Alexandre Grothendieck
I. G´en´eralit´es sur les (pr´e)d´erivateurs. [1]-[126]
1. Pr´eliminaires sur les foncteurs images inverses des pr´efaisceaux sur des
cat´egories d’indices, et leurs adjoints multiples . . . [1]
2. Pr´eliminaires heuristiques sur les d´erivateurs . . . [4]
Morphismes homotopiquement propres, homotopiquement lisses . . . [53]
Notions deD-´equivalence et de D-contractibilit´e . . . [61]
D-fibrations . . . [76]
II. Cofinalit´e (`a droite et `a gauche) (pr´eliminaire `a la cofinalit´e cohomologique). [1]-[99] 1. Cofinalit´e cohomologique . . . [1]
2. Les cat´egories localement filtrantes sont les cat´egories localement totalement 0-connexes . . . [11]
3. Retour sur la cofinalit´e . . . [37]
4. Foncteurs biasph´eriques . . . [49]
5. Dualit´e formelle . . . [69]
6. Transporteurs, noyaux, stabiliseurs relatifs `aW. . . [83]
7. Morphismes cofiltrants et localement cofiltrants . . . [90]
III. Hom externes dans les d´erivateurs. [1]-[12] 1. Relation des d´erivateurs avec la cat´egorie Hot . . . [1]
IV. Diagrammes substantiels. [73]-[83] Construction de diagrammes substantiels pour un d´erivateur . . . [73]
V. Cat´egories de chemins et localisation. [1]-[52] 1. La cat´egorie des chemins . . . [1]
2. Calcul d’une cat´egorie de fractionsXΣ−1. . . [5]
3. Passage aux cat´egories de diagrammes . . . [28]
VI. HOT. [1]-[204] Le d´erivateur HOT . . . [1]
Nouvelle version de la th´eorie de HOTW . . . .[171]
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VII. Cat´egories de chemins (2). [1]-[171]
1. Intervalles et leur variantes . . . [1]
2. Sous-cat´egories pleines d’un intervalle . . . [10]
3. Chemins. Cat´egorie de chemins d’un type donn´eτ. . . [13]
4. Cat´egorie de chemins Ch(X) . . . [24]
5. Propri´et´es des morphismes d’intervalles . . . [31]
6. Composition dans Ty . . . [48]
7. Explicitation des cat´egories de fractionsXΣ−1 en termes des Ch(X;a, b) . . [59]
8. Le lemme d’homotopie pour les morphismes d’intervalles . . . [83]
9. Th´eor`eme d’homotopie pour les cat´egories de chemins . . . [94]
10. Question de comparaison pour les cat´egories Cat-fibr´ees satisfaisant au “th´eor`eme d’homotopie” (base filtrante) . . . [99]
11. Rapide retour sur les (M,Σ), dans l’optique des d´erivateurs . . . .[129]
12. Retour sur les ‘cat´egories de chemins’ dans Cat, comme cat´egorie de mod`eles pour Hot . . . .[137]
13. O`u on prouve enfin que Ch(X;−,−) est aussi bon (voire meilleur) que Ch∞(X;−,−) . . . .[157]
VIII. 1-types d’homotopie relatifs : leur int´egration . . . [1]-[9] 1. Int´egration des 1-types d’homotopie relatifs sur une cat´egorie. . . [1]
2. Questions de changement de base . . . [6]
IX. Retour sur les cat´egories MW−1, comparaison avec Quillen. [1]-[25] 1. Fonctorialit´e de ChΣ∞(a, b) ena,bdansMΣ−1. . . [1]
2. Comparaison avec Quillen . . . [14]
3. Essai de construction du foncteur Ω . . . [24]
X. Comparaison de Cat avec ∆∧. [1]-[5] 1. Rappel des notions deD-asph´ericit´e, et lien avec le ‘localisateur fondamentalWD’ . . . [1]
XI. Hot-fibrations, foncteurs propres et foncteurs lisses etc. [127]-[136] (dans Cat). 1. Hot-fibrations dans Cat . . . .[127]
XII. Caract´erisation deW∞. FoncteursW-propres, W-lisses etc. Sommes amalgam´ees et carr´esW-cocart´esiens dans Cat. [1]-[275] I Caract´erisation deW∞. . . [1]
II Perplexit´es sur les axiomes et la terminologie . . . [18]
III Classes remarquables de foncteurs li´es `aW . . . [22]
