Étude en hautes fréquences de l'ancrage de vortex

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Submitted on 1 Jan 1971

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Étude en hautes fréquences de l’ancrage de vortex

J. Gilchrist, B. Salce

To cite this version:

J. Gilchrist, B. Salce. Étude en hautes fréquences de l’ancrage de vortex. Journal de Physique, 1971,

32 (11-12), pp.1003-1008. �10.1051/jphys:019710032011-120100300�. �jpa-00207180�

ÉTUDE EN HAUTES FRÉQUENCES ^{DE L’ANCRAGE DE VORTEX}

J. GILCHRIST et B. SALCE

Centre de Recherches sur les Très Basses

Températures,

^{C. N. R.}

S.,

^Cedex

166,

38-Grenoble-Gare

(Reçu

^{le 18 mai}

1971,

^révisé le 11 août

1971)

Résumé. ²⁰¹⁴ Nous avons mesuré la résistance de surface d’échantillons Pb50In50 ^dans

lesquels

sont

dispersées

des billes d’isolants. Les mesures sont faites dans la gamme 2,0 MHz à 50 MHz avec

des faibles densités de courants induits. La variation en

fréquence

de la résistance de surface est décrite d’une

façon

^assez

simple

à l’aide d’un seul

paramètre

pour

l’ancrage

^{de vortex en volume et}

un autre pour

l’ancrage

à la surface. Nous avons pu

distinguer

^entre

l’ancrage

de surface et l’ancrage

en volume. Dans le dernier _cas, la formule de Gittleman et Rosenblum est

généralement

^vérifiée.

Abstract. ²⁰¹⁴ We have measured the surface resistance of Pb50In50

specimens containing disper-

sions of

insulating powders.

^The measurements were made in the _range 2.0 MHz-50 MHz with weak induced current densities. The

frequency

variation of the surface resistance is described

quite simply

^{in terms of a}

single

parameter ^{for vortex}

pinning

in the volume and another parameter ^for surface

pinning.

^{We were able to}

distinguish

between surface and volume

pinning.

^In the latter _case, Gittleman and Rosenblum’s formula is

generally

^verified.

Classification

Physics

Abstracts :

17.24

1. Introduction. ^-

L’ancrage

^{de vortex dans les}

supraconducteurs

^à l’état mixte a été étudié _par

plusieurs

^{méthodes haute}

fréquence.

^Les

plus

^directes

sont la mesure de la résistivité et de la résistance de surface. Elles se caractérisent toutes par ^une étude

en fonction de la

fréquence

^{et par}

l’emploi

^d’une

densité de courant dont

l’amplitude Jm

^{est faible} devant la densité

critique

^{en courant continu}

J,,.

Dans ces

conditions,

^la

réponse

^est

généralement indépendante

^de

Jm.

^{Gittleman et Rosenblum}

[1]

ont fait l’étude _par

résistivité,

^avec des lamelles

gravées, placées

^{dans un}

champ magnétique perpendiculaire.

Dans un

champ donné,

^la résistivité _p

augmente

^avec la

fréquence

^{de zéro}

jusqu’à

^une

valeur pf égale

^{à la}

résistivité différentielle en continu pour J >

Je.

pf caractérise un état d’écoulement de

flux,

^où

l’ancrage

n’a

plus

^d’effet. On définit ^une

fréquence

^de

piégeage fp,

^{où p}

= 2 pf.

^{Gilchrist et Monceau}

[2]

^{ont choisi}

la méthode de la résistance de surface

R, grandeur qu’ils

^{ont mesurée par une}

technique calorimétrique [2], [3].

Les résultats sont similaires

puisque,

^{si nous}

définissons une résistance de surface propre à l’état d’écoulement de

flux, Rf = (1/2 toppf)1/2 ,

^alors

R/Rf

croît de 0 à 1 avec la

fréquence, prenant

^la

valeur 2

pour ^une

fréquence qu’il

convient de dénoter

fpl.

Il

apparaît

^que, devant les très faibles

amplitudes

^de

déplacement

^{du réseau de vortex dont il est}

question

dans ces études

[1]

^et

[2], l’ancrage

^{se manifeste} par

une force de

rappel

^de

type élastique,

^{et non par une}

force de frottement.

Dans le travail _que nous allons _exposer, nous avons voulu contribuer à l’étude de

l’ancrage

^en

exploitant

^la méthode de la résistance de surface.

