Les glissements de terrains en 2D et 3D Etude Comparative entre Flac et Plaxis

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique UNIVERSITE 20 AOUT 1955 DE SKIKDA

Faculté des sciences et sciences de l’ingénieur Département de Génie Civil

MEMOIRE DE MAGISTERE Option

Géotechnique et Géomécanique Thème

Présenté devant le jury :

M. BELACHIA Professeur de l’université de Skikda Président M. HAMAMI Professeur de l’université de Skikda Rapporteur M. GUENFOUD Professeur de l’université de Guelma Examinateur S. MESSAST Docteur de l’université de Skikda Examinateur M. MEKSAOUINE Docteur de l’université de Annaba Examinateur

Soutenu le 10 juin 2008

Les glissements de terrains en 2D et 3D Etude Comparative entre Flac et Plaxis

Présenté par : Mme MEDJITNA NASRI LAMIA

R e m e r c i e m e n t s

Je remercie mes parents pour m’avoir donner la chance de faire des études, pour tous les sacrifices qu’ils ont fait et qu’ils

continuent à faire pour ma réussite.

Je remercie mon mari pour m’avoir soutenu, encourager et aider à faire des études de post-graduation.

Je remercie sincèrement le directeur de ce mémoire Mr M. HAMAMI pour son aide et sa disponibilité.

Je remercie Mr A. MABROUKI de l’université de Biskra pour son aide précieuse.

Enfin, je remercie le président et les membres de jury d’avoir accepter d’examiner mon travail.

D é d i c a c e s

Ce modes te travail es t dédié à :

Mes parents ,

Mon mari et mes enfants SARA et AMINE,

Mes frères et s œurs et l eurs famill es res pectives .

R é s u m é

L’utilisation de l’outil numérique dans le domaine de la géotechnique est, de nos jours, une pratique très courante. Les méthodes numériques s’avèrent un complément utile, voire nécessaire à des méthodes d’équilibre limite.

Le glissement du Ciloc de la ville de Constantine est un des nombreux cas d’analyse de la stabilité des pentes. Dans ce mémoire, une analyse numérique du glissement du ciloc a été faite. Le modèle de référence a été établis en deux et en trois dimensions. Dans un premier temps, l’analyse a été faite par la méthode des éléments finis, exploitée par le code de calcul Plaxis, ensuite, par la méthode des différences finies exploitée par le code de calcul Flac.

Les principaux résultats obtenus (déplacements, tassements et coefficients de sécurité) ont fait l’objet d’une étude comparative.

Cette étude a permis de mettre en évidence que les résultats obtenus par l’analyse en trois dimensions par les deux méthodes restent dans une fourchette raisonnable, par contre, ils diffèrent sensiblement dans l’analyse en deux dimensions.

Mots clés :

Glissements de terrains, Flac, Plaxis, modélisation, éléments finis, différences finies, Mohr Coulomb.

A B S T R A C T

The use of the numerical tool in geotechnical is, nowadays, a common practice. The numerical methods prove to be a useful complement, even necessary to limit equilibrium methods.

The Ciloc landslide of Constantine is one of the many analysis cases of the slopes stability. In this thesis, a numerical analysis of the Ciloc landslide was made. The reference model was established into two and three dimensions. Initially, the analysis was made by the finite element method exploited by the Plaxis software, then by the finite differences method exploited by the Flac software.

The major results obtained (displacements, compressing and safety coefficients) were the subject of a comparative study.

This study showed that the results obtained by the analysis in three dimensions by the two methods remain in a reasonable range; on the other hand, they differ sensitively in the analysis in two dimensions.

Key words:

Landslides - Flac – Plaxis – modelling - finite elements - finite differences - Mohr Coulomb.

ﺹـــــﺨﻠﻤ

دﻗ ﻲﻧﻘﺗوﯾﺟﻟا نادﯾﻣﻟا ﻲﻓ ﺔﯾﻣﻗرﻟا ةادﻷا لﺎﻣﻌﺗﺳا نإ ﻲﻓ ﺢﺑﺻأ

ﺎﻧﻣﺎﯾأ فوﻟﺄﻣ دﺟ رﻣأ ﺔﯾددﻌﻟا قرطﻟا .

دودﺣﻣﻟا نزاوﺗﻟا قرطﻟ ﺎﯾرورﺿ و ادﯾﻔﻣ ﺎﻘﺣﻠﻣ تﺣﺑﺻأ .

ﻲﺣﻟ ﺔﺑرﺗﻟا قﻻزﻧا رﺑﺗﻌﯾ

"

كوﻠﯾﺳﻟا "

تاردﺣﻧﻣﻟا رارﻘﺗﺳا لﯾﻠﺣﺗ تﻻﺎﺣ ىدﺣإ ﺔﻧﯾطﻧﺳﻗ ﺔﻧﯾدﻣﺑ .

قﻻزﻧﻻ يددﻋ لﯾﻠﺣﺗ ةرﻛذﻣﻟا هذھ ﺞﻟﺎﻌﺗ ﻲﺣﺑ ﺔﺑرﺗﻟا

"

كوﻠﯾﺳﻟا

"

دﻗ ﻲﻌﺟرﻣﻟا جذوﻣﻧﻟا ، ﻲﻓ هؤﺎﺷﻧإ مﺗ

دﺎﻌﺑأ ﺔﺛﻼﺛ ﻲﻓ و نﯾدﻌﺑ .

تﻗو ﻲﻓ لوأ

ﺔﻘﯾرطﺑ لﯾﻠﺣﺗﻟا مﯾﻗأ ﺔﯾﮭﺗﻧﻣﻟا رﺻﺎﻧﻌﻟا»

بﺎﺳﺣﻟا ﺞﻣﺎﻧرﺑ فرط نﻣ ﺔﻠﻣﻌﺗﺳﻣﻟا «

"

سﯾﺳﻛﻼﺑ "

ﺔﯾﮭﺗﻧﻣﻟا قراوﻔﻟا ﺔﻘﯾرطﺑ مﺛ بﺎﺳﺣﻟا ﺞﻣﺎﻧرﺑ فرط نﻣ ﺔﻠﻣﻌﺗﺳﻣﻟا،

"

كﻼﻓ ."

ﺎﮭﯾﻠﻋ لﺻﺣﻣﻟا ﺞﺋﺎﺗﻧﻟا مھأ تﻻﺎﻘﺗﻧﻻا)

نﻣﻷا لﻣﺎﻌﻣ و صرﻟا ، ﺔﻧرﺎﻘﻣ لﺣﻣ تﻌﺿو (

.

ﺋﺎﺗﻧﻟا نأ ﺔﺳاردﻟا هذھ تﺣﺿوأ لﯾﻠﺣﺗﻟا ﻲﻓ ﺎﮭﯾﻠﻋ لﺻﺣﻣﻟا ﺞ

دﺎﻌﺑأ ﺔﺛﻼﺛ ﻲﻓ دودﺣ ﻲﻓ ترﺻﺣﻧا دﻗ ،

ﺔﻟوﻘﻌﻣ

، ﻲﻓ لﯾﻠﺣﺗﻟا ﻲﻓ سوﺳﺣﻣ لﻛﺷﺑ فﻠﺗﺧﺗ ﺎﻣﻧﯾﺑ نﯾدﻌﺑ

.

