Quelques ballades combinatoires Jean-Luc Baril et al. May 24, 2021

Quelques ballades combinatoires

Jean-Luc Baril et al.

May 24, 2021

- M´emoire de th`ese

- M´emoire d’habilitation ` a diriger des recherches

- Ballades publi´ees dans des revues internationales ` a comit´es de lecture

1

FACULTE DES SCIENCES & TECHNIQUES

M´ emoire pr´ esent´ e par

Jean-Luc Baril

en vue de l’obtention de l’habilitation `a diriger des recherches `a

l’Universit´ e de Bourgogne, Dijon

Sp´ecialit´e : Combinatoire

G´ en´ eration exhaustive et ´ etude de structures de classes combinatoires

Soutenu le 15 juin 2010 devant la commission d’examen compos´ee de

Rapporteurs : Elena Barcucci (Florence, Italie) Toufik Mansour (Ha¨ıfa, Isra¨el) Maurice Margenstern (Metz, France)

Examinateurs : Abderrafia Koukam (Belfort, France) Jean-Marcel Pallo (Dijon, France) Renzo Pinzani (Florence, Italie) Vincent Vajnovszki (Dijon, France)

Laboratoire d’´ Electronique, Informatique et Image de Dijon - LE2I, UMR CNRS 5158

Facult´ e des Sciences et Techniques - B.P. 47870 - 21078 Dijon Cedex

Une aide très importante m'a été apportée par mes trois ollègues ombinatoriiens

Jean Pallo, Vinent Vajnovszki et Olivier Togni; le fait que nous travaillons ensemble

depuis plusieurs annéessur des questions d'algorithmiqueombinatoire m'aonduità leur

fairedenombreux emprunts(parfoisinonsiemment).Jelesremerie toustrèsfortement.

Jeremerie également les autres membresdu laboratoire LE2I del'université deBour-

gogne (Dijon) pour leur soutien et plus partiulièrement eux ave qui j'ai ollaboré pour

mes tâhes et responsabilités d'enseignements.

Jeremerie trèsvivement les rapporteurs, ElenaBarui, Touk Mansour etMaurie

Margenstern pourletempsqu'ilsontpasséàlaleture etl'analysedeemémoire.Tousont

aepté spontanémentettetâhe;je leurensuistrèsreonnaissant.Jeremerieégalement

AbderKoukam etRenzo Pinzani d'avoir aepté departiiper au jury.

JeremerieleProfesseurJaquesMartinetdel'universitédeBordeauxetj'aiégalement

une pensée partiulière pour Anne-Marie Bergé.

Introdution générale 3

Notations 5

I Génération exhaustive de lasses d'objets ombinatoires 7

I.1 Introdution . . . 7

I.2 Génération CAT . . . 8

I.2.1 Permutations ave unnombre donné d'exédenes. . . 8

I.2.2 Permutations etmots de Fibonai ou deLuas . . . 11

I.2.2.1 Permutations etmots deFibonai généralisés . . . 11

I.2.2.2 Permutations de Luasgénéralisées. . . 13

I.2.2.3 Algorithme etomplexité . . . 14

I.3 Génération enode deGray . . . 15

I.3.1 Mots deLuas

p

-généralisés . . . 15 I.3.2 Dérangements . . . 18

I.3.3 Permutations ayant un nombredonné de yles . . . 20

I.3.4 Permutations ayant un nombredonné de minima gauhe-droite . . . 23

I.3.5 Permutations évitant un ensemblede motifs . . . 27

I.4 Conlusion -perspetives . . . 30

II Etude de strutures énumérées par les nombres de Catalan 33

II.1 Introdution . . . 33

II.2 Treillis de Catalan . . . 34

II.2.1 Le treillis `Phagoyte' . . . 34

II.2.2 La transformation de taille-gree . . . 38

II.3 Distane de rotation . . . 44

II.3.1 Sommet detype (2 :0) . . . 47

II.3.2 Sommet detype (1 :1) . . . 47

II.3.3 Sommet detype (3 :0) . . . 47

II.3.4 Sommet detype (2 :1) . . . 48

II.3.5 Algorithme pour lealul debornesinférieure etsupérieure . . . 48

II.3.6 Résultats expérimentaux . . . 49

IIIMotifs dans les permutations 51

III.1Introdution . . . 51

III.2Dupliation enmiroir du génome . . . 51

III.2.1 Permutations à motifsexlusetle modèlede WM-dupliation . . . . 54

III.2.2 Considérations algorithmiques . . . 56

III.2.2.1 Un hemin de

12 . . . n

^vers

σ ∈ S _n

^{obtenu en reulant à}

partirde

σ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56}

III.2.2.2 Un hemin de WM-dupliationsde

12 . . . n

^vers

σ ∈ S _n

^{. . 57}

III.2.3 Autresmodèles de dupliation. . . 58

III.2.3.1 Une WM-dupliation suivie par plusieurs W-dupliations . 58

III.2.3.2 UneW-ouWM-dupliationsuivieparplusieursW-dupliations 58

III.2.4 Future diretion dereherhe . . . 59

III.3Cloture yliquede

S(k(k − 1) . . . 21)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59}

III.3.1 La lotureylindrique . . . 64

III.3.2 Disussion etConlusion . . . 65

IVPerspetives 67

Annexes 69

Liste des publiations 75

Ce mémoire a pour objetif de fournir une synthèse d'une partie de mes ativités de

reherhe réaliséespost-thèse.

Commençonsparretraerleparourseetuédepuisl'obtentiondemondotorat.En1996,

j'ai don soutenu une thèse dans le domaine de la théorie des nombres à l'université de

Bordeaux. J'ai obtenuensuite(1998) unpostede professeurertié(PRCE)à l'université

de Dijon au sein de l'équipe d'informatique. Obtenant l'agrégation de mathématiques en

1999, j'interviens alors en qualité de professeur agrégé (PRAG).Une fois la harge d'en-

seignements digérée(384H/an),ma uriositémeguide naturellement vers l'équipe d'algo-

rithmique ombinatoire de Dijon. C'est alors que j'amorçe un parours initiatique pour

déouvrir les bases de la ombinatoire. Il est toujours diile de perer les serets d'un

nouveaudomaine de reherhe, maisl'aide desmembres del'équipe deombinatoire a été

sansauun douteunfateuressentieldansmonapprentissage.Je suisalorsrerutéMaître

de Conférenes au laboratoire LE2I deDijon en 2004.C'est à e moment queje deouvre

laforte intération entre l'informatique théorique etlesmathématiques.

En eet,l'informatique théorique apparaît essentiellement sous laforme de deux ou-

rants : l'algorithmique, et la logique. L'algorithmique provient de l'automatisation de la

notion dealul, alors quelalogique formaliselanotionde démonstrationmathématique.