Notre étude a

porté

^{sur les}

alliages Pbsolnso

^contenant

une

dispersion

de billes de divers isolants

(verre, alumine, ...).

^Ces

échantillons, fabriqués

par Schumacher

[4], présentent

^une

large

diversité de valeurs de

Je

pour ^une même matrice. Ils nous ont

permis

^{de mettre en évidence}

plusieurs caractéristiques

de

l’ancrage,

^ce

qui

^forme

l’objet

^des

paragraphes

suivants. Nous allons d’abord calculer une expres- sion pour

R/Rf

^{et une} pour

p/pf

suivant le modèle

d’ancrage

^le

plus simple

que ^nous

puissions imaginer,

et nous verrons

qu’il

^a le mérite de bien décrire le

comportement

^de

RI Rf

^{en fonction de la}

fréquence.

II. Résistivité et résistance de surface. ^- Notre

analyse portera

^{sur un} échantillon

plat

^{dont les sur-}

faces seront définies par ^{z =} 0 et z ⁼ h. En

présence

du

champ perpendiculaire appliqué Ho (statique),

nous trouverons à l’intérieur de l’échantillon une

induction

Bz ~

po

Ho

^{et un}

champ Hz = y-’ Bz.

En l’absence

d’excitation,

^{les vortex se trouveront}

presque

parallèles

^{à Oz dans les}

positions

^définies par

s ⁼ 0.

s(z, t)

^{est le}

déplacement

^d’un élément dz de vortex situé à une

profondeur

^{z sous} l’action d’un

champ

alternatif

appliqué (amplitude ^{H., fréquence}

(2 n) - 1

^{OJ et}

parallèle

^{aux deux}

surfaces).

^En

^plus

de

l’équilibre

de forces existant

lorsque s

⁼

0,

^notre

élément sera soumis à trois forces : une force

lj(02sloZ2)

^{dz où}

S, l’énergie

par unité de

longueur

de vortex vaut

00 Hz,

^{une force}

visqueuse

-

11COS/ot) dz, où il

⁼

4)0 Bz p f

^{1 et une force d’an-}

crage - Bs dz. B

^{est un} coefficient

d’élasticité, qui

^sera

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019710032011-120100300

1004

normalement fonction du

champ

^{et de la}

température.

Évidemment l’emploi

^du

coefficient B

suppose que

l’ancrage

^est uniformément distribué dans le volume de l’échantillon. Or il y ^a souvent de

l’ancrage

^localisé

aux surfaces et nous devons ^en tenir

compte

^en sup-

posant

que

chaque

vortex est soumis à une contrainte

d’ancrage

que ^nous écrirons -

8zs

pour

chaque

^sur-

face. Pour le

moment et X

^{sont comme des coefh-} cients

phénoménologiques,

^{mais nous} reviendrons

sur leur

signification

^{dans les}

paragraphes

^{IV et V.}

Calculons d’abord la résistance de surface

quand l’épaisseur

^{h est} suffisante pour

permettre

^{d’étudier le}

voisinage

^{de la surface z = 0 sans tenir}

compte

^{de la} surface z ⁼ h. Admettons d’abord que

où so ^{est une constante} à déterminer. Nous considérons

un élément de ^vortex situé

près

^{de la surface z = 0}

(disons

^{0 z}

t h)

^{et nous trouvons} que

l’équilibre

des trois forces

agissant

^{sur cet élément} donne lieu à

une relation :

avec

On ^trouve ce résultat en écrivant

et alors

s(z, t) - 1/2 Sp(eUwt-kz)

⁺

e-i(wt-k*z»).

^{A la}

surface z ⁼ 0 il convient d’admettre

qu’il

^{y a une}

forme latérale

d’origine

extérieure et

d’amplitude Hm 00 agissant

^sur

chaque

^{extrémité de vortex. Cette}

force

correspond

^au

changement

^de

l’énergie magné- tique

^autour de l’échantillon que

provoquerait

^un

petit déplacement

latéral du réseau de vortex. Pour trouver

so il

faut établir

l’égalité

entre cette

ampli-

tude

Hm Wo,

^et

l’amplitude

^de la résultante des autres forces en

jeu,

c’est-à-dire la

composante

^latérale

i(êslôz)z=o

de la tension et la force

d’ancrage

super- ficielle ^-

8xs

considérée ci-dessus. Ces deux forces

peuvent s’exprimer respectivement

et

îJle { -

^xso

eirot},

^et

l’amplitude

^{de leur résultante}

8so x ^{+ ik} 1. Ainsi, posant 8 = Wo Hz :

L’absorption

^de

puissance

par unité de

superficie peut s’écrire 2 RHm,

^ce

qui exprime

^{le vecteur de}

Poynting

moyen,

compte

^{tenu de la} définition de R.