ﺢﯾﺗﺎﻔﻣﻟا تﺎﻣﻠﻛﻟا :

ﺔﺑرﺗﻟا قﻻزﻧا كﻼﻓ –

سﯾﺳﻛﻼﺑ - لﯾﺛﻣﺗ -

ﺔﯾﮭﺗﻧﻣ رﺻﺎﻧﻋ - ﺔﯾﮭﺗﻧﻣ قراوﻓ -

-

"

وﻣ نوﻟوﻛ ر

"

.

T a b l e d e s M a t i è r e s

Int ro duct io n Gé néra le ……… ……… ……… ……… 17

Chapit re 1 Géné ra lité s 1. 1 Int ro duct io n..……… ……… ……… …………...20

1. 2 Le s mo u ve me nt s d e t erra ins……… … ……… ………..…21

1. 2. 1 Le s d iffér e nt s t ype s de mo u ve me nt s de t erra ins……… ……… …21

1. 2. 1. 1 Le s mo u ve me nt s rap ide s……… ……… ……… …..22

1. 2. 1. 2 Le s mo u ve me nt s le nt s ……… ……… ……… …..24

1. 3 Le g lis s e me nt de Co nst ant ine………… … ……… ………2 5 1. 4 S ynt hès e………… ……… ………… ……… ………2 9 Chapit re 2 Ca lcu l de la stabi lité des pen tes 2.1 Elé me nt s de ba se du c a lcu l… ………… ……… ……… 30

2.2 Mét ho des de c a lcu l d e la st abilit é…… ……… ……… 30

2.2.1 Les c a lcu ls à la rupt ure……… ……… ………..30

2.2.2 Not io n d e co e ffic ie nt de s écur it é … ……… ………..30

2.2.3 Rupt ures p la ne s o u mu lt ip la na ire s… ……… ……… 32

2.2.4 Rupt ure rot at io ne lle s……… … ……… ………..33

2.3 La mét ho de des t ra nc he s……… ……… ……… ……… 33

2.3.1 Appro c he co nve nt io nne lle ………… ……… ………..33

2.4 La mét ho de de FE LLENIUS………… ……… ………..36

2.4.1 Les hypo t hè se s……… ………… ……… ……….36

2.4.2 Limit at io ns de le mét ho de de Fe lle n ius………… ……… …...……38

2.5 La mét ho de s imp lifié e de BISH OP… ……… ………..38

2.5.1 Les hypo t hè se s……… ………… ……… ……….38

2.5.2 Limit at io n de la mét ho de de B is ho p s imp lifié e……… ………..39

2.6 La mét ho de de SPENCER…… ……… ……… ………..40

2.6.1 Les hypo t hè se s……… ………… ……… ……….40

2.6.2 Limit at io n de la mét ho de de Spe nc er……… ………..42

2.7 Les limit es de s mét ho de s a na lyt iq ue s …….……… …………42

2.8 Néce ss it é des mét ho des nu mér iq ue s… ……… ……… 42

2.9 S ynt hèse ……… ……… … ……… ……… 44

Chapit re 3 M éthodes numé riqu es et mo dèles de c ompo rte ment s

3.1 Les mét ho des nu mér iq ues e n géo t echniqu e………… ……… ……45

3.2 La mét ho de des é lé me nt s fin is ……… ……… ………..45

3.3 La mét ho de des d iffér e nce s fin ie s…… ……… ……… 46

3.4 Les mo d è le s de co mpo rt e me nt ……… ……… ………..47

3.4.1 Mo dè le é la st ique liné a ire iso t ro pe (lo i de Ho o k)………..48

3.4.2 Co mpo rt e me nt é last o p la st iqu e…… ……… ………..48

3.4.2.1 Not io ns de ba se fo nda me nt a les … ……… ………..49

3.5 Prése nt at io n du co de de ca lc u l P la x is ……… ……….54

3.6 Les mo d è le s de co mpo rt e me nt ut ilis é s par P la xis ……… ……….55

3.6.1 Le mo dè le é la st ique liné a ire…… … ……… ………..56

3.6.2 Le mo dè le d e Mo hr Co u lo mb……… ……… ……….56

3.6.3 Le mo dè le d e so l a vec écro u is sag e… ……… ………...60

3.6.4 Le mo dè le po ur so ls mo u s…… …… ……… ………..64

3.6.5 Le mo dè le po ur so ls mo u s a vec e ffet du t emp s……… ………..67

3.7 La mét ho de des d iffér e nce s fin ie s…… ……… ……… 69

3.8 Prése nt at io n du lo g ic ie l Fla c…… …… ……… ……….70

3.8.1 Princ ipe d e ca lc u l……… ……… ……… ……… 72

3.9 Les mo d è le s de co mpo rt e me nt ut ilis é s par Flac ……… ………...….73

3.9.1 Les mo d è le s nu ls… ……… … ……… ………..73

3.9.2 Les mo d è le s é la st ique s…… ………… ……… ……… 73

3.9.3 Les mo d è le s é la st o -pla st iqu es… …… ……… ……… 74

3.9.3.1 Le mo dè le de Mo hr-Co u lo mb…… ……… ……….74

3.9.3.2 Le mo dè le de Dru cker-Prager… … ……… ……….79

3.9.3.3 Le mo dè le rado uc is sa nt – durc is sa nt ……… ……… 79

3.9.3.4 Le mo dè le mo d ifié d e Ca m C la y… ……… ……… 79

3.9.3.5 Le mo dè le de Ho ek-Bro w n……… ……… ……….79

3.10 S ynt hès e……… ……… … ……… ……….80

Chapit re 4 Ca lcu l pa r la méthode de s é léments fini s du g lis se ment du Ciloc (avec Pla xi s) 4.1 Et ablis s e me nt du mo dè le de ré fére nce du g lis s e me nt du C ilo c a vec P la xis 3D Tunne l… ……… ……… ……… ………...82

4.1.1 Le mo dè le g éo mét r iqu e de ré fére nce ……… ……… 82

4.1.2 Les co nd it io ns au x limit e s…… …… ……… ……… 82

4.1.3 Le mo dè le d e co mpo rt eme nt du so l……… ……….83

4.1.4 Les par a mèt res p hys ico _ méca n ique s des mat ér iau x………… ………….83

4.1.5 La gé nérat io n du ma illa ge a ve c P la xis 3D…… ……… …………..83

4.1.6 Les co nd it io ns in it ia le s… ………… ……… ……….84

4.1.6.1 Génér at io n de s pres s io ns int er st it ie lle s ……… ………..84

4.1.6.2 Génér at io n de s co nt ra int e s e ffe ct ives in it ia le s……… …………..85

4.1.7 Le ca lcu l……… ……… ……… ……… 86

4.1.8 Les ré su lt at s……… ……… ……… ………..86

4.2 Le ca lc u l a ve c le lo g ic ie l P la x is 2D… ……… ……….88

4.2.2 Les co nd it io n in it ia le s……… … ……… ……… 88

4.2.3 Le ca lcu l……… ……… ……… ……… 89

4.2.4 Les ré su lt at s……… ……… ……… ………..89

4.3 Récap it u lat io n des ré su lt at s de c a lcu l fa it s a ve c P la xis e n 2 et en 3 dime ns io ns ……… ……… ……… ………..91

