Ce dernier est variable car selon le sens de passage de la particule, celle-ci doit toujours être accelérée par le champ (voir fig

Université “François Rabelais” de Tours L2 Sciences de la Matière 2016–2017

Modélisation, Simulations, Outils Informatiques

TD0 : Accélération de particules, cyclotron

Un cyclotron est un accélérateur de particules composé de deux demi-disques soumis à un champ magnétique constant (ce qui permet de courber la trajectoire de la particule accelérée), séparés par un petit gap, dans lequel on impose un champ électrique variable (qui permet d’accélérer la particule). Ce dernier est variable car selon le sens de passage de la particule, celle-ci doit toujours être accelérée par le champ (voir fig. 1).

E

B B

E

Figure 1 – modèle simplifié de cyclotron

Un modèle simplifié d’un tel appareil est décrit par le dispositif suivant. On considère un point matériel, portant une charge électriqueqet une massem, dans un champ magnétique uniforme, B = B₀e_z et un champ électrique, dépendant du temps, E(t) = E₀e_xcos⌦t. Dans le cas du cyclotron, la grandeur ⌦ permet de faire coincider l’oscillation du champ électrique avec le mouvement de la particule, afin que cette dernière se retrouve tout le temps accelérée dans le bon sens lorsqu’elle passe entre les deux demi-disques.

Les équations du mouvement du point matériel, dans l’approximation non–relativiste, sont données par les expressions suivantes

dp

dt =mdv

dt =qv^B+qE(t) dr

dt =v

(1)

1

On pose comme conditions initiales r(0) = (0,0,0) et v(0) = (v₀,0,0). On cherche à afficher trajectoire et énergie cinétique du point matériel comme fonctions du temps.

1. Montrer que [qB₀/m] = [T] ¹, [E₀/B₀] = [L][T] ¹ et en déduire la quantité qui peut servir comme unité de longueur.

2. En posant ! ⌘qB₀/m et v ⌘uE₀/B₀, introduire ⌧ ⌘ !t et déduire que les équations du mouvement peuvent s’écrire sous la forme

du

d⌧ =u^e_z+b(⌧)e_x (2)

où b(⌧) = cos[(⌦/!)⌧].

3. Ecrire cette équation sous forme matricielle et montrer que l’équation pour la composante u_z(⌧)se découple et est une constante du mouvement,u_z(⌧) =u_z(0)et que les équations du mouvement pour les autres composantes deviennent

d d⌧

✓ u_x u_y

◆

=

✓ 0 1 1 0

◆ ✓ u_x u_y

◆ +

✓ b(⌧) 0

◆

(3) 4. On cherche à résoudre cette équation, que l’on peut écrire comme

d

d⌧u_?= i _yu_?+b(⌧) (4) où l’on a introduit la matrice de Pauli

y =

✓ 0 i i 0

◆

(5) qui satisfait la relation ²_y =I_2⇥2, où I_2⇥2 est la matrice identité et

b(⌧) =

✓ b(⌧) 0

◆

(6) On peut exprimer la solution générale de l’équation (4) comme

u_?(⌧)⌘e^{i y⌧}w_?(⌧) (7) qui implique que w_?(⌧)satisfait l’équation

d

d⌧w_?(⌧) =e ^{i y⌧}b(⌧) = (I_2⇥2cos⌧ i _ysin⌧)b(⌧) =

✓ cos⌧ sin⌧ sin⌧ cos⌧

◆0

@ cos

✓⌦

!⌧

◆ 0

1 A

, d

d⌧w_?(⌧) = 0 BB

@

cos⌧ cos

✓⌦

!⌧

◆

sin⌧ cos

✓⌦

!⌧

◆ 1 CC A

Résoudre cette équation et, en imposant les conditions initiales, trouver u_?(⌧)ainsi que(8) la trajectoire, r(⌧).

2

5. Ecrire un programme en C, qui prend comme entrées la vitesse initiale et le nombre d’iterations et affiche la trajectoire. On travaille sous l’hypothèse queu_z(0) = 0.

Pour estimer la vitesse initiale, on se sert de la thermodynamique : k_BT =

⌧1

2m||v||² (9)

On travaille avec des protons, dont l’énergie de repos est E = mc² ⇡ 1 GeV et l’on prend T = 300K ainsi quek_B⇡1,38⇥10 ²³m ²kg s ²K ¹. Sous ces conditions, après combien de tours atteindra-t-on une énergie cinétique de 1 MeV ? Et combien de temps sera nécessaire ?

6. Comparer le mouvement décrit par ces équations avec le mouvement lorsque le champ électrique agit par à-coups, seulement lorsque la particule traverse l’axe Oy.

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