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Prévision de la transition laminaire-turbulent dans le
code elsA par la méthode des paraboles
Guillaume Bégou
To cite this version:
Guillaume Bégou. Prévision de la transition laminaire-turbulent dans le code elsA par la méthode des paraboles. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. UNIVERSITE DE TOULOUSE, 2018. Français. �tel-01878439�
THÈSE
THÈSE
En vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
Délivré par : l’Institut Supérieur de l’Aéronautique et de l’Espace (ISAE)
Présentée et soutenue le 22 janvier 2018 par :
Guillaume Bégou
Prévision de la transition laminaire-turbulent dans le code
elsA
par la méthode des parabolesJURY
CHRISTOPHEAIRIAU Professeur des Universités Président
JULIENCLIQUET Docteur-Ingénieur Examinateur
ANDREASKRUMBEIN Docteur-Ingénieur Rapporteur
JEAN-CHRISTOPHEROBINET Professeur des Universités Rapporteur
GRÉGOIRECASALIS Professeur des Universités (rang équiv.) Directeur
HUGUESDENIAU Docteur-Ingénieur Co-Directeur
École doctorale et spécialité :
MEGEP : Dynamique des fluides Unité de Recherche :
Onera – Département Multi-Physique pour l’Énergétique (DMPE) – Unité Instabilités, Transition et ACoustique (ITAC)
Directeur(s) de Thèse :
Grégoire CASALIS, Hugues DENIAU et Olivier VERMEERSCH Rapporteurs :
ONERA, site de Toulouse 2 Av. Édouard Belin 31055 Toulouse Cedex 4
Manuscrit de thèse
Prévision de la transition laminaire-turbulent
dans le code elsA par la méthode des
paraboles
Directeur de thèse: Grégoire Casalis (DMAE - ITAC)
Co-directeurs de thèse: Hugues Deniau et Olivier Vermeersch (DMAE - ITAC)
Guillaume B
ÉGOU25 juin 2018
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Remerciements
Avant de pouvoir rédiger un manuscrit de thèse il faut avoir une équipe d’accueil où la réaliser, je remercie donc Pierre Millan et Estelle Piot de m’avoir accueilli respectivement dans le département DMAE et dans l’unité ITAC. Cette thèse n’aurait pas vu le jour sans son directeur, je remercie donc chaudement Grégoire de m’avoir fait confiance. J’ai toujours pu compter sur toi malgré ton emploi du temps chargé par tes responsabilités à l’Onera puis à l’ISAE.
Pour finir une thèse il faut la soutenir, et je tiens à remercier les membres de mon jury : Christophe Airiau, Julien Cliquet, Jean-Christophe Robinet et Andreas Krumbein1J’en profite pour exprimer ma reconnaissance envers Robert Houdeville et Daniel Arnal, pour toutes les fois où nous avons échangé (dans des contextes plus ou moins sérieux) et pour être venu assister à ma soutenance. Il n’aurait pas été possible d’aller aussi loin sans tout ce que vous nous avez laissé.
Contrairement à ce qu’on en croirait de l’extérieur, une thèse ne se fait pas tout seul et j’ai eu la chance de pouvoir compter sur les co-directeurs de cette thèse Hugues et Olivier qui ont préparé sé-rieusement ce sujet et assuré son encadrement de A à Z. Je vois ces 3 années comme un énorme en-richissement technique et humain grâce à vous. Je n’ai jamais ressenti de rapport encadré/encadrant mais une dynamique de travail d’équipe. Une thèse a des (très) hauts et des (très) bas et savoir que j’avais votre soutien donnait plus de valeur aux hauts et rendait les bas moins difficiles.
Hugues, ca va paraître bizarre hors contexte, mais je ne trouverai jamais un meilleur substitut au canard en plastique2! S’il y a bien une chose que j’ai apprise c’est que pour résoudre un problème
qui ressemble à une impasse, le mieux est de balancer un maximum de solutions improbables et les tester une par une. Et dans tous les cas, il y a des moments où il vaut mieux aller boire une bière que d’insister3.
Vous m’avez aussi fait confiance quand j’ai voulu proposer un stage et ca a payé. J’en profite pour remercier Marco, je ne pouvais pas rêver mieux comme candidat pour ma première expérience d’en-cadrement de stage, j’ai énormément appris avec toi et j’espère que c’est réciproque. Ce premier stage a tellement bien marché que j’ai décidé de retenter l’expérience, j’espère que tu n’as pas de regrets Ju-lien mais vu que tu continues avec une thèse (et pas n’importe laquelle) je me dis que ca devait aller! Je suis confiant dans le fait que le passage de flambeau est assuré, et je te remercie pour ton travail qui m’a bien soulagé dans le rush final de la thèse et pour ta bonne humeur!
L’Onera est un cadre assez idéal pour les doctorants mais je pense que c’est encore plus vrai au sein du DMAE grâce à la communauté de thésards dans laquelle on évolue. J’ai connu quelques généra-tions de doctorants et je ne veux pas prendre le risque de faire une liste : c’est le meilleur moyen d’en oublier. Mais je dois quand même avoir une mention spéciale pour mes co-bureaux : Bertrand (tu nous a remercié d’avoir supporté un ours pendant ta rédaction, moi je te remercie d’avoir si gentiment in-tégré un nouvel arrivé), Pierre (laisse tomber tu ne te débarrasseras jamais de moi, même en partant à Meudon!) , Florian (par pitié apprend à boire ton thé en silence!) et Loïc (là pour le coup c’est moi qui te remercie d’avoir supporté un ours pendant sa rédaction!).
Ensuite il y a les gens de ma génération, Steph’ (merci de nous avoir ramené Loïc Petitbout, c’est toujours un plaisir de vous voir tous les deux) et bien sur Jay (je toque encore sur le mur derrière moi quand le café est chaud dans l’espoir d’une réponse) et Max (je ne sais plus qui aller voir quand j’arrive enfin à faire marcher un bout de code) : on en sera quand même arrivés à justifier le temps passé dans les bureaux les uns des autres par du « co-working ».
Et parce qu’il faut avoir une vie en dehors du « travail », je remercie chaudement Francois, Forte, Fabien, Greg, Doublette, Gus, Paupiette, Jean-Mitch’ et les autres pour les pintes, les CB-roulette et les débats utiles (« Pour un million, est-ce que tu es prêt à. . . »), Carlu parce que c’est Carlu et NataCharles, Arcady et Teddy pour toutes ces soirées pleines d’aventures!
1. Thank you for taking the time to thoroughly review this thesis and traveling all the way to Toulouse to see my defense. It is always a pleasure to talk with you.
2. Cf. méthode du canard en plastique pour le lecteur interloqué 3. Note : il est interdit de coder le lendemain
vi Remerciements Il ne me paraît pas possible de rédiger ces remerciements sans te mentionner Michel. Ton soutien technique m’a été d’un grand secours et même si je ne te connaissais pas aussi bien que je l’aurais voulu, j’ai beaucoup d’admiration pour toi. Tu as laissé un grand vide derrière toi.
Sur un plan (encore) plus personnel je veux remercier mes parents qui ont réussi à m’envoyer leur soutien de contrées lointaines et variées (rentrez à la maison un jour quand même!), mon frère et ma sœur de comprendre mon exaspération et mon désarroi quand on me demande comment se passent mes cours, si j’ai de bonnes notes et si j’ai bientôt des contrôles.
Et bien entendu la meilleure pour la fin et la plus belle rencontre de ma vie, Maïa. Il t’en aura fallu de la patience pour me supporter pendant cette dernière année et demi de thèse et j’espère que tu en as encore pour toutes celles à venir.
Table (réduite) des matières
Remerciements v
Table (réduite) des matières vii
Introduction ix
I.