Dansl'antiquité,es deuxnotionsapparaissaient déjà.Onpeutiter parexemple, Ar-

himèdeetDiophantequiobtiennent unerègledealuldel'airesituéesousuneparabole;

Eulidepourlanotiondesystèmeaxiomatique;etAristotepourlalogiquepropositionnelle.

Plus tard,Newton, Leibniz, EulerouGauss, proposent desméthodesdealulnumérique

permettant d'automatiser ertains problèmes issus desmathématiques. Puisla théoriede

laalulabilité estdéveloppée par Turing (1936) [89℄,von Neumann,Kleene, Churh...

Durant es dernières années (et sans aununeomparaison ave les noms ités préé-

demment), mestravauxsesont orientés danslesdomainesde l'algorithmiquedédiéeà des

problèmes issus de la ombinatoire, la théorie des graphes et l'étude de lasses ombina-

toires ayant une struture de treillis. Laréférene atuelle du domaine de l'algorithmique

ombinatoire est la olletion de volumes The art of Computer Programming de Donald

E. Knuth [98 ℄. Knuth étudie de nombreux algorithmes ainsi que leur omportement en

termedunombred'opérationsélémentaires. Ildédieainsiunvolume entier àlagénération

de lasses d'objets ombinatoires. On peut aussi iter les travaux de Flajolet, Johnson,

Korsh, Ruskey, Sedgwik, Trotter, Vajnovszki, Walsh,...[77 , 91 , 166, 149 , 155, 100 , 174 ℄.

Pour les référenes onernant les strutures detreillis, onpeutaussionsidérer Davey et

Grätzer[83 ,60℄.Tousmestravauxonernantlesstruturesentreillissontisssusdelasses

ombinatoires énumérées par les nombres de Catalan A000108, [162 ℄. Enn, mes travaux

tonstoutefoisqu'ilexisteévidemment deslienstrèsfortsentreestroisdomaines.Onpeut

iter par exemple le lien entreles yles Hamiltoniens en théorie desgraphes et les odes

de Grayenalgorithmique ombinatoire.

Jen'exposeraipasdanse mémoiremes travauxonernant lesolorations degraphes

dans le but d'obtenir un mémoire axé sur la ombinatoire issue de strutures liées aux

permutations, mots binairesetarbresbinaires.Sitoutefoisleleteursouhaiteobtenir mes

travauxen théoriedes graphes,jel'invite àonsulter les artiles[27 , 28 ,29,30 ℄.

Lemémoire estorganiséde lafaçon suivante.

Danslepremierhapitre,jeprésenteunegrandepartie(nonexhaustive)demestravaux

de reherhe onernant lagénération exhaustive. Ce hapitre ontient une partie impor-

tante de mes résultats obtenus es dernières années. Je propose ainsiplusieurs nouveaux

algorithmes degénération dont laomplexitéestCAT(Constant Amortized Time),i.e.le

nombre d'opérationsest proportionnelau nombre d'objets générés et ei indépendamment

delatailledesobjets.Onétudieégalementplusieurslassesdontonaobtenulagénération

en odede Gray.

Dansleseondhapitre,j'exposelestravauxonernant l'étudedestruturesomptées

par les nombres de Catalan. En partiulier, je donne deux nouvelles strutures en treillis

pour les parenthèsages bien formés e qui induit deux nouvelles struturessur les arbres

binaires.Ons'intéressseaussidansettepartieàlaonstrutiondedistanesurestreillis,

et notamment on donne un algorithme polynomial d'approximation pour le alul de la

distane de rotation entre deux parenthésages dans letreillis de Tamari. Notons que l'on

nesait toujourspasaujourd'huis'ilexiste unalgorithmealulanten tempspolynomialla

distane derotation entre deuxparenthésages danse treillis.

Dansledernierhapitre,j'exposedeuxontributionsréentesdansledomainedel'étude

desmotifsdansles permutations. Lapremière estissued'unproblème debioinformatique

puisqu'elle onsiste à aratériser les suites du génome obtenues après un nombre donné

de dupliations en miroir. La seonde repond à une question posée par Atkinson :est-e

que lalotureyliquede

S(k(k − 1) . . . 321)

^{possède unebase nie?}

Enn, une onlusion donnera une approhe globale de mes travaux de reherhes en

préisant lesobjetifssouhaitésainsiquelesfuturesdiretionsdereherhesenvisagéesen

Je présente dans ette partie, les prinipales notations et dénitions utilisées dans e

mémoire.

Onnote

[n]

^l'ensemble

{ 1, 2, . . . , n }

^{.L'ensembledes}permutationssurl'ensemble

[n]

^sera

noté

S _n

^.L'entier

n

^{estappelélatailledela}permutation.Onreprésenteralespermutations en notation linéaire,i.e.,

σ ∈ S _n

^seranotée

σ ₁ σ ₂ . . . σ _n

^si

σ(i) = σ _i

^{pour tout}

i

^,

1 6 i 6 n

^.

Lapermutation

σ ∈ S n

^{seraappeléeunylelorsqu'ilexisteunesuited'indies}

i 1 , i 2 , . . . , i n

diérentsdeuxà deuxdans

[n]

^telsque

σ(i _j ) = i _j+1

^pour

1 6 j 6 n − 1

^et

σ(i _n ) = i ₁

^.Une

telle permutation pourra aussiêtre notée

h i ₁ , i ₂ , . . . , i _n i

^.Toute permutation

σ ∈ S _n

^peut

être uniquement déomposée en un produit de yles à supports disjoints. On dira que

σ

a

k

^{yles lorsque ette} déomposition possède

k

^{yles. L'ensemble des} permutations de taille

n

^ayant

k

^{yles seranoté}

S _n,k

^.

Unevaleur

σ i

^estunminimumgauhe-droite(left-to-right minimumenanglais)sitous les éléments à sagauhe dans

σ

^{sont plus grands que}

σ _i

^{.Etant donné quel'ensemble des}

permutations de taille

n

^ayant

k

^{yles est en bijetion ave l'ensemble des}permutations de taille

n

^ayant

k

^minima gauhe-droite, nousutiliserons toujours la notation

S _n,k

^pour

e dernier ensemble.

Un dérangement

σ

^{est une} permutation sans point xe, 'est à dire qu'il n'existe pas d'indie

i

^{tel que}

σ(i) = i

^{.L'ensembledes} dérangementsde taille

n

^seranoté

D _n

^{.Dans le}

seond hapitre,

D _n

^{designera l'ensemble desmots de Dyk ave}

n

parenthèses ouvrantes et

n

^fermantes.