IV Sur l’axiome W(4) et ses variantes . . . [53]
V Sommes amalgam´ees et carr´esW-cocart´esiens dans Cat . . . [59]
1. G´en´eralit´es surU,→Xi ←j-T et les sommes amalgam´ees. . . [59]
1.1. Donn´ees de recollement entre un ouvert et un ferm´e . . . [59]
1.2. Relation avec le recollement des topos . . . [61]
1.3. Fl`eches dans Cat, de source ou but un objet recoll´e (X, U, T) . [65]
1.4. Construction de sommes amalgam´ees `a partir d’une immersion
ouverte o`u ferm´ee . . . [66]
2. Sommes amalgam´ees etW-´equivalences . . . [75]
2.1. Axiome du carr´e cocart´esien et axiome du cube (ou ‘Lemme des cinq’) . . . [75]
2.2. Application aux carr´es cocart´esiens d´eduits d’une immersion ouverte ou ferm´ee . . . [80]
2.3. Objets totalementW-asph´eriques de Cat, et morphismes totalementW-asph´eriques . . . [87]
2.4. Application aux immersions ouvertes dwy´eriennes . . . [107]
2.5. Compl´ement : crit`ere d’asph´ericit´e totale d’une cat´egorie W-propre sur une autre . . . [115]
3. Sommes amalgam´ees et int´egration . . . [121]
3.1. R´eduction canonique au cas d’un diagramme d’immersions ferm´ees . . . [121]
3.2. Comparaison de l’int´egrale avec une somme amalgam´ee ordinaire. Carr´esW-homotopiquement cocart´esiens . . . [128]
3.3. Int´egration propre versus int´egration lisse. ´Enonc´e d’´equivalence entre les deux points de vue. Commentaires sur le cas des limitesW-homotopiques quelconques . . . [133]
3.4. Crit`eres pour les carr´es homotopiquement cocart´esiens. . . [146]
3.5. Applications aux sommes amalgam´ees dans une cat´egorieX∧ (avecX ∈Ob Cat) . . . [158]
VI Crit`ere deW∞-asph´ericit´e pour les Ωn(X, x) . . . .[171]
1. Cogitations surWn. . . [171]
2. Crit`ere deWn-asph´ericit´e . . . [187]
3. Sur la philosophie des fibres homotopiques . . . [191]
4. Axiomatisation des ‘fibresW-homotopiques’ . . . [207]
5. Axiomatique desW-types d’homotopie relatifs non localement constants HoLW(S) . . . [218]
6. CofibreW-homotopique dans Cat . . . [227]
7. Retour sur l’axiomatique de la fibreW-homotopique. . . [240]
8. Appendice : Retour sur les axiomes W(7), W(7 bis) (pages 75, 76) [265] XIII. Cat´egories de mod`eles (1). [1]-[98] 1. Couples de Quillen (Φ,Ψ) . . . [1]
2. Cat´egories de Quillen faibles, et construction d’icelles (Th´eor`eme-scholie conjectural) . . . [7]
3. Cat´egories de Quillen (deuxi`eme mouture) . . . [27]
4. Les variancesu∗,u∗, u! pour (M(I), W(I)) (I variable) . . . [44]
5. Cat´egories de mod`eles quill´enisables . . . [50]
6. Cat´egories de mod`eles quill´enisables, et foncteursu!,u∗ . . . [57]
7. Filtrations cardinales et parties accessibles d’une grosse cat´egorie . . . [77]
XIV. Carr´es h-cart´esiens et h-cocart´esiens. [1]-[8]
1. Axiomes de structures quadrangul´ees (une tentative avort´ee) . . . [1]
2. Exemples . . . [7]
XV. Th´eor`emes de factorisation. (Mod`eles (2)). [1]-[137] 1. Construction fondamentale : la suite transfinie de factorisation d’une fl`echef. . . [1]
2. Variation des factorisationsf =pαiαavec la partieC0 g´en´eratrice. . . [12]
3. Majoration des cardinaux . . . [16]
4. Compl´ements sur les structures de Quillen . . . [28]
5. R´esultats t´echniques pr´eliminaires sur les parties accessibles de ObM, stables par limites inductives filtrantes . . . [43]
6. Essai avort´e pour un crit`ere d’engendrement des parties L-accessibles de Fl(M). . . [73]