État de l’art
1
1. Couche limite, instabilités et transition 3
1.1. Couche limite laminaire . . . 5
1.2. Route vers la turbulence : perturbations modales . . . 14
1.3. Analyse de stabilité modale . . . 22
1.4. Prévision de la position de transition naturelle. . . 31
2. Présentation de la méthode des paraboles 37 2.1. Nature des instabilités . . . 39
2.2. Méthode des paraboles pour les instabilités de type Tollmien-Schlichting . . . 43
2.3. Méthode des paraboles pour les instabilités de type crossflow . . . 51
II. RANS compatible formulation of the parabolas method for two-dimensional
flows
63
3. RANS compatible N-factor method for 2D TS 65 3.1. State of the art: N-factor method and 2D RANS models. . . 673.2. Boundary-layer quantity computation in the RANS solver . . . 71
3.3. N-factor method RANS-compatible reformulation . . . 77
3.4. Numerical caveats: ONERA-D airfoil toy case . . . 83
4. N-σP model ability to predict the 2D transition location 91 4.1. Preliminary validations . . . 93
4.2. Application to a laminar transonic airfoil: Dassault Aviation test cases . . . 101
III. Extension to three-dimensional instabilities
111
5. Extension of the N-σP model to 3D TS, stationary CF and traveling CF 113 5.1. Instabilities on three-dimensional parallel flow . . . 1155.2. Transition prediction . . . 117
5.3. Transition prediction in RANS solver for CF instabilities . . . 121
5.4. Growth rate determination for the N-σPmodel . . . 123
5.5. N-σPmodel . . . 128
6. Assessing the prediction capability of the N-σP model on three-dimensional flows 137 6.1. Oblique TS waves on the Dassault Aviation test case (lot1102). . . 139
6.2. Infinite-span swept wing: ONERA-D airfoil,α= −4°,Λ= 60°. . . 139
Conclusions 153 Discussion . . . 153
Bilan . . . 154
Perspectives . . . 154
viii TABLE (RÉDUITE) DES MATIÈRES
Annexes
166
A. Profils de similitude 167
A.1. Couche limite laminaire 2D incompressible . . . 167
A.2. Solutions auto-semblables en écoulement bidimensionnel compressible. . . 181
A.3. Solutions auto-semblable en écoulement tridimensionnel incompressible . . . 186
B. Design of the BLX_Like method for different laminar flow configurations 189
B.1. 2D incompressible flows. . . 189
B.2. Extension to 2D compressible flows on isothermal or adiabatic walls . . . 193
B.3. 3D incompressible flows. . . 195
C. Anciennes méthodes de calcul de l’épaisseur de couche limite dans elsA 197
C.1. Couche limite du premier ordre . . . 197
C.2. Approche basée sur la théorie de la couche limite déficitaire . . . 197
D. Interpolation par des splines d’Akima 199
D.1. Méthode d’Akima et modification de Sturdza . . . 199
D.2. Algorithme utilisé danselsA . . . 201
Table (exhaustive) des matières 205
Table des figures 211
Liste des tableaux 215
Nomenclature 217
Introduction
Une composante importante de la conception des ailes d’avion est l’évaluation de leurs perfor-mances, notamment en termes de trainée. En régime subsonique, celle-ci est due en partie (50 %) au frottement de la couche limite qui se développe sur les ailes d’avions en proche paroi. Elle est lami-naire au niveau du bord d’attaque puis est contaminée par des perturbations extérieures qui sont fil-trées sous forme de modes (de Tollmien-Schlichting ou crossflow) à travers une étape de réceptivité. Ces modes subissent une amplification linéaire puis des interactions non-linéaires qui conduisent à la transition laminaire-turbulent dite naturelle qui dégrade les performances du régime de croisière. En effet la couche limite turbulente génère un frottement environ 5 fois plus élevé que la couche limite laminaire. La conception d’ailes d’avion et de nacelles de moteur donnant lieu à une couche limite laminaire est donc un sujet d’actualité dans un contexte où la réduction de la consommation de car-burant et des émissions de polluants associés est une problématique majeure.
Des projets européens tels que Clean Sky 2 ont ainsi pour objectif de développer des technologies innovantes dans le cadre d’une collaboration entre des acteurs de l’industrie et de la recherche, avec entre autre comme objectif la conception d’un démonstrateur Airbus à voilures laminaires. De fa-çon générale, le design de telles géométries s’appuie sur des campagnes expérimentales et des études numériques. Les solveurs RANS sont aujourd’hui le moyen numérique principal utilisé pour calculer l’écoulement autour d’ailes ou d’avions complets.
L’enjeu est donc de pouvoir prévoir numériquement la position de la transition laminaire turbulent de la couche limite pour évaluer correctement les performances de l’aile. Pour cela, des méthodes ro-bustes et fiables de détermination de la position de transition dans les solveurs RANS sont nécessaires. De nombreuses études ont porté sur la problématique de la transition naturelle due à des perturba-tions extérieures filtrées au travers d’une étape de réceptivité en perturbaperturba-tions modales connaissant une croissance linéaire puis des interactions non-linéaires. L’amplification locale de ces modes peut-être connue par exemple par la théorie de la stabilité locale linéaire (LLS), qui consiste à considérer que le taux d’amplification de la perturbation en une station de l’aile ne dépend que du profil de vitesse de la couche limite à cette station. La méthode la plus utilisée pour passer ensuite de la connaissance de l’amplification des perturbations à la position de transition est la méthode du facteur N. Elle a été développée par van Ingen (1956) d’une part et Smith et Gamberoni (1956) d’autre part. Ils proposent d’intégrer les taux d’amplification des différentes perturbations modales le long la ligne de courant extérieure à la couche limite, pour obtenir ce qu’ils appellent les facteurs N. Ils ont constaté que l’en-veloppe de ces facteurs N, c’est-à-dire la valeur maximale en chaque position, atteint une valeur seuil
NTà la position de transition. Cette méthode du facteur N permet donc de déterminer la position de
transition à condition de connaître les taux d’amplification des perturbations modales de la couche limite. La valeur deNT n’est cependant pas universelle et cette formulation intégrale des facteurs N
n’est pas compatible en l’état avec un solveur RANS.
Mack (1984) a appliqué la méthode du facteur N à différentes configurations expérimentales (en simulant l’écoulement de couche limite correspondant et en étudiant sa stabilité). Il a défini dans chaque cas la valeur deNTcomme étant la valeur de l’enveloppe à la position expérimentale de
tran-sition, qu’il a ensuite corrélée au taux de turbulence infini amont de l’expérience. Cela lui a permis de formuler une loi semi-empirique reliantNTàTu, valable pour les ondes de Tollmien-Schlichting.
La méthode du facteur N permet donc le calcul de la position de transition mais la résolution du problème LLS peut s’avérer coûteuse. Des efforts ont donc été faits pour proposer des méthodes sim-plifiées, basées par exemple sur des corrélations expérimentales, pour déterminer la position de la transition. Ainsi, Arnal et al. (1984) ont corrélé l’évolution de l’enveloppe à l’évolution du nombre de Reynolds basé sur l’épaisseur de quantité de mouvement pour les ondes TS. Ils ont aussi corrélé la position de transition due aux ondes CF au nombre de Reynolds basé sur l’épaisseur de déplacement transversale. Ces deux formulations constituent respectivement les critères AHD et C1. Le critère C1 est cependant peu performant sur de nombreuses configurations, dans la mesure où il donne des po-sitions de transition trop proches du bord d’attaque. De plus ces deux critères sont difficiles à mettre en œuvre dans un code RANS car ils reposent sur les grandeurs intégrales de la couche limite qui sont
x Introduction difficiles à obtenir au sein d’un solveur RANS.
D’autres critères existent, par exemple de celui de Gleyzes et al. (1985) qui corrèle l’évolution de l’en-veloppe à l’évolution du nombre de Reynolds basé sur l’épaisseur de quantité de mouvement pour les ondes TS dans les écoulements avec bulbes de décollement. On peut citer aussi celui d’Abu-Ghannam et Shaw (1980) qui ont a corrélé la valeur du nombre de Reynolds basé sur l’épaisseur de quantité de mouvement obtenue à la position de transition à la valeur du paramètre de Polhausen de la couche limite pour des écoulements ayant un taux de turbulence de l’ordre de 1 % à 3 %. De la même manière, Mayle (1991) a proposé un critère pour des écoulements où le taux de turbulence est supérieur à 3 %.
Dans la même optique Drela et Giles (1987) ont effectué un travail similaire à celui de Gleyzes mais pour les écoulements attachés. Drela (1998) a ensuite formulé l’intégration du taux d’amplification sous forme d’équation de transport dans le solveur MISES qui résout un couplage des équations d’Eu-ler et des équations intégrales de couche limite. Il a de plus reformulé le critère ABS qu’il a aussi ex-primé sous forme d’équation de transport. Le modèle complet sous forme d’équations de transport couvre l’ensemble des scénarios de transition des écoulements 2D (ondes TS, décollements et forts taux de turbulence). Toutefois, ce modèle reste très spécifique au solveur MISES puisqu’il s’appuie sur les grandeurs de couche limite et n’est pas applicable aux configurations 3D.
