l’électronpuisse
se faire sentir.Le
déplacement
0394Eobservable,étant
la différence entre0394E
A
et la selfénergie
de l’électronlibre, est
donc très peu sensible auxphotons
degrande
énergie.
Enfin,
l’expression
donnéeplus
haut, pour0394E
A
est basée sur une théorie non relativiste de l’électron et n’est certainementplus
valable pour E>
mc2 . Deplus,
les éléments de matrice sont calculésdans
l’approximation dipolaire
électrique
qui
devient vite discutable, même pour desénergies
dephotons
inférieures àmc
2
(
32
).
Il nepeut
donc être
question
ici que de calculer un ordre degrandeur,
cequi
estfait en bornant
l’intégrale
qui
figure
dans I.10 àE
03B3
=mc
2
;
on obtient ainsi
c’est-à-dire, en
prenant
4)
Les
déplacements
radiatifs
et
l’électrodynamique
quantique
Le calcul
complet
de la"self-énergie"
parl’électrodynamique
quantique
relativiste est fondé sur les mêmesprincipes
que le calcul de Bethe. Endiagrammes
deFeynman,
où l’électron estreprésenté
parun
segment,
lephoton
par uneligne
ondulée et le noyau par une croix :self-energie
observableA
chaque symbole
dudiagramme correspond
unopérateur.
Lesgraphes
ne sont pas seulement une visualisation des processus mis encause, mais ils constituent une véritable classification des termes
de la série de
perturbation qu’il
s’agit
de calculer.Les
graphes
ci-dessusreprésentent
laself-energie
de l’électron lié àlaquelle
on retranche laself-energie
de l’électron librereprésentée
par les deux derniers
graphes.
Le calcul ainsi établi
présente
une difficulté deprincipe :
il débouche sur une
intégrale
surl’énergie
duphoton qui
diverge
pour les faibles valeurs(elle
converge pour lesénergies
relativistes).
Il est nécessaire d’introduire une coupure : pour les
énergies
inférieures a la valeur de la coupure, le calcul de Bethe est
utilisé,
pour les
énergies
supérieures,
c’estl’intégrale
relativistequi
permet
le calcul.Une nouvelle méthode de calcul de cette
self-energie
publiée
récemment(
33
),
permet
de s’affranchir de cettedifficulté,
par un calculcomplètement
cohérent pour les faibles et les fortesénergies.
le Lamb-shift. Il y a la
"polarisation
du vide" ; ce termecorrespond
au
diagramme
suivant :c’est-à-dire la
possibilité
qu’a
le"photon"associé
à l’interaction de Coulomb de créer unepaire
électron-positron.
Onimagine
bien que cette paire écrante lacharge
deproton
et modifie doncl’énergie
de liaison de l’électron Squi
a uneprobabilité
non nulle d’être auvoisinage
immédiat du noyau.
Ces corrections sont
appelées
du 2èmeordre car
elles ne fontintervenir que deux interactions avec le
champ
électromagnétique.
Laprécision expérimentale
est tellequ’il
faut pousser le calculjusqu’au
4ème ordre.Mais contrairement aux résultats de Bethe, les corrections radiatives
déplacent
aussi les niveaux autres que S dequantités
plus
faibles mais nonnégligeables.
Ainsi la levée dedégénérescence
entreles niveaux
est un effet
purement
relativiste.D -
LES
VALEURS
NUMERIQUES
si l’on ne tient pas
compte
de la structurehyperfine.
Nous la calculeronsnumériquement
dans lechapitre
suivant.D’autre
part,
les valeurs calculées des durées de vie sont(
29
)
(en nanosecondes) :CALCUL
DU DIAGRAMME ZEEMAN
Pour
interpréter
nosrésultats,
il nous sera nécessaire deconnaî-tre l’action d’un
champ
magnétique
statique
H sur l’atomed’hydrogène
etcela, dans
le cas oùl’énergie
Zeeman estcomparable
ou supérieure auxdifférentes
énergies
calculées dans lechapitre
précédent.
Nous avons calculé à
10
-5
près
lediagramme
Zeeman de l’ensembledes niveaux n = 3 et n = 4
en nous
inspirant
des calculs effectués surl’ensemble n = 2
à 10
-6
près
par BRODSKY et PARSONS(
34
).