7. Construction de triples de Quillen clos avecC= Mon⊂CofW . . . [84]
8. Application aux cat´egories de mod`eles (A, Wb A) . . . .[100]
9. R´evision des notations, pour les axiomes d’un localiseur fondamental . . . . .[116]
10. Application au d´erivateur HOTW . . . .[134]
XVI. Localiseurs fondamentaux dans Cat. [1]-[124] 1. Axiomes Loc (1) `a Loc (3) (et variantes): localiseurs fondamentaux . . . [1]
2. Axiomes Loc (4) et Loc (5) (des sommes directes, de connexit´e) . . . [8]
3. Axiome Loc (6) du carr´e cocart´esien . . . [160] 4. Axiome Loc (7) desW-fibrations . . . [27]
5. Axiome des limites Loc (8), et l’axiome Loc (9) d’accessibilit´e . . . [71]
6. La condition Loc (5,DWω) impliqueW ⊂W∞ . . . [83]
7. Commentaires sur les axiomes . . . [97]
XVII. Cat´egories `a fibrations et `a cofibrations. (Mod`eles (3)). [1]-[118] 1. Pr´eliminaires . . . [1]
2. Description deCI ⊂Fl(M(I◦)), pourI ensemble ordonn´e . . . [25]
3. Cat´egories de mod`eles `a cofibrations . . . [39]
4. Cat´egories `a cofibrations sp´eciales . . . [71]
5. Relation des cat´egories `a cofibrations sp´eciales avec les cat´egories de Quillen sp´eciales . . . [84]
6. Application `a la construction des d´erivateurs (associ´es aux triples de Quillen sp´eciaux) . . . [98]
XVIII. Cat´egories et ensembles accessibles. [50]-[492] 4. Paratopos et l’op´erationM£N . . . [50]
4.1. Pseudo-topos. Probl`eme du produit . . . [50]
4.2. Cafouillages surM£N. . . [57]
4.3. L’op´erationM£N et l’axiome d’accessibilit´e . . . [64]
4.4. ´Etude de Indπ(C) (pourC petite cat´egorie stable par lim−→ de cardinal≤π) . . . [79]
4.5. Filtration cardinale canonique d’une cat´egorieU-paratopos . . . [106]
4.6. Caract´erisation des cat´egories paratopos (d´emonstration de 4.3.6) . [139] 4.7. IndπC(C quelconque) et filtrations cardinales g´en´eralis´ees . . . [161]
4.8. Cat´egoriesU-accessibles . . . [187]
4.9. Le th´eor`eme de repr´esentation indicielle pour Indπ(C) . . . [217]
4.10. Le th´eor`eme de repr´esentation indicielle : d´emonstration . . . [243]
4.11. Application `a l’existence des limites dans une cat´egorie de la forme Indπ0(C) . . . [267]
4.12. Foncteurs accessibles entre cat´egories accessibles . . . [273]
4.13. Ensembles accessibles d’objets d’une cat´egorie accessible. . . [281]
4.14. Crit`eres d’accessibilit´e pour grosses cat´egories . . . [370]
4.15. Cat´egorie accessible sur une autre . . . [425]
4.16. Exemples et questions . . . [464]
4.17. Retour sur les paratopos, et sur les op´erationsM£N, Hom!(M,N)[492] Appendice. [1]-[19] Ultraproduits de corps, et cat´egories accessibles . . . [1]
Application `a un exemple d’une sous-cat´egorie non accessible . . . [11]
XIX. Mod`eles (4). [1]-[50] 1. Rappels sur les couples de Quillen (couples de Quillen sp´eciaux) . . . [1]
2. Rappels sur les triples de Quillen clos et les triples de Quillen sp´eciaux . . . . [13]
3. Cas des cat´egories `a cofibrations, des cat´egories `a fibrations . . . [33]
Note. Dans cette table de mati`eres, ainsi que dans l’´edition ´electronique provisoire des “D´erivateurs”, on suit le d´ecoupage de l’ouvrage effectu´e a posteriori par Grothendieck. Les num´eros des pages sont ceux de l’original, indiqu´ees entre crochets dans le texte num´eris´e. Le chapitre XI, qui commence `a la page 127, ´etait `a l’origine la derni`ere section du chapitre I, qui se termine `a la page 126. De mˆeme, le chapitre XVIII ´etait la section 4 du chapitre XIX.