4.4 S ynt hèse ……… ……… … ……… ……… 91

Chapit re 5 Ca lcu l pa r la méthode de s di ffé rence s finie s du gli ss ement du Ciloc (avec Flac) 5.1 Ca lcu l a vec le lo g ic ie l Flac e n 3 d ime ns io ns………… ……….…… 92

5.1.1 La gé nérat io n du ma illa ge……… … ……… ………..92

5.1.2 Les co nd it io ns au x limit e s…… …… ……… ……….93

5.1.3 Le mo dè le d e co mpo rt eme nt du so l……… ………..93

5.1.4 Les par a mèt res p hys ico - mé ca niq ue s des mat ér iau x…… ………..93

5.1.5 Les co nd it io ns in it ia le s… ………… ……… ………..94

5.1.6 Le ca lcu l……… ……… ……… ……… 95

5.1.7 Les ré su lt at s……… ……… ……… ………..96

5.2 Le ca lc u l a ve c le lo g ic ie l Fla c2D …… ……… ……….98

5.2.1 Le mo dè le d e ré fére nc e……… ……… ………..98

5.2.2 Les co nd it io ns au x limit e s…… …… ……… ……….98

5.2.3 Les co nd it io ns in it ia le s… ………… ……… ………..98

5.2.4 Le ca lcu l……… ……… ……… ……… 99

5.2.5 Les ré su lt at s……… ……… ……… ………..99

5.3 Récap it u lat io n des ré su lt at s de s d iffé r e nt s t yp es de c a lcu l… …………...101

5.4 S ynt hèse ……… ……… … ……… ………1 01 Chapit re 6 Etude co mpa rative de s ré su ltats des di ffé rent s

types de ca lcu l

6.1 Int ro duct io n………… ……… … ……… ……… 102

6.1 Co mpara iso n e nt re les ré su lt at s o bt enus a ve c P la xis 2D et Flac 2D……..102

6.2.1 Les déplacements horizontaux au niveau du sondage S9………..102

6.2.2 Les déplacements horizontaux au niveau du sondage S2………..104

6.2.3 Les tassements………...105

6.3 Comparaison entre les résultats obtenus avec Plaxis 3D et Flac 3D………106

6.3.1 Les déplacements horizontaux au niveau du sondage S9……….106

6.3.2 Les déplacements horizontaux au niveau du sondage S2………108

6.3.3 Les tassements………109

6.4 Comparaison globale entre les résultats obtenus avec Plaxis et Flac………110

6.4.1 Les déplacements au niveau du sondage S9………..110

6.4.2 Les déplacements au niveau du sondage S9 (Zoom)……….112

6.4.3 Les déplacements au niveau du sondage S2………..…113

6.4.4 Les tassements………114

6.5 Synthèse générale des différents types de calcul………..119

Conclusion Générale………...121 Bibliographie

T a b l e d e s f i g u r e s

1.1 : Effondrement.

1.2 : Chute de pierres.

1.3 : Eboulement ou écroulement.

1.4 : Coulée boueuse.

1.5 : Principaux types de glissement.

1.6 : Glissement rotationnel Rivière Bayonne (Quebec Canada.) 1.7 : Principaux cites de glissements à Constantine ville.

1.8 : La cité Ciloc en 1970.

1.9 : Le talus du Ciloc.

1.10 : Le talus au pied d’un immeuble.

2.1 : Dièdre.

2.1 : Calcul par la méthode des tranches.

2.3 : Bilan des forces sur une tranche.

2.4 : Equilibre d’une tranche de sol dans la méthode de Fellenius.

2.5 : Rayon r dans la méthode de Fellenius.

2.6 : Forces appliquées sur une tranche pour la méthode de Spencer.

3.1 : Comportement élastoplastique avec écrouissage.

3.2 : Surface de charge.

3.3 : Ecrouissage isotrope.

3.4 : Ecrouissage cinématique.

3.5 : Fenêtre d’entrée des données de Plaxis.

3.6 : Fenêtre des paramètres de Mohr-Coulomb.

3.7 : Définition de E₀ et de E₅₀.

3.8 : Surface de charge de Mohr-Coulomb dans l’espace des contraintes principales (c=0).

3.9 : Fenêtre des paramètres avancés de Mohr-Coulomb.

3.10 : Fenêtre des paramètres de base du HSM.

3.11 : Le modèle HSM dans le repère contraintes déformations.

3.12 : Définition de E_oed^ref dans les résultats de l’oedomètre.

3.13 : Surface de rupture du HSM.

3.14 : Surface de charge successives du HSM.

3.15 : Relation logarithmique entre la déformation volumique et la contrainte moyenne.

3.16 : Effet du temps sur les essais oedomètriques.

3.17 : Le modèle SSCM dans un plan p-q.

3.18 : Fenêtre d’entrées des données dans Flac2D.

3.19 : Fenêtre d’entrées des données dans Flac3D.

3.20 : Cycle élémentaire du calcul explicite par différences finies d’après ITASCA.

3.21 : Critère de rupture de Mohr-Coulomb dans Flac3D.

3.22 : Domaines utilisés dans la définition de la règle d’écoulement pour le modèle de Mohr- Coulomb.

4.1 : Géométrie du modèle.

4.2 : Maillage du modèle dans Plaxis3D.

4.3 : Position de la nappe phréatique.

4.4 : Répartition des pressions interstitielles initiales Plaxis3D.

4.5 : Génération des contraintes effectives initiales Plaxis3D.

4.6 : Les déplacements totaux Plaxis3D.

4.7 : Les déplacements horizontaux Plaxis3D.

4.8 : Les déplacements verticaux Plaxis3D.

4.9 : Valeur du coefficient de sécurité Msf = 1.26 Plaxis3D.

4.10 : Maillage du modèle dans Plaxis2D.

4.11 : Répartition des pressions interstitielles initiales Plaxis2D.

4.12 : Génération des contraintes effectives initiales Plaxis2D.

4.13 : Les déplacements totaux Plaxis2D.

4.14 : Les déplacements horizontaux Plaxis2D.

4.15 : Les déplacements verticaux Plaxis2D.

4.16 : Valeur du coefficient de sécurité Msf = 1.12 Plaxis2D 5.1 : Maillage du modèle dans Flac3D.

5.2 : Répartition des pressions interstitielles initiales Flac3D.

5.3 : Génération des contraintes effectives initiales Flac3D.

5.4 : Les déplacements totaux Flac3D.

5.5 : Les déplacements horizontaux Flac3D.

5.6 : Les déplacements verticaux Flac3D.

5.7 : Maillage du modèle dans Flac2D.

5.8 : Répartition des pressions interstitielles initiales Flac2D.

5.9 : Génération des contraintes effectives initiales Flac2D.

5.10 : Les déplacements totaux Flac2D.

5.11 : Les déplacements horizontaux Flac2D.