Menter et al. (2004) ont choisi de commencer par formuler une équation de transport dans un sol-veur RANS et ont étudié les paramètres intervenant dans les critère de Mayle, ABS et Drela pour la calibrer. Le modèle qui en résulte qui est bien adapté aux solveurs RANS mais ne fait que reproduire le comportement des critères (sic) sans reproduire la physique des phénomènes impliqués.
Arnal (1984) a réalisé l’étude de stabilité exacte de nombreux profils de vitesse représentatifs des écoulements de couche limite 2D (attachés et décollés) pour obtenir le taux d’amplification des ondes TS correspondant. Il a ensuite établi une base de données de ces taux d’amplification indexée sur le facteur de forme de la couche limite et le nombre de Mach extérieur. En appliquant la même démarche à des profils de couche limite fortement tridimensionnels il a pu déterminer les taux d’amplification d’ondes CF. Il en résulte la méthode dite des paraboles qui propose une expression analytique des taux d’amplification des perturbations et permet la mise en œuvre à faible coût de la méthode du facteur N. Cette méthode, bien que simplifiée, représente bien la physique de la transition (c’est-à-dire que les taux d’amplification qu’elle donne sont similaires à ceux obtenus par les études de stabilité). Néanmoins, dans la mesure où ces taux d’amplification doivent être intégrés le long de la ligne de courant extérieure de la couche limite et que la méthode repose sur les grandeurs de couche limite, elle n’est pas applicable en l’état dans un solveur RANS.
Le bilan de cette typologie de méthodes de calcul de la transition met en évidence le fait que la mé-thode du facteur N est capable de donner une position de transition physique. Elle se base cependant sur le calcul exact des taux d’amplification des perturbations de la couche limite, ce qui est numéri-quement coûteux. Il est possible d’utiliser la méthode des paraboles qui simplifie le calcul des taux d’amplification des perturbations et permet donc de réduire considérablement le coût de la méthode du facteur N. Une autre approche consiste à remplacer complètement le calcul des facteurs N par des critères simplifiés plus simples à mettre en œuvre et des modèles RANS peuvent alors être calibrés pour reproduire ces critères.
Toutefois ces modèles RANS ne font que reproduire le comportement des critères sans reproduire leur physique. De plus, bien qu’ils soient physiques, ces critères ne correspondent chacun qu’à un type de perturbation. Une limitation supplémentaire est qu’ils se basent sur des grandeurs de couche limite. Les tentatives les plus populaires d’implanter des critères de transition dans les codes RANS remplacent le calcul des grandeurs intégrales par des corrélations, permettant à ces méthodes au dé-part locales du point de vue de la couche limite d’être locales au sens d’un solveur RANS (une cellule de maillage n’a besoin que des informations contenues dans ses voisines directes pour que le modèle fonctionne). Le problème de ces corrélations est leur précision et le choix a été fait dans cette thèse de sacrifier la localité du modèle RANS en calculant les grandeurs intégrales des profils de vitesse le long de pseudo-normales. Cette non-localité est cependant inhérente au concept même d’étude de stabilité linéaire locale, puisqu’il s’agit de la stabilité d’un profil de vitesse. En ce qui concerne la mé-thode des paraboles, elle reproduit fidèlement une physique multiple (TS, CF et bulbes) mais repose
Introduction xi elle aussi des grandeurs de couche limite. Enfin, même si ce dernier point était levé concernant la mé-thode des paraboles, la mémé-thode du facteur N requiert l’intégration des taux d’amplification ce qui n’est pas compatible avec les formulations RANS classiques.
C’est ce qui justifie ces travaux. Ils consistent à reformuler et mettre en œuvre dans le code RANS elsAla méthode des paraboles pour prévoir la position de transition sur les ailes d’avion.
Un étude bibliographique a d’abord été faite, portant sur la stabilité et la transition de la couche limite (Chapitre 1) puis sur la méthode des paraboles elle-même (Chapitre 2).
La démarche a ensuite consisté dans un premier temps à reformuler la méthode du facteur N pour les ondes TS 2D sous forme d’équations de transport. Le but étant d’utiliser la méthode des paraboles, on a d’abord mis en œuvre danselsAune méthode de calcul de l’épaisseur de couche limite en s’ap-puyant sur les travaux de Stock et Haase (1989). On a ensuite reformulé l’intégration des facteurs N sous forme d’équations de transport sachant que c’est le type d’équation que résout efficacement un solveur RANS. Les termes sources de ces équations de transport dépendent des taux d’amplifications des perturbations donnés par la méthode des paraboles. La résolutions de ces équations permet d’ob-tenir les facteurs N sur tout le champ mais la valeur utilisée pour déterminer la position de transition est extraite à la frontière de la couche limite. Il est rapidement apparu qu’il était nécessaire de mettre en place un indicateur de transition permettant de savoir si un point donné est en amont ou en aval de la transition, ainsi qu’un modèle d’intermittence pour concrètement déclencher la transition dans le solveur. (Chapitre 3)
Une fois ce premier modèle implanté, sa capacité à prévoir la transition sur des configurations 2D a été évaluée. Toutes les étapes intermédiaires intervenant dans le modèle (calcul des grandeurs de couche limite, extraction des facteurs N à la frontière de la couche limite) ont d’abord été validées. Il a ensuite été appliqué à une configuration industrielle 2D sachant que des données expérimentales et des calculs de stabilité exacts étaient disponibles et publiés. (Chapitre 4)
Les validations étant concluantes pour les TS 2D, le modèle a été étendu à des perturbations de type TS 3D et CF sur des écoulements 3D. La formulation sous forme d’équation de transport étant déjà compatible avec des écoulements 3D, l’extension a principalement consisté à mettre en place la méthode des paraboles pour les instabilités CF. La méthode de calcul des grandeurs de couche limite a donc été étendue aux écoulements 3D et une méthode de calcul du point d’inflexion généralisé du profil de vitesse a été mise en place. (Chapitre 5)
L’implantation dans le solveur RANS du modèle complet a ensuite été validée sur une configuration d’aile en flèche infinie en régime incompressible pour différentes valeurs de vitesse. La comparaison des résultats aux positions de transition expérimentales ainsi qu’aux résultats donnés par les critères AHD et C1 a ainsi permis de de valider la capacité du modèle à prévoir la position de transition.
(Cha-pitre 6)
Le manuscrit se termine par une discussion des développements réalisés et des résultats obtenus, suivie d’un bilan de l’ensemble des travaux qui conduit à un ensemble de perspectives.
Première partie
Chapitre 1.
Couche limite, instabilités et transition
Prandtl, an engineer by training, was endowed with rare vision for the understanding of physical phenomena and unusual ability in putting them into relatively simple mathematical form.
(Theodore Von Kármán, “Aerodynamics” (1954))
L
’OBJET de ce chapitre n’est pas de détailler la théorie de la couche limite laminaire et de sa stabilité mais de synthétiser les équations et hypothèses considérées comme acquises par la suite, ainsi que d’introduire les différentes notations et repères. La majeure partie des développe-ments liés à la couche limite laminaire faits ici sont inspirés de Cousteix (1989).On présente ensuite succinctement les différentes routes vers la turbulence avant de se pencher plus particulièrement sur la transition modale par des petites perturbations. Les facteurs d’in-fluence de la transition naturelle sont étudiés avant d’établir les équations régissant les petites perturbations linéaires locales. Les approches spatiale et temporelle sont présentées ainsi que le lien entre les deux.
La croissance de ces instabilités modales est ensuite étudiée pour aboutir à la méthode du fac-teur N qui fait le lien entre la croissance de perturbations modales et la position de transition.
Un rapide état de l’art présente ensuite des méthodes simplifiées de calcul de la position de transition. On ne présente pas ici l’application de ces méthodes simplifiées dans les solveurs RANS, le but étant de se concentrer sur l’aspect physique du processus de transition. Le modèle développé dans cette thèse sera introduit dans les chapitres3pour sa version 2D et5pour son extension 3D. On présentera alors dans chaque cas les équivalents dans la littérature, le but n’étant pas de présenter un état de l’art complet de la modélisation de la transition laminaire-turbulent dans les codes RANS mais de placer notre modèle dans un contexte.
Dans la mesure où l’on s’intéressera à la transition laminaire-turbulent dans des applications type ailes d’avion, on ne s’intéresse qu’à la transition naturelle et on considère que les hypothèses de perturbations modales linéaires locales sont suffisantes.