Une exédenede

σ

^{estune valeur}

σ _i

^telleque

σ _i > i

^{.L'ensembledes}permutationsde taille

n

^ayant

k

^{exédenes est noté}

E _n,k

^.

Une permutation

σ ∈ S _n

^{ontient lemotif}

π ∈ S _k

^{si etseulement s'il existe une suite}

d'indies

1 6 i ₁ < i ₂ < . . . < i _k 6 n

^{tels que}

σ(i ₁ )σ(i ₂ ) . . . σ(i _k )

^{est ordonné omme}

π

^.

Par exemple, la permutation

4132

^{ontient (en gras) le motif}

321

^{mais ne ontient pas}

(ou évite) le motif

231

^{. Si}

T

^{est un ensemble de motifs, on notera}

S _n (T )

^{l'ensemble des}

permutations dans

S _n

^{quiévitent touslesmotifs} appartenant à

T

^{.Unmotif barré}

π ¯ ∈ S _k

est une permutation ayant une barre sur ertaines valeurs. Posons

1 6 r 6 k − 1

^{. Soit}

π

lapermutation sur

[k]

^{obtenueen enlevant lesbarres de}

¯ π

^et

π ˆ

^la permutationobtenuede

¯

π

^{en enlevant toutes les}

(k − r)

^{valeurs barrées et} renormalisée omme une permutation de

[k − r]

^{. Alors}

σ ∈ S n

^{ne ontient pas le motif}

π ¯

^{si tout motif}

π ˆ

^dans

σ

^{peut être}

étendu en un motif

π

^dans

σ

^{.Par exemple, si}

π ¯ = 4¯ 132

^{, alors}

σ = 58132674 ∈ S ₈ (4¯ 132)

(voir, [71, 113 , 160 ℄). Il estaussi possible d'introduire des ':' entreles valeurs d'unmotif

(exemple

13 : 24

^{).Sideuxvaleursonséutivesdumotif}

π

^{sont séparéespar un':'alors la}

permutation

σ

^{ontient lemotif}

π

^{si les entrées} orrespondantes à eséléments sont aussi adjaentes dans

σ

^{(et biensur dans lemême ordre quedans}

π

^{). Par exemple,}

σ = 13524

ne ontient pas le motif

π = 13 : 24

^{mais ontient le motif}

1324

^{.Notons qu'il s'agit d'un}

as partiulierde ladénitiondesmotifs dénis dans[76℄.

Une liste

L

^{est un ensemble d'éléments totalement ordonnés. La liste}

L

^{est la liste}

L

^{onsidérée (ou lue) du dernier élément au premier. Les éléments}

prem( L )

^et

der( L )

désignent respetivement lespremiersetderniersélémentsdelaliste. Si

L

^et

L ^′

^sontdeux

listes alors on dénit laliste

L ◦ L ^′

^{omme étant la} onaténation des deuxlistes

L

^et

L ^′

telle que

prem( L ) = prem( L ◦ L ^′ )

^.

Soit

(L _n ) _n>1

^{une famille de listes}

L _n

^{d'éléments de taille}

n

^{. Si pour tout}

n > 1

^deux

objetsonséutifsdelaliste

L _n

^{dièrentsurunnombredepositions}indépendant de

n

^,on

dit quelalisteest en ordrede ode deGray.

Génération exhaustive de lasses

d'objets ombinatoires

I.1 Introdution

Dansehapitre,ons'intéresseàdesalgorithmespermettantdegénérerexhaustivement

(et sans répétition) les objets d'une lasse ombinatoire. L'intérêt de tels algorithmes est

multiple : l'obtention d'une liste omplète d'objets (en un temps aeptable) peut être

utile pour la vériation où ladéouverte depropriétés ou onjetures,pour la résolution

pratique de ertains problèmes NP-omplets,... La omplexité des algorithmes est don

ruiale. Elle peut être onstante en moyenne ou dans le pire des as. Une omplexité

onstante en moyenne signie que le nombred'opérations eetuées est proportionnel au

nombre d'objets à générer (CAT - onstant amortized time) et ei indépendamment de

la taille des objets; une omplexité onstante dans le pire des as signie que le passage

d'unobjetà sonsuesseursefaittoujours en untemps onstantindépendant delataille

desobjets(loopless).Lorsquedeuxobjetsonséutifsdièrent surunnombredepositions

indépendant de la taille,on dit que laliste est en ordre de ode de Gray. Un algorithme

looplessliste néessairement les objets en ordre de ode de Gray; laréiproquen'est pas

forément vraie.

Il existe de nombreux travaux onernant la génération exhaustive eae de lasses

ombinatoires. Par exemple, ilexiste desalgorithmes eaes pour lagénération desper-

mutations [91, 166, 155,148 ℄, involutions [174 ℄, up-down permutations [100 , 152℄, permu-

tations ave un nombre donné d'inversions [151 ℄... Il est toujours intéressant de relire le

survol de Carla Savage [154 ℄ pour les travauxréalisés avant 1997 onernant les odesde

Gray.On trouvera danse mémoire denombreuses référenes plusréentes.

Plusieurs méthodes diérentes ont été utilisées pour l'obtention de tels algorithmes.

On peut bien sur iter la méthode de Johnson-Trotter [91, 166 ℄ pour la génération des

permutations en ordre de ode de Gray. Il y a également des méthodes ad-ho liées à la

struture partiulière desobjets à générer, maisprinipalement, deux méthodes sont très

souvent utilisées:laméthode réursive etlaméthodeECO.

Laméthoderéursiveonsisteàdénirlalistedesobjetsdetaille

n

^{enfontiondeslistes}

des objets de tailles inférieuresà

n

^{. Par exemple,la lasse}

B _n

^{desmots binaires de taille}

n

^{peut s'érire} réursivement sous la forme

B _n = B _{n − 1} .0 B _{n − 1} .1

^{, ave}

B ₁ = { 0, 1 }

^,

où

^est l'opérateur de onaténation des listes, et

B _{n − 1}

^{est la liste}

B _{n − 1}

^onsidérée

dans l'ordre inverse (de lan au début). On obtient ainsi,

B ₂ = { 00, 10, 11, 01 }

^et

B ₃ = { 000, 100, 110, 010, 011, 111, 101, 001 }

^{. Voir par exemple [84 ℄. Dans et exemple, la liste}

fournie estaussien ordre deode deGray.