5.12 : Les déplacements verticaux Flac2D.

6.1 : Déplacements au niveau du sondage S9 (Plaxis2D-Flac2D).

6.2 : Déplacements au niveau du sondage S2 (Plaxis2D-Flac2D).

6.3 : Tassements entre 0 et 100m (Plaxis2D-Flac2D).

6.4 : Tassements entre 100 et 280m (Plaxis2D-Flac2D).

6.5 : Déplacements au niveau du sondage S9 (Plaxis3D-Flac3D).

6.6 : Déplacements au niveau du sondage S2 (Plaxis3D-Flac3D).

6.7 : Tassements entre 0 et 100m (Plaxis3D-Flac3D).

6.8 : Tassements entre 100 et 280m (Plaxis3D-Flac3D).

6.9 : Déplacements au niveau du sondage S9 (Comparaison globale).

6.10 : Déplacements au niveau du sondage S9 (Comparaison globale, Zoom).

6.11 : Déplacements au niveau du sondage S2 (Comparaison globale).

6.12 : Tassements entre 0 et 100m (Comparaison globale).

6.13 : Tassements entre 100 et 280m (Comparaison globale).

6.14 : Tassements entre 0 et 100m (Comparaison avec HSM).

6.15 : Tassements entre 100 et 280m (Comparaison avec HSM).

L i s t e d e s t a b l e a u x

1.1 : Classification des mouvements de terrains

1.2 : Récapitulation des principaux types de mouvements de terrains.

3.1 : Valeurs des paramètres de compressibilité et de gonflement λ et k.

3.2 : Comparaison des méthodes implicites et explicites d’après Cundall (1980).

4.1 : Caractéristiques physico-mécaniques des sols entrées dans Plaxis.

4.2 : Tableau récapitulatif des principaux résultats de calcul.

4.3 : Caractéristiques physico-mécaniques des sols entrées dans Flac.

4.4 : Tableau récapitulatif des principaux résultats de calcul faits avec Flac et Plaxis en deux et en trois dimensions.

6.1 : Synthèse générale des différents types de calcul.

N o t a t i o n s e t A b r é v i a t i o n

FS : Coefficient de sécurité………[-]

Q : Sollicitation vectorielle ou tensorielle appliquée au massif………..[KN/m²]

 : Contrainte de cisaillement………...….[KN/m²] H : Hauteur réelle……….…[m]

Hc : Hauteur critique………[m]

M : Masse d’une tranche………[Kg]

av : Accélération verticale………...………[m/s²] a_h : Accélération horizontale………..………[m/s²] N’ : Effort normal……….…[KN/m²] U : Sous-pression de l’eau interstitielle………...[KN/m²] T : Force de cisaillement intertranche……….…..…[KN]

E : Force normale intertranche………..…….[KN]

S : Force de cisaillement à la base l’élément………..……….……[KN]

N : Effort normal à la base……….…[KN/m²] W : Poids de la tranche………....[KN]

R : Rayon de la surface de glissement………...…[m]

O : Centre de la surface de glissement………...[-]

r : Rayon pour la méthode de Fellenius………[m]

σ : Contrainte………[KN/m²]

ε : Déformation………...………….[-]

ε^e : Déformation élastique………..…[-]

ε^p : Déformation plastique………..………[-]

ν : Coefficient de poisson……….………..[-]

E : Module de Young………..…….[KN/m²] G : Module de cisaillement………..……..[KN/m²]

ij : Indice de Kronecker………...……[-]

K : Module de compressibilité………...…[KN/m²] Φ : Angle de frottement interne………[°]

Ψ : Angle de dilatance……….…...[°]

E_oed : Module oedométrique………[KN/m²]

E₅₀ : Module sécant à 50% de la résistance à la compression………..………..[KN/m²] E₀ : Pente initiale………..[KN/m²] C : La cohésion……….……[KN/m²] q : Contrainte déviatorique………..……..[KN/m²] e : Indice des vides………..[-]

λ^* : Indice de compression……….…[-]

K^* : Indice de gonflement………..……….[-]

ux : Déplacement dans le sens x……...………...………[m]

uy : Déplacement dans le sens y………..……[m]

uz : Déplacement dans le sens z………..……[m]

γsat : Poids volumique humide………[KN/m³]

γunsat : Poids volumique sec……… [KN/m³]

kx : Perméabilité horizontale………..[m/jour]

kv : Perméabilité verticale………...[m/jour]

m : Puissance………[-]

k0 : Coefficient des pression des terres au repos………..……….[-]

σ’h : Contrainte effective horizontale………..…….[KN/m²] σ’v : Contrainte effective verticale….………..…….[KN/m²] Msf :Coefficient de sécurité utilisé par Plaxis…..………....[-]

Fos : Coefficient de sécurité utilisé par Flac…….………....[-]

I n t r o d u c t i o n G é n é r a l e

Les glissements de terrain sont des phénomènes géologiques de nature très diverse, ils peuvent être brusques, comme ils peuvent s’étaler sur plusieurs mois voire plusieurs années.

La rupture se produit selon des formes vaguement circulaires ou bien, elle ne présente au contraire aucune caractéristique géométrique particulière. Ces phénomènes sont très destructeurs, en plus des pertes en vies humaines qu’ils peuvent engendrer, les aménagements humains y sont très sensibles et les dommages aux biens sont considérables et souvent irréversibles.

La nature même des mécanismes des phénomènes à étudier, leurs diversités, leurs dispersions dans l’espace et dans le temps, les conditions de leurs occurrences forment un ensemble de facteur qui rendent complexe une analyse dans sa globalité.

Un mouvement de terrain survient principalement lorsque la résistance des terrains est inférieure aux efforts moteurs engendrés par la gravité et l’eau souterraine ou par les travaux de l’homme, leur dynamique répond naturellement aux lois de la mécanique. L’analyse de la stabilité comporte deux volets essentiels, le premier étant un calcul de stabilité pour déterminer la courbe selon laquelle la rupture est la plus probable, et le deuxième est le calcul du coefficient de sécurité correspondant.

IL existe plusieurs types de calcul de la stabilité,

 Les calculs à la rupture qui supposent que le terrain se comporte comme un solide rigide plastique, ces calculs incluent les méthodes d’analyse limite, et les méthodes à l’équilibre limite, qui sont les méthodes les plus couramment employées. Néanmoins, les calculs à la rupture ne prennent pas en compte les déformations du terrain. Si les terrains sont très déformables ce type de calcul peut s’avérer insuffisant voire erroné ; ils ne permettent pas non plus d’évaluer les déformations et en conséquence les déplacements enregistrés sur les terrains.

 les calculs en contraintes-déformations permettent de connaître complètement le comportement du terrain en tout point, ils peuvent être approché par des méthodes numériques tels que les éléments finis, les éléments frontières ou les éléments distincts.

Depuis quelques années, la modélisation en géotechnique est en constante progression, les méthodes numériques sont devenues aujourd’hui un complément utile voire nécessaire à des méthodes d’équilibre limites, qui elles, souffrent de sérieuses limitations pour l’analyse de la stabilité. Les méthodes numériques sont exécutées par des logiciels spécialement mis en œuvre et adaptés à toutes sortes d’études géotechniques, ces logiciels permettent de traiter des problèmes en deux ou en trois dimensions.

