Hydrodynamique, transfert de chaleur d'un écoulement tournant et stabilité MHD

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA

RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MENTOURI - CONSTANTINE FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR

DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

N° d’ordre : 154 / Mag /2005

Série : 005 / GM / 2005

MEMOIRE

Présenté pour obtenir le diplôme de Magister

en GENIE MECANIQUE

Hydrodynamique, Transfert de Chaleur

d’un Ecoulement Tournant et Stabilité MHD

OPTION

Energétique

PAR

BERRAHIL Farid

SOUTENUE LE : 03 / 07 / 2005 Devant le Jury :

Président : M. KADJA Prof. Univ. CONSTANTINE Rapporteur : R. BESSAIH M.C. Univ. CONSTANTINE Examinateurs : Z. NEMOUCHI Prof. Univ. CONSTANTINE

DEDICACES

A mes parents

A mes frères et sœurs

A ma femme

A toute ma famille

A mes amis

REMERCIEMENT

Je dois énormément aux conseils et à l’enseignement de mon encadreur Dr. Rachid BESSAIH, Maître de Conférences à l’Université Mentouri- Constantine. Ses réactions -souvent passionnées- aux stimuli de nouveaux résultats, ont été une formidable école de rigueur.

J’exprime ma gratitude à Prof. M. KADJA, Professeur à l’Université Mentouri- Constantine pour avoir accepté de présider le jury, et aussi d’avoir autoriser à faire des calculs au sein de son Laboratoire d’Energétique Appliquée et de Pollution (LEAP) .

Je veux exprimer mes remerciement aux membres de jury, Prof. Z. NEMOUCHI, Professeur à l’Université Mentouri- Constantine et Dr. A. BEGHIDJA, Maître de Conférences à l’Université Mentouri- Constantine pour m’avoir fait l’honneur de juger et mettre en valeur ce modeste travail.

Je veux ensuite remercier Prof. B. NECIB, en tant que directeur du Laboratoire de Mécanique, pour m’avoir accueilli et me donner l’occasion de travailler et exploiter le code commercial FLUENT 6.0.

Mes remerciements s’adressent aussi à tous les enseignants du département de Génie Mécanique de l’Université Mentouri - Constantine.

SOMMAIRE

Chapitre I : Introduction .………...…....….01 Chapitre II : Modèle mathématique .……..………...……..……...15 II.1 Introduction. ……….….…....15

II.2 Géométrie du problème.……….16

II.3 Hypothèses………...………..……19

II.4 Equations générales de transport……….……...21

II.4.1 Equation de continuité……….………...21

II.4.2 Equation de quantité de mouvement.………..…..21

II.4.3 Equation d’énergie.………..………22

II.5 Formulation des équations de transport en coordonnées cylindriques……...22

II.6 Adimentionnalisation………...23

II.6.1 Grandeurs caractéristiques et variables adimensionnelles…………...…..23

II.6.2 Equations adimensionnelles.……….………25

II.7 Conditions aux limites adimentionnnelles………..28

Chapitre III : Modélisation numérique.………..………...…29

III.1 Introduction....……….………...29

III.2 Equation générale de transport……….………..30

III.3 Maillage ....………...………...31

III.4.1 Application d’un schéma numérique quelconque……..………36

III.4.1.1 Application du schéma Power-Low …………...……...…….38

III.4.1.2 Application du schéma des différences centrées………...38

III.5 Les méthodes numériques……….………..………..43

III.5.1 Méthode itérative de résolution (Algorithme TDMA)…….……...43

III.5.2 Algorithme SIMPLER………...………48

III.6 Programme de simulation………..…...………...……….….50

III.6.1 Organigramme………..…………...………..……….50

III.7 La convergence……..……….……..………….52

Chapitre IV: Résultats et discussions……….53

IV.1 Effet du maillage………...54

IV.2 Validation du code………...…..56

IV.3 Convection mixte……….………... ……….….64

IV.3.1 Ecoulement sans transfert de chaleur (Gr=0)…..………..………….64

IV.3.2 Ecoulement avec transfert de chaleur (Gr#0).…..………..………....72

IV.3.2.1 Phénoménologie de l’écoulement………...72

IV.3.2.2 Nombre de Nusselt……….………....………....73

IV.4 Convection naturelle avec et sans champs magnétique…...………...…..79

IV.4.1 Début de l’instabilité et durée de calcul……….…….…88

IV.4.2 Phénoménologie de l’écoulement……….91

IV.4.3 Fréquences et énergies………..………...….93

Conclusion .……….……….…..…..116

INTRODUCTION

L’étude de l’écoulement crié par un fond tournant d’un cylindre a suscité un intérêt grandissant durant les dernières décennies. Cet intérêt est dicté par le rôle joué par telle configuration dans plusieurs domaines de l’industrie tel que les viscosimètres, les machines centrifuges, le pompage des métaux liquides à haut point de fusion, la production des cristaux par le procédé de tirage Czochralski, …etc.

Cette configuration a été étudiée expérimentalement et numériquement pendant plus de trente années. Les premières expériences par Vogel [1] (1968) et Ronnenberg [2] (1977) ont montré l’aspiration et le pompage d'Ekman, induits par ces couches sur le disque tournant, mène à la formation d'un noyau concentré sur le long de l'axe de symétrie.

Le travail original de Vogel [1] a été prolongé par Escudier [3] (1984), qui a effectué une étude expérimentale systématique. Il a établi la gamme d'existence du vortex en termes de deux paramètres de contrôle, à savoir le rapport d’aspect H R(H : hauteur du cylindre et R : son rayon) et le nombre de Reynolds Re. En particulier, il a prouvé que le vortex existe sur une gamme finie des nombres de Reynolds, c-à-d il apparaît au-dessus d'une certaine valeur du nombre Re et disparaît au-dessus d’une valeur plus grande. Les résultats d'Escudier [3] ont stimulé plusieurs investigations numériques et expérimentales. Peut-être la discussion la plus étendue des phénomènes sont données dans une série des travaux par Lopez et al. [4], [5], [6] (1990a, 1990b, 1992). Ces résultats sont largement en accord avec les observations d'Escudier [3]. Encore d'autres investigations numériques ont été effectuées par Tsitverblit [7] (1993), qui a employé des méthodes de suivie des particules pour prouver que les vortex n'apparaissent pas en critique à un point de bifurcation.

Dans des investigations plus récentes, le centre de l'attention s'est déplacé vers des variantes du problème original. Celles-ci incluent le transfert de chaleur comme les travaux de Lugt et Abboud [8] (1987), qui ont inclus les effets des gradients thermiques ; et la contre et la co-rotation des deux extrémités du cylindre par Jahnke et Valentine [9] (1996), Gelfgat et al. [10] (1996) et Hyun [11] (1985), écoulement avec une surface libre par Spohn et al. [12] (1993) et la rotation symétrique des extrémités par Valentine et Jahnke [13] (1994). La contre-rotation et la Co-rotation des extrémités ont été trouvé qu’elles suppriment ou augmentent respectivement le vortex.

