QUE SAIS-JE ?
GASTON CASANOVA Agrégé de mathématiques
Docteur ès-sciences
puf
OUVRAGES DU MÊME AUTEUR Cours de mathématiques spéciales (4 vol.), Paris, Ed. Belin.
La relativité restreinte, Paris, Ed. Belin.
L'algèbre de Boole, PUF, « Que sais-je ? », n° 1246.
Les séries mathématiques, PUF, « Que sais-je ? », n° 1567.
L'algèbre vectorielle, PUF, « Que sais-je ? », n° 1657.
ISBN 2 13 035584 6 Dépôt légal. — 1 édition : 2e trimestre 1978
© 1978, Presses Universitaires de France Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation
réservés pour tous pays
INTRODUCTION
L'évolution moderne des mathématiques privilé- gie la notion de structure, c'est-à-dire les relations logiques entre les objets mathématiques, indépen- damment de leur nature particulière. En consé- quence, la généralité des résultats obtenus facilite la solution de problèmes d'origines très diverses.
Les structures réunissent ainsi ce qui était séparé et révèlent des liens logiques entre des faits mathé- matiques en apparence isolés. Il s'agit bien d'un enrichissement et d'un approfondissement d 'une connaissance de plus en plus conceptuelle qui se construit à partir de multiples résultats plus concrets.
Même dans l'enseignement élémentaire l'introduc- tion des structures permet de larges synthèses im- pliquant une économie de pensée, mais elle ne supprime pas du même coup les difficultés inhérentes à une réflexion et à un raisonnement qu'elle infléchit sans les altérer.
A cet égard la notion d'espace vectoriel est essen-
tielle, car elle est à la base de la définition des
applications linéaires qui transforment de façon par-
ticulièrement simple un espace vectoriel dans un
espace vectoriel, mais cette notion fondamentale
n'est pas, historiquement, une notion primitive puis-
qu'elle a été longtemps ignorée et précédée par la
notion d'espace ponctuel. Le point mathématique,
image idéale du point sensible, est le plus simple
de tous les concepts géométriques, celui dont l'assi-
milation est la plus aisée parce qu'elle ne peut,
à vrai dire, être dissociée de ses représentations
physiques. C'est à partir de cette idée de point sans dimension que les mathématiciens élaborèrent ultérieurement la notion de vecteur, indispensable à la représentation des forces utilisées par la méca- nique des corps solides. Ces vecteurs ont une ori- gine A et une extrémité B qui définissent dans l'espace à trois dimensions de la géométrie usuelle un sens, une droite AB, support du vecteur, et une longueur. En ne retenant de la droite AB que sa seule direction, les géomètres introduisent la notion d'équipollence, deux vecteurs équipollents ayant même sens, même grandeur et des supports parallèles. Tous les vecteurs équipollents au vec- teur AB et le vecteur AB lui-même sont alors sym- bolisés par un unique vecteur, dit vecteur libre V, élément d'un espace vectoriel qui est défini par l'en- semble des vecteurs libres de l'espace ordinaire.
Cette notion est ensuite le point de départ de deux sortes de généralisations. La première étend de façon quelconque le nombre possible des dimensions de l'espace, tandis que la seconde, pour caractériser l'espace vectoriel, considère seu- lement l'ensemble des opérations effectuées sur les vecteurs.
La définition obtenue ainsi est indépendante de la nature même des éléments, qui peuvent être des vecteurs libres mais aussi des suites numériques, des applications, des ma- trices. On obtient alors la définition formelle, structurelle, des espaces vectoriels, achèvement particulièrement simple d'une longue évolution historique. Remarquons cependant, pour éviter toute confusion, que les suites numériques d'un espace vectoriel peuvent être appelées vecteurs, mais n'en restent pas moins des suites numériques et n'en deviennent pas pour autant des vecteurs géométriques.