Le phasage des travaux peut être suivi, et l’utilisateur peut aussi visualiser, grâce à des sorties graphiques, les résultats tel que le maillage, les champs de déplacements, les contraintes et déformations principales etc…

Problématique et objectifs

Aujourd’hui il existe un grand nombre de logiciels destinés aux études géotechniques. La majorité de ces logiciels sont dotés d’interfaces graphiques qui rendent leur exploitation facile et accessible à tout géotechnicien. Cependant, ils diffèrent dans leur possibilité de refléter plus ou moins fidèlement la géométrie de l’ouvrage, les anisotropies et hétérogèinités des matériaux ainsi que les sollicitations. De plus, ces outils présentent des différences dans la résolution des équations en jeu qui se ramène toujours à l’intégration de fonction « déplacement ». Certains procèdent par intégration directe comme avec la méthode des éléments frontières, d’autres ont recours à la discrétisation de ces fonctions.

Ces dernières diffèrent par ailleurs entre eux par les principes de discrétisation des grandeurs calculées, les algorithmes et les techniques de résolution, comme c’est le cas notamment entre les outils qui s’appuient sur la méthode des éléments finis, celle des éléments distincts, ou celle des différences finies.

La modélisation des problèmes géotechniques par des outils de calculs différents, exploitants différentes méthodes numériques s’avère nécessaire.

La comparaison des résultats obtenus permet de :

 Vérifier la performance des outils de calcul utilisé.

 Vérifier le choix des méthodes numériques.

 Emettre des recommandations pour des travaux futurs.

Le présent travail est une analyse en deux et en trois dimensions du glissement du Ciloc de la ville de Constantine. Cette étude a été faites par l’intermédiaire de deux codes de calcul différents, le code Plaxis qui utilise la méthode des éléments finis, et le code Flac

qui lui utilise la méthode des différences finies. L’analyse consiste en l’établissement d’un modèle de référence de ce glissement et de comparer ensuite les principaux résultats obtenus par les deux logiciels.

Le travail regroupe six chapitres répartis comme suit :

Le premier chapitre présente des généralités sur les glissements de terrains et sur leurs classifications.

Le deuxième chapitre présente les principales méthodes de calcul de la stabilité des pentes.

Le troisième chapitre consiste en un bref aperçu des deux méthodes de calcul utilisées, les éléments finis et les différences finies, une présentation des logiciels Flac et Plaxis suivie des principales lois de comportement du sol utilisées.

Dans le chapitre quatre, l’établissement du modèle de référence en deux et en trois dimensions dans le logiciels Plaxis, suivi des principaux résultats de calcul.

Dans le chapitre cinq, l’établissement du modèle de référence en deux et en trois dimensions dans le logiciel Flac, suivi des principaux résultats de calcul.

Le chapitre six est une synthèse comparative des résultats de calcul obtenus par les deux logiciels.

Le mémoire est clôturé par une conclusion générale et des recommandations.

Chapitre 1

G é n é r a l i t é s

1.1 Introduction

A l’échelle humaine, les sols qui nous entourent peuvent paraître immuables, mais cette stabilité est illusoire. L’histoire géologique montre en effet que l’équilibre naturel, lentement façonné, peut soudainement subir des déformations, des ruptures et d’autres phénomènes d’érosion nuisibles pour l’homme. Cette érosion se fait sous l’action de déclencheurs.

En fait, le premier coupable c’est l’action de l’eau et plus particulièrement celle des précipitations. Ainsi, ce sont la pluie, la neige, la grêle, la glace qui, sont le plus souvent responsables de la déstabilisation des versants. A cette action, somme toute naturelle, s’ajoutent les désordres crées par l’homme.

L’action de l’eau ajoutée à d’autres déclencheurs, peut être catastrophique.

Les mouvements de terrain constituent généralement des phénomènes ponctuels, de faible ampleur et d'effets limités. Mais par leur diversité et leur fréquence, ils sont néanmoins responsables de dommages et de préjudices importants et coûteux. Ils engendrent des risques pour les personnes, mais également pour les biens et l'économie. Chaque année, les mouvements de terrain provoquent mondialement la mort de 800 à 1 000 personnes, mais ce chiffre ne prend pas en compte les glissements dus aux séismes, probablement les plus meurtriers. Les risques spécifiques liés aux mines n'entrent pas dans cette catégorie.

De nombreux paramètres, naturels ou anthropiques, conditionnent l'apparition et le développement des mouvements de terrain (géologie, hydrogéologie, urbanisation, etc.).

L’évaluation de la stabilité est obtenue à travers une méthode de calcul qui compte des hypothèses simplificatrices et le choix de certains critères vis-à-vis du comportement du sol.

Aujourd’hui, grâce aux énormes progrès faits dans le domaine de l’informatiques, plusieurs programmes de calcul par différentes méthodes permettent d’introduire différents paramètres et de réduire considérablement le temps de calcul.

1.2 Les mouvements de terrains

Les mouvements de terrain sont les manifestations du déplacement gravitaire de masses de terrain déstabilisées sous l'effet de sollicitations naturelles (fonte des neiges, pluviométrie anormalement forte, séisme, etc.) ou anthropiques (terrassement, vibration, déboisement, exploitation de matériaux ou de nappes aquifères, etc.).

Ils recouvrent des formes très diverses qui résultent de la multiplicité des mécanismes initiateurs (érosion, dissolution, déformation et rupture sous charge statique ou dynamique), eux-mêmes liés à la complexité des comportements géotechniques des matériaux sollicités et des conditions de gisement (structure géologique, géométrie des réseaux de fractures, caractéristiques des nappes aquifères, etc.).

1.2.1 Les différents types de mouvements de terrains

La plupart des classifications récentes restent fondées sur ces deux facteurs – type de mouvement et type de matériaux – auxquels s’ajoutent le type et la quantité de fluide agissant dans le déplacement, c’est-à-dire l’air, et, surtout, l’eau.

Certains types de déplacements donnent presque automatiquement des indications sur les ordres de grandeur des vitesses atteintes classées ainsi par les spécialistes :

Classe Description Vitesse

7 Extrêmement rapide 5m/sec

6 Très rapide 3m/min

5 rapide 1,8m/heure

4 modéré 13m/mois

3 lent 1,6m/an

2 Très lent 16 mm/an

1 Extrêmement lent <16mm/an

Tableau 1.1 : classification des mouvements de terrain [17]

Selon la vitesse de déplacement, deux ensembles de mouvements de terrain peuvent être distingués :

1.2.1.1 Les mouvements rapides

Les mouvements rapides peuvent être scindés en deux groupes, selon le mode de propagation des matériaux, en masse, ou à l'état remanié.

Le premier groupe (propagation en masse) comprend :

 les effondrements, l'évolution des cavités souterraines naturelles (dissolution de gypse) ou artificielles (carrières et ouvrages souterrains) peut entraîner l'effondrement du toit de la cavité et provoquer en surface une dépression généralement de forme circulaire.