La méthode ECO (Enumeration of Combinatorial Objets), introduite par Pinzani

et al. [15 ℄ pour l'énumération de lasses ombinatoires, onsiste à donner des règles de

suession pour étendre un objetde taille

n

^{à plusieurs objets de tailles}supérieures.Plus formellement,on partde (

b

^),

b ∈ N ⁺

^{,eton fournitdes règlesde suession}

Ω

^:

{ (k) (e ₁ (k))(e ₂ (k)) . . . (e _k (k)), k ∈ N} ,

où

e _i : N ⁺ −→ N ⁺

^{; il s'agit} d'expliquer l'évolution des suesseurs

(e ₁ (k))

^,

(e ₂ (k))

^,...,

(e _k (k))

^{en fontion de}

(k)

^,

k ∈ N ⁺

^{.Les entiers positifs}

(b)

^,

(k)

^,

(e _i (k))

^{sont appelés éti-}

quettes. Cela induit un arbre de génération où

(b)

^est l'étiquette de la raine et haque noeudétiqueté

(k)

^possède

k

^{suesseursétiquetés}

(e 1 (k))

^,

(e 2 (k))

^,...,

(e _k (k))

^{.Par onsé-}

quent,

(Ω)

^{induit une suite d'entiers positifs}

(a _n ) _n>0

^ou

a _n

^{est le nombre de noeuds sur}

le niveau

n

^{dans l'arbre de} génération. Par exemple, la règle de suession

Ω

^{dénie par}

(2) (2)(2)

initialiséepar l'étiquette

(2)

^{induit lasuite}

a _n = 2 ⁿ

^{,i.e.,haqueniveau}

n

^de

l'arbrede générationassoiéontient

2 ⁿ

^{noeuds.Lesnombres deCatalanpeuvent êtreob-}

tenus paretteméthodeàl'aidede larègledesuession

(k) (2)(3) . . . (k + 1)

initialisée par l'étiquette

(2)

^.

La première partie de e hapitre traîte de la génération CAT alors que la seonde

traîte delagénération en odede Gray.

I.2 Génération CAT

Dansettesetion, nousdonnonslesdiérents résultatsobtenusonernant lagénéra-

tionCAT(onstantamortizedtime)deertaineslassesd'objetsombinatoires.Rappelons

quelagénérationCATonsisteàgénéreruneetune seulefoishaqueélément d'unelasse

en un temps proportionnel au nombre d'objets mais indépendant de la taille des objets.

[Danse paragraphe,nousne onsidéreronspasles générationsen ode deGray;eneet,

esgénérationssontaussiCATmaispossèdentlapropriètésupplémentairequedeuxobjets

onséutifsdièrentd'un nombrede positions indépendant de lataille.℄

Denombreuxalgorithmesdegénérationseaesexistentdanslalittérature.Parexemple,

onpeutseréfèrerauxdeuxsurvolssuivants[98,155 ℄pourlagénérationdeplusieurslasses

de permutations.

On présente i-dessous deux algorithmes de génération CAT permettant de générer

eaement les permutations ayant un nombre donné d'exédenes, les permutations et

les mots deFibonai etde Luas.

I.2.1 Permutations ave un nombre donné d'exédenes

Ce paragraphe est issu de l'artile [20 ℄. Soit une permutation

σ ∈ S _n

^{. On représente}

σ = σ ₁ σ ₂ . . . σ _n

^{ennotation linéaire.La valeur}

σ _i

^{est uneexédene de}

σ

^si

σ(i) > i

^.

Les permutations ayant un nombre donné d'exédenes ont été très étudiées dans le

domaine de la ombinatoire énumérative [39, 72 , 116 , 140 ℄. Foata et Shützenberger [78 ℄

donnent plusieurs propriétés fondamentales pour es objets. De nombreuses appliations

à l'analyse des algorithmes sont obtenues par Knuth [98℄ et à la ombinatoire des mots

par Lothaire [108℄. La statistique relative aux exédenes sur les permutations est appe-

lée statistique Eulerienne. Je donne dans e paragraphe un algorithmeeae (CAT) de

générationdespermutationsave

k

^exédenes(

k > 0)

^.Onnote

E _n,k

^{l'ensembledespermu-}

tationsdetaille

n

^ayant

k

^{exédenes.Onproèdeparlaméthoderéursiveenremarquant}

que

E _n,k

^{peutêtreonstruit à partirde}

E _{n − 1,k}

^et

E _{n − 1,k − 1}

^.

Soit

γ ∈ E _{n − 1,k}

^une permutation de taille

(n − 1)

^ayant

k

^exédenes,

n > 2

^,

0 6 k 6 n − 2

^;soit

i

^{un entier,}

1 6 i 6 n − 1

^{.Sion notepar}

σ

^lapermutation dans

S _n

^{obtenue à}

partir de

γ

^{en remplaçant}

γ (i)

^par

n

^etenajoutant

γ (i)

^{surladroite de}

γ

^{,alors on a:}

(

a

^{) si}

γ (i)

^{est une exédenedans}

γ

^,alors

σ ∈ E _n,k

^;

(

b

^{) sinon,}

σ ∈ E _n,k+1

^.

Deplus, (

c

^{) si}

σ

^{estobtenue de}

γ

^{en ajoutant}

n

^{sursadroite,alors}

σ ∈ E _n,k

^.Réipro-

quement, haque permutation de

E _n,k

^,

n > 2

^{, peutêtre uniquement obtenue par l'une de}

es troisonstrutions (

a

^),(

b

^{) et(}

c

^).

Ainsi,nousdénissons deux fontions

φ _n

^et

ψ _n

^{ommesuit :}

Dénition I.1. Pour

0 6 k 6 n − 2

^{, unentier}

i ∈ [n − 1]

^etune permutation

γ ∈ E _{n − 1,k}

^,

on dénit une permutation de taille

n

^:

σ = φ _{n − 1} (i, γ)

^par

σ(j) =

 



n

^si

j = i γ (i)

^si

j = n γ (j)

^sinon.

Ondénit aussi

ψ n − 1

^de

E _n−1,k

^vers

S n

^{quitransforme}

γ ∈ E _n−1,k

^enunepermutation

σ ∈ E _n,k

^{obtenue de}

γ

^enajoutant

n

^{sur sa droite.}

Par exemple,si

γ = 3142 ∈ E _4,2

^,ona

φ ₄ (3, γ) = 31524 ∈ E _5,2

^;

φ ₄ (2, γ) = 35421 ∈ E _5,3

et

ψ ₄ (γ) = 31425 ∈ E _5,2

^.Plus généralement, on peutremarquer :

φ _n−1 (i, γ) = ψ _n−1 (γ) · h i, n i = h γ(i), n i · ψ _n−1 (γ).

Pour des raisonsde larté,on omettra l'indie

n

^dans

φ _n

^et

ψ _n

^.

Lemme I.2. Soient

n, m, ℓ, k

^{quatre entiersnaturels tels que}

1 6 m < n

^,

0 6 ℓ 6 m − 1

^,

et

0 6 k 6 n − 1

^{. Soitaussi}

γ ∈ E _m,ℓ

^.