Hyun [11] (1985) a étudié numériquement l’écoulement tournant dans un récipient cylindrique avec des disques de dessus et de bas tournant à différents taux (η =Ω₁ Ω₂ , où Ω₁ et Ω₂ sont les vitesses de rotation du disque haut et bas, respectivement). La paroi latérale du cylindre tourne à un taux intermédiaire à ceux des deux disques. A l’équilibre, la circulation méridionale intérieure dominante se déplace du disque tournant lentement vers disque tournant rapidement.

Sorensen et Phuoc Loc [14] (1989) ont étudié numériquement le même problème, en utilisant un algorithme d'ordre élevé pour la solution des équations de Navier stokes instables et axisymétriques. La méthode utilisée est celle des différences finies, se compose d'une combinaison de quatrième ordre pour les vitesses et les fonctions de courant et d'arrangements précis de second ordre pour la circulation et la vorticité, où les équations rapprochées sont résolues par une méthode implicite alternative de direction (ADI). Une particulière attention est prêtée aux conditions de frontière. Les résultats sont comparés aux mesures pour les cas de l'écoulement tournant dans un cylindre fermé (cavité), développant l'écoulement axial dans un tube stationnaire et dans un tube tournant.

Lopez et Perry [6] (1992) ont employé la théorie dynamique non-linéaire pour décrire la cinématique de l'écoulement pour un rapport d’aspect H R= 2.5. Ils ont trouvé deux modes distincts d'oscillation, le régime instable et l'advection chaotique provoquée par les oscillations. Les résultats de cette étude sont employés pour décrire les processus remplissant et vidant les bulles du vortex Break-down (éclatement tourbillonnaire) observées dans des expériences de visualisation d'écoulement.

Sorensen et Christensen [15] (1994) ont présenté des simulations numériques d'un écoulement dans un cylindre fermé, où le mouvement est créé par un couvercle tournant. Ils ont clarifié les mécanismes de transition du vortex pour une gamme du nombre de Reynolds (Re=1800 jusqu’à 8000), et ont relié ces derniers aux expériences connues dans des autres systèmes ou la théorie dynamiques de bifurcation est appliquée.

Gelfgat et al. [10] (1996) ont présenté une recherche numérique sur les états d'équilibres, le début de l'instabilité oscillante, et les états oscillants légèrement supercritiques d'un écoulement tourbillonnaire axisymétrique d'un fluide incompressible Newtonien dans un cylindre, avec le dessus et le bas indépendamment tournants. Ils ont consacré la première partie de leur étude à l'influence de la Co. et à la contre-rotation du fond sur le vortex Break-down, qui a lieu dans le problème bien connu de l'écoulement dans un cylindre avec un dessus tournant. Ils ont montré que la contre-rotation faible du fond peut supprimer le vortex. Une contre-rotation plus forte peut induire un vortex régulier stable aux nombres relativement grands de Reynolds pour lesquels un vortex n'apparaît pas dans le cas du fond stationnaire. La co-rotation faible peut favoriser le vortex aux nombres inférieurs de Reynolds que dans le cylindre avec le fond stationnaire. Une co-rotation plus forte mène au détachement de la zone de recyclage à partir de l'axe et à la formation d'un anneau additionnel de vortex. La deuxième partie de l'étude est consacrée à la recherche sur le début de l'instabilité oscillante de l’écoulement. Ils ont montré que l'instabilité oscillante est une bifurcation de Hopf. Le nombre de Reynolds critique et la fréquence critique des oscillations ont été calculés en fonction du rapport (ξ =ΩBas ΩHaut ), pour une valeur fixe du

rapport d’aspect du cylindre H R=1.5. L'analyse de stabilité a prouvé qu'il y a plusieurs modes linéaires les plus instables, dont la perturbation va devenir successivement dominant avec un changement continue, et ils ont montré aussi que l'instabilité oscillante peut mener à l’existence de plus d'une bulle du vortex.

Spohn et al. [16] (1998) ont étudié expérimentalement l'écoulement équilibré produit par un fond tournant dans un récipient cylindrique fermé. Ils ont consacré leurs études à la comparaison de l'écoulement à l'intérieur de deux géométries, un avec une couverture rigide et l'autre avec une surface libre, et ils ont examiné la manière dont la formation et la structure des bulles du vortex Break-down dépendent de l'écoulement. Des détails de l'écoulement ont été visualisés au moyen de la technique électrolytique de précipitation, tandis qu'une technique de cheminement de particules a été employée pour caractériser le champ d'écoulement. Ils ont constaté que les bulles du vortex à l'intérieur de l'acheminement des récipients sont de beaucoup

rotatif Disque cylindre du paroi la sur fixé soudure de Fil

de manières semblables à ceux dans des tubes. D'abord, les bulles sont ouvertes et en second lieu, leur structure est, comme dans le cas du vortex de Break-down dans des écoulements dans les conduites, fortement axisymétrique du côté ascendant de la bulle et asymétrique de leur dos. Cependant, ils ont observé les bulles qui sont ouvertes et stationnaires en même temps. Ceci montre que les bulles ouvertes du vortex ne sont pas nécessairement le résultat des oscillations périodiques de la zone de recyclage. L'asymétrie de la structure d'écoulement s'avère pour être liée à l'existence des séparations asymétriques d'écoulement sur la paroi de récipient. Si la vitesse angulaire du fond tournant est augmentée, l'évolution des bulles est différente dans les deux configurations: dans le cas rigide de couverture les bulles disparaissent mais persistent dans le cas extérieur libre (Fig.I.1).

Figure (I.1) Schéma de l’installation [16].

Morten Bron et al. [17] (1999) ont utilisé une combinaison de la théorie de bifurcation pour les systèmes dynamiques bidimensionnels et la simulation numérique. Ils ont déterminé systématiquement les topologies possibles d'écoulement du vortex régulier dans l'écoulement axisymétrique dans un récipient cylindrique avec la rotation d’extrémité. Ils ont trouvé pour des

Fil de soudure intégré dans le couvercle

Couvercle mobile Tube fluorescent d'injection de colorant

des bifurcations pour le recyclage des bulles sous la variation de l'allongement du cylindre et du nombre de Reynolds. Ils ont déterminé des courbes de bifurcation par un procédé convenable simple des données à partir des simulations. Pour le cas du rapport zéro de rotation (un couvercle fixe), un diagramme complet de bifurcation est construit. Ils ont obtenue une très bonne concordance avec des résultats expérimentaux et pour des rapports différents de zéro de rotation, les diagrammes de bifurcation s'avèrent pour changer nettement et pour provoquer d'autres types de bifurcations.

Stenvens et al. [18] (1999) ont présenté une étude expérimentale et numérique combinée sur les états multiples d’oscillations qui existent dans les écoulements produits dans un cylindre circulaire rempli complètement, conduit par la rotation d'un de ses couvercles. L'écoulement dans un cylindre avec un rapport d’aspect 2.5 est étudié expérimentalement en utilisant la visualisation d'écoulement et les images digitalisées pour extraire l'information temporelle quantitative. Des solutions numériques des équations axisymétriques de Navier Stokes, en utilisant la méthode des différences finies ont été employé pour étudier le même écoulement sur une gamme des nombres de Reynolds (2700 < Re < 4400), où ils ont observé que l'écoulement est axisymétrique, et ils ont identifié trois états oscillants, deux d'entre eux sont périodiques et le troisième est quasi-périodique avec une fréquence de modulation beaucoup plus petite que la fréquence basse. La gamme de Reynolds est numérotée pour ce que l'écoulement quasi-périodique existe entre les deux états quasi-périodiques. Les résultats de l'étude expérimentale et numérique combinée conviennent qualitativement et quantitativement, fournissant l'évidence non ambigu de l'existence et de la robustesse de ces états dépendant du temps multiples (Fig.I.2).