Plus généralement la mathématique moderne doit se garder de répandre des illusions en laissant croire qu'elle peut déduire l'existence des figures géométriques de la struc- ture d'espace vectoriel sans avoir besoin de recourir, si peu que ce soit, aux images sensibles élaborées par notre percep- tion du monde extérieur. On peut en effet définir une struc- ture affine sur les éléments d'un ensemble dont la nature n'est pas précisée et démontrer ensuite que tout espace vec-
toriel peut être muni, en un certain sens, de cette structure affine. On peut appeler alors points les éléments de cet espace considéré du seul point de vue de sa structure affine.
Cette convention de langage ne pose pas de question par elle-même, mais elle ne fait pas sortir du domaine de cette structure dont elle n'est qu'une traduction commode. Or les structures sont incapables, par définition, de nous ren- seigner sur la nature des éléments considérés, puisque toute structure est précisément indépendante de la nature des éléments qu'elle met en relation. Pour construire effective- ment un espace affine, on doit admettre que la notion intui- tive de point géométrique est indispensable. Si donc on laisse croire qu'une structure affine sur un ensemble d'élé- ments de nature non précisée permet de définir l'espace affine géométrique par une simple convention de langage, on utilise un paralogisme très proche du galimatias.
L'espace vectoriel n'est qu'un dérivé abstrait de l'espace affine dont il s'est lentement dégagé, et tous deux sont unis dans le concept classique de géométrie, représentation idéale du monde extérieur des formes concrètes. Les fonctions mathématiques de ces deux espaces n'ont pas le même poids et toute tentative de différencier leurs éléments par simple convention confère un caractère très artificiel au dédouble- ment des transformations géométriques qui en résulte. Pour- quoi distinguer les homothéties vectorielles des homothéties affines, ce qui est tout le contraire d'une économie de pensée, si la distinction entre points et vecteurs est purement for- melle ? En réalité, seules les relations mutuelles entre points et vecteurs qui s'imposent en géométrie affine permettent de comprendre pourquoi il est utile d'associer à une trans- formation affine une application linéaire essentiellement vectorielle.
Comme la notion de point, la longueur est une notion primitive en géométrie, une exigence immédiate de la ré- flexion. Equerre et compas dans la pratique, théorème de Pythagore et éléments d'Euclide dans la théorie ont servi les uns et les autres pendant des siècles aux premières études géométriques. C'est seulement à une époque récente que cette tradition a été remise en question après que la critique moderne eut fait apparaître le grand nombre d'axiomes mis implicitement en jeu dans les figures les plus simples de la géométrie. Les cas classiques d'égalité des triangles ont alors fourni une cible commode aux partisans d'une formalisation complète de la géométrie qui ont réclamé l'abandon jusque dans l'enseignement élémentaire de toute référence à un déve-
loppement historique traditionnel afin de mieux préparer l'accès des générations nouvelles aux sciences exactes de l'avenir.
D'où la tentation d'utiliser pour cette initiation la voie royale que suggère la notion d'espace vectoriel et d'intro- duire ensuite sur cette base solide les notions métriques et affines. Un semblable renversement des priorités est théori- quement séduisant, mais il ne peut vraiment profiter qu'aux esprits qui s'installent très naturellement sur les sommets.
De ce fait, il serait inadapté à l'instruction du plus grand nombre et ne servirait qu'à opérer une sélection aussi sévère qu'injustifiée. C'est pourquoi la rénovation de l'enseignement de la géométrie s'est orientée tout naturellement vers l'intro- duction prioritaire des notions affines, à mi-chemin des notions vectorielles et des notions métriques, permettant ainsi faci- lement une double ouverture dans ces deux directions. Nous n'entendons pas discuter ici dans le détail des problèmes qui restent difficiles et ne comportent certainement pas de solu- tion parfaite, satisfaisant à la fois aux exigences de rigueur des mathématiciens et aux contraintes imposées par les utili- sations pratiques d'un enseignement qui ne peut se réduire à un simple jeu de l'esprit. D'autant plus que les élèves qui doivent le suivre n'ont pas nécessairement tous les mêmes motivations, les mêmes aptitudes ou les mêmes goûts.