4 Chapitre 1. Couche limite, instabilités et transition
Sommaire
1.1. Couche limite laminaire . . . 5
1.1.1. Hypothèses relatives au concept de couche limite . . . 5
1.1.2. Réduction des équations de Navier-Stokes : Équations de Prandtl . . . 6
Cas incompressible . . . 6
Cas compressible. . . 7
1.1.3. Grandeurs caractéristiques de la couche limite. . . 8
Coefficients de frottement et épaisseurs de couche limite . . . 8
Interprétation des épaisseurs de couche limite. . . 9
1.1.4. Notes sur la couche limite tridimensionnelle . . . 11
Repère aile et repère aérodynamique . . . 11
Équations de couche limite tridimensionnelle incompressible stationnaire . . . 13
Grandeurs intégrales et pariétales tridimensionnelles . . . 13
1.2. Route vers la turbulence : perturbations modales . . . 14
1.2.1. Mécanismes de transition . . . 14
Différents chemins vers la turbulence. . . 15
1.2.2. Nature des instabilités modales : transition naturelle . . . 16
Instabilités de type Tollmien-Schlichting . . . 16
Instabilités de type crossflow . . . 17
Instabilités de type Görtler. . . 18
1.2.3. Facteurs d’influence du déclenchement de la transition . . . 18
Modification de l’écoulement moyen . . . 19
Modification de la réceptivité . . . 19
1.2.4. Équation des petites perturbations en écoulement incompressible. . . 20
Écoulement parallèle . . . 20
Écoulement non parallèle . . . 21
1.3. Analyse de stabilité modale . . . 22
1.3.1. Approche locale . . . 22
Forme des perturbations et équation d’Orr-Sommerfeld . . . 22
Notes sur la résolution de l’approche linéaire locale . . . 23
Limites de l’approche linéaire locale . . . 24
1.3.2. Approche non locale : notes sur les équations de stabilité linéaire parabolisées . 24 1.3.3. Stabilité temporelle et spatiale . . . 26
Stabilité spatiale . . . 26
Stabilité temporelle . . . 27
1.3.4. Stabilité spatiale : réduction du 3D au 2D . . . 28
Réduction de perturbations 3D à 2D en stabilité temporelle : théorème de Squire 28 Réduction de l’écoulement de base 3D à 2D : théorème de Stuart. . . 28
Passage du temporel au spatial : relation de Gaster. . . 29
Utilisation et validité des transformations . . . 31
1.4. Prévision de la position de transition naturelle. . . 31
1.4.1. Méthode dueN . . . . 31
Principe. . . 31
Remarques surNT . . . 33
1.4.2. Méthodes simplifiées . . . 33
Critères de transition. . . 34
Approches de type base de donnée ou réseau de neurones . . . 35
1.1. Couche limite laminaire 5
1.1. Couche limite laminaire
La notion de couche limite a été introduite par Prandtl en 1904 en posant l’hypothèse que les effets de la viscosité ne sont sensibles qu’au voisinage de la paroi. Plus précisément, elle peut être vue comme la région dans laquelle la variation de vitesse normale à la paroi est suffisamment intense pour que les efforts de cisaillement visqueux auxquels elle donne lieu soient du même ordre de grandeur que ceux d’inertie.
1.1.1. Hypothèses relatives au concept de couche limite
Considérons un écoulement sur un corps au repos. La vitesse à la paroi est nulle (condition d’adhé-rence) alors que plus loin elle atteint une valeur très proche de la vitesse à la paroi en écoulement de fluide parfait et varie peu. En s’éloignant de la paroi selon une normaley, on constate donc une augmentation de la vitesse longitudinale. Cette évolution de vitesse permet de définir une distanceδ, l’épaisseur de couche limite, à laquelle la vitesse longitudinaleUest proche de la vitesse extérieureUe
(qui serait la vitesse à la paroi dans le cas d’une condition de glissement). Une définition classique est de prendre comme critère un rapportU/Ue|y=δ= 0,99.
Cette description de la couche limite ne spécifie pas de modification du champ de pression donné par la théorie de fluide parfait. Le corps considéré et sa couche limite doivent donc former un ensemble élancé du point de vue de l’écoulement extérieur. En d’autres termes, à une distance donnéeLrefsur
un corps présentant une couche limite d’épaisseurδ, on doit avoir
δ¿Lref . (1.1)
Cette condition peut alors être traduite comme suit : la couche limite est une région dans laquelle les efforts de cisaillement visqueux engendrés par la forte variation normale de vitesse sont de l’ordre de grandeur de ceux d’inertie.
Comparons donc sur un volume fluide élémentaire de forme parallélépipédique dxdydzl’ordre de grandeur de ces deux forces. Pour cela, on évalue d’abord l’ordre de grandeur des quantités suivantes (en considérant que la variation de quantité de mouvement sur une distanceLref est de l’ordre de
ρrefVref) : U'Vref ∂ 2U ∂y2 ' Vref δ2 ρ ∂U ∂x ' ρrefVref Lref . (1.2)
Les efforts d’inertie sont de l’ordre de leur composante suivantx: inert. =ρU∂U
∂x dxdydz'ρref Vref2
Lref dxdydz. (1.3)
En utilisant la loi de Newton (contrainteτ=µ∂U/∂y) les efforts dus à la viscosité sont donnés par : visc. = ∂τ ∂y dxdydz=µ ∂2U ∂y2 dxdydz'µ Vref δ2 dxdydz. (1.4)
Le rapport de ces deux efforts est donc de l’ordre de inert. visc. ' ρref µ Vref Lrefδ
2=ρrefVrefLref
µ
δ2
Lref2 =ReLref
δ2
Lref2 . (1.5)
Soit, pour qu’il soit proche de l’unité :
δ Lref∼ 1 p ReLref . (1.6)
La conclusion en est, pour respecterδ¿Lref, que la notion de couche limite s’applique lorsque le
nombre de Reynolds est très grand.
6 Chapitre 1. Couche limite, instabilités et transition
1.1.2. Réduction des équations de Navier-Stokes : Équations de Prandtl
Comme il vient d’être vu, l’hypothèse de couche limite est intimement liée à celle de nombre de Reynolds élevé. La question se pose donc de la simplification des équations de Navier-Stokes qu’on peut en déduire. Une vision simpliste serait de ne retenir que l’hypothèse de nombre de Reynolds élevé, et en déduire qu’il suffit d’éliminer les termes liés à la viscosité parce qu’elle est faible. On en déduirait alors les équations de fluide parfait, incompatibles avec la condition d’adhérence, et non un jeu d’équations spécifiques à la zone de couche limite dans laquelle la viscosité n’est pas négligeable dans toutes les directions. L’hypothèse du nombre de Reynolds élevé doit donc être à l’origine d’une simplification des équations de Navier-Stokes moins radicale : les équations de Prandtl.
Cas incompressible
On se place dans un cas incompressible bidimensionnel, en considérant que les forces de masse sont négligeables et que le rayon de courbure du corps étudié est grand devant l’épaisseur de couche limite. Cette dernière hypothèse permet d’utiliser les coordonnées cartésiennes (axe longitudinal selon x, normale à la paroi selony).
Les équations de Navier-Stokes dans ce repère sont les suivantes, en notantνla viscosité cinéma-tique : ∂U ∂x + ∂V ∂y = 0 (1.7a) ∂U ∂t +U ∂U ∂x+V ∂U ∂y =− 1 ρ ∂P ∂x+ν µ∂2U ∂x2 + ∂2U ∂y2 ¶ (1.7b) ∂V ∂t+U ∂V ∂x+V ∂V ∂y =− 1 ρ ∂P ∂y+ν µ∂2V ∂x2 + ∂2V ∂y2 ¶ . (1.7c)
La première étape est un adimensionnement des équations de Navier-Stokes de façon à avoir des variables d’ordre 1. Les variables suivantes viennent assez naturellement :
U= U Vref x ? =Lx ref y ? =yδ. (1.8)
Il reste à trouver un adimensionnement pourV. On injecte pour cela dans l’équation de continuité(1.7a)
les adimensionnements précédents(1.8)et l’hypothèseδ/Lref∼ReLref−1/2:
Vref Lref ∂U ∂x?+ p ReLref Lref ∂V ∂y?= 0 . (1.9)
Il apparaît alors que poser
V=VV
ref
q
ReLref (1.10)
permet d’écrire l’équation de continuité sous la forme ∂U
∂x?+
∂V
∂y? = 0 , (1.11)
qui est non triviale si ∂V/∂y?est d’ordre 1 comme ∂U/∂x?.