Puisque

^toute

l’énergie qui

^{entre dans} l’échantillon est

dissipée

par la seule force de

viscosité,

^{la même}

quantité peut

^encore

s’exprimer

d’où :

avec

et

x

et y expriment respectivement l’importance

^de

l’ancrage volumique

^et

superficiel

^à

fréquence

^donnée.

Lorsque

^{x ou} y, ^ou tous les

deux, augmentent

^{de 0 à} oo,

R/Rf

^diminue de 1 à 0 de

façon

^{monotone. Le}

change-

ment de

RIRF

^en fonction de la

fréquence

^{est d’autant}

plus abrupt

que x est

plus important

par

rapport

^à y.

Ceci est dû au fait _{que l’on} mesure ce

qui

^se passe dans une couche dont la

profondeur

^est de l’ordre de la

profondeur

de peau.

Quand

^la

fréquence augmente,

celle-ci diminue et alors

l’ancrage réparti

^{en volume}

perd

^son efficacité

plus

^vite que

l’ancrage

^{de surface.}

Lorsque R

⁼

2 Rf,

nous avons entre x et y la relation

approximative :

d’où :

Introduisons le

symbole ôf

pour dénoter la

profon-

deur _{de peau propre} à l’état d’écoulement de flux.

ôf

⁼

(2co-’ u-1 Pf)1/2,

^{Si la} résistance de surface se mesure

quand h » ô,,

la résistivité est

mesurée,

par contre,

quand

^on fait circuler un courant de densité

Jm

^{cos mt dans un} échantilton où

h « âf.

^{Dans ce}

cas

s(z)

^est presque uniforme _pour 0 z h et son

amplitude

so résulte de

l’égalité

^{entre la force de}

Lorentz

Jm 00

^{h cos rot sur}

chaque

^vortex

qui

^traverse

l’échantillon et la somme des forces de

rappel

^et

de retard subies par

celui-ci, (flh

⁺

2J X) s

⁺

11h(8s/8t).

La

dissipation d’énergie

par unité de volume s’écrit

pj2

^et

aussi 1 Bz W§ ^cv IIS2

^{d’où :}

1/2 PJm et auss 1/2 B z ’Po w2 11so ^{où :}

et

III. Résultats

expérimentaux.

^{- Les} échantillons étaient en forme de

disques,

^{de diamètre 7 mm et}

d’épaisseur

^{h =}

0,6

^mm. La méthode d’étude consis- tait à

plonger

l’échantillon dans le

champ Ho

perpen- diculaire et le

champ Hm

^{cos wt}

parallèle

^{à ses surfaces.}

L’absorption d’énergie

était alors mesurée par calo- rimétrie dans un état d’écoulement uniforme de cha- leur à travers une résistance

thermique.

^{Pour les}

Pbsolnso

^les

paramètres

essentiels ont les valeurs suivantes : _pn ⁼ 213

nS2m,

^{1 =}

4,7

nm,

Tc

⁼

6,48

^OK

K ⁼

7,35.

^A

2,00 oK,

^la

température d’étude,

po

H,,2

⁼

0,63

Tesla. A 2 MHz la

profondeur

^de peau à l’état normal

(qui correspond

^{à la} résistivité

pn)

est de 165 gm, soit

0,275

^{h. Ceci est une fraction}

appré- ciable,

^{et entraîne sur} la résistance de surface une erreur de

9 % (de

³

%

^{à 3}

MHz,

^erreur

négligeable

^à

5

MHz,

^voir

[3]).

^{Cette erreur aurait pu} être évitée _par

l’emploi

^d’un échantillon

plus épais,

^{mais cela aurait}

aggravé

^{un autre}

problème

que l’on verra en se repor- tant aux faisceaux de courbes sur la

figure

^1.