Nous exposerons dans ce petit livre tout d'abord la théorie des espaces vectoriels, avant d'aborder la théorie générale des applications linéaires qui sera suivie d'une étude des endomorphismes et des projecteurs. Cette étude géométrique introduira l'al- gèbre des matrices, les formes linéaires et les espaces duaux, les déterminants et les équations linéaires.
Vecteurs propres et matrices semblables achèveront un exposé qui peut être utile au niveau du second cycle de l'enseignement et, au-delà, aux étudiants des classes préparatoires spéciales ou à ceux du premier cycle de l'enseignement supérieur.
Dans un autre fascicule de cette collection, inti- tulé Espaces euclidiens et hermitiens, nous exposerons, après l'étude des formes bilinéaires, les problèmes de la géométrie affine.
CHAPITRE PREMIER ESPACES VECTORIELS
I. — Définition
Nous donnons la définition de ces espaces.
Soient un corps K et un ensemble E dont les élé- ments 1 , 2 ... sont appelés vecteurs et sur lesquels est définie une loi d'égalité. L'ensemble E est appelé espace vectoriel sur K (ou K-espace vectoriel, en abrégé K-e.v.) si, et seulement si :
1° il existe une loi d'addition sur E qui confère à E une structure de groupe additif abélien ; 2° il existe une loi externe opérant sur E avec les éléments de K de façon que, pour tout α ∈ K et pour tout V ∈ E, il existe V E tel que V = α cette multiplication vérifiant en outre les axiomes suivants :
[1] pour tous α , β de K et tout V de E [2] pour tout α de K et tous V V de E [3] pour tous α , β de K et tout V de E [4] si e est l'élément neutre de K.
L'existence d'une loi d'égalité sur E est une exi-
gence fondamentale puisque axiomes et propriétés
des e.v. supposent l'écriture d'égalités. De plus,
les éléments de l'e.v. E sont appelés très générale-
ment vecteurs quelle que soit leur nature précise.
Le fait que E ait une structure de groupe additif abélien signifie que, étant donnés deux vecteurs quel- conques 1 et 2 de E, il existe dans E un vecteur somme V = 1 + 2 = 2 + 1 (groupe commu- natif), qu'il existe un élément neutre pour l'addition, appelé vecteur nul et noté 0, ce qui permet d'écrire V 0 = 0 + V = V pour tout V de E, qu'enfin il doit exister, pour tout V de E, un unique opposé, noté — V et tel que V + (— V = O
La loi multiplicative est dite externe car les éléments de K sont distingués des éléments de E, et de ce fait appelés scalaires. On remarque que, dans la définition donnée, ces scalaires opèrent à gauche sur les vecteurs. Par suite, on dit souvent que E est un e.v. à gauche. On définirait un e.v.
à droite si les éléments de K opéraient seulement à droite sur les vecteurs. S'ils peuvent opérer à gauche comme à droite on dira simplement que E est un e.v. Il en est souvent ainsi lorsque K est le corps des réels noté R.
Une propriété importante de cette loi externe est résumée dans l'égalité :
0 = O
(0, élément neutre de l'addition).
En effet ( α + 0) V = α + 0 d'après [1].
Mais α + 0 = α , puisque 0 désigne l'élément neutre de l'addition dans K Donc :
α = α + 0 et 0 = O
En conséquence α = O tout α de K car : α = α + 0
et α = α. 0 = ( α 0) V d'après [3].
Donc α = 0 = O
Enfin α = O implique α = 0 ou V = O Si en effet, α ≠ 0, α existe puisque K est un corps et α = ( α α ) V = e = V d'après [4]. Mais α = O implique α = α O = O et donc V = O
II. — Exemples
L'exemple le plus naturel est celui des vecteurs libres de la géométrie ordinaire qui a manifestement une structure d'e.v. sur R.