Il reste à régler le cas des équations de quantité de mouvement(1.7b)et(1.7c). On introduit pour cela les deux variables adimensionnées
P= P
ρrefVref2 et t ?
=tt
ref , (1.12)
qui sont d’ordre 1 si on considère quetrefn’est pas beaucoup plus petit queLref/Vref, ce qui exclut les
écoulements à haute fréquence ou accélération brutale. Les équations du mouvement s’écrivent donc
1.1. Couche limite laminaire 7 Vref tref ∂U ∂t?+ Vref2 Lref U ∂U ∂x?+ Vref2 pRe Lrefδ V∂U ∂y?=− Vref2 Lref ∂P ∂x?+ νVref Lref2 ∂2U ∂x?2+ νVref δ2 ∂2U ∂y?2 (1.13a) Vref trefpReLref ∂V ∂t?+ Vref2 LrefpReLref U ∂V ∂x?+ Vref2 ReLrefδ V ∂V ∂y?=− Vref2 δ ∂P ∂y?+ νVref p ReLrefLref2 ∂2V ∂x?2+ νVref p ReLrefδ2 ∂2V ∂y?2 . (1.13b) En simplifiant la première équation parVref2/Lref, la seconde parVref2/δet en utilisant à nouveau le
fait queδ'pReLrefLrefce système devient
Lref Vreftref ∂U ∂t?+U ∂U ∂x?+V ∂U ∂y? = − ∂P ∂x?+ 1 ReLref ∂2U ∂x?2+ ∂2U ∂y?2 (1.14) 1 ReLref à Lref Vreftref ∂V ∂t?+U ∂V ∂x?+V ∂V ∂y? ! = −∂∂yP?+ 1 ReLref2 ∂2V ∂x?2+ 1 ReLref ∂2V ∂y?2 . (1.15)
Tous les termes de ces équations adimensionnées sont d’ordre 1, à l’exception de ceux multipliés par
ReLref−α,α ≥ 1, qui deviennent négligeables quandReLrefdevient grand, ce qui correspond à notre cadre
d’étude. En admettant queLref/(Vreftref) est au plus d’ordre 1, on obtient finalement
Lref Vreftref ∂U ∂t?+U ∂U ∂x?+V ∂U ∂y? = − ∂P ∂x?+ ∂2U ∂y?2 (1.16) 0 = ∂P ∂y? . (1.17)
Le retour aux variables physiques donne donc dans le cas particulier du régime stationnaire : ∂U ∂x + ∂V ∂y = 0 (1.18a) ρU∂U ∂x +ρV ∂U ∂y + ∂P ∂x =µ ∂2U ∂y2 (1.18b) ∂P ∂y = 0 =⇒ ∂P ∂x = dP dx . (1.18c)
Dans l’équation de quantité de mouvement longitudinale(1.18b), le terme de diffusion longitudinale est négligé. C’est une hypothèse comparable à celle faite dans l’étude de la température le long d’un corps mince, où seule la diffusion dans l’épaisseur du corps est retenue.
L’équation de quantité de mouvement transversale(1.18c)exprime quant à elle que la pression (sta-tique) ne varie pas selon la normale à la paroi. La connaissance de la pression le long de la frontière de la couche limite ou à la paroi suffit donc pour connaître la pression dans la couche limite. Notons cependant que la pression totale varie le long de la normale et que cette variation vient des forces de viscosité.
Ces équations, établies par Prandtl, ont bien été obtenues par une application directe de l’hypothèse faite sur le nombre de Reynolds dans le cadre de la théorie de la couche limite et ne correspondent effectivement pas à des équations de fluide parfait : les effets dûs à la viscosité ne sont pas négligés sur tous les termes.
Cas compressible
Les écoulements compressibles se rencontrent quand le nombre de Mach augmente ou si les écarts de température sont significatifs. Une équation supplémentaire s’ajoute alors à celles de continuité et de quantité de mouvement : l’équation de l’énergie. Un coefficient de diffusivité thermique,a, inter-vient dans cette équation de façon analogue à la viscosité cinématique dans l’équation de mouvement,
8 Chapitre 1. Couche limite, instabilités et transition il est lié directement à la conductivité thermique du fluide para= λ
ρCp oùCpest la capacité calorifique
à pression constante.
De la même façon que la couche limite dynamique, définie comme la zone dans laquelle se font les variations de vitesse, a une épaisseurδde l’ordre de
δ'pLref
ReLref
avec ReLref=
VrefLref
ν , (1.19)
on définit une couche limite thermique délimitant la zone dans laquelle se font les variations de tem-pérature. Son épaisseur estδT, de l’ordre de
δT'pLref
Pe
avec Pe=VrefaLref, (1.20)
oùPeest le nombre de Péclet. Le rapport des épaisseurs est donc
δT δ = 1 pP r , (1.21)
oùPr =ν/aest le nombre de Prandtl, qui compare la vitesse des phénomènes thermique et
dyna-miques.
Dans le cas de l’air,Pr' 0,7 proche de 1 indique que les couches limites dynamique et thermique ont
des épaisseurs du même ordre de grandeur. Ce constat permet d’appliquer à l’équation de l’énergie un raisonnement analogue à celui fait pour l’équation de quantité de mouvement et d’écrire
∂ρ ∂t + ∂ρU ∂x + ∂ρV ∂y = 0 (1.22a) ρU∂U ∂x +ρV ∂U ∂y = − ∂P ∂x+ ∂ ∂y µ µ∂U ∂y ¶ (1.22b) ∂P ∂y = 0 (1.22c) ρU∂h ∂x+ρV ∂h ∂y = ∂ ∂y µ λ∂T ∂y ¶ +∂∂Pt +U∂P ∂x+µ µ∂U ∂y ¶2 . (1.22d)
oùhest l’enthalpie spécifique du fluide.
1.1.3. Grandeurs caractéristiques de la couche limite
Coefficients de frottement et épaisseurs de couche limite
Un des objectifs du calcul de l’écoulement autour des ailes est la détermination du frottement pa-riétal, responsable en grande partie de la trainée. Elle est calculée par intégration le long de la paroi de la contrainte pariétaleτw, qui est exprimée comme suit par la loi de Newton :
τw= µ µ∂U ∂y ¶ y=0 . (1.23)
En adimensionnant cette contrainte pariétale par la pression dynamique extérieure on obtient le coefficient de frottementCf, donné par
Cf= 1 τw
2ρeUe2
, (1.24)
avecρeetUeles valeurs de masse volumique et vitesse à l’extérieur de la couche limite, pris à la même
abscisse queτw.
Les effets thermiques de la compressibilité ont déjà été mentionnés et font intervenir un flux de
1.1. Couche limite laminaire 9 chaleur pariétal qui suit la loi de Fourier :
φw= − µ λ∂T ∂y ¶ y=0 . (1.25)
De façon similaire à la contrainte pariétale, ce flux de chaleur peut être adimensionné par les valeurs de masse volumique, vitesse et enthalpie spécifique totale à l’extérieur de la couche limitehi,e, ce qui
donne le flux de chaleur adimensionné
φw
ρeUehi,e . (1.26)
L’épaisseur de couche limite dynamiqueδa déjà été mentionnée, et elle est la base pour définir d’autres épaisseurs caractéristiques :
δ1= Z δ 0 µ 1 − ρU ρeUe ¶ dy (1.27a) θ11= Z δ 0 ρU ρeUe µ 1 −UU e ¶ dy (1.27b) H= δ1 θ11 (1.27c) ∆= Z δ 0 ρU ρeUe µ h i hi,e− 1 ¶ dy (1.27d) δ3= Z δ 0 ρU ρeUe µ 1 − µU Ue ¶2¶ dy (1.27e) H32= δ3 θ11 . (1.27f)
On appelle respectivement les grandeursδ1,θ11,∆etδ3les épaisseurs de déplacement, de quantité
de mouvement, d’énergie et d’énergie cinétique. Le rapportHest quant à lui appelé facteur de forme. Dans le cas d’un écoulement incompressible, les masses volumiques peuvent être simplifiées. Cette remarque permet de définir des épaisseurs caractéristiques d’une couche limite incompressible hypo-thétique, présentant le même profil de vitesse que l’écoulement compressible.