Sotiropoulos et al. [19] (2001) ont étudié le mouvement des particules non diffusives et passives dans les bulles régulières du vortex Break-down dans un récipient cylindrique fermé avec un fond tournant. Les champs de vitesse sont obtenus en résolvant numériquement les équations de Navier stokes tridimensionnelles. Ils ont clarifié le rapport entre la structure diverse des bulles (idéales) axisymétrique du vortex Break-down et ceux des champs réels tridimensionnels d’écoulement, ce qui montrent les chemins chaotiques de particules.

Gelfgat et al. [20] (2001) ont analysé l'instabilité tridimensionnelle de l'écoulement axisymétrique entre un couvercle tournant et l’autre fixe d’un cylindre. L'écoulement est régi par deux paramètres, à savoir le nombre de Reynolds Re et l'allongement A. Ils ont consacré leurs analyses actuelles à la stabilité linéaire de l'écoulement axisymétrique de base et les perturbations non-axisymétriques. Les calculs sont faits en utilisant la méthode globale de Galerkin. L'analyse de stabilité est effectuée à diverses valeurs de A distribuées dans la gamme (1 < A < 3.5). Ils ont montré que les perturbations axisymétriques sont dominantes dans la gamme (1.63 < A < 2.76). En dehors de cette gamme, pour A < 1.63 et pour A > 2.76, l'instabilité est tridimensionnelle.

Iwatsu [21] (2004) a étudié numériquement l'effet d’un gradient stable de température sur un écoulement axisymétrique tourbillonnant confiné dans un récipient cylindrique pour des paramètres régissant Re et Ri (Ri = Gr Re2 , Ri est le nombre de Richardson) aux valeurs fixes de Pr =1 et A =1 (A = H/R). Les résultats intéressants sont pour les valeurs intermédiaires de Ri, c-à-d dans l’ordre O(10-1), la circulation méridienne est concentrée dans la partie radialement externe du cylindre (R > 0,5) et l'écoulement se produise sur la frontière inférieure. Plusieurs modèles d'écoulement sont développés selon les valeurs de Ri et Re.

Okulov et al. [22] (2005) ont étudié la création des zones de recirculation dans un écoulement régulier et visqueux dans une cavité cylindrique avec le dessus et le fond Co-tournant. Ils ont étudié les régimes de l’écoulement en changeant le nombre de Reynolds et l'allongement du cylindre. Ils ont observé que la topologie des structures du vortex est associée à un changement de la symétrie hélicoïdale des lignes. Les calculs prouvent que les changements de symétrie interviennent à augmenter des nombres de Reynolds et que l'inversion d'écoulement sur l'axe central est associée à une croissance du paramètre de torsion des lignes de vortex. Ils ont constaté pour tous les cas étudiés d'écoulement, indépendant de l’allongement et du nombre de Reynolds, que le paramètre de torsion du vortex central atteint une valeur seuil de 0.6 au point

Figure (I.3). Schématisation de la Géométrie étudié [22].

L’objectif de la première partie consiste à étudier la convection mixte dans une cavité cylindrique, remplie complètement d’eau (voir Fig.II.1), en examinant l’effet d’un gradient axial de température sur la structure d’écoulement. Dans cette partie, la paroi inférieure du cylindre est en rotation.

Dans des différentes situations physiques et applications technologiques, la convection naturelle joue un rôle important puisqu’elle peut être l’origine des écoulements de fluides et des échanges de chaleur et ou de masse. L’étude d’un tel phénomène, dont l’importance est dictée par le rôle qu’il joue dans divers secteurs industriels, a conduit à une imposante bibliographie spécialisée qui s’est accumulée au fur des années. La littérature montre que la cavité cylindrique est un exemple de configuration extensivement étudié. Les travaux s’y rattachent sont en fait si nombreux et variés qu’il devient impensable de les citer tous. De plus, malgré cette abondance apparente, le problème reste loin d’être épuisé. La poursuite de la recherche se rapportant au cas de la cavité cylindrique apporte souvent des renseignements précieux et montre que les connaissances déjà acquises restent loin d’être suffisantes pour prédire correctement l’état de l’écoulement de fluide et le transfert de chaleur dans telles configurations. Aussi, la recherche actuelle témoigne-t-elle de la carence relative des études se rapportant aux fluides à faible nombre de Prandtl (exemple des métaux liquides), dont la présence couvre divers secteurs industriels (industries microélectroniques, ……..)

Ces dernières années il y a eu un intérêt croissant en améliorant la qualité exigée par l'industrie du cristal des semi-conducteurs. La performance des dispositifs électroniques dépend souvent de l’homogénéité compositionnelle des substrats sur lesquels ils sont fabriqués.

Il a été bien connu pendant environ vingt années que le mouvement de la convection thermique dans le bain fondu joue un rôle important, en déterminant le transfert de chaleur et de masse pendant les processus de solidification (Müller [23] (1988)). Par conséquent, une compréhension détaillée de l’écoulement du fluide dans des configurations de croissance en cristal est devenue importante.

La convection naturelle d’un métal liquide dans un cylindre auquel un champ magnétique est appliqué surgis dans les procédés de croissance en cristal dans l'industrie des semi-conducteurs. En général, l’homogénéité et la qualité des cristaux simples développés dans le bain de semi-conducteur est d'intérêt immense pour les fabricants des composants électroniques (Hurle [24] 1993). Dans le processus de croissance, le gradient de la température entre la phase liquide et le front de solidification cause une complexité variable. Des écoulements oscillants sont connus pour causer des couches réunies non désirées de concentration de dopant, appelées les striations, dans le cristal comme découvert par Müller et Wiehelm [25] (1964), Hurle [26] (1966) et Utech et al. [27] (1966), qui ont prouvé qu'on peut éliminer des striations par l'application d'un champ magnétique. Les écoulements de convection peuvent également causer des inhomogénéités dans la distribution de dopant à un niveau macroscopique. Ceux-ci se nomment ségrégation axiale s'ils se produisent le long de l'axe de croissance et de la ségrégation radiale s'ils sont dans une perpendiculaire à cet axe (Garandet et Alboussiere [28] 1999). La ségrégation radiale peut être supprimée si le cristal est développé dans des conditions purement diffusives, c-à-d en absence du mouvement de convection, comme discuté par Garandet et Alboussiere [28] (1999). Par conséquent, afin d'obtenir des cristaux de très grande pureté il est souhaitable d'éliminer la convection pendant le processus de croissance (Bessaih et al. [29] (1999) et Bessaih

[30]

)

La voie unique pour supprimer la convection est d’accroître les cristaux dans la micropesanteur et réduire de ce fait les effets de flottabilité mais ceci peut être prohibitivement cher. Une méthode alternative est d'atténuer la convection, en accroissant les cristaux en présence d'un champ magnétique (Garandet et Alboussiere [28] (1999) ; Série et Hurle [31] (1991)). Le mouvement de convection dans le bain du métal semi-conducteur dans un champ magnétique

l'écoulement. La quantité d'atténuation sur la circulation de la convection dépendra de la force du champ magnétique appliqué aussi bien que son orientation.