D'autres exemples sont aisément obtenus en consi- dérant d'autres êtres mathématiques que les vec- teurs géométriques.
a) Soit l'ensemble E des fonctions numériques ƒ définies sur un intervalle [a, b] de R Si g ∈ E, on dit que ƒ = g si, et seulement si, ƒ(x) = g(x) pour tout x de [a, b]. Dès lors ƒ + g est définie par (ƒ + g)(x) = ƒ(x) + g(x) et λ ƒ par (λ ƒ)(x) = λ ƒ(x) pour tout λ de R
On vérifie aisément que tous les axiomes qui définissent une structure d'e.v. sont satisfaits.
b) On dit souvent que R est e.v. sur lui-même.
Soit en effet un vecteur u dans l'espace de la géométrie ordinaire. Tout vecteur V de cet espace, dont le support est parallèle à celui de u, peut être écrit λ λ étant un réel, si bien que la seule donnée de R définit tous les vecteurs V si u est supposé choisi. Or cet ensemble λ vérifie tous les axiomes de définition des R - . C'est en ce sens que l'on peut dire que R est e.v. sur lui-même.
Plus généralement, un corps quelconque est e.v.
sur lui-même. Il suffit de faire jouer à ses éléments
deux rôles différents, d'une part le rôle d'éléments
du groupe additif abélien de K, d'autre part le
rôle d'opérateurs agissant sur les éléments de K
pour définir la loi externe de la structure d'e.v.
c) On peut encore remarquer que la définition générale des e.v. n'exige pas la commutativité du corps K.
III. — Sous-espaces vectoriels Une partie E' du K-e.v. E peut être aussi un e.v.
pour les lois de composition de E. On dit alors que E' est un s.e.v. (sous-espace vectoriel) de E.
Cette notion de s.e.v. facilite la recherche de struc- ture d'e.v. On a en effet le résultat suivant.
Une partie E', non vide, de l'e.v. E est un s.e.v.
de E sur K si, et seulement si, elle est stable pour les lois interne et externe de E. Cette stabilité équivaut aux deux affirmations suivantes :
1) (V se lit : pour tout) ;
2) Ces conditions sont évidemment nécessaires, puisque E' doit avoir une structure d'e.v., mais elles sont en outre suffisantes. En effet, montrons tout d'abord qu'il existe sur E' un groupe additif abélien. Puisque E' est non vide, il admet au moins un élément V donc aussi l'élément — V d'après le 2° et, en conséquence, V + (— V = d'après le 1°, c'est-à-dire le vecteur nul, donc un groupe additif abélien compte tenu du 1). Enfin la loi externe qui opère sur E opère aussi sur E' d'après le 2), et les axiomes de définition d'un e.v.
sont ainsi tous vérifiés. L'intérêt de ce résultat est d'éviter la vérification complète sur E' de tous les axiomes de définition d'un e.v.
Exemples :
a) Soit à démontrer que les fonctions numériques
continues sur [a, b] forment un e.v. sur R. On
remarque que ces fonctions sont un s.e. de l'e.v. E sur R des fonctions numériques. Il suffit donc, pour pouvoir appliquer le résultat précédent, de vérifier que la somme de deux fonctions continues est aussi une fonction continue et que λ ƒ est conti- nue ( sans difficulté. ∀ λ ∈ ) si ƒ est continue, ce qui se fait b) Le vecteur nul de E, e.v. sur K, est une partie de E qui constitue un s.e.v. sur K à lui tout seul puisque O + O = O et que λ = O, ∀ λ ∈ K.
c) Plus généralement, il est facile de prouver que tout e.v. sur K admet des s.e.v. Soient, en effet, puisque E est non vide, p vecteurs distincts (p ≧ 1), 1 , 2 , ..., V du K E. L'ensemble E' des vecteurs :
où les parcourent K est un s.e.v. de E, car, si
puisque De même : .
ce qui suffit à prouver la structure de s.e.v. de E' d'après le résultat précédent.
