Mouvement d'une corde vibrante en présence d'un obstacle ponctuel fixe

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Submitted on 1 Jun 2020

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Mouvement d’une corde vibrante en présence d’un

obstacle ponctuel fixe

Henri Cabannes

To cite this version:

Henri Cabannes. Mouvement d’une corde vibrante en présence d’un obstacle ponctuel fixe. Comptes

Rendus Mécanique, Elsevier Masson, 1984, 298 (15), pp.613-616. �hal-02720644�

ONDES

ÈT

VIBRA

TI

ONS.

-

Mouvement

d'une

c

o

rde vibrante en présence d'un obstacle ponctuel fixe. Note de

Henri Cabannes,

Correspondant de l'Académie.

Dans une Note précédente [1], nous avons établi une formule explicite déterminant certains mouvements d'une corde vibrante en présence d'un obstac1e rectiligne fixe, parallèle à la posjtion d'équilibre. Dans ]a

pr_ésen_te _Note, n_ous ét�bJissons une formule analogue lorsque la corde oscille en présence d'un obstacle pontuel

fixe, équidistant des extrémités fixes de la corde.

WAVES AND VIBRATIONS.-Motion of a String Vibrating Against a Fixed Point-Mass Obstacle.

In a former

Note [1],

we established an explicit formula, which determines some motions

of

a string vibrating

in the presence of a jixed straight obstacle parallel to the equilibrium position. In the present Note, we establish a similar formula when the str.ing osclllates in the presence of a flxed point-mass obstacle at the same _distance from the flxed ends of the string.

1.

lNTROnucnoN.

-

Une

corde

vibrante

fixée à

ses

deux

extrémités

o

scille dans un

plan

x,

u en présence d'un obs

t

ac

l

e ponctuel fixe, équidistant des deux extrémités fixes

de la corde.

Le mouvement

est défini par une fonction

u(x,

_t)

de ttabscisse x et du

temps

t,

satisfaisant l

e

s

conditions

suivantes :

(1)

(2)

(3)

(4)

ô2 u ô2 u

-- �=0

Sl

u(O, t)>h,

ôt2

ôx2

au

ôu

ox (+0,

t)-

ôx (-0, t)::=;o si u(O, t)=h,

l

u(x, O)=cx(x)

ôu

-(x, O)=f3(x)

àt

pour pour 1 1

--

<x<-z=

= 2'

1 1 --::=;x < -. 2- -2

Les f

o

ncti_ons

_{r:x.(x) et� (x),}

_{nulles pour}

x=+

_{1/2, sont données; en outre on a cx(O) �h.}

La condition (2) traduit

le fait

que, durant le contact de la corde avec l'obstacle, la réaction de eobstacle

do

it

être dirigée

vers la corde; le contact peut être persistant,

tandis que, dans le cas d'un obstacle rectiligne envisagé dans [1], la corde rebondissait instantanément sur l'obstacle et la condition (2) était remplacée par une �ondition de réflexion.

A

partir de

toute

solution v

(x, t)

du probl

èm

e (1)-(4), on ob

t

i

ent une

famille

de solutions en posant

[2] :

{5)

(6)

u

(

x,

t)=v

{X

(x, t),

T

_(x,

t) },

l X (

)

<J)(x

+

t)

+<))

(x-t)

x,t=x+

,

2

T( )

x, t

=t+

dJ(x+t)-<l>(x-t)

. 2

La

f

on

_cti

o

_{n <1>}

est

_{impaire, périodique de}

_période

1

_et

possède

_une _{dérivée supérieure}

,

ou

égale

à -1.

On peut

toujours

supposer, ce que nous ferons, que Pon

a Ct(û) = 1.

En

choisissant

pour v(x,

t)

la

fonction v(x,

t)

qui

correspond

au mouveme

�

de la corde pincée symé

t

riqu

e

: ··

(7)

v

(x,

0)

= 1

-21

x

1

ô v

-(x, 0)=0

ôt

1

1

Pour

-

-:s;xs-2-

-

2'

. . _{1 l} Pour

--<x::;;-2- - 2'

on _o

_b

_{tient par la}

fo

_rmule

(5)

_{le mouvement d'une corde vibrante initialement}

au

_repos d

a

n

s

_{une pos}

i

_ti

o

n

_unimoda1e,

c'est-à-dire lorsque �(x)=

₀

et lorsque

_{la fonction Ct}

(x)

possède, dans

l'intervalle -

1/2 �x< 1/2,

un se

u

l maximum et{ 0) =

L

2. SÉRIE

DE FoURIER.

-

La

corde animée du mouvement

v(x,

t)

r

en

co

ntr

e

l'obstacle

si

-1 �h� 1, ce

que

nous supposerons;

le

m

o

uv

e

ment est alors

u

n

e

fonction périodique du

temps de

p

éri

o

de

(3-h)/2,

et

la fonction

v (

x,

t) peut être

développée

en série de

Fourier :

co

(8)

v(x, t)=ao(x)+

:L: ap(x)cospœt,

p=1

où ro=4n/(3-h).

On

obtient:

(9)

(10)

(11)

l+h

a0(x)=

-(1-2lxj),

3-h

a

(x)=(J-h)cosprox-cospro(I-Ix!)

pour

l+h<

jxj s�

P

_(pn)2

_.

₄

-

_-2' a _p

(x) =(3-h)

cosp

rox-cos(pro lx 1

+2np

((1-h)/(3-

h)])

(p 1t)2

l+h pour

lxi�

-4-.