Crespo et Bontoux [32] (1989) ont simulé les écoulements stationnaires tridimensionnels par la technique de différence finie dans un cylindre chauffé de dessous avec un rapport d’aspect A = 4. L’asymétrie de base (m=0 ; m est le mode propre) et les modes (m=1 et 2) asymétriques sont identifiés dans les solutions. Ils ont évalué les modes de l'écoulement supercritique par les nombres de Rayleigh (Ra=10×Racr au nombre Pr=6.7 et Ra=2.5×Racr au nombre Pr=0.02). Ils

ont constaté qu’au faible nombre de Rayleigh, l'écoulement de noyau montre la caractéristique du mode m=1 dominant. Aux nombres élevés de Rayleigh, les vortex secondaires correspondant au mode m=0 apparaissent et se développent différemment à propos de la taille et la grandeur pour les deux nombres de Prandtl.

Gelfgat et al. [33] (1993) ont étudié expérimentalement l’écoulement d’un métal liquide induit par un champ magnétique tournant dans un récipient cylindrique confiné. Ils ont démontré que l’écoulement dans un champ magnétique tournant est semblable aux écoulements géophysiques, ou le fluide tourne uniformément avec la profondeur dont la couche d'Ekman existe. Près de la paroi verticale, l'écoulement est présenté sous forme d’un jet confiné dont l’épaisseur détermine le début d'instabilité dans un champ magnétique tournant. Ils ont étudié aussi l'effet de la fréquence du champ magnétique sur le flux de fluide. Un modèle théorique approximatif est présenté pour décrire le flux de fluide dans un domaine tournant uniforme (Fig.I.4).

Gelfgat et Tanasawa [34] (1994) ont appliqué la méthode spectrale de Galerkin avec des fonctions de base pour l'analyse de l'instabilité oscillante des écoulements convecteurs dans une cavité rectangulaire (A = 4) latéralement chauffée. Ils ont présenté les modèles des perturbations les plus instables de la fonction de courant et de la température. La comparaison avec d'autres investigations numériques prouve que la méthode de Galerkin avec les fonctions de base libres divergentes, qui satisfont toutes les conditions de frontière, a besoin de moins de modes que d'autres méthodes utilisant la discrétisation de la région d'écoulement.

Ben Hadid et Henry [35] (1996) ont effectué une recherche numérique pour des écoulements tridimensionnels du mercure dans une cavité cylindrique d'allongement égal à 4, avec différentes orientations du champ magnétique. Ils trouvent la bonne concordance avec les évaluations analytiques de Garandet et al. [36] (1992) et Alboussiere, Garandet et Moreau [37],[38] (1993, 1996) pour l'atténuation des champs de vitesse.

Ben Hadid et Henry [39] (1997) ont prolongé leur étude à une géométrie rectangulaire, ou ils incluent des effets de la surface libre. Des changements intéressants de la structure d'écoulement sont rapportés et ceux-ci semblent être liés étroitement à la distribution des courants induits et de leur interaction avec le champ magnétique appliqué.

Gelfgat et al. [40] (1997) ont présenté une étude numérique sur l'instabilité oscillante des écoulements en cavités rectangulaires latéralement chauffées. Ils ont étudié la dépendance du nombre Grashof critique (Gr ) et la fréquence critique (_cr F ) des oscillations sur l'allongement _cr de la cavité (A). Ils ont obtenue les diagrammes de stabilité pour l'intervalle entier de l'allongement 1 < A < 10. L'étude a été effectuée pour deux valeurs du nombre de Prandtl (Pr =0 et 0.015). Ils ont constaté que l'instabilité est provoquée par différentes perturbations dominantes infiniment petites, qui signifie que le transfert de chaleur convectif affecte fortement la stabilité de l'écoulement même pour des cas à faible nombre de Prandtl. Aucun comportement asymptotique pour de grands allongements n'a été trouvé jusqu'à A=10. Des écoulements oscillants légèrement supercritiques ont été rapprochés asymptotiquement au moyen de l'analyse faiblement non-linéaire de la bifurcation calculée.

Gelfgat et al. [41] (1999) ont fait une étude paramétrique des états d'équilibres multiples, de leurs stabilités, du début de l'instabilité oscillante, et de quelques régimes instables

étude complète de stabilité est réalisée pour l'allongement A de la cavité variant de 1 à 11 et pour deux valeurs fixées du nombre de Prandtl (Pr = 0 et 0.015). Ils ont effectué aussi une étude additionnelle de stabilité pour une meilleure comparaison avec les données expérimentales existantes, pour un nombre de Prandtl (0.015 ≤ Pr ≤ 0.03) et une valeur fixe de l'allongement

4 =

A . Ils ont montré que la dépendance du nombre critique de Grashof à l’égard de l'allongement et du nombre de Prandtl est très compliquée et une étude paramétrique très détaillée est exigée pour la reproduire correctement. La comparaison avec les données expérimentales disponibles pour A = 4 prouve que les résultats d'une analyse bidimensionnelle de stabilité sont en bon accord avec les résultats expérimentaux si le rapport de largeur (largeur/hauteur) du récipient est suffisamment grand. L'étude est effectuée numériquement avec l'utilisation de deux approches numériques indépendantes, basées sur les méthodes globales de Galerkin et des volumes finis.

Gelfgat et al. [42] (2000) ont présenté une étude numérique de l'instabilité tridimensionnelle d'un écoulement axisymétrique associée à la croissance du cristal. Leur objectif principal est le calcul des paramètres critiques correspondant a une transition de l'asymétrie régulier au modèle non-axisymétrique tridimensionnel d'écoulement. Ils ont effectué une étude paramétrique de la dépendance du nombre critique Gr_crà l’égard le nombre de Prandtl 0 < Pr < 0.05 (caractéristique des semi-conducteurs) et l'allongement du cylindre 1 < A < 4. La dépendance forte du nombre critique de Grashof et la périodicité azimutale de l'écoulement tridimensionnel résultant indiquent l'importance d'une analyse paramétrique complète de stabilité dans différentes configurations de croissance en cristal. En particulier, ils ont montré que la première instabilité de l'écoulement considéré est toujours tridimensionnelle.

Gelfgat et al. [43] (2001) ont fait une étude de l'effet d'un champ magnétique extérieurement imposé sur l'instabilité d'un écoulement axisymétrique de convection naturelle, associée à la croissance du volume d’un cristal fondu. Ils ont considéré la convection dans un cylindre vertical avec un profil de température parabolique sur la paroi latérale comme modèle représentatif. Ils ont effectué une étude paramétrique de la dépendance du nombre critique de Grashof GrCrà l’égard du nombre de Hartmann Ha pour des valeurs fixes du nombre de Prandtl

(Pr =0.015) et de l'allongement du cylindre (A =1, 2 et 3). Ils ont obtenu le diagramme Gr_Cr

( )

Ha de stabilité correspondant à la transition tridimensionnelle axisymétrique pour des valeurs croissantes du champ magnétique axial. Ils ont montré qu'aux valeurs relativement petites deHa, l'écoulement axisymétrique tend à être instable oscillant et si l’intensité du champ magnétique

Rayleigh-Bénard commute à une bifurcation régulière. Ainsi pour la configuration la plus petite, la stabilisation est considérablement plus forte que dans la plus grande (Fig.I.5).