FIG. 1. ^- Résistance de surface normalisée en fonction du

champ (po Ho ^en Teslas) : lignes discontinues ^- échantillon ayant Je ⁼ 1,1 ^{MAm-2 à} Ho = iHc2, fréquences ^de

50 MHz (courbe supérieure), 10, 3,0 ^et 2,0 MHz, lignes ^conti-

nues ^- échantillon ayant Te ⁼ 5,5 ^{MAm-2 à} Ho = i He2, fréquences ^de 50, 40, 25, 15, 10, 7,0, 5,0 3,0 ^{MHz et} (courbe

inférieure) 2,0 ^MHz.

Nous avons

porté

^{sur la}

figure

1 les courbes de résis- tance de surface de deux échantillons.

L’un, qui

^conte-

nait des billes de verre

(diamètre

^{5 gm, soit - 1}

%

du

poids

^{et 4}

%

^{du volume du}

matériau)

avait rela- tivement peu

d’ancrage

^{et l’autre}

(billes

^d’alumine

0,1- 0,5

gm, soit -

0,3 %

^du

poids

^et

0,7 %

^du

volume)

^un

ancrage

beaucoup plus

fort. Nous remarquons que, au-delà de la variation

correspondant

à l’état mixte

(0 Ho Hc2), il

^{y a une variation}

qui

^continue

jusqu’à 1,7 Hc2 environ,

^et

qui dépend

^{de la}

périphérie

de

l’échantillon,

où la surface ^est

parallèle

^à

Ho.

Cette variation était trois fois

plus importante

pour ^un échantillon

d’épaisseur

^{2 mm au lieu des}

0,6

^mm habituel.

Or,

c’est l’état mixte

qui

^nous intéresse ici et non pas ^cet effet

périphérique.

Les

premières

^{mesures ont été faites avec un choix}

de deux bobines haute

fréquence,

^l’une

disposée

perpen- diculairement à l’autre. Nous avons constaté une diffé-

rence

systématique

suivant que l’une ou l’autre était

employée.

^Une

expérience

^a

prouvé

^{que ceci doit}

être attribué à

l’anisotropie

^de

l’ancrage

résultant du

laminage préparatoire

^des échantillons. La

figure

²

montre la différence entre les résultats de deux mani-

pulations.

L’échantillon était recuit seulement

après

^la

première manipulation

^{et remonté} ensuite dans

l’ap- pareil

^{de mesure dans un autre sens. Nous constatons}

d’une

part

que le niveau moyen de

R/Rn

^a

augmenté, indiquant qu’une partie

^de

l’ancrage

était due aux

défauts créés par le

laminage

^et

susceptibles

^d’être

éliminés _par

recuit,

^d’autre

part

que

l’anisotropie

^a

diminué et

changé

^{de sens. Ces résultats nous font}

croire _{que les} vortex oscillent

plus

volontiers

parallè-

lement au sens de

laminage.

^C’est d’ailleurs

parallèle

au sens de

laminage qu’ils migrent

^le

plus

^facilement

sous l’action d’un courant continu

[5].

^{Pour les mani-}

pulations ultérieures,

nous avons utilisé une seule bobine haute

fréquence,

nous avons laminé les échan- tillons successivement en

plusieurs

^{sens, et nous les}

avons suffisamment recuits pour que

l’ancrage

^soit

principalement

^{dû aux} billes d’isolant.

FIG. 2. ^- Résistance de surface normalisée en fonction du

champ, ^montrant l’anisotropie suivant le sens de laminage : lignes ^{continues -} première manipulation ^{avec le sens de} laminage parallèle à la bobine n° 2 et perpendiculaire à la bobine n° 1, lignes discontinues ^- seconde manipulation, l’échantil- lon ayant ^{subi un} bref recuit est monté avec le sens de laminage

parallèle à la bobine n° 1.

L’ensemble des résultats relatifs au

champ uo Ho

⁼

0,3

^{T est}

présenté

^{sur la}

figure

^{3. Nous avons}

calculé

RIRF

f en

prenant

la courbe

supérieure

^{de la}

figure

^{1 comme}

Rf/Rn.

^Les échantillons bien recuits

1006

et sans billes donnent une courbe similaire. Les courbes de la

figure

³

représentent RIRF

^suivant

l’expression (3).

Pour le seul cas d’un échantillon non

poli,

^{nous avons}

posé f3

^{= 0 et choisi le}

paramètre

x convenablement.

La courbe

correspond, alors,

^{à un} ancrage

purement superficiel,

^{et nous} voyons que l’accord est très bon.