Le

p

ro

du

i

t p2

aP (x) (p :1=0)

étant

b

o

r

n

é

,

la série

(8)

est absolument et uniformément

convergente.

On peut donc m

o

d

ifi

er

l'ordre

des termes et exprimer ainsi la

fonction

v(x, t)

à

l'aide

d'une

fonction

unique

K

d'une seule variable:

(12)

K

(y)=

{

1

y

I-ll

y

11-

� } 2'

où

la notation

[j

y

[l

d

és

ig

n

e la partie entière de la valeur abs

o

lue

de la

variable y. Remplaçant ensui

t

e

x et

t

par

X

et

T,

on exprime

la fonction u

(

x, t), paire par

rapport

à la variable x,

s

ol

uti

o

n du problème (1)-(4) par une formule explicite:

(13)

u(x, t)=

1 +h

{

1-2IX 1}+

3-h

{K(2 X +T)+K(2

X-T

)

3-h

.

2

3-h

3-h

-K(2(X+T)

+

l-À)-K(2(X-T)+ 1-Â)}•

où:

t = 0 Fig. 1. h=

1/3.

"A=h

si O�X <

1

+h, - - 4

Fig.

2. h =

1/3.

"�=3 .

l+h<x<!

l'v Sl _ _ •

4

- -2

Les fonctions X (x, t)

et T(x, t) sont définies

par les formules

(6) dans lesquelles

la

fonction

$(y)

est

définie par l

e

s conditions

initiales :

(14)

u(x, O)=v {

x+«<>(x), 0}

=

1-21

x+<l>(x)

1,

soit, pour

-1/2

sy� l/2 :

(15)

y+$ (y)=�{ l-u(y,

0)}.

signe

de

y.

2

Une

formule

analogue

à

la formule

(13) avait

été obtenue dans le cas

_d'un

_obstacle

rectiligne [1].

3. MouvEMENT DE LA CORDE. - La

formule (13)

permet

d'écrire

un programme

pour

calculer

_la

fonction

u (x, t)

_{qui détermine}

le _mouvement

_de

_{la corde. Un exemple}

_correspon�

dant

_à

_{h=l/3 et}

_à:

(16)

�

(y)

= _

s

in 2 n y _

sin

4n y .

41t

_81t

est

représenté sur les fi

g

u

re

s

1 et 2.

A

partir

de

la

formule

(

13), on retrouve

le résultat suivant démontré dans

[3].

THÉORÈME 1.

- La corde étant initialement

au

repos dans une

position

symétrique

unimodale, son

mouvement en présence de r

obstacle ponctuel placé

d

ans

la

pos

i

tion x= 0

et u = h est une fonction presque-périodique d

u

t-emps.

Si

hfu (0, 0)

est un nombre rationnel pfq (q entier

positif,

p entier

compris entre

-q et

q),

le mouvement est périodique de

période

3 q-p, ou de période

moitié si

ce

nombre

est

pair.

La seconde

pa

rt

i

e du

théorème avait

été

observée,

dans un cas particulier sur des

La fonction

v(X, T)

est telle que le produi

t

de

ses deux dérivées partielles

ovjôX

et

ôv/BT est toujours nul; pour les vale

u

rs

du

temps t égales

à

N/2 (N entier), on aT= N/2

et:

(17)

On en

déduit :

-

ou( N) {

x,

-

=

1

+ <lJ x+

.

,

(

� N

) }

-' av

ox

2

2

8X

- x

-

= 1

+(1)

x+-

-

.

ôu

(

N

) { , ( N) }

ô v

.ôt

' 2 2 ôT

THÉORÈME 2.

-

Pour les valeurs du temps t =

N/2 (N

entier

positif

ou nul), la corde

possède

uniquement

des arcs au repos et des arcs parallèles à la droite

qui

passe par les extrémités fixes de la corde.

Ce dernier résultat est mis en évidence sur les figures 1 et 2.

4.

ExTENSION nEs RÉSULTATs.

-

Lorsque les fonctions

�(x)

et

�(x)

introduites dans les relations

( 4)

sont quelconques, on peut

toujours

les décomposer en leurs parties paires

�P' �P

et leurs parties impaires

cx.i• �i·

D

ésignant

par

uP (x, t) le mouvement de 1a corde

en présence de l'obstacle avec

les

_{données initiales \l.P' �Pet par}

_{w1(x, t)}

_{l'oscillation libre}

avec les données initiales a.{ et

flï,

la

solution

du

problème (1)-(4) est alors :

(18)

On en déduit que, si

up(x, 0)

est une fonction unimodale et si

(ôup/ôt) (x, 0)

est nul,

le

théorème 1 est encore valable, le théorème 2 n'étant évidemment plus

valable.

Ces

divers

résultats

viennent compléter les résultats antérieurs obtenus par Amerio [5] et Citrini [6].

R:BFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

[1]

H. CABANNES, Comptes rendus, 295, série II, 1982, p. 637-640. (2) H. CABANNES, J. Mécanique, 20, 1981, p. 41-58.

[3]

H. CABANNES et A. HARAUX, lnt. J. Non-linear Mechanics, 16, 1981, p. 449-458.

[4] M. FRONTINl et L. GOTUSSO, Quad. J.A.C., 67, série III, 1978, p. 1-20.

[5] L. AMBRIO, Atti Accad. Naz. Lincei, 62, série VIII, 1977, p.

134-142.