Figure (I.5). La variation du nombre de Grashof critique GrCr en fonction du nombre de Hartmann Ha [43].

Gelfgat et al. [44] (2001) ont consacrée leur étude au problème du début de l'instabilité oscillante dans l'écoulement d'un fluide semi-conducteur sous un champ magnétique uniforme extérieurement imposé et indépendant du temps. Ils ont considéré des valeurs fixes de l'allongement A = 4 et du nombre de Prandtl Pr = 0.015, qui sont associées au processus de croissance en cristal de la configuration horizontale de Bridgman. Ils ont étudié l'effet d'un champ magnétique uniforme avec différentes grandeurs et orientations sur la stabilité des écoulements d'état d'équilibre (avec une cellule ou un modèle de deux cellules). Les diagrammes de stabilité présentés montrant la dépendance du nombre critique de Grashof à légard du nombre de Hartmann. Ils ont montré qu'un champ magnétique vertical fournit l'effet de stabilisation le plus fort, et que la multiplicité d'états d'équilibres est supprimée par l'effet électromagnétique, de sorte qu'à un certain niveau de champ seulement les écoulements unicellulaires demeurent stables. Une analyse des perturbations d'écoulement les plus dangereuses prouve que, en commençant par une certaine valeur du nombre de Hartmann, des écoulements unicellulaires sont déstabilisés à l'intérieur des couches de frontière minces de Hartmann. Ceci peut mener à la déstabilisation de l'écoulement avec une augmentation de la grandeur du champ (Fig.I.6).

Figure (I.6) : La géométrie et les conditions aux limites utilisées [44].

Wakitani [45] (2001) a présenté des investigations numériques pour la convection naturelle tridimensionnelle aux faibles nombres de Prandtl (0 à 0.027) dans des enceintes rectangulaires avec les parois verticales différentiellement chauffées. Des calculs sont effectués pour des allongements des enceintes 2 et 4, et les rapports de largeur s'étendant de 0.5 à 4.2 (Fig.I.7)

Figure (I.7): La géométrie de l’enceinte et les coordonnées du système [45].

Leong [46] (2002) a présenté une étude numérique de la convection tridimensionnelle de Rayleigh-Bénard dans un cylindre vertical. Les équations de transport d'énergie et de vorticité sont résolues en utilisant la méthode ADI. Des solutions sont présentées pour des allongements de 2 et 4, un nombre de Prandtl Pr = 7, et le nombre de Rayleigh 12 ≤ Ra ≤ 37500. Un état conducteur (aucun mouvement) existe quand Ra ≤ RaCr= 1860. Pour le RaCr > Ra, il y a quatre

types principaux de structures d'écoulement, ce sont les roulants concentriques, radiaux, parallèles. Il a constaté que le nombre de Nusselt dépend sur la structure d'écoulement.

Notre deuxième objectif est de déterminer les nombres de Grashof critiques (Gr_Cr ) associés aux nombres de Hartmann et de voir l’effet du champ magnétique sur la stabilité hydrodynamique et thermique.

Le mémoire est divisé en quatre chapitres. Dans le premier chapitre, nous avons présenté une recherche bibliographique de l’écoulement tournants et l’écoulement MHD sur les différentes études réalisées dans ce sens pour des configurations variées.

Dans le second chapitre, nous détaillons le modèle mathématique et la géométrie utilisée.

Dans le troisième chapitre, nous exposons la solution numérique, à savoir, le maillage, les équations de discrétisation des équations qui gouvernent notre problème et la méthode numérique utilisée.

Dans le denier chapitre, en premier lieu, nous validons notre code de calcul et nous discutons et interprétons les résultats obtenus.

CHAPITRE II

MODELE MATHEMATIQUE

II.1 Introduction :

La convection est un mode de transport d’énergie par l’action combinée de la conduction, de l’accumulation de l’énergie et du mouvement du milieu. La convection est le mécanisme le plus important de transfert d’énergie entre une surface solide et un liquide ou un gaz. Le transfert d’énergie par convection d’une surface dont la température est supérieure à celle du fluide qui l’entoure s’effectue en plusieurs étapes. D’abord la chaleur s’écoule par conduction de la surface aux molécules du fluide adjacentes. L’énergie ainsi transmise sert à augmenter la température et l’énergie interne de ces molécules du fluide. Ensuite, les molécules vont se mélanger avec d’autres molécules situées dans une région à basse température et transférer une partie de leur énergie. Dans ce cas, l’écoulement transporte le fluide et l’énergie. L’énergie est, à présent, emmagasinée dans les molécules du fluide et elle est transportée sous l’effet de leur mouvement.

La transmission de chaleur par convection est désignée, selon le mode d’écoulement du fluide, par convection libre, convection forcée et par la combinaison des deux (convection mixte).

• Convection naturelle :

Le fluide est mis en mouvement sous le seul effet des différences de masse volumique résultantes des différences de températures sur les frontières et d’un champ de forces extérieures (la pesanteur).

• Convection forcée :

Le mouvement du fluide est induit par une cause indépendante des différences de température (pompe, ventilateur, …..)

• Convection mixte :

La convection mixte est un régime d’échange dans lequel les phénomènes de convection forcée coexistent avec ceux de convection libre.

II.2 Géométrie du problème :

La géométrie considérée est schématisée sur la figure (II.1). Il s’agit d’une enceinte cylindrique remplie complètement d’eau (Pr=7), ayant une hauteur H et un rayon r (avec un c

rapport d’aspect H/r_c =2 ) . Le cylindre contient deux disques aux extrémités, dont le font est en rotation avec une vitesse angulaire Ω constante et maintenu à la température T_H , et l’autre est fixe et maintenu à la température T_C

(

T_{C p}T_H

)

. Les parois latérales du cylindre sont supposées adiabatiques.