Figure 1.1 : Effondrement [18]

 les chutes de pierres ou de blocs provenant de l'évolution mécanique de falaises ou d'escarpements rocheux très fracturés.

Figure 1.2 : Chute de pierres [2]

 les éboulements ou écroulements

Ce sont des chutes libres de pierres ou de sédiments se détachant d’un versant très abrupt, habituellement accompagnée de mouvements de rebondissement ou de roulement.

Figure 1.3 : Eboulement ou écroulement [18]

Le second groupe (propagation en état remanié) comprend :

 les laves torrentielles, qui résultent du transport de matériaux en coulées visqueuses ou fluides dans le lit de torrents de montagne.

 les coulées boueuses, qui proviennent généralement de l'évolution du front des glissements.

Figure 1.4 : Coulée boueuse [18]

1.2.1.2 Les mouvements lents

Ce sont de mouvements pour lesquels la déformation est progressive et peut être accompagnée de rupture mais en principe d'aucune accélération brutale :

 les affaissements consécutifs à l'évolution de cavités souterraines naturelles ou artificielles (carrières ou mines), évolution amortie par le comportement souple des terrains superficiels.

 les tassements certains sols compressibles peuvent se tasser sous l'effet de surcharges (constructions, remblais) ou en cas d'assèchement (drainage, pompage). Ce phénomène est à l'origine du tassement de sept mètres de la ville de Mexico et du basculement de la tour de Pise.

 le fluage de matériaux plastiques sur faible pente.

 le retrait ou le gonflement de certains matériaux argileux en fonction de leur teneur en eau, les variations de la quantité d'eau dans certains terrains argileux produisent des gonflements (période humide) et des tassements (périodes sèches).

 Les glissements de terrain apparaissent préférentiellement le long de surfaces planes, courbe ou complexe, de sols cohérents (marnes et argiles); et dans tous types de matériaux. Ils correspondent au déplacement d'une masse de terrains meubles ou rocheux au long d'une surface de rupture (plane, circulaire ou quelconque). Selon la géométrie de cette surface, on peut distinguer trois types principaux de glissements :

Figure 1.5 : Principaux types de glissement [18]

 glissement plan : mouvement au long d'une surface sensiblement plane (couche ou surface tectonique). Il se produit surtout en milieu rocheux.

 glissement circulaire ou rotationnel : surface de glissement plus ou moins circulaire ; mouvement caractérisé en général par l'existence d'une zone de départ net et par un bourrelet frontal plus ou moins marqué ; le remaniement interne dépend de la nature des terrains et de l'importance du déplacement. Il se produit en particulier en terrains meubles, dans les roches homogènes à faible cohésion ou très divisées.

Figure 1.6 : glissement rotationnel Rivière Bayonne (Québec.) Canada [18]

 Glissement quelconque : le mouvement est très semblable au précédent dans son allure externe, mais la section verticale de la surface de glissement est de forme irrégulière. Il s'agit souvent d'une combinaison des deux cas précédents.

1.3 Le glissement de Constantine

Le premier glissement de terrain à Constantine remonte à l’année 1972. Les glissements affectent plusieurs quartiers de la ville (Belouizdad, l’avenue Kitouni, Kaidi Abdellah, Bellevue, CILOC, Boussouf, Zaouch, Boudraa Salah, Benchergui, Bardo, Place Krikri, Chemin forestier, le pont de Sidi Rached et même l’université Mentouri), soit 120 ha de sa superficie, et menacent près de 15 000 habitations abritant une population estimée à 100 000 habitants.

Ces glissements ont des causes aussi bien anthropiques que physiques. L’urbanisation parfois anarchique sur les versants à la limite de la stabilité, les spécificités du sol, les déperditions hydriques dues essentiellement à la vétusté du réseau d’alimentation en eau potable sont à l’origine du phénomène.[3]

Figure 1.7 : Principaux sites de glissements à Constantine Ville [3]

Selon le Plan de vulnérabilité de la ville de Constantine aux glissements de terrain, élaboré à partir des résultats d’études de terrain entreprises par ARCADIS EEG SIMECSOL en collaboration avec l’Université d’Alger, la cité CILOC se situe dans la classe2 de la zone géotechnique1 de la carte de vulnérabilité, cette classe est caractérisée par un substratum stable, peu profond, recouvert par des formations superficielles (ou d’altération) de quelques mètres d’épaisseur, sensibles à l’eau.

Cette classe est donc constructible sous réserve de la préservation ou de la restitution du drainage naturel des eaux de surface et de la réalisation correcte des ouvrages d’assainissement. [2]

Figure 1.8 : La cité Ciloc en 1970

Figure 1.9 : Le Talus du ciloc

Les études géotechniques ponctuelles, concernant cette classe, doivent être orientées, outre la recherche des paramètres de portance et de tassement, vers la stabilité des talus de terrassement des formations superficielles.

Figure 1.10 : Le talus au pied d’un des immeubles

1.4 SYNTHESE

Type de mouvement Facteur de prédisposition Facteurs aggravants Cinématique Intensité Gravité Glissement de

terrain

Sols- massifs fracturés.

Formation meuble.

Géométrie des discontinuités par rapport à la topologie.

Eau – Anthropique.

Séisme (+ liquéfaction) Occupation du sol.

Très lente à moyenne

Moyens à majeur.

Très faible à moyenne.

Chute de blocs et éboulement

Massifs rocheux - Conglomérats Discontinuités : stratigraphiques, tectoniques, hétérogénéités.

Géométrie des discontinuités par rapport à la topologie

Eau – Anthropique Gel/dégel – séisme - occupation du sol (végétation).

Très lente à très rapide.

Discontinue.

brutale.

Faible à moyenne.

Moyenne à majeur.

Coulées boueuses

Matériaux très remaniés. Eau

séismes (tectoniques ou volcaniques).

Très rapides Forte à majeur.

Forte à majeur.

Effondrements

Existence de cavité (extraction, dissolution etc...)

Proximité surface.

Eau

Séisme anthropique.

Très lent à rapide.

Faible à moyenne

Moyenne à faible.

Tableau 1.2 : Récapitulation des principaux types de mouvements de terrain [16].

Chapitre 2

C a l c u l d e l a s t a b i l i t é d e s p e n t e s

2.1 Eléments de base du calcul

Pour faire un calcul de stabilité nous devons connaître certains éléments dont : - La géologie et la nature des terrains.

- Les propriétés mécaniques des terrains et/ou des discontinuités.

- La géométrie du talus en 2 ou 3 dimensions.

- Les conditions hydrodynamiques (hauteurs d’eau et écoulements).

- Les projets et les risques (mine à ciel ouvert ou abords d’habitation).

2.2 Méthodes de calcul de la stabilité

2.2.1 Les calcul à la rupture (méthodes classiques)

Les méthodes de calcul à la rupture sont les plus employées dans l’analyse de stabilité elles supposent que le terrain se comporte comme un solide rigide-plastique et obéit aux lois classiques de la rupture par cisaillement (Mohr-Coulomb en général), le critère de plasticité (ou de rupture) est atteint au niveau de la limite du volume étudié (surface de rupture potentielle).