δ1i= Z δ 0 µ 1 −UU e ¶ dy (1.28a) θ11i= Z δ 0 U Ue µ 1 − U Ue ¶ dy (1.28b) Hi= δ1i θ11i . (1.28c)
Dans le cas d’un écoulement réel incompressible, ces deux définitions sont bien entendu équivalentes. Interprétation des épaisseurs de couche limite
Les épaisseurs caractéristiques présentées précédemment peuvent être interprétées en termes de perte de débit entre l’écoulement de fluide parfait et l’écoulement en présence de couche limite (débit de masse, de quantité de mouvement, d’énergie, d’énergie cinétique . . . ).
Intéressons-nous au cas de l’épaisseur de déplacementδ1. Le débit masse dans la couche limite est
donné par
q =
Z δ
0 ρUdy. (1.29)
Ce même débit dans le cas d’un écoulement de fluide parfait (sans couche limite) serait Q =
Z δ
0 ρeUedy. (1.30)
10 Chapitre 1. Couche limite, instabilités et transition Il en vient que la perte de débit masse engendrée par la couche limite (ou du moins par ses effets visqueux) est Q − q = Z δ 0 ¡ ρeUe−ρU¢dy, (1.31)
qui devient, en utilisant la définition deδ1(1.27a) page précédente,
Q − q =ρeUeδ1, (1.32)
ce qui revient à dire que la perte de débit est contenue dans une couche fictive d’épaisseurδ1, qui peut
être vu comme une mesure des effets visqueux de la couche limite sur la dynamique de l’écoulement proche paroi.
Une autre façon d’envisager l’épaisseur de déplacement est de dire qu’il y a égalité des débits entre un écoulement réel d’épaisseur de couche limiteδ(figure1.1a) et un écoulement pour lequel la vitesse est nulle entre la paroi etδ1et vaut celle de fluide parfait au delà (figure1.1b), ce qui se traduit par
l’égalité Z δ 0 ρUdy= Z δ δ1 ρeUedy. (1.33)
L’épaisseur de déplacement définit ainsi la hauteur dont il faut déplacer la paroi pour avoir le même débit dans la couche limite en fluide parfait. Cette paroi fictive est la surface de déplacement.
ρU
δ
(a) Écoulement réel
ρeUe
δ δ1
Surface de déplacement
(b) Écoulement fictif de même débit
FIGURE1.1. – Représentation schématique deδ1, d’aprés Cousteix (1989).
Selon la même idée, l’épaisseur de quantité de mouvement peut être interprétée en s’intéressant au débit de quantité de mouvement qui est dans le cas de l’écoulement réel
m =
Z δ
0 ρU
2dy. (1.34)
Dans le cas d’un écoulement ayant le même débit masse q mais à vitesse constanteUecette quantité
devient M =Ueq =Ue Z δ 0 ρUdy= Z δ 0 ρUUedy. (1.35) On en déduit M − m =ρeUe2θ11. (1.36)
L’épaisseur de quantité de mouvement définit ainsi la hauteur dont il faudrait déplacer la surface de déplacement pour conserver le débit de quantité de mouvement. Dans ces conditions, le fait de conserver le débit de quantité de mouvement entre l’écoulement réel d’épaisseur de couche limiteδ
et l’écoulement parfait sur une paroi remontée deδ1+θ11s’écrit
Z δ 0 ρU 2dy=Z δ δ1+θ11 ρeUe2dy. (1.37) 10 BÉGOUGUILLAUME
1.1. Couche limite laminaire 11
ρU2
δ
(a) Écoulement réel
ρeUe2
δ
δ1
θ11
(b) Écoulement fictif de même quantité de mouvement
FIGURE1.2. – Représentation schématique de l’épaisseur deθ11, d’aprés Cousteix (1989).
Des raisonnements similaires peuvent être appliqués au débit d’énergie cinétique : l’épaisseur d’éner-gie cinétique représente la perte d’énerd’éner-gie cinétique due à la couche limite, pour une même valeur de débit masse Ue2 Z δ 0 ρUdy− Z δ 0 ρU 3dy=ρ eUe3δ3. (1.38)
Et de la même façon l’épaisseur d’énergie représente le gain ou la perte d’enthalpie d’arrêt, pour une même valeur de débit masse
Z δ
0 ρUhidy−hi,e
Z δ
0 ρUdy=ρeUehi,e∆. (1.39)
1.1.4. Notes sur la couche limite tridimensionnelle
Repère aile et repère aérodynamique
Dans le cas d’un écoulement tridimensionnel une nouvelle composante de vitesse est introduite en considérant un premier repère à lié l’aile :Uest alors dans la directionxnormale au bord d’attaque,W
est la vitesse dans la directionzparallèle au bord d’attaque etVest toujours selonynormale à la paroi. C’est dans ce repère que l’on établit les équations de couche limite par une approche similaire à celle employée dans le cas bidimensionnel.
En considérant la vitesseUe= (Ue,We,Ve) à la frontière de la couche limite on peut définir l’angle
θde la ligne de courant extérieure à la couche limite (la projection des lignes de courant traversant la frontière de la couche limite) par rapport à la direction longitudinalex
θ= tan-1 µW e Ue ¶ . (1.40)
Si la courbure du profil est assez faible on passe d’un repère à l’autre par une simple rotation deθ
autour dey1, ce qui permet de définir le repère couche limite¡ξ,η,y¢et les composantes de vitesse
associées
u=Ucosθ+Wsinθ (1.41)
w= −Usinθ+Wcosθ (1.42)
v=V (1.43)
et naturellement à la frontière de la couche limite
ue=Uecosθ+Wesinθ we= 0 ve=Ve (1.44)
1. Dans le cas contraire, on définit un repère obtenu par rotation dans le plan normal au bord d’attaque, pour obteniry
normale à la paroi et la composanteξsuit l’abscisse curviligne du profil d’aile.
12 Chapitre 1. Couche limite, instabilités et transition Ce qui permet de définir les adimensionnements suivant
u= u ue=Ucos 2θ+Wsin2θ (1.45) w= w ue= sinθcosθ ³ W−U´ (1.46) x z ξ η Ue We u e θ
Normale au bord d’attaque (a) Vitesses à la frontière de couche limite
ξ
η y
ue
u w
(b) Profil complet dans le repère couche limite
FIGURE1.3. – Définition des repères liés à l’aile¡x,z,y¢et à la couche limite¡ξ,η,y¢
Notons quewest nul à la paroi (adhérence à la paroi) et est nul à la frontière de la couche limite par construction. De plus l’orientation du repère direct¡ξ,η,y¢est imposée par la direction de la vitesse à la frontière de couche limite et la normale à la paroi, le signe dew étant donc dépendant de cette orientation. Sur une aile au profil symétrique mise en flèche à incidence nulle par exemple, on trou-vera donc à la même positionxsur la corde des signes dew opposés selon qu’on l’on considère soit l’intrados, soit l’extrados du profil.
x z y ξ η y (a) Vue de côté x z ξ η x θ (b) Vue de dessus
FIGURE1.4. – Ligne de courant extérieure à la couche limite sur une aile en flèche infinie et systèmes
de coordonnées associés
1.1. Couche limite laminaire 13 Équations de couche limite tridimensionnelle incompressible stationnaire
En suivant le même raisonnement que pour le cas bidimensionnel, en adimensionnantWparVrefet
zparLref, on obtient
∂U ∂x + ∂V ∂y+ ∂W ∂z = 0 (1.47a) ρU∂U ∂x +ρV ∂U ∂y +ρW ∂U ∂z + ∂P ∂x =µ ∂2U ∂y2 (1.47b) ∂P ∂y = 0 (1.47c) ρU∂W ∂x +ρV ∂W ∂y +ρW ∂W ∂z + ∂P ∂z =µ ∂2W ∂y2 (1.47d)
Que l’on peut simplifier dans le cas d’une aile en flèche d’envergure infinie, dont l’écoulement est donc invariant enz. ∂U ∂x + ∂V ∂y = 0 (1.48a) ρU∂U ∂x +ρV ∂U ∂y + ∂P ∂x =µ ∂2U ∂y2 (1.48b) ∂P ∂y = 0 , ∂P ∂z = 0 =⇒ ∂P ∂x= dP dx (1.48c) ρU∂W ∂x +ρV ∂W ∂y =µ ∂2W ∂y2 (1.48d)
Grandeurs intégrales et pariétales tridimensionnelles
Les mêmes grandeurs intégrales que dans le cas bidimensionnel peuvent être définies, en utilisant la vitesse longitudinaleuadimensionnée paruedu repère de couche limite, on a donc par exemple
δ1= Z δ 0 µ 1 − ρu ρeue ¶ dy (1.49) θ11= Z δ 0 ρu ρeue µ 1 − u ue ¶ dy (1.50)
L’interprétation proposée précédemment s’applique en voyant queδ1est l’épaisseur de déplacement
de l’écoulement dans la directionξetθ11est l’épaisseur de quantité de mouvement dans la directionξ.