Dans la deuxième configuration (Fig.II.2), le disque du fond est fixé et l’écoulement d’un métal liquide (à faible nombre de Prandtl, Pr=0.015) est soumis à un champ magnétique extérieur d’intensitéB , orienté verticalement.

r

e adiabatiqu latérale Paroi

(

Vitessederotation

)

Figure (II.1) : Géométrie et conditions aux limites du premier problème, où H est la hauteur du cylindre et r son rayon. Dans ce cas _c

(

T_{C p}T_H

)

.

c

r

H

C

T

H

T

0

=

∂

∂

r

T

Ω

z

froid fixe Disque chaud tournant Disque calcul de Domaine

r

e adiabatiqu latérale Paroi

(

Champmagnétique

)

Figure (II.2) : Géométrie et conditions aux limites du deuxième problème. Les points P1 (25,10), P2 (25,50), P3 (25,80), P4 (12,50), P5 (38,50) sont les sondes de détection des instabilités

hydrodynamique et thermique. Dans ce cas aussi, H est la hauteur du cylindre et r son rayon et _c

(

T_{C p}T_H

)

avec :

P1 (25,10) correspond à RP = 0.450 , ZP = 0.049 P2 (25,50) correspond à RP = 0.450 , ZP = 0.923 P3 (25,80) correspond à RP = 0.450 , ZP = 1.822 P4 (12,50) correspond à RP = 0.140 , ZP = 0.922 P5 (38,50) correspond à RP = 0.804 , ZP = 0.922

B

C

T

H

T

0

=

∂

∂

r

T

H

c

r

z

froid Disque chaud Disque calcul de Domaine 1 P 2 P 4 P 3 P 5 P

II.3 Hypothèses :

● Convection mixte :

Pour la modélisation du problème physique décrit dans la figure (II.1), nous adopterons les hypothèses simplificatrices suivantes :

1. Ecoulement laminaire et axisymétrique avec swirl.

2. Les propriétés physiques du fluide (ρ,ν,Cp et K ) sont supposées constantes.

3. La dissipation visqueuse est négligeable (Φ=0), et pas de source de chaleur (

q

&

=

0

). 4. L’approximation de Boussinesq est valide, celle-ci consiste à considérer les variations de

masse volumique sont négligeables au niveau de tous les termes des équations de quantité de mouvement (ρ =ρ₀), sauf au niveau du terme de gravité. La variation de la masse volumiqueρ en fonction de la température est donnée par (Bejan [47]):

ρ =ρ0

(

1−β

(

T−T0

)

)

(II.1)

ρ0 : la masse volumique du fluide à la température de référence T . 0

β : le coefficient d’expansion à pression constante.

● Convection naturelle avec et sans champs magnétique

Dans le cas de l’application du champ magnétique verticale sur l’écoulement (Fig.II.2), on ajoute les définitions suivantes à propos du courant électrique rj et les forces électromagnétiquesFr_EM dans les équations de quantité de mouvement :

L’équation du courant électrique rj est obtenue par l’application de la loi d’Ohm :

où j r

: le vecteur de densité de courant . Vr : le vecteur de vitesse (Vr =Uer_r +Ver_z).

Br : le vecteur du champ magnétique. σ : la conductivité électrique du fluide.

ϕ : le potentiel électrique.

D’autre part, la densité de courant électrique rj est une grandeur conservative ce qui permet d’écrire :

∇ j.r =0 (II.3)

Dans les équations de quantité de mouvement,

F

_EMr

,

F

_EMZ représentent respectivement les composantes de la force de Lorentz FEM

r

suivant la direction r et Z. Celles-ci sont déduites de l’équation : FEM j B r r r × = (II.4)

Par ailleurs les frontières sont électriquement isolantes, donc le potentiel électrique ϕ est constant, ce qui permet finalement d’écrire les expressions de rj et FEM

r par : rj=σ

[ ]

Vr×Br (II.5) FEM

[ ]

V B B r r r r ₌

_σ

_{× ×} (II.6)

1. L’effet joule est négligeable.

2. Le champs magnétique induit est négligeable parce que le nombre de Reynolds magnétique qui est défini par :

Rm =µ0σ u rC pp (II.7) 1

II.4 Equations générales de transport :

Le système d’équation qui gouverne les phénomènes de la convection mixte et la convection naturelle avec et sans champs magnétique est le suivant:

II.4.1 Equation de continuité :

Elle déduite du principe de conservation de masse et s’exprime mathématiquement sous forme tensorielle comme suit :

(

)

= 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ j j u x t ρ ρ (II.8) ( j = 1~3, indice de sommation).

Pour un fluide Newtonien incompressible (ρ = constante), l’équation (II.8) se réduit à :

= 0 ∂ ∂ j j x u (II.9)

II.4.2 Equations de quantité de mouvement :

Elles sont obtenues par l’application de la deuxième loi de la dynamique à une particule de fluide passant à travers un volume de contrôle infinitésimal. Elles s’écrivent sous forme tensorielle comme suit :

(

)

(

)

                ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ i j j i j i i i j j i x u x u x x p F u x u u t ρ ρ µ (II.10) (j = 1~3, indice libre). où :

ρ : La masse volumique du fluide. µ : La viscosité dynamique du fluide. F_i : Les forces de volume.

Cette équation (II.10) représente la conservation de quantité de mouvement (équation de Navier-Sokes) d’un fluide visqueux, incompressible pour un régime laminaire instationnaire.

II.4.3 Equation d’énergie :

Elle est obtenue par l’application du premier principe de la thermodynamique. Cette équation pour un fluide Newtonien incompressible, s’écrit sous la forme suivante:

( )

2 ₂ j j j x T T u x t T ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ _α (II.11) où : p C K ρ α = α : La diffusivité thermique. K : La conductivité thermique.

C_P : La chaleur spécifique à pression constante.

II.5 Formulation des équations de transport en coordonnées cylindriques :

Les équations générales (sauf l’équation de quantité de mouvement suivant θ ) gouvernant l’écoulement et le transfert de chaleur pour les deux cas étudiés sont :

• Equation de continuité :

1

( )

=

0

∂

∂

+

∂

∂

z

v

u

r

r

r

(II.12)

• Equation de quantité de mouvement suivant

r

:

( )

( )

fEMr r u z u r u r r r r p r w u v z u r r r t u ₊       − ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − =       − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 1 _µ ρ ρ (II.13)

(

)

( )

g

(

T TC

)

fEMz z v r v r r r z p v z v u r r r t v _{+ − +}       ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − =       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ _{ρ µ ρ β} ρ 1 2 1 2₂ (II.14)

• Equation de quantité de mouvement suivant θ :

(

)

( )

_      − ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ =       + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 1 1 r w z w r w r r r r w u w v z w u r r r t w _{ρ µ} ρ (II.15) • Equation d’énergie :

(

)

( )

_      ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 1 1 z T r T r r r T v z T u r r r t T _α (II.16) où w v

u ,, représentent respectivement les composantes de la vitesse radiale, axiale et azimutale selon les directions (r,z,θ).

g est l’accélération de la pesanteur.

II.6 Adimensionnalisation

L’emploie de la variable adimensionnelle permet d’exprimer la réalité des phénomènes physiques indépendamment des systèmes de mesures, pour permettre d’avoir des informations généralisées à une variété des problèmes ayant les mêmes grandeurs de coefficient de similitudes d’un coté, et d’un autre coté, réduire le nombre de paramètres d’un problème. En effet, pour faire apparaître les paramètres de contrôle du problème étudié, il est nécessaire d’introduire les grandeurs de référence.

II.6.1 Grandeurs caractéristiques et variables adimensionnelles

On définit les grandeurs caractéristiques introduites dans nos équations du modèle mathématique comme suit :

● Convection mixte : Ω 1 _{: Temps caractéristique [s].} c r : Rayon caractéristique [m]. c r . Ω : Vitesse caractéristique [m. s-1 ].

(

)

2 .r_c Ω ρ : Pression caractéristique [N. m-2]. C H T T − : Température caractéristique [K].