Pour tous les autres cas, où un

polissage chimique

avait été

fait,

^{nous avons}

posé

^{x = 0 et}

choisi f3

^comme

il fallait. L’accord est tout à fait raisonnable et nous

donne la

quasi-certitude

^que nous avons réussi à

distinguer

^{et à}

séparer

^{les deux}

types d’ancrage,

^en

surface et en volume.

FIG. 3. ^- Résistance de surface _par rapport ^{à Rf =} (1 cvppf)i’2 dans un champ uo Ho ⁼ 0,3 Tesla (Ho ~1/2 ) Hc2), ^{en fonction} de la fréquence. Chaque espèce ^de signe indique ^un échantillon différent. gb - échantillon non poli comparé ^{avec la courbe} théorique pour ancrage superficiel (ligne discontinue) : ^tous

les autres signes ^- échantillons polis ^{avec courbes} théoriques

pour ancrage ^en volume (lignes continues).

Remarquons

que ^{nous avons} travaillé avec une dissi-

pation d’énergie

^à l’état normal de 3

uW.

^{Nous esti-}

mons alors _que

Jm ~

⁶⁰

^kAm-2

^à

2,0

^{MHz et}

~ 130

kAm-’

à 50

MHz,

^aux surfaces. Ces densités de courant sont nettement inférieures aux

Jc,

^déter- minés à

partir

^de

l’hystérésis

^de l’aimantation.

IV. Théorie de Gittleman et Rosenblum. ^- Pour

exprimer

^{la formule} de Gittleman et Rosenblum

[1 ]

pour

plpf

^et

pour f"

^{nous n’avons}

qu’à

écrire la valeur 2

nJc cP1/2 Bz 1/2

pour le

paramètre

^du

paragraphe

^II.

Gittleman et Rosenblum

n’envisageaient

pas

qu’une

force -

f3s

^dz

agit

uniformément sur

chaque

^élément

de vortex. En

fait,

^{les vortex se} constitueraient en

cristaux

rigides qui

^se

déplaceraient

^{comme des}

ensembles. Selon ^ce modèle le

potentiel

^de

piégeage

subi _par un cristal de vortex aurait la

périodicité

^du

réseau. Si ce

potentiel périodique

^{a une forme sinu-}

soïdale et une

pente maximum Jc ffio dz, l’expression

ci-dessus en résulte. Par

analogie

^nous pouvons écrire 2

7rJ,, P6/2 Bz1/2

pour

8x, £1

^{étant une densité}

critique

^{de courant}

superficiel, qui s’applique

^{à une}

surface

perpendiculaire

^aux vortex et

qui dépend

de la

rugosité

de la surface. A ce

moment-là, (6)

devient :

le

^{est le courant}

critique

^de l’échantillon

qu’on

^déter-

minera avec un courant

continu,

^{et S est la}

section ; le ^{S-1 =} (Jc

^{+ 2}

^h-1 JsJ.).

^{Avec les mêmes valeurs de}

03B2

^{et de} x,

(4)

^{devient :}

B’VJ

En effet nous avons mesuré

l’hystérésis

de l’aiman- tation d’échantillons

cylindriques

^de rayon r des mêmes matériaux et à la même

température

^{que les}

mesures en haute

fréquence.

^Ces mesures nous ont amenés à une connaissance de

(Jll + 1/3 rJc) puisque

nous pouvons supposer que les échantillons se trou-

vaient dans l’état

critique

décrit par Bean

[6]

^selon

lequel

^{OB =} uo

Je

^à

chaque point

^à

l’intérieur,

^et

alors B > H croi - B >Hdecr = - 2J10(Jsl! + -1 3 ri,,,)

JSiI

^{est une densité de courant}

critique superficiel qui s’applique

^{à une surface}

parallèle

^à

Ho. Js

^{est lié à}

l’efficacité de la barrière

qui s’oppose

^{aux vortex}

qui

voudraient franchir la surface et n’a rien à voir avec

la

quantité Jsl. qui figure

dans les relations

(7) (impli- citement)

^et

(8).

^Par

conséquent

^{les mesures de}

l’hys-

térésis ne sont utiles _pour étudier la validité de

(8)

que si

l’ancrage

^est presque totalement ^en volume.

Cependant

nous avons vu que pour ^tous les échan- tillons

polis reportés

^{sur la}

figure

³

l’ancrage

^semble

être

volumique,

^{et c’est sous cette}

hypothèse

que

nous examinerons les résultats.