Nous avons alom
diagonalise numériquement
le hamiltonien totaldans la
représentation
des états|((~,s)j,I)f,m
f
>, pour des valeurspar-ticulières du
champ
magnétique
afin de déterminer à uneprecision
supé-rieure à
10
-4
,
leschamps
des anticroisements observables.Puis nous avons évalué les
pentes
des niveaux et les fonctions d’onde effectives auvoisinage
de ceschamps
ainsi calculés.A -
PRINCIPE
DU
CALCUL
1)
Le
hamiltonien
deBREIT
enprésence
de
H.
Nous avons vu, dans le
chapitre
précédent, que
le hamiltonien del’atome
d’hydrogène,
en l’absence dechamp
extérieur,peut
sedécomposer
en trois
parties :
proton
en interaction coulombienne. Si ce terme était seul, l’atome auraitdes niveaux
d’énergie
donnés parl’expression (I-9)
où la masse m seraitremplacée
par la masse réduite.H
B
est le terme d’interaction de BREIT ; il décrit la structurehyperfine
et enfin HCR.correspond
aux corrections radiatives.Consioérons maintenant l’action d’un
champ
magnétique
statique
H;il affecte différemment les trois termes du hamiltonien.
On sait
que, là
oùfigurait
l’impulsion
p dans le hamiltonien de l’atome sanschamp
magnétique,
on doit fairefigurer
p - eA où A est lepotentiel-vecteur.
Comme, dans
ce cas, lechamp
magnétique
est uniforme :et de même pour
H
0
devient
alors :Le terme de BREIT est insensible à l’effet du
champ
magnétique
à laprécision
exigée.
Les processus d’émission et
d’absorption
dephotons,
responsables
de H CR
entraînent une valeur anormale pour le moment
magnétique
del’éloc-tron. D’autre part, le
proton
possède
également
un moment anormaldû,aux
interactions fortes. Le hamiltonien total de l’atome, en
présence
d’unchamp
où
g
s
et
g
N
sontrespectivement
les facteurs de Landé despin
del’électron et du
proton
(
35
) :
g ~ 2(1,0011596384 ±0,0000000033)
sg
N
~ 2(2,79271 ±0,00003)
2) Calcul
du
hamiltonien
total dans
la
représentation
des
|((~,s)j,I)f,m
f
>
Nous avons vu
précédemment
(ch. I),qu’a
laprécision
demandée(10
-5
pres),
lespectre
deH(0) peut
être décrit par un hamiltonien dont les vecteurs proprespeuvent
s’écrire dans la base des vecteurs|(
(~,s)
J
,
I )
f
m
f
Nous
rappelons
que dans cettebase,
la
matrice deH
B
s’écrit :où
E
F
est
ledéplacement
du niveau S.BRODSKY et PARSONS (
4
)
ont montré que le hamiltonien Zeeman , c’est-à-dire Hmag
= H(H) -
H(O), s’écrit
dans cette base, l’axe de
quantilication
etant fixé par H
si l’on
néglige
les corrections relativistes (deMargenau
en03B1
2
/n
2
(~10
-5
pour
n=3)(
79
).
Il reste alors l’effet de recul du noyau(2fm repme)
et les correctionsD’autre
part
l’effet Zeeman
quadratique
peut etrenéglige
pour les valeurs de H considérées.Il introduit des différences
d’énergies, entre
les sous-niveaux de même n inférieures à 10 MHz.En
résumé,
on aura à calculer seulement les éléments de matrice de I.J , I.L , S , Lz et Iz.Il est immédiat d’évaluer I.J. On trouve sans difficulté :
Le calcul de L s’effectue à l’aide de : L = F -
I - S avec z z z z z
< |F
z
|
> =03B4
ff
,
mfmf
, Il
03B4
, m
f
, 03B4
~~
, 03B4
jj
ne resteplus
à évaluer queI
z
, Sz
et I.L ; à cet
effet,on
applique
le théorème deWigner-Eckart
et on obtient(
36
) :
Nous retrouvons sur ces
équations
ques,
~ ,I ,
m
f
sont de bonsnombres
quantiques
alorsque j
et f ne le sont pastoujours.