Les variables adimensionnelles sont :

( )

Ω = 1t τ c r r R= / ; Z = z/rc

(

rc

)

u U = / Ω. ; V =v/

(

Ω.r_c

)

; W =w/

(

Ω.r_c

)

(

)

2 . / r_c p P= ρ Ω C H C T T T T − − = θ

● Convection naturelle avec et sans champs magnétique

ν 2 c r : Temps caractéristique [s]. c r : Rayon caractéristique [m]. c r ν : Vitesse caractéristique [m. s-1].

(

)

2 c r ν ρ : Pression caractéristique [N. m-2]. C H T T − : Température caractéristique [K].

Les variables adimensionnelles sont : t ν

c r r R= / ; Z = z/rc       = c r u U / ν ; _      = c r v V / ν 2 / _      = C r p P ρ ν C H C T T T T − − = θ

II.6.2 Equations adimensionnelles

Les équations générales adimentionnelles de continuité, de quantités de mouvement, et d’énergie qui gouvernent les deux configurations (cas de la convection mixte et naturelle) s’écrivent alors : • Equation de continuité : 1

(

)

=0 ∂ ∂ + ∂ ∂ Z V U R R R (II.17)

• Equations de quantités de mouvement :

(

)

( )

FEMr R U Z U R U R R R R P R W U V Z U R R R U 2 2 2 2 1 2 3 2 1 Re 1 1 _{λ λ λ} τ _+     − ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (II.18)

(

)

( )

EMz F Gr Z V R V R R R Z P V Z V U R R R V 2 2 2 1 2 2 1 2 Re 1 Re 1 1 λ θ λ λ τ + +       ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (II.19)

(

)

(

)

_      − ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 1 Re 1 1 R W Z W R W R R R R W U W V Z W U R R R W τ (II.20) • Equation d’énergie :

(

)

( )

_      ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 1 1 Pr . Re 1 1 Z R R R R V Z U R R R θ θ λ θ θ τ θ (II.21) avec :

λ , ₁ λ et ₂ λ₃ des constantes qui caractérise le cas étudié (convection mixte ou convection naturelle).

II.6.2.1 Cas de la convection mixte (on pose :λ1 =1, λ2 =0 et λ3 =1) :

1

(

)

=0 ∂ ∂ + ∂ ∂ Z V U R R R (II.22)

(

)

( )

_      − ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 Re 1 1 R U Z U R U R R R R P R W U V Z U R R R U τ (II.23)

(

)

( )

θ τ Ri Z V R V R R R Z P V Z V U R R R V +       ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 1 Re 1 1 (II.24)

(

)

(

)

_      − ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 1 Re 1 1 R W Z W R W R R R R W U W V Z W U R R R W τ (II.25)

(

)

( )

_      ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 1 Pr . Re 1 1 Z R R R R V Z U R R R θ θ θ θ τ θ (II.26)

Pour ce cas, on a choisi la valeur de ∆τ =1020pour négliger le terme transitoire dans les équations ( =0

∂ ∂

τ ), et avoir un régime permanant.

avec : α ν = Pr (nombre de Prandtl). Gr Ri= (nombre de Richardson).

ν Re= (nombre de Reynolds).

(

)

2 3 . ν C C H T r T B g Gr= − (nombre de Grashof). avec :

ν : La viscosité cinématique du fluide.

et

(

T_H −T_C

)

est la différence de température entre la paroi chaude et la paroi froide du cylindre. II.6.2.2 Cas de la convection naturelle avec et sans champs magnétique (on pose :

Re 1 = λ ,λ2 =1et 0λ3 = ) : 1

(

.

)

=0 ∂ ∂ + ∂ ∂ Z V U R R R (II.27)

(

)

(

)

FEMr R U Z U R U R R R R P U V Z U R R R U +       − ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 1 . . 1 τ (II.28)

(

)

( )

EMz F Gr Z V R V R R R Z P V Z V U R R R V + +       ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ θ τ . 1 . . 1 2 2 2 (II.29)

Où F_EMret F_EMz représentent respectivement les forces de Lorentz adimensionnelles suivant les directions R et Z: U Ha F_EMr =− 2. 0 = EMz F où :

Ha est le nombre de Hartmann Ha= Br_c σ ρυ , qui représente le rapport des forces électromagnétiques aux forces des viscosités.

(

)

(

)

_      ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 1 Pr 1 . . . 1 Z R R R R V Z U R R R θ θ θ θ τ θ (II.30)

II.7 Conditions initiales et aux limites :

● Cas de la convection mixte :

à R=0 : =0 ∂ ∂ = = R V W U , =0 ∂ ∂ R θ axe de symétrie à R=1 : U =W =V =0 , =0 ∂ ∂ R θ

paroi latérale adiabatique

à Z =0 : U = V =0,

C

r r R

W = = ( 0 <W< 1) , θ =1 paroi inférieure chaude (disque tournant) à

c

r H

Z = : U =W =V =0 , θ =0 paroi supérieure froide

● Cas de la convection naturelle avec et sans champs magnétique :

à τ=0, U =V =W =θ =0 Pour τ _f0 , on a : à R=0 : =0 ∂ ∂ = R V U , =0 ∂ ∂ R θ axe de symétrie à 1R= : U = V =0 , =0 ∂ ∂ R θ

paroi latérale adiabatique à Z =0 : U = V =0 , θ =1 paroi inférieure chaude à

c

r H

CHAPITRE III

MODELISATION NUMERIQUE

III.1 Introduction :

Les équations de conservation de quantité de mouvement et d’énergie régissant le phénomène de convection mixte et de convection naturelle avec et sans champ magnétique dans un cylindre, sont des équations différentielles aux dérivées partielles elliptiques et non-linéaires d’une part, et complexes et couplées d’autre part. Vu la complexité de les résoudre analytiquement, on fait appelle aux méthodes numériques.

Pour obtenir une solution numérique, le problème étudié doit être discrétisé en transformant les équations différentielles en un système d'équations algébriques. Il existe plusieurs méthodes de discrétisation telles que: la méthode des volumes finis, des différences finies et des éléments finis, ….etc. Parmi ces méthodes, nous avons choisi la méthode des volumes finis.

Le principe de la méthode des volumes finis consiste à intégrer les équations de transport sur un ensemble discret de volume finis jointifs couveront le domaine physique. Le résultat de la discrétisation en un point est une équation algébrique liant la valeur d’une variable aux valeurs des variables des point voisins et d’autres considérés constants. Sa simplicité, sa facilité de linéarité les termes sources et son garantit de conserver la quantité de masse, de mouvement et d’énergie dans tout le domaine étudié donne un choix judicieux d’adopter cette méthode.

1

2

3

4

III.2 Equation générale de transport

L’équation générale de transport d’une variable φ pour un écoulement axisymétrique et incompressible s’écrit dans le système cylindrique comme suit :

(

φ

)

( )

φ

φ

φ

φ

φ

S Z Z R R R R V Z U R R R t +     ∂ ∂ Γ ∂ ∂ +       ∂ ∂ Γ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ . 1 . . . 1 (III.1)

1 : Représente le terme transitoire.

2 : Représente le terme de transport par convection. 3 : Représente le terme de transport par diffusion. 4 : Représente le terme de source.

Avec :

U : Composante radiale de la vitesse. V : Composante axiale de la vitesse.

Γ : Coefficient de diffusion.