- S'il existe

i

^,

1 6 i 6 m − 1

^{, tel que}

γ(i)

^{est une exédene de}

γ

^{, alors il y a une}

permutation

σ ∈ E _n,k

^{telle que}

σ

^{est obtenue de}

φ(i, γ)

(respetivement

ψ(γ)

^{) en}

appliquantplusieursfoislesfontions

φ

^et

ψ

^{sietseulementsi:}

(i) ℓ 6 k

^et

m+1 − ℓ 6 n − k

^.

- Maintenantnousonsidérons

i

^,

1 6 i 6 m

^,telque

γ(i)

^{n'est pasune exédene de}

γ

^,

alors ilya unepermutation

σ ∈ E _n,k

^telleque

σ

^{estobtenue de}

φ(i, γ)

^enappliquant

plusieurs foisles fontions

φ

^et

ψ

^{sietseulementsi:}

(ii) ℓ + 1 6 k

^et

m − ℓ 6 n − k

^.

- Si

σ ∈ E _n,k

^{est obtenue de}

γ ∈ E _m,ℓ

^{par la première onstrution et}

τ ∈ E _n,k

^{par la}

seonde, alors

σ

^et

τ

^{sont diérentes.}

Maintenant nousexpliquonsles prinipalesdiultéspour l'implémentation delapro-

éduregen

(m, ℓ)

^{donnéeengureI.1.Laproéduregen}

(1, 0)

^génèreréursivement toutes les permutations

σ ∈ E _n,k

^{. En eet, supposons que lorsque l'on exéute l'appel réur-}

sif gen

(m, ℓ)

^{, la} permutation ourante est

σ ∈ E _m,ℓ

^{et ses exédenes sont en positions}

i ₁ , i ₂ , . . . , i _ℓ

^{.Le tableau}

t ₁

^{ontient es}

ℓ

^positions

i ₁ , i ₂ , . . . , i _ℓ

^{.D'unautre otélesindies}

dans

[m] \{ i ₁ , i ₂ , . . . , i _ℓ }

^{sont stokés dans}

t ₂

^{de taille}

r = m − ℓ

^{. Grâe au lemme I.2, la}

proédure gen

(m, ℓ)

^{génère les}permutations de

E _m+1,ℓ

^{ou de}

E _m+1,ℓ+1

^{enappliquant sur}

σ

^lesfontions

φ

^et/ou

ψ

^{.Pour obtenir :}

-

ψ(σ) ∈ E _m+1,ℓ

^{;on ajoute l'indie}

(m + 1)

^{sur ladroite de}

t ₂

⁽

t ₂ [r + 1] = m + 1

^{) et}

on exéutegen

(m + 1, ℓ)

^.

-

φ(i _j , σ)

^ave

j ∈ [ℓ]

^{;on ajoute}

(m + 1)

^{surla droite de}

t ₂

⁽

t ₂ [r + 1] = m + 1

^{). On}

atualise

σ = σ · h t ₁ [j], m + 1 i

^{eton exéutegen}

(m + 1, ℓ)

^.

-

φ(i, σ)

^ave

i / ∈ { i ₁ , i ₂ , . . . , i _ℓ }

^{; i.e., pour haque}

j 6 r

^{, on pose}

temp = t ₂ [j]

^{. On}

ajoute

temp

^{sur la droite de}

t 1

⁽

t 1 [ℓ + 1] = temp

^{) et on remplae}

t 2 [j]

^par

m + 1

^;

alors on atualise

σ = σ · h temp, m + 1 i

^{eton exéutegen}

(m + 1, ℓ + 1)

^.

Aprèshaqueappelréursif,onatualise

t ₁

^,

t ₂

^et

σ

^{pourretrouverleurvaleuravantl'appel.}

Ces opérationsrequièrent une omplexité

O (1)

^.Voirl'algorithme en gureI.1.

procedure gen(m, ℓ) r := m − ℓ

if

m = n

^thenoutput

σ

^;

else

if

ℓ 6 k

^and

m + 1 − ℓ 6 n − k

^then

t 2 [r + 1] := m + 1

gen(m + 1, ℓ)

foreah

v ∈ [ℓ]

σ := σ · ht 1 [v], m + 1i gen(m + 1, ℓ) σ := σ · h t 1 [v], m + 1 i

if

ℓ + 1 6 k

^and

m − ℓ 6 n − k

^then

foreah

v ∈ [r]

t 1 [ℓ + 1] := t 2 [v]

temp := t 2 [v]; t 2 [v] := m + 1 σ := σ · h temp, m + 1 i gen(m + 1, ℓ + 1) σ := σ · h temp, m + 1 i t 2 [v] := temp;

endproedure

E 4,1 E 4,2 E 5,1

1 4231 1 3241 1 52341 14 52134

2 1432 2 3412 2 15342 15 13245

3 1243 3 4321 3 12543 16 15243

4 3214 4 1342 4 12354 17 14235

5 4213 5 2431 5 42315 18 15234

6 1324 6 2143 6 52314 19 21345

7 1423 7 3421 7 14325 20 51342

8 2134 8 3142 8 15324 21 41325

9 4132 9 2314 9 12435 22 51324

10 3124 10 4312 10 12534 23 31245

11 4123 11 2413 11 32145 24 51243

12 52143 25 41235

13 42135 26 51234

Figure I.1 : Algorithmede génération pour lespermutations ave unnombrexéd'ex-

édenesetles listes

E _4,1

^,

E _4,2

^et

E _5,1

^.

L'algorithme produit les permutations de

E _n,k

^{en temps amorti onstant (CAT); en}

eet, dans la proédure le nombre de aluls est proportionnel au nombre d'appels ré-

ursifs. Deplus, haque appel réursif produit au moins un objetou produit deux autres

appels réursifs. Une implementation Java de et algorithme peut être vue à l'adresse

I.2.2 Permutations et mots de Fibonai ou de Luas

Leontenudeettepartieestissudel'artile[17 ℄.NousutiliseronsiilaméthodeECO

(EnumerationofCombinatorial Objets)dénieen1999 parPinzanietal.[15℄.Ils'agitde

fournir desrègles desuessions permettant de onstruire unarbrede génération dont les

noeudsd'unniveau

n

^{sont lesobjets de lalasse}ombinatoire onsidérée.Onprésentei- dessous desalgorithmes de génération baséssur ECO permettant de générer eaement

(CAT) lesmotsde Fibonai etdeLuas

p

-généralisés.L'arbredegénérationobtenunous permet d'obtenir plusieurs bijetions entre es lasses et des lasses de permutations à

motif exlus.NousobtenonsainsilagénérationCATdenouvelleslasses depermutations.