2.2.2 Notion de coefficient de sécurité

Le principe de calcul de stabilité des talus consiste à déterminer le facteur de sécurité FS par lequel il faut diviser la résistance de la surface de glissement pour que la masse potentiellement stable soit à la limite de l’équilibre. Ce facteur peut être écrit de la façon suivante :

Q

FS  Q^max (2.1)

Q: cette valeur définit la sollicitation vectorielle ou tensorielle appliquée au massif (force H, force V, moment M).

Qmax: valeur maximale de Q.

Partant de cette écriture générale nous citerons quelques définitions du coefficient de sécurité :

1- Selon Bishop :

libre à l'équi écessaire

illement n ce au cisa

résis

obilisable illement m

ce au cisa résis

F tan

max tan



 

 (2.2)

Selon cette définition la valeur du coefficient de sécurité est une valeur ponctuelle dépendant du point M considéré le long de la surface testée.

2- Selon Frohlich :

moteur Moment

résistant Moment



F (2.3)

Selon Frohlich la surface testée est circulaire (ellipsoïdale en 3D)

3 –

moteur Effort

t résis Effort

F tan

 (2.4)

Cette définition suppose que la surface testée est planaire.

4 –

réelle Hauteur

critique Hauteur

H

F  Hc  (2.5)

Cependant, On distingue deux démarches pour le calcul du facteur de sécurité :

1. Dans la première, le glissement a déjà eu lieu, il s’agit d’une valeur de FS inférieure ou égale à 1, donc :

- soit, on connaît la surface exacte et on cherche à déterminer, pour FS = 1, les caractéristiques correspondantes.

- soit, on a les caractéristiques et on cherche à déterminer la surface de glissement.

2. La deuxième, la plus fréquente, consiste à déterminer la marge de sécurité disponible et adopter les solutions adéquates pour améliorer la sécurité de l’ouvrage en répondant à des exigences en fonction de l’emploi des talus.

2.2.3 Ruptures planes ou multiplanaires (calcul à l’équilibre limite)

Dans des terrains discontinus les surfaces de rupture potentielles les plus défavorables sont constituées par des plans ou des ensembles de plans. Si le plan passe dans une couche, les caractéristiques à prendre en compte sont les propriétés de cette couche, si le plan est une discontinuité, il faudra utiliser dans le calcul les caractéristiques mécaniques de cette discontinuité. L’écriture des équations de d’équilibre conduit à estimer le coefficient de sécurité.

Si la surface de rupture est constituée de deux ou plusieurs plans, le problème devra en général être examiné de manière tridimensionnelle. Le volume délimité par deux plans ne contenant pas de droite parallèle est un dièdre. Il existe des abaques permettant d’examiner un certain nombre de cas type d’équilibre de dièdre.

Figure 2.1 : Dièdre

Dans le cas de surface multiplanaires de formes quelconques, les calculs sont complexes.

2.2.4 Ruptures rotationelles (calcul à l’équilibre limite)

Dans certains terrains meubles et homogènes, les surfaces de rupture observées seront souvent circulaires en deux dimensions et ellipsoïdales en trois dimensions. La théorie du calcul à la rupture permet de montrer que pour un terrain homogène la forme théorique est en fait une spirale logarithmique (en 2 dimensions).

La plupart des calculs à l’équilibre limite considèrent que le problème est bidimensionnel.

Nous examinerons dans ce qui suit une des méthodes qui permet d’effectuer le calcul pour une géométrie complexe.

2.3 La méthode des tranches 2.3.1 Approche conventionnelle

Les analyses conventionnelles de stabilité de pente étudient l'équilibre d'une masse de sol liée ci-dessous par une surface potentielle supposée surface de glissement et en haut par la surface de la pente. Les forces et les moments tendant à causer l'instabilité de la masse sont comparés à ceux qui tendent à résister à l'instabilité.

La plupart des procédures supposent une coupe bidimensionnelle et des conditions de contrainte planes pour l'analyse. Plusieurs hypothèses sont faites concernant la surface

potentielle de glissement jusqu'à ce que la surface critique (ayant le facteur de sécurité le plus bas) soit trouvée. La Figure1 représente une masse potentielle de glissement délimité par une surface de glissement.

- Si la résistance au cisaillement du sol le long de la surface de glissement dépasse la résistance nécessaire à l'équilibre, la masse est stable.

- Si la résistance au cisaillement est insuffisante, la masse est instable. La stabilité ou l'instabilité de la masse dépend de :

- son poids ainsi que des forces externes agissant sur cette masse (tel que des surcharges ou des accélérations provoquées par des charges dynamiques).

- la résistances au cisaillement et les pressions interstitielles le long de la surface de

glissement, et toutes forces de renfort interne traversant la surfaces potentielles de glissement.

Le principe est de découper le volume étudié en un certain nombre de tranches (en général verticales).

L’équilibre de chaque tranche i est examiné en effectuant le bilan des forces :

Surface de rupture potentielle

Figure 2.2 : Calcul par la méthode des tranches

x Q

Mah

Mav

a

b

cb Ntg

Fs

T  1  

N = N’ + U

α d h

V

H β

tranche i

Figure 2.3 : Bilan des forces sur une tranche

Equations pour n tranches :

 M = masse de la tranche.

 av = accélération verticale.

 ah = accélération horizontale.

 Q = charge extérieure (par exemple ancrage).

 N’ = effort effectif normal à la surface de glissement.

 U = sous-pression de l’eau interstitielle.

équations n

moments

verticales forces

es horizontal forces

n

3

0

0 0

























(2.6)

Les inconnues associées à l’équilibre des forces sont :

 n : forces résultantes N (y compris la pression interstitielle : u.b) normales à la base des tranches ou coin.

 1 : facteur de sécurité qui permet à la force de cisaillement T sur la base de chaque tranche d’être exprimée en fonction de N.

 n-1 : forces latérales H (y compris pression interstitielle) sur chaque interface entre les tranches.

 n-i : angles β qui déterminent la relation entre la force de cisaillement V et la force normale E sur chaque interface entre les tranches.

Il y a donc : 3n-1 inconnues pour 2n équations.

Les inconnues associées à l’équilibre des moments :

 n : bras de leviers a de la force résultante N normale à la base des tranches ou coin.

 n-1 : bras de levier d de la force latérale H sur chaque interface entre les tranches.

Il y a donc : 2n-1 inconnues pour n équations.

Il y a au totale 5n-2 inconnues pour 3n équations. Toutes les méthodes des tranches adoptent l’hypothèses simplificatrice : a = b/2 qui réduit le nombre d’inconnues à :

4n – 2 pour 3n équations.

2.4 La méthode de FELLENIUS (1936) 2.4.1 Les hypothèses:

Dans cette méthode, les forces sur les côtés de la tranche sont négligées. La force normale à la base de la tranche est calculée en additionnant les forces dans la direction perpendiculaire à la direction de la base de la tranche.

Une fois que la force normale est calculée, les moments par rapport au centre du cercle de glissement sont additionnés pour calculer le coefficient de sécurité.

 surface de glissement circulaire, rayon R, centre O.

 La masse de sol au-dessus de la surface de glissement est divisée en tranches.