La

figure

^{4 est une}

repré sentation

^de

fps

^et

^{de Je}

à _uo

Ho

⁼

0,3 T.

Les valeurs

expérimentales

^de

fus

ont été trouvées ^en accordant les courbes

RIRF

^comme

sur la

figure

^{3 et} les valeurs de

Je à partir

^de

l’hystérésis

d’échantillons

cylindriques

^{en admettant}

JSII

^{= 0.}

La

ligne

^{continue sur la}

figure

⁴

représente

^{la rela-}

tion

(8)

^{où il est admis que}

£1

^{= 0. En}

ligne

^dis-

continue nous avons

représenté

Cette

ligne correspond

^{à une variation}

parabolique

du

potentiel

^de

piégeage, proposée

par Gittleman ^et Rosenblum _pour raison

phénoménologique.

^Pour

trouver les deux

lignes

nous avons

calculé 11

^{à l’aide}

de la valeur

expérimentale

^de pf, à

partir

^de

R,IR. et

pn. On voit _que tous les

points expérimentaux

^se

FIG. 4. ^- Fréquence ^de piégeage (à laquelle ^R = 1/2 Rr) ^en

fonction de la densité de courant critique, celle-ci déterminée à

partir ^de l’hystérésis magnétique, toujours pour po Ho ⁼ 0,3 ^Tes- la : ligne ^{continue -} théorie de Gittleman et Rosenblum

(cosinusoïd) ; ligne discontinue ^- idem (parabolique). Chaque point correspond ^{à un} échantillon différent.

situent entre les deux

lignes,

^{sauf deux}

qui

^{se trouvent}

au-dessous,

^et

qui représentent

^des échantilons à faible

Je.

^{Pour ces deux}

là, fps

^{est nettement en dehors}

de la gamme de

fréquences

^{étudiée et sa valeur a dû}

être déterminée _par une

extrapolation

^{à l’aide de la}

courbe

théorique

pour

piégeage

^en volume. Si cette

extrapolation

^a pu entraîner une erreur

excessive,

^il

nous semble _que celle-ci serait dans le sens d’une surestimation

de fps, ^qui

^{se situerait en} effet même

plus

bas _que les

positions marquées

^{sur la}

figure

4. La courbe pour

piégeage

^{en volume}

représente,

^en

effet,

^théori-

quement

^et

expérimentalement

^la variation la

plus abrupte possible

^pour

R/Rf

^en fonction de la

fréquence.

Il semble _que

négliger Js

Il était une erreur pour les échantillons à _ancrage faible et on a donc trouvé une

fausse limite inférieure

pour Jc

de l’ordre de 1

MAm-2,

les vraies valeurs de celui-ci

pouvant

^{être nettement}

plus petites.

Nous avons choisi de montrer les résultats _pour

Ho = 0,5 H,,2,

^{comme étant}

représentatifs

^{de l’état}

mixte,

^{mais une}

figure comparable

^{à la}

figure

^{4 aurait}

pu être tracée pour

n’importe quelle

^{autre valeur du}

champ.

^La

figure

⁵

résume,

^en

effet,

les variations ^en fonction du

champ

pour ^un échantillon

typique.

^On

voit que

Jc(Ho) a qualitativement

^{la même}

^allure,

qu’il

^{soit déterminé à}

partir

^de

l’hystérésis magné- tique

^{ou à}

partir

^du

produit

Nos conclusions

quant

à la validité de la théorie de Gittleman et Rosenblum auraient été similaires si

nous avions choisi de ^nous

intéresser,

par

exemple, à Ho = 0,2 Hc2 ou à Ho = 0,8 Hc2.

FIG. 5. ^- Densité de courant critique ^en fonction du champ : ligne ^{- à} partir ^de l’hystérésis magnétique ; 10 - à partir

de la fréquence ^de piégeage, fps ^et la théorie de Gittleman et Rosenblum (cosinusoïd) ; ^{o - idem} (théorie parabolique).

V. Théorie de Labusch. ^- Nous avons vu que

l’hypothèse

^{d’une force}

d’ancrage

^de

type élastique

’décrit

assez bien la variation en

fréquence

^du

rapport R/Rf,

^{comme elle a décrit assez} bien la variation de

p/pf [1].

^En

plus,

^{la valeur}

prêtée

^au coefficient élas-

tique

par Gittleman ^et Rosenblum

donne,

^{à un}

facteur 2 ^ou 3

près,

^{les bonnes valeurs}

de fps,

^comme

de

fp.