I.2.2.1 Permutations et mots de Fibonai généralisés

Unmotde Fibonai

p

-généraliséde taille

n

^{estunmot binairedetaille}

n

^{n'ayant pas}

p

^{uns onséutifs. Par exemple, le mot}

110001010111

^{est un mot de Fibonai}

4

^généra-

lisé de taille

12

^{. Soit}

F _n,p

^{l'ensemble des mots de Fibonai}

p

-généralisés de taille

n

^{. La}

ardinalité de ette ensemble est donnéepar lasuite deFibonai généralisée

f n,p

^dénie

par

f _n,p = f _n−1,p + . . . + f _n−p,p

initialisée par

f _n,p = 0

^si

n = 0

^et

f _1,p = 1

^{.En fait, on a}

plus préisément :

| F _n,p | = f _n+2,p

^{. On dénira par la suite e qu'est une} permutation de Fibonai généralisée.

Le théorème suivant donne les règles de suessions pour la suite

f _n,p

^{de Fibonai}

p

-généralisée.

Théorème I.3. Pour

p > 2

^{,un systèmederèglesde suession}

(Ω p )

^{pourla suite}

f n,p

^de

Fibonai

p

-généralisée est donné par :

(Ω _p )

 

 

 

 

 

 

 



(2 _p−1 )

(2 _{p − 1} ) (2 _{p − 1} )(2 _{p − 2} ) (2 p − 2 ) (2 p − 1 )(2 p − 3 ) . . .

(2 ₁ ) (2 _{p − 1} )(1) (1) (2 p − 1 ).

Par un simple alul utilisant les matries de prodution [64℄, on déduit la fontion

génératrie delasuite engendrée par

Ω p

^{[71 ℄:}

f _p (z) = 1 + z + z ² + . . . + z ^p−1 1 − z − z ² − . . . − z ^p = 1

z ·

1

1 − P p

i=1 z ⁱ − 1

.

Puisque

f _p (z) _p −→

→∞

1

1 − 2z

^,

Ω _p

^{produitunesortede ontinuitédisrète entrelessuitesde}

Fibonai

p

-généralisées(

p > 2

^{) etlasuite}

2 ⁿ

^.

Proposition I.4. L'arbre degénération de

(Ω _p )

^{peut être odé par les mots de Fibonai}

p

-généralisés, i.e., les mots binaires n'ayant pas

p

^{uns onséutifs. Un mot de taille}

n

^est

obtenu à partird'un mot detaille

(n − 1)

^{eninsérant la valeur0 ou1 endernière position}

Dans toute la suite une position (ou site) dans un mot (ou une permutation) est un

emplaementdansunmotavantlapremièrelettreouaprèsladernièrelettreouentredeux

lettresdumot.Lorsquel'onpermetl'insertiond'unelettresurunepositiond'unmot,alors

on diraque laposition estun site atif.

(2 ) (2 ) ₂ (2 ) ₂

(2 ) ₂ (2 ) ₁ (2 ) ₂

(2 ) ₂

(2 )

(2 )

(2 ) (2 ) (2 )

(2 )

(2 )

(2 ) (2 )

(2 ) _{2 1}

2 1 2 (1)

1 2

2

λ

1 (2 ) ₂ (1) ₁ (2 ) _{2 2}

(2 ) 2

(2 ) ₂ (1)

(2 ) ₁

0 1

00 01 10 11

000 001 010 011 100 101 110

0000 0001 0011 0100 0101 0110 1000 1001 1010 1011

(1)

1100 1101 (2 )

0010

2

Figure I.2: Lesinqpremiersniveauxdel'arbredegénérationodéparlesmotsdeFibonai

3-généralisés.

L'arbre de génération préédent induit une bijetion entre

F _n,p

^{et deux ensembles de}

permutations à motifs exlus (voir ladénition d'unmotif dansune permutation dans le

paragrapheNotationsetDénitions).Ceiexpliquelaraisonpour laquelleonpeutappeler

permutation de Fibonai

p

-généralisée une permutation appartenant à l'un de es deux ensembles de permutations.

Théorème I.5. L'arbre degénération de

(Ω _p )

^{peut être odé par les} permutations

π

^dans

S _n (321, 312, 234 . . . (p + 1)1)

^{.Lessites atifsde}

π

^{sontles deuxdernièrespositionssil'éti-}

quette de

π

^{est (}

2 _i

^{); sinon seulement la dernière position est un site atif. (Voir gure}

I.3).

(2 ) (2 ) ₂ (2 ) ₂

(2 ) ₂

(2 )

(2 )

(2 ) (2 ) (2 ) (2 )

(2 )

(2 )

(2 ) (2 )

(2 ) _{2 1}

2 1 2 (1)

1

2 1 (1) (2 ) ₂

2

1

1

(2 ) (2 ) ₂

(2 ) _{2 2 2} (1) ₂

(2 )

(2 ) ₂ (1)

(2 ) ₁ (2 )

1234_5_ 2134_5_ 2135_4_ 2143_5_ 21453_ 2314_5_ 2315_4_

123_4_ 124_3_ 132_4_ 1342_ 213_4_ 214_3_

12_3_ 13_2_ 21_3_ 231_

1_2_ 2_1_

_1_

1 1235_4_ 1243_5_ 12453_ 1324_5_ 1325_4_

231_4_

1342_5_

Figure I.3 : Lesinqpermiersniveaux del'arbredegénérationde

(Ω 3 )

^{odéparlespermuta-}

tionsdeFibonai

3

-généralisées

S n (321, 312, 2341)

^{.Lessites atifssont}représentésensoulignés.

Théorème I.6. L'arbre de génération de

(Ω _p )

^{peut être odépar les} permutations de Fi- bonai généralisées

π

^dans

S _n (231, 312, (p + 1)p . . . 321)

^.Unepermutation

π

^{a toujoursun}

site atif sur sa dernière position; de plus, dans le as où le label est (

2 _i

^{), un autre site}

atif se situe juste avant l'entrée maximale dela permutation

π

^.

I.2.2.2 Permutations de Luas généralisées

Un mot de Luas

p

-généralisé est un mot de Fibonai

p

-généralisé n'ayant pas

p

uns onséutifs lorsqu'on onsidère le mot irulairement. Par exemple, le mot

1010011

n'est pas un mot de Luas

3

-généralisé puisque

111

^{est ontenu dans le mot (onsidéré}

irulairement). Soit

L _n,p

^{l'ensemble des mots de Luas}

p

-généralisés de taille

n

^{. Pour}

n < p

^{on impose par onvention que le mot}

1 ⁿ

^{est dans}

L _n,p

^{. La ardinalité de}

L _n,p

^est

donnéeparlasuite

ℓ _n,p

^déniepar:

ℓ _n,p = ℓ _{n − 1,p} + . . . + ℓ _{n − p,p}

initialiséepar

ℓ _n,p = 2 ⁿ − 1

si

0 < n 6 p

^{.En faiton apréisément}

| L _n,p | = ℓ _n,p + 1

^si

n < p

^,et

| L _n,p | = ℓ _n,p

^sinon.Le

théorème suivant donne les règlesde suessionpour lasuite de Luas

p

-généralisée.