Chaque tranche ayant une base droite.

 On suppose que les coefficients de sécurité de toutes les tranches sont identiques, impliquant l'appui mutuel, et les forces agissant entre les tranches.

Soit :

 T₁ et T₂ les forces de cisaillement intertranches verticales.

 E1 et E2 les forces normales intertranches horizontales.

 S force de cisaillement à la base de l’élément.

 W Poids de la tranche.

 N effort normal à la base.

 _f Contrainte de cisaillement de rupture.

 _mContrainte de cisaillement nécessaire pour mobiliser le glissement.

l_i

Z2

θ

E2

T2

bi

Wi

Si N = N’ + U Z1

T1

E1

tranche i

Figure 2.4 : Equilibre d’une tranche de sol dans la méthode de Fellenius

avec : T1 = T2= E1= E1= 0

Nous avons : _f c''tan (2.7) Le coefficient de sécurité est définit par :

m

F f



 et ' u

On aura donc :

 





 1 ' tan

u F c

m    et comme S l et N l

 





1 cl N ul

S  F  

 cos . W

N  en remplaçant dans l’équation précédente :

 





1 cl W ul

S  F  

En utilisant l’équilibre des moments :





 

 













R

θ

r = Rsinθ

W

θ

Figure 2.5 : Rayon r dans la méthode de Fellenius O

Le coefficient de sécurité pour une tranche sera donc :

   





 



 sin

tan cos

'

W

ul W

l

F c (2.8)

On utilise le même facteur de sécurité pour chaque tranche. [6]

2.4.2 Limitations de la méthode Fellenius.

La limitation principale de cette méthode vient de la négligence des forces intertranches. La méthode ne satisfait pas l'équilibre des forces dans les directions verticales ou horizontales.

L'équilibre des moments est satisfait pour la masse entière de sol au-dessus de la surface de glissement, mais pas pour différentes tranches.

Les coefficients de sécurité calculés par la méthode Fellenius peuvent généralement varier de pas moins de 20 pour cent par rapport à des valeurs calculées en utilisant des méthodes plus rigoureuses (Whitman et Bailey 1967); dans des cas extrêmes (tels que l'analyse avec des pressions interstitielles élevées), les différences peuvent être encore plus grande.

2.5 La méthode simplifiée de BISHOP (1955) 2.5.1 Les hypothèses :

Cette méthode est fondée sur l'hypothèse que les forces intertranches sont horizontales. La surface de glissement est également supposée circulaire. Les forces sont additionnées dans la direction verticale. L’équation d'équilibre résultante est combinée avec l'équation de Mohr- Coulomb et avec la définition du coefficient de sécurité pour déterminer les forces à la base de la tranche.

Finalement, les moments par rapport au centre du cercle de glissement sont additionnés pour obtenir l'expression du coefficient de sécurité.

La somme des forces verticales :

 

 

cos ) '

(Nu_il_i _i S_i _i W_i T_i T_i



 cos

sin . S T N W  

 (2.9)

 





1 cl N ul S  F   En remplaçant pour N :

 

 











cos

tan cos sin

cos '

1 cl W T S ul

S F    



Puisque b largeur de la tranche = lcosθ

 







    

  



 tan tan cos

tan '

1 cb W T ub S

S F

 







   









 









cos

tan '

1 tan

1 tan

. cb W T ub

F S F

 





























   



F ub

T W b c S F



 



tan 1 tan

1 cos

tan '

1

L’équilibre des moments nous donne :





D’où et en négligeant la valeur de T le coefficient de sécurité pour chaque tranche est:

 

 































 



 



sin

tan cos sin

tan 1 '

W

F ub

W b c

F (2.10)

Etant donné que FS se retrouve dans les deux cotés de l’équation, on obtient la valeur initiale de FS en utilisant la méthode de Fellenius et en multipliant la solution par 1.2, on la remplace ensuite dans la partie de droite de l’équation et on calcul la valeur de FS de gauche. On procède ensuite par itération jusqu’a ce que les deux valeurs de FS soient égales. L’erreur est approximativement de 1%. [6]

2.5.2 Limitations de la méthode de Bishop simplifiée.

Etant donné que L'équilibre horizontal des forces n'est pas satisfait par la méthode de BISHOP, son application pour des analyses pseudo-statiques de tremblement de terre où une force horizontale additionnelle est appliquée est incertaine.

La méthode est également limitée aux analyses avec les surfaces de cisaillement circulaires.

2.6 La méthode de SPENCER (1967).

2.6.1 Les hypothèses.

La méthode de Spencer suppose que les forces latérales sont parallèles, c.-à-d., toutes les forces latérales sont incliné au même angle. Cette inclinaison est calculée en tant qu'élément de la solution d'équilibre. La méthode de Spencer suppose également que les forces normales à la base de la tranche agissent au centre de la base - une supposition qui a très peu d'influence sur la solution finale. La méthode de Spencer satisfait entièrement aux conditions d'équilibre des forces et des moments.

Les forces appliquées sur une tranche sont :

 l’effort normal effectif à la base de la tranche N’.

 Le poids de la tranche W.

 La force de cisaillement à la base S.

 La pression interstitielle U = ul.

 Les forces intertranches Ei et Ei+1.

F N l c F

S '  'tan'

 (2.11)

Soit : Q la résultante des forces intertranches parallèles E.



Ei+1

Ei

N’+U Si

θ θ

W

Figure 2.6 : Forces appliquées sur une tranche pour la méthode de SPENCER

La sommation des forces normales et tangentielles à la base de chaque tranche nous donne les deux équations d’équilibre qui suivent avec les deux inconnues N’ et Q :

0 ) sin(

cos

'U W  Q   

N (2.12)

 

cos ' sin

tanφ '

'  W  Q   

F N F

l

c (2.13) En résolvant l’équation (2.12) pour N’ et en remplaçant son expression dans l’équation (2.13) :

 

   



 



 













F W U F W

F l c

Q   







 

tan '.

1 tan cos

sin ' cos

tan '

(2.14)

Pour assurer l’équilibre des forces extérieures, la somme vectorielle des forces intertranches doit être égale à zéro ce qui réduit cette condition à :















0 sin

0 cos



 Q Q

(2.15) Si la somme des moments des forces extérieurs par rapport à un point quelconque est égale à zéro, alors la somme des moments des forces intertranches par rapport à ce point est aussi égale à zéro :

 

cos  



On suppose que la surface de glissement est circulaire de rayon R constant alors :

 

cos  



Comme les efforts intertranches sont parallèles entre eux donc  cte :



1) On divise une surface de rupture circulaire donnée en tranches égales, pour chaque tranche on définit la hauteur et l’angle de la base avec l’horizontale

 

2) Pour chaque tranche, on choisit plusieurs valeurs de  et on calcule pour chacune d’elle la valeur de F qui satisfait les équations désignées.

3) On note Ff le coefficient qui satisfait l’équation des forces et Fm celui qui satisfait l’équation des moments. Le coefficient calculé pour F = 0 est noté Fm0.

4) On représente sur un graphique les courbes correspondants à F_f = f () et F_m = f () l’intersection des deux courbes nous donne les valeurs de F1 et de1.