Aux grandeurs vues en 2D s’ajoutent des épaisseurs intégrales incluant le profil transverse, on définit notamment δ2= Z δ 0 − ρw ρeue dy (1.51) θ12= Z δ 0 ρw ρeue µ 1 −uu e ¶ dy (1.52) θ21= Z δ 0 − ρuw ρeue2 dy (1.53) θ22= Z δ 0 − ρw2 ρeue2 dy (1.54) (1.55) et comme précédemment en simplifiant les masses volumiques, leurs équivalentes incompressibles, notéesδ2i,θ12i,θ21ietθ22i.δ2est l’épaisseur de déplacement de l’écoulement dans la directionη,θ12i
est l’épaisseur de quantité de mouvement deudans la directionη,θ21i est l’épaisseur de quantité de
14 Chapitre 1. Couche limite, instabilités et transition mouvement dew dans la directionξetθ22 est l’épaisseur de quantité de mouvement dew dans la
directionη.
Le frottement devient quant à lui un vecteur, écrit formellement
τw=τ•n (1.56)
avecnle vecteur unitaire normal à la paroi etτle tenseur des contraintes visqueuses (pris à la paroi pour calculer le frottement pariétal), défini par la loi de Newton
τ= 2µS−13µTr³³∇·V´´I (1.57)
oùSest le tenseur des déformations12µ³∇·V´+³∇·V´T
¶
. Dans les repères définis plus haut on a donc
τw= ∂U ∂y ¯ ¯ ¯ ¯y =0 x+ ∂W ∂y ¯ ¯ ¯ ¯y =0 z= ∂u ∂y ¯ ¯ ¯ ¯y =0 ξ+ ∂w ∂y ¯ ¯ ¯ ¯y =0 η (1.58)
dont on déduit les coefficients de frottement associés en adimensionnant par12ρeue2. On définit aussi
βτ, l’angle entreτwetUecompris dans la gamme ]−π2rad;π2rad[ si le profil est attaché.
1.2. Route vers la turbulence : perturbations modales
On doit à Reynolds dans les années 1880 les premières observations de la transition. Il fait l’expé-rience d’injecter un colorant dans une conduite d’eau et fait le constat de plusieurs régimes d’écou-lement. Pour des vitesses assez faibles, le filet de colorant créé reste rectiligne : c’est l’écoulement laminaire. Pour des vitesses plus importantes, le filet oscille, le colorant diffuse : c’est l’écoulement turbulent. A vitesse constante, il se rend compte qu’une variation du diamètre du tube conduit aux mêmes différences de comportement. Il dégage ainsi trois paramètres d’influence (la vitesseQ∞de l’écoulement, le diamètreDdu tube et la viscosité cinématiqueνdu fluide) et une relation entre ces paramètres permettant de caractériser le régime d’écoulement : le nombre de ReynoldsReDdéfini par
ReD=Q∞D
ν . (1.59)
A partir d’une valeur de ce nombre sans dimension, l’écoulement sera turbulent, après être passé par une phase dite transitoire qui sera l’objet d’étude de cette partie. Cette valeur critique n’est cependant pas universelle et dépend du type d’écoulement (en conduite, sur une plaque plane, sur une aile. . . ) et de la longueur de référence utilisée.
(a) Régime laminaire (b) Régime transitoire (c) Régime turbulent
FIGURE1.5. – Expérience de Reynolds reproduite par J.D. Jackson (School of Engineering, University of
Manchester) : régimes d’écoulement de conduite vus par injection de colorant (source image : http ://www.startimes.com)
1.2.1. Mécanismes de transition
La couche limite laminaire dans le cas d’écoulements externes est soumise à des perturbations ve-nant de l’environnement (turbulence de l’écoulement extérieur, bruit rayonné, rugosités de paroi, etc.). La réponse de la couche limite à ces perturbations ainsi que la nature de ces dernières donne lieu à
1.2. Route vers la turbulence : perturbations modales 15 plusieurs cas de figure. C’est au travers d’une étape de réceptivité (Morkovin,1969), que les propriétés de la couche limite vont déterminer la suite du processus. Les différents scénarios possibles ont été schématisés par Reshotko (2008).
Perturbations environnementales Réceptivité
Croissance transitoire
Modes primaires Bypass
Modes secondaires Déstabilisation Turbulence A B C D E
FIGURE1.6. – Scénarios de transition, d’aprés Reshotko (2008) Différents chemins vers la turbulence
Les différents chemins présentés sur la figure1.6correspondent aux mécanismes suivants :
Chemin A : c’est le mécanisme classique de transition pour les écoulements externes à faible ni-veau de bruit environnemental (voilures d’aéronefs, véhicules automobiles, etc.), qui sont notre cas d’application. Au cours de ce scénario, les perturbations sont amplifiées de façon modale (Reed et al.,1996). Les modes correspondant sont ceux de Tollmien-Schlichting (TS) et, pour les couches limites tridimensionnelles, ceux dits « crossflow » (CF). Dans le cas particulier des surfaces concaves, ce scénario voit aussi l’apparition d’instabilités de Görtler.
Ce mécanisme de transition est un mécanisme modal, la transition étant causée par la dégéné-rescence du mode le plus instable après son amplification linéaire. L’identification de ce mode et son suivi permettent donc d’évaluer la position de la transition;
Chemin B : pour un niveau de perturbations extérieures plus élevé un phénomène de croissance transitoire intervient. Ce phénomène est d’amplitude assez faible pour voir cohabiter l’ampli-fication modale (des ondes TS) et l’amplil’ampli-fication multi-modale des modes de Klebanoff2. Une
croissance transitoire des modes de Klebanoff peut dans certains cas stabiliser la couche limite vis-à-vis des ondes TS (Cossu et Brandt,2002). Kosorygin et Polyakov (1990) ont déterminé que ce processus correspond à un taux de turbulence moyen 0,1%6Tu60,7% avec une interaction
entre ces deux types d’instabilités;
Chemin C : quand le taux de turbulence extérieure devient supérieur à 0,7% (0,7%6Tu61%)
l’in-stabilité modale est entièrement cachée par la croissance transitoire (Kosorygin et Polyakov,
1990). La théorie des perturbations optimales (Andersson et al.,1999; Luchini,2000) permet de déterminer que les perturbations initiales, correspondant à des tourbillons longitudinaux, entraînent la formation de stries (modes de Klebanoff) dans la couche limite.
Leur évolution lente permet à la couche limite de filtrer les hautes fréquences, ce qui leur confère une amplitude importante, suffisante pour modifier l’écoulement de base de la couche limite.
2. La notion de mode pour les instabilités de Klebanoff relève de l’abus de langage, le phénomène étant multi-modal.
16 Chapitre 1. Couche limite, instabilités et transition La transition est alors déclenchée par une instabilité secondaire intrinsèque à ce nouvel écoule-ment de base;
Chemin D : dans ce cas de figure, rencontré par exemple en turbomachine où les étages aval sont soumis au sillage d’éléments en amont donc à de forts taux de turbulence extérieure (supérieurs à 1%), les modes de Klebanoff pilotent entièrement la transition. Ce scénario est difficile à dis-tinguer du chemin C car dans les deux cas la turbulence extérieure pénètre la couche limite au niveau du bord d’attaque et entraine la formation de stries.
La différence est que dans le cas C la transition était due à une modification de l’écoulement de base par les stries ayant pu suffisamment s’amplifier, alors que dans le cas D l’absence de fil-trage des hautes fréquences permet une amplification des stries jusqu’à une amplitude critique, atteinte proche du bord d’attaque, qui permet une interaction avec les modes de Klebanoff. La transition dans ce cas est dite bypass;
Chemin E : il s’agit d’un scénario où l’amplitude des perturbations extérieures est telle que le forçage de la couche limite qui en découle empêche le passage par un régime linéaire. Il est même diffi-cile de parler dans ce cas de zone laminaire et à plus forte raison de zone de transition puisque la couche limite est turbulente dès sa formation.
On ne s’intéresse par la suite qu’au scénario correspondant au chemin A, c’est-à-dire la transition natu-relle, et on se restreint aux écoulements subsoniques à supersoniques (les écoulements hypersoniques ne sont donc pas considérés).