On dit que E' est engendré par les V et que ceux-ci sont des générateurs de E'.
IV. — Sous-espaces supplémentaires On dit que deux s.e.v. E1 et E2 de l'e.v. E sont supplémentaires :
1° s'ils sont disjoints, c'est-à-dire s'ils n'ont pas
d'autre élément commun que le vecteur nul O ;
2° si tout vecteur V de E peut être la somme d'un vecteur 1 de E1 et d'un vecteur 2 de 2 . En conséquence, cette décomposition de V en 1 + 2 est unique car, si l'on pouvait avoir aussi 1 + 2 avec 1 ∈ E1 et 2 ∈ E2, l'égalité :
V + 2 = 1 + 2 s'écrirait :
1 - 1 = 2 - 2 , avec :
1 — 1 ∈ 1, 2 — 2 ∈ 2 .
Comme le seul vecteur commun à E1 et E2 est O, on doit avoir 1 — 1 = O, 2 — 2 = O, c'est-à- dire 1 = 1 , 2 = 2 , ce qui démontre la proposition.
La réciproque est exacte, c'est-à-dire que, si la décomposition de V est unique, les deux s.e.v. E1 et E2 sont disjoints. Si, en effet, il existait V commun, non nul, on pourrait écrire :
V = O + V avec O ∈ E1 et V ∈ E2 et : V = V + O avec V ∈ E1 et O ∈ E2 puisque V est commun par hypothèse et que O ap- partient à tout s.e.v., donc à E1 comme à E2.
Alors la décomposition ne serait pas unique, et l'hypothèse V commun et non nul doit être rejetée.
On remarque que la définition des s.e.v. disjoints est un peu différente de celle des ensembles dis- joints, car deux ensembles disjoints n'ont en com- mun que l'ensemble vide qui ne contient aucun élément, tandis que deux s.e.v. disjoints ont en commun un vecteur, certes nul, mais formant à lui tout seul un ensemble non vide.
Voici un exemple important de s.e.v.
Soient E le R-e.v. des fonctions numériques défi- nies sur [— 1, 1], E1 le sous-ensemble des fonctions paires, c'est-à-dire telles que ƒ(— x) = ƒ(x) pour tout x ∈ [— 1, 1], et E2 celui des fonctions impaires, c'est-à-dire telles que ƒ(- x) = - ƒ(x) pour tout x ∈ [ — 1, 1]. On voit tout d'abord que E1 et E2 sont des s.e.v. de E car ƒ + g et λ ƒ sont paires si ƒ et g sont paires et si λ ∈ R De même ƒ + g et λ ƒ sont impaires si ƒ et g sont impaires.
De plus E1 et E2 sont disjoints car : ƒ(x) = ƒ(— x) = — ƒ(x)
impliquent ƒ = 0, c'est-à-dire que ƒ est la fonction nulle (le vecteur nul) de E. Enfin, si ƒ ∈ E :
ƒ(x) = [ƒ(x) + ƒ(–x)]/2 + [ƒ(x) — ƒ(— x)]/2 montre que toute ƒ de E est la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire, c'est-à-dire la somme d'une fonction de E1 et d'une fonction de E2.
Ainsi, notre assertion est prouvée.
V. — Opérations sur les e.v.
Nous définissons les opérations somme, somme directe et produit, quotient et « différence » de deux ou de plusieurs s.e.v. d'un K-e.v. noté E.
Somme. Si E1, E2, ..., Ep sont des s.e.v. de E et si 1 ∈ 1 , 2 ∈ 2 , ..., ∈ E, l'ensemble des V définis par :
lorsque 1, 2, ..., parcourent respectivement [5]
E1 , E2, ..., E, est un e.v. comme on le vérifie ai-
sément en appliquant le théorème du s.e.v., c'est dire
le résultat du III. De plus l'addition définie par [5] est manifestement associative et commutative.
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