La matrice du hamiltonien total est donc réductible en sous-matricescorrespondant,
pour un
~ donné,
aux différents sous-niveaux de mêmem
f
.
B -
LES VALEURS
NUMERIQUES
DES MATRICES
REPRESENTANT
LE HAMILTONIEN
TOTAL
La notation que nous avons
adoptée
est celle de BRODSKY et PARSONS(
34
)
car elle est d’écritureplus rapide :
où a
~ 1,16.10
-3
est
la correction au facteur de Landég
s
=2 qui
conduitau moment anormal de l’électron.
Nous noterons
H
l,mf
les sous.matricescorrespondantes
(voir tableau I).Les
sous-matrices H
3,mf
n’étant pas utiles dans cetteétude,
sont omises.L’énergie
d’un sous-niveau pour unchamp
magnétique
donné est donc obtenue pardiagonalisation
de telles matrices.Le
diagramme représentant
ces sous-niveaux en fonction duchamp
ma-gnétique
estreproduit
enFig.
I ; la structurehyperfine
a éténégligée
Nous voyons
apparaître
très nettement sur cediagramme
descroise-ments entre sous-niveaux
correspondant
à des valeurs de ~ différentes. Nousverrons
plus
loinqu’il
estpossible
de détecter ceux de ces croisementsqui
répondent
auxrègles
de sélection suivantes :en les transformant en
anticroisements par
uneperturbation
convenable.Nous avons donc besoin de connaître avec
précision
leurspositions
en
champ
magnétique.
C -
CALCUL
DES POSITIONS DES
CROISEMENTS
Nous caractériserons un croisement donné par les sous-niveaux
qui
se croisent
2
L(m
f
)
et2
L’(m’
f
)
car seuls ~ etm
f
restent de bons nombresquantiques.
Les vecteurs proprescorrespondants
~(
2
L(m
f
))
et~(
2
L’(m’
f
))
sont fonctions propres des matricesH
l,mf
et
H
~’,m’f
avec la même valeurpropre
E
0
pour la même valeurH
0
duchamp
magnétique.
E
0
et H
0
sont donc les racines communes auxéquations :
où I est la matrice unité.
Nous sommes donc ramenés à résoudre un
système
de deuxéquations
algébriques
à deux inconnues. La seule difficulté réside dans la valeur élevée dudegré
de ceséquations
(souvent duquatrième).Sauf
dans lescas très
particuliers
des croisements2
S(-1) 2
P(-2), 2
P(-2) 2
D(-3)
et2
nous avons cherché à résoudre
numériquement
ceséquations.
Considérons le cas d’un croisement
où
intervient un niveau S.L’équation caractéristique
est du 1er ou du 2èmedegré,
il est facilede la mettre sous la forme
E
0
= f(H
0
)
car l’on sait,
par
lediagramme de
lafigure
I,quelle
racine choisir. On substitue alors dans l’autreéquation caractéristique
et l’on résoutnumériquement
par ordinateur.Dans les autres cas, il nous a paru
plus simple
de calculernu-mériquement
quelques
points
dechaque
sous-niveauprès
dupoint
decroi-sement et
d’interpoler
géométriquement.
Parapproximations
successiveson détermine la
position
du croisement à laprécision
souhaitée(10
-
4
)
(voirl’appendice
A).Nous avons calculé ainsi les
positions de :
-
8 croisements
hyperfins
entre sous niveaux S et P sur n=3-
12 croisements
hyperfins
entre sous-niveaux P et D sur n=3-
8 croisements
hyperfins
entre sous-niveaux S et D sur n=3-
4 croisements
hyperfins
entre sous-niveaux S et D sur n=4Nous voyons sur ces résultats que ces croisements sont presque
con-fondus deux à deux,
c’est-à-dire
que la structurehyperfine
est faible devant les autresenergies ;
le momentmagnétique
nucléaire est totalementdécouplé
des autres.Nous
sommes dans les conditions de l’effet BACK-GOUDSMIT(
37
).
Ce résultat