Théorème I.7. Pour

p > 2

^{, un système de règles de suession}

(Φ _p )

^{pour la suite de}

Luas

p

-généralisée est :

(Φ _p )

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 ^′ _{p − 1} )

(2 ^′ _{p − 1} ) (2 _{p − 1} )(2 ^′ _{p − 2} ) (2 ^′ _{p − 2} ) (2 _{p − 2} )(2 ^′ _{p − 3} ) . . .

(2 ^′ ₁ ) (2 ₁ )(1 ^′ ) (1 ^′ ) (1)

(2 _{p − 1} ) (2 _{p − 1} )(2 _{p − 2} ) (2 p − 2 ) (2 p − 1 )(2 p − 3 ) . . .

(2 ₁ ) (2 _{p − 1} )(1) (1) (2 p − 1 ),

e qui signieque

(Φ p )

^{produit la suite}

ℓ p,n

^si

n > p

^et

ℓ p,n + 1 = 2 ⁿ

^sinon.

Par un simple alul utilisant les matries de prodution [64℄, la fontion génératrie

de lasuite assoiéeà

(Φ _p )

^{est :}

ℓ _p (z) =

P p − 1

i=0 (z ⁱ − i · z ^{2p − i} ) 1 − z − z ² − . . . − z ^p .

Onobtient une ontinuité disrèteentrelasuite de Luas

p

-généraliséeest lasuite

2 ⁿ

^.

L'arbredegénération obtenune peutpasêtre odédiretement par lesmots deLuas

de

L _n,p

^{.Cependant,onpeutoderetarbreenutilisantunensemble}

K _n,p ⊆ F _n,p

^;

K _n,p

^est

l'ensemblelesmotsde

F n,p

^{quiontiennentaumoinsdeux}

0

^{s dansleurpréxedelongueur}

p + 1

^.

Proposition I.8. L'arbre degénération de

(Φ _p )

^{peut être odé par les motsdel'ensemble}

K _p,n

^{. Un mot de taille}

n

^{est obtenu d'un mot de taille}

n − 1

^{en insérant 0 ou 1 sur la}

dernière position.

L'arbredegénérationinduitaussiunebijetionentre

L _n,p

^{etdesensemblesdepermuta-}

tionsàmotifsexlusdontlesélémentsserontappeléspermutationsdeLuas

p

-généralisées.

Théorème I.9. Soit

T _p =

 

 

 



134 . . . (p + 1)2 : (p + 3)(p + 2) 134 . . . p2 : (p + 2)(p + 3)(p + 1) . . .

132 : 56 . . . (p + 3)4.

Le système de règles de suession

(Φ _p )

^{produit un arbre de génération odé par les}

permutations deLuas

p

-généralisées

S _n (321, 312, 234 . . . (p + 1)1, T _p )

^{.Lessites atifssont}

les deux dernières positions si l'étiquette est (

2 _i

^{) ou (}

2 ^′ _i

^{); sinon, seulement la dernère}

positionest ative(voir gure I.4).

(2 )

(2 ) ₂ (2 ) ₁ (2 ) ₂

(2 ) 2 2

(2 )

(2 ) (2 )

(2 )

(2 )

(2 ) (2 )

(2 ) _{2 1}

2 1

1

2 1 (1) (2 )

2

2

213_4_

1 (2 ) ₂ (2 )

(2 ) _{2 2}

(2 ) ₂ (1)

1234_5_ 2134_5_

123_4_ 124_3_ 132_4_ 1342_

12_3_ 13_2_ 21_3_ 231_

1_2_ 2_1_

_1_

1235_4_ 1243_5_ 12453_ 1324_5_ 1325_4_ 1342_5_

(2’ )

(2’ )

1 (1’)

(1 ) 2314_

2314_5_

2135_4_

2143_

(1 )

2143_5_

Figure I.4 : Les inq premiers niveaux de l'arbre de génération de

(Φ 3 )

^{. Chaquenoeud est}

odéparune permutationdeLuasdans

S n (321, 312, 2341, 1342 : 65, 132 : 564)

^.

Théorème I.10. Soit

T _p ^′ =

 

 

 



1(p + 1)p . . . 32 : (p + 3)(p + 2) 1p(p − 1) . . . 32 : (p + 3)(p + 2)(p + 1) . . .

132 : (p + 3)(p + 2) . . . 54.

L'arbre de génération de

(Φ p )

^{peut être odé par les} permutations de Luas

π

^dans

S _n (231, 312, (p + 1)p . . . 321, T _p ^′ )

^{. Une} permutation

π

^{a toujours un site atif en dernière}

position; de plus, dans le as où l'étiquette est (

2 _i

^{) ou (}

2 ^′ _i

^{), elle en possède un autre qui}

est juste avantl'entrée maximale de

π

^.

I.2.2.3 Algorithme et omplexité

Touslesensemblesétudiéspréédemment peuventêtregénérésde façonplusou moins

eae. Je donne ii seulement les algorithmes de génération des ensembles de Luas

S _n (321, 312, 234 . . . (p + 1)1, T _p )

^et

S _n (231, 312, (p + 1)p . . . 321, T _p ^′ )

^{.Unrésumé delaom-}

pléxité des algorithmes trouvés est présenté à la n de e paragraphe dans la table I.1.

Notonsquelefaitdepouvoirgénérer

K _n,p

^en

O (1)

^{nouspermetdegénérerfailement}

L _n,p

en

O (p)

^.

l1gen(i, k)

if

i = n

^{then output}

σ

^;

else

if

k 6 = 0

^then

f 1gen(i + 1, k)

^;

σ = σ · h i, i + 1 i

^;

l1gen(i + 1, k − 1)

^;

σ = σ · h i, i + 1 i

^;

else

f 1gen(i + 1, 0)

^;

end;

l2gen(i, k, t)

if

i = n

^thenoutput

σ

^;

else

if

k 6 = 0

^then

f 2gen(i + 1, k, i + 1)

^;

for

j = i

^downto

t σ = σ · h j, j + 1 i

^;

l2gen(i + 1, k − 1, t)

^;

for

j = t

^to

i

σ = σ · h j, j + 1 i

^;

else

f 2gen(i + 1, 0, i + 1)

^;

end;

Ensembles généré Complexitéen moyenne

F _p,n O (1)

S _n (321, 312, 234 . . . (p + 1)1) O (1) S _n (231, 312, (p + 1)p . . . 321) O (p)

K _p,n O (1)

L _p,n O (p)

S _n (321, 312, 234 . . . (p + 1)1, T _p ) O (1) S _n (231, 312, (p + 1)p . . . 321, T _p ^′ ) O (p)

Table I.1 : Complexité moyenne pour lagénérationde haquelasse.