Dans le tableau suivant, nous donnons la définition de φ, Γ et S pour les équations qui _φ gouvernent notre problème générale (sauf l’équation de quantité de mouvement suivant θ , on ne peut pas tenir en compte pour le deuxième cas étudié).

Equation φ Γ S φ Continuité 1 0 0 Quantité de mouvement suivant R U Re 1 λ U Ha R U R W R P 2 2 2 1 2 3 . Re λ λ λ − − + ∂ ∂ − Quantité de mouvement suivant Z V Re 1 λ _{λ θ} 2 2 1 Re Gr Z P + ∂ ∂ − Quantité de mouvement suivant θ W Re 1 2 Re 1 R W R W U − − Energie Θ Pr . Re 1 λ 0

Tableaux (III.1) : Les variables et les coefficients des équations de transport adimensionnelles.

III.3 Maillage

Le domaine physique dans le plan méridien (R− ) est divisé en un semble de petits Z volumes élémentaires et en chaque volume, on considère des points situés dans son milieu. Les faces d’un volume de contrôle typique sont localisées aux points e, w, n, s (voir Fig.III.1). Notons P le centre du volume de contrôle considéré. E, W, N, S sont les centres des volumes de contrôles adjacents situés à l’Est, Ouest, Nord et Sud, respectivement, de celui contenant P. Les quantités scalaires (pression et température) sont stockées aux centres des volumes finis. Par contre, les composantes de la vitesse sont localisées aux faces des volumes finis.

Ce volume de contrôle est utilisé pour l’expression des bilans des grandeurs scalaires, appelé volume de contrôle typique (Fig.III.2), et pour l’expression des grandeurs vectorielles, on utilise un volume de contrôle décalé (Fig.III.3.a et b).

∆ Z(j-1) ∆ Z(j) ∆ Z(j+1) dZ(j) dZ(j-1)

Figure (III.1) : Description du maillage.

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● N ● (i,j+1) ● ● ● ● ● ● ● ● W ● (i-1,j) P ● (i,j) E ● (i+1,j) ● ● ● ● ● ● ● ● S ● (i,j-1) ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● dR(i+1) dR(i-1) dR(i) ∆R(i)

∆R(i-1) ∆R(i+1) _{Volume de}

III.4 Discrétisation des équations mathématiques

L’équation est intégrée sur le volume de contrôle typique (Fig.III.2) de la variable φ : L’expression du volume de contrôle est :

dZ dR R

dV =

L’intégration de l’équation (III.1), nous donne :

(

)

(

)

∫ ∫∫

∫ ∫∫

∫ ∫∫

∫ ∫∫

∫ ∫∫

∫ ∫∫

∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + +       ∂ ∂ Γ ∂ ∂ +       ∂ ∂ Γ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ t t t n s e w t t t n s e w t t t n s e w t t t n s e w t t t n s e w t t t n s e w dt dZ dR R S dt dZ dR R Z Z dt dZ dR R R R R R dt dZ dR R V Z dt dZ dR R U R R R dt dZ dR R t φ φ φ φ φ φ . 1 . . . 1 (III.2)

Le terme transitoire : la division par ∆t, nous donne :

R R Z t dZ dR R t P n n n s e w n n ∆ ∆ ∆ − = ∆ − + +

∫ ∫

φ 1 φ φ 1 φ (III.3) Le terme convectif :

(

)

[

]

[

(

) (

)

]

(

V

)

RdRdZ

[ ]

V RdR

[

(

V

) (

V

)

]

R R Z Z U R U R dR U R dZ dR R U R R R P s n n s e w n s e w w e e w n s n s e w ∆ − = = ∂ ∂ ∆ − = = ∂ ∂

∫

∫∫

∫

∫∫

φ φ φ φ φ φ φ φ . . . . . . . . . . . . 1 (III.4) Le terme diffusif : R R Z Z dR R Z dZ dR R Z Z Z R R R R dZ R R dZ dR R R R R R P s n e w n s n s e w w e n s e w n s e w ∆             ∂ ∂ Γ −       ∂ ∂ Γ =     ∂ ∂ Γ =       ∂ ∂ Γ ∂ ∂ ∆             ∂ ∂ Γ −       ∂ ∂ Γ =     ∂ ∂ Γ =       ∂ ∂ Γ ∂ ∂

∫

∫∫

∫∫

∫

φ φ φ φ φ φ φ φ 1 (III.5)

N

•

S

•

E

•

W

•

s e n w dRw dRe dZ n dZ s Ue ∆ Z ( P, θ )

( )

i−1 RC RC

( )

i Le terme source :

∫ ∫

= ∆ ∆ n s e w P R Z R S dZ dR R S_{φ φ} . . (III.6)

L’équation (III.3) s’écrira alors :

(

) (

)

[

]

[

(

) (

)

]

Z R R S R R Z Z Z R R R R R R V V Z U R U R Z R R t P P s n z e P s n w e P n n ∆ ∆ + ∆             ∂ ∂ Γ −       ∂ ∂ Γ + ∆             ∂ ∂ Γ −       ∂ ∂ Γ = ∆ − + ∆ − + ∆ ∆ ∆ − + . . . . . . . . . 1 φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ (III.7)

Figure (III.2) : Volume de contrôle typique. Vn

Vs

Uw

∆R

P ●

P

P

Figure (III.3 a) : Volume de contrôle décalé vers la droite.

Figure (III.3 b) : Volume de contrôle décalé vers le haut.

∆R(i-1) ∆R(i) ∆R(i+1)

∆ Z(j-1) ∆ Z( j) ∆ Z(j+1 ) Ue _E W N S dR(i-1) dR(i) d Z (j) dZ(j -1 )

∆R(i-1) ∆R(i) ∆R(i+1)

∆ Z(j-1) ∆ Z(j) ∆ Z(j+1 ) dR(i-1) W E N S dR(i) d Z (j) dZ(j -1 ) Vn P

En arrivant à ce stade, il faudra exprimer les termes des flux convectifs et diffusifs aux interfaces des volumes de contrôle.

Afin de surmonter à ce problème, on fait appel aux schémas de discrétisation (différences centrées, exponentiel, Power-Law, hybride, …). Ces schémas différent par la façon avec laquelle on prend en compte les termes de convection et de diffusion.

Dans notre étude, nous appliquerons deux schémas numériques différents. Pour le premier cas étudié, on utilisera le schéma numérique de la loi de puissance (Power Law) et dans le deuxième cas, on utilisera le schéma des différences centrées.

III.4.1 Application d’un schéma numérique quelconque

La présentation de la forme générale de l’équation algébrique discrétisée s’écrit comme suit : APφP = AEφE +AWφW +ANφN +ASφS +b (III.8) avec :

( )

e max

(

e,0

)

e E D A P F A = + − (III.9)

( )

_w max

(

_w,0

)

w W D A P F A = + (III.10)

( )

n max

(

n,0

)

n N D A P F A = + − (III.11)

( )

_s max

(

_s,0

)

s S D A P F A = + (III.12) 0 P S N W E P

A

A

A

A

A

A

=

+

+

+

+

(III.13) Z R R S b P n ∆ ∆       ∆ + = . . τ φ φ (III.14)