1.2.2. Nature des instabilités modales : transition naturelle
Les perturbations auxquelles la couche limite est soumise dans le cas de la transition naturelle sont de faible intensité. Ce type de configuration correspond à des ailes d’avion en croisière dont l’état de surface est de bonne qualité.
Instabilités de type Tollmien-Schlichting
L’existence des ondes de Tollmien-Schlichting (TS) a été établie mathématiquement par Tollmien (1929) et Schlichting (1933) lorsqu’ils ont déterminé l’amplification des ondes les plus instables sur un écoulement de couche limite bidimensionnel. Ce sont des instabilités de type visqueux et elles ont été observées expérimentalement dans un tunnel hydraulique à basse vitesse par Schubauer et Skramstad (1948) sur une couche limite de plaque plane excitée artificiellement par un ruban vibrant suivant les modes prévus par Tollmien et Schlichting. Ces ondes sont longitudinales et s’amplifient dans le sens de l’écoulement. Écoulement Réceptivité Croissance linéaire Intéractions non-linaires Transition
FIGURE1.7. – Visualisation d’ondes de TS dans un tunnel hydraulique (Werlé, Onera 1980)
1.2. Route vers la turbulence : perturbations modales 17 Instabilités de type crossflow
Pour une couche limite tridimensionnelle (cas d’une aile en flèche par exemple), des ondes transver-sales (en anglais « crossflow », abrégé CF) apparaissent, dont la direction de propagation est presque parallèle au bord d’attaque.
On a vu que le profil de vitesse transversalewa une valeur nulle à paroi et à la frontière de la couche limite et une dérivée normale nulle à la frontière de la couche limite, il présente donc nécessairement un point d’inflexion. Ce point d’inflexion est à l’origine des instabilités de type CF (Saric et al.,2003). Ces instabilités ne peuvent donc pas exister dans le cas d’écoulement purement bidimensionnel3.
ξ η y ue u w Point d’inflexion
FIGURE1.8. – Point d’inflexion apparaissant dans le profil de vitesse
Les CF se manifestent sous la forme de tourbillons longitudinaux périodiques enz. Ils ont la par-ticularité d’exister à des fréquences non nulles (CF instationnaires) mais aussi à fréquence nulle (CF stationnaires). Ces CF stationnaires peuvent être mis en évidence expérimentalement en enduisant la paroi d’un marqueur (acénaphtène par exemple) : les tourbillons étant source de frottements impor-tants, le marqueur s’évapore, formant des « stries » correspondant à la position des tourbillons. Une évaporation plus étendue du marqueur indique la fin de la zone d’amplification linéaire.
Écoulement Réceptivité Croissance linéaire Interactions non-linéaires Saturation Transition
FIGURE1.9. – Visualisation d’instabilités de type crossflow stationnaire obtenue à l’Onera par
sublima-tion pariétale. (Paroi enduite d’acénaphtène.)
3. Des instabilités inflexionnelles existent en écoulement bidimensionnels (fort gradients de pression adverse en écoule-ment attaché ou en bulbes de décolleécoule-ment) mais ce ne sont pas des CF.
18 Chapitre 1. Couche limite, instabilités et transition Instabilités de type Görtler
Dans le cas de parois concaves, Görtler (1954) a mis en évidence l’existence de tourbillons longitudi-naux contra-rotatifs. Ce genre de paroi se rencontre sur des profils critiques dont l’extrados côté bord de fuite est presque plat pour étendre le régime de vol subcritique. Il est alors nécessaire de courber l’intrados sur la partie arrière afin d’augmenter la différence de pression de part et d’autre du profil et récupérer de la portance.
FIGURE1.10. – Schématisation « à main levée » d’un profil critique
Les lignes de courant étant courbes, la couche limite est soumise à un gradient de pression normal à la paroi et à des forces centrifuges. Le déséquilibre entre ces forces entraine la formation des tour-billons, appelés tourbillons de Görtler, représentés figure1.11a. Il existe un rayon de courbure critique pour lequel apparaissent les tourbillons de Görtler dans le cas des parois concaves. Les parois convexes ne peuvent pas présenter ce type d’instabilité.
(a) Schématisation des tourbillons (Saric, 2008)
(b) Visualisation des tourbillons (Mangalam et al.,1985) (Me=
0,05,ReC= 2,24 × 106)
FIGURE1.11. – Instabilités de Görtler
Ce genre de visualisation, basée comme pour les CF sur l’interaction d’un marqueur avec les tour-billons, est difficile à réaliser en présence de faibles taux de turbulence. Cette difficulté impose de déclencher la formation des tourbillons à l’aide d’une grille de turbulence ou en plaçant un fil chauffé le long de l’envergure.
1.2.3. Facteurs d’influence du déclenchement de la transition
On distinguera deux catégories de facteurs d’influence sur la transition : les facteurs ayant trait à l’écoulement de base et les facteurs influant directement sur les perturbations ou la réceptivité de la couche limite.
1.2. Route vers la turbulence : perturbations modales 19 Modification de l’écoulement moyen
Saric et al. (2011) mentionnent que dans le cas d’écoulement bidimensionnels, l’étude de l’équation d’Orr-Sommerfeld (détaillée plus loin) met en évidence que la courbure du profil de vitesse, d2U/dy2
est un paramètre clef de la stabilité du profil : le profil est stable quand il est négatif et d’autant plus stable que sa valeur absolue est grande proche de la paroi. Dans la mesure où dans notre cas l’écoule-ment de base est un écoulel’écoule-ment de couche limite, l’équation de quantité de mouvel’écoule-ment longitudinale de la couche limite compressible(1.22b) page 8(à laquelle on a les forces volumiques extérieures, im-plicitement négligées précédemment) écrite proche de la paroi donne
µ¡Tw¢ ∂ 2U ∂y2 = ∂P ∂x+ρU ∂U ∂x +ρVw ∂U
∂y − f avec f une force volumique extérieure (1.60) Les effets stabilisant sont donc liés à une diminution directe du membre de droite ou du membre de gauche. Les actions possibles sont donc :
Aspiration en paroi L’aspiration en paroi a un effet surVw, qui est alors négatif, ce qui a un effet
stabilisant sur la couche limite;
Gradient de pression Les gradients de pression négatifs (ou favorables, écoulement accéléré) se re-trouvent par exemple sur les bords d’attaque et stabilisent les TS.
Courbure Les parois concaves ont un effet déstabilisant car elles causent un gradient de pression adverse (positif). Un rayon de courbureRtrop important entraîne cependant la formation de tourbillons de Görtler. Une loi empirique pour déterminer ce rayon critique est
δ1
R > 1,3 × 10−4 (1.61)
Température de paroi la température a un effet direct surµ. Une loi couramment utilisée est la loi de Sutherland µ¡Tw¢=µsuth µ T w Tsuth ¶3/2T suth+Ssuth Tw+Ssuth (1.62)
avec pour l’air
µsuth = 1,716 × 10−5kgm−1s−1 Tsuth= 273,15K Ssuth= 110,4K (1.63)
qui montre que la viscosité diminue avec la température. Les parois froides ont donc un effet stabilisant, ce qui est le cas des écoulements à haute vitesse sur paroi athermane. Les parois chaudes ont au contraire un effet déstabilisant (c’est par exemple le cas au niveau de dispositifs de chauffage anti-givrage). Notons que ces remarques sont à inverser dans le cas d’écoulements hypersoniques ou dans l’eau;
Force volumique en fournissant une force volumique f au fluide (du bon signe), l’écoulement se stabilise. C’est le but des actionneurs à plasma par exemple.
On retrouve ces propriétés pour les écoulements tridimensionnels mais il faut noter que les CF sont déstabilisés par les gradients de pression favorables et stabilisés par les gradients de pression adverse, à l’inverse des TS.
Modification de la réceptivité
Turbulence extérieure L’augmentation de l’intensité de la turbulence extérieure diminue le nombre de Reynolds de transition, ce qui rapproche le point de transition du bord d’attaque. La turbu-lence extérieure se propage essentiellement le long des lignes de courant, à la vitesse de l’écou-lement. Elle est tridimensionnelle et couvre une large gamme de fréquences;
Bruit rayonné Le bruit est un mode irrotationnel de la perturbation extérieure, il peut être considéré comme monodimensionnel et être constitué d’une fréquence unique comme couvrir l’entièreté du spectre acoustique;