I.3 Génération en ode de Gray

Le ontenu de ette partie est issu des inq artiles [19 , 26 , 25 , 24, 31℄. Elle présente

desodesde Graypour l'ensemble

L _n,p

^{desmotsde Luas}

p

-généralisés dénispréédem- ment,pour l'ensemble desdérangements, i.e, l'ensembledes permutations n'ayant pasde

point xe, pour l'ensemble despermutations ayant un nombredonné de yles,ou de mi-

nima gauhe-droite, etenn pour une famille large de lasses de permutations évitant un

ensemble demotifs.

I.3.1 Mots de Luas

p

-généralisés

Rappelonsquel'ensemble

L _n,p

^{desmotsdeLuas}

p

-généralisésdetaille

n

^{estl'ensemble}

des mots binaires de taille

n

^{ne ontenant pas}

p

^{uns onséutifs (les mots étant onsidé-}

rés irulairement). Par exemple, le mot

100011

^{est dans}

L _6,4

^{mais n'est pas dans}

L _6,3

^.

L'ensemble des mots de Fibonai

p

-généralisés est enore noté

F _n,p

^{. Remarquons qu'un}

ode de Gray est déjà onnu pour

F _n,p

^{[167 ℄. Nousavons (dans leparagraphe préédent)}

obtenu unegénérationen

O (p)

^de

L _n,p

^{.NousdonnonsiiunodedeGraypour}

L _n,p

^etun

algorithme degénération en

O (1)

^.

Dans un premier temps on obtient une ondition pour qu'il existe un ode de Gray

pour

L n,p

^{tel quedeuxélémentssuessifs dièrent d'uneetuneseule position.Pour ela,}

il est néessaire que la diérene du nombre de mots de Luas ayant un nombre pair de

uns ave lenombrede mots deLuas ayant unnombre impairde uns,soit omprise entre

-1et1.

Soient

{ φ _n } n>0

^et

{ λ _n } n>0

^{lessuitesdediérenesdeparité}orrespondantesauxsuites généralisées de FibonaietLuas :

φ _n = card(F _n,p ^′′ ) − card(F _n,p ^′ )

^{, et}

λ _n = card(L ^′′ _n,p ) − card(L ^′ _n,p ).

ou

F _n,p ^′′

^(resp.

L ^′′ _n,p

^{) est l'ensemble des mots de Fibonai (resp. Luas) ayant un nombre}

pair de uns, et

F _n,p ^′

^(resp.

L ^′ _n,p

^{) estl'ensemble desmots de Fibonai (resp.Luas) ayant}

un nombreimpair deuns.

Lemme I.11. 1.

φ _n

^vérie

φ n = φ n − 1 − φ n − 2 + · · · + ( − 1) ^p+1 φ n − p ,

^pour

n > p + 1,

^(I.1)

2.

λ _n

^{est lié à}

φ _n

^par

λ _n = φ _n−2 − 2 · φ _n−3 + · · · + ( − 1) ^p+1 p · φ _n−p−1 ,

^pour

n > p + 2.

^(I.2)

Proposition I.12. Si

φ(z)

^et

λ(z)

^{sontlesfontions} génératries pourles suites

{ φ _n } n>0

et

{ λ _n } n>0

respetivement alors 1.

φ(z) = φ ₀ + z · ( − z) ^{p − 1} · 1 + z

1 − ( − z) ^p+1 ,

^(I.3)

2.

λ(z) = X p+1 j=0

λ _j z ^j + z ^p+2 · ( − 1) ^p+1 · 1 − (p + 1)( − z) ^p + p( − z) ^p+1

(1 − ( − z) ^p+1 ) · (1 + z) .

^(I.4)

Corollaire I.13. La suite

{ λ _n } n ≥ p+2

^{est périodique de période}

2(p + 1)

^{. De plus, si on}

dénit

λ n = λ _n+2(p+1)

^{pour tout}

n = 0, 1, . . . , p + 1

^{alors safontion génératrie est}

λ(z) = ( − z) ^p+1 + (p + 1)z + p

(1 − ( − z) ^p+1 ) · (1 + z) .

^(I.5)

Corollaire I.14. La suite des diérenes deparitésorrespondant aux mots deLuas vé-

rie

λ _n,p =

( − 1) ⁿ⁺¹

^si

(p + 1) 6 | n,

( − 1) ⁿ · p

^si

(p + 1) | n.

^(I.6)

Théorème I.15. Si l'ensemble

L _n,p

^{admetun ode deGray alors}

(p + 1) 6 | n

^.

Considéronslarelation d'ordresuivanteutiliséepourobtenir unode deGraypourles

mots de Fibonaigénéralisés [167℄.

Dénition I.16. Onditque

x

^{estpluspetitque}

y

^{enordreloalrééhi,noté par}

x ≺ y

^,

si

P i

j=1 (1 − x _j )

^{est impair et}

P i

j=1 (1 − y _j )

^{est pair, où}

i

^{est la position la plusà gauhe}

telle que

x _i 6 = y _i

^.

Soit alors

L n,p

^{la liste ordonnée obtenue ave ette relation d'ordre. Onpeutmontrer}

que :

Théorème I.17.

L n,p

^{est est unode de Gray optimal. Plus} préisément, 1. Si

(p + 1) 6 | n

^alors

L n,p

^{est un}

1

^{-ode de Gray pour}

L _n,p

^.

2. Si

(p + 1) | n

^alors

L n,p

^{est un}

2

^{-ode de Gray pour}

L _n,p

^{et il y a exatement}

p − 1

mots vériant

d(x, succ(x)) = 2

^.

La table suivante présente les odes de Gray obtenus pour l'ensemble

L _n,p

^lorsque

(n, p) = (4, 2)

^et

(n, p) = (4, 3)

^.

L 4,2 L 4,3

0 1 00 0 1 1 0

0 1 0 1 01 00

0 0 01 0 1 01

0 00 0 00 01

0 01 0 0 0 0 0

1 01 0 00 10

1 00 0 0 0 1 1

1 0 1 0

10 00

10 0 1

1 10 0

Table I.2 : Leslistes

L 4,2

^et

L 4,3

^{.Lesmodiations de bits sonten gras.}

Un algorithme de génération CAT pour ette liste est naturellement obtenu par une