^{Vu la}

simplicité

^de

l’hypothèse

^par

rapport

^{à la}

complexité

^du

problème d’ancrage

c’est même un peu

surprenant.

^En

particulier

^nous n’avons pas ^tenu

compte

^{de la}

possibilité

^d’une distorsion du réseau dans le

plan perpendiculaire

^à

Oz,

^en

supposant

que

s(z, t)

^est le même pour

chaque

^vortex, soit parce que

chaque

^vortex subit la même

force - fis

^dz

(peu

pro-

bable),

^soit parce que les interactions entre vortex sont infiniment fortes

(une exagération).

^Pourtant

on sait

[7]

que de telles

distorsions, quoique

^très

faibles, jouent

^{un rôle} fondamental dans la détermina- tion de la valeur de

J,,. (Désormais

^nous discuterons

uniquement

^de

l’ancrage

^en

volume.)

Comme

premier

pas ^{vers une} étude

plus précise

nous pouvons supposer

que fl

varie d’un élément de vortex à un autre. On

peut

penser que

fps

^et

fp

^sont

1008

données

(à

l’ordre de

grandeur

^{tout au}

moins)

par

l’emploi

^de

B

> en

place de fi

dans les formules

(4)

et

(6).

Précisons à ce moment que

par B

^{nous enten-}

dons seulement les réactions élémentaires entre défauts

et vortex, ^{et non} pas les interactions vortex-vortex.

Nous avons le droit de l’entendre ainsi parce que les interactions vortex-vortex ne

jouent

pas directement dans la détermination de

l’amplitude

moyenne des

déplacements

^{des vortex en}

réponse

^{à une force}

appliquée. Alors P

^est synonyme de la

quantité a2u/ax2

de la théorie de Labusch

[7]

^et

B

> ^est

équivalent

^{à a.}

(Les déplacements s

^sont

parallèles

^à

Ox.) fi

^{étant la dérivée} seconde d’un

paramètre continu, U,

et celui-ci ne

dépendant

que des défauts

répartis

^au

hasard dans

l’espace,

^il

apparaît

que

B

> serait nul s’il

n’y

avait pas de distorsion du réseau de vortex, ^et que dans ces conditions

fps

^et

fp,

^{tout comme}

^Jc

^seraient

nulles. Par

conséquent,

les valeurs de

fps

^et

fp,

^comme

celle de

Jc, dépendent

^{de la «}

souplesse »

^{du réseau}

de vortex

qui

^lui

permet

^de

s’accommoder,

^{dans une} certaine _mesure, aux défauts

présents.

Pour concrétiser sa

théorie,

^{Labusch a calculé}

J,, explicitement

pour ^{un cas}

précis

d’interaction entre vortex et défauts. Des défauts de densité

po et

^de

longueur

^{L dans le sens}

Oy, interagissent

^{avec les}

vortex avec un

potentiel 8( ç), ç

^{étant la distance}

(llox)

entre le vortex et un

point qui

localise le défaut :

Ko

^{est la}

pente

^{maximum de} e,

où ç =

± ^d.

Lorsque Ho

^{n’est ni}

trop près

^de

77e

1 ni

trop près

^de

Hc2

«

l’approximation

^{réseau » est valable. Dans cette}

approximation,

^{et au}

premier

^{ordre en} po :

lorsque Ko G’(O)ld

>

8/3. G’(0)

^{est la fonction de Green}

qui

caractérise la

réponse

linéaire du réseau de vortex à une force

ponctuelle (c’est-à-dire

^{la «}

souplesse

^»

du

réseau).

^{Sa forme}

explicite

^est donnée dans le texte.

D’après

^Webb

[8],

^{la condition}

Ko G’(O)ld

>

8/3

serait difficilement

réalisée,

^{tout au} moins dans le cas

d’ancrage

par dislocations.

Cependant

^{un calcul}

à l’ordre n en po

pourrait

^{montrer la validité}

plus générale

^{de la relation}

[9].

^Pour la même forme concrète de

8(j)

^{nous trouvons :}

quand (9)

^{est valable.}

Il vient :

ce

qui

^est

identique

^à

l’expression

de Gittleman et Rosenblum dans le cas où

d,

^la

largeur

^de

l’interaction,

est de l’ordre du

paramètre

du réseau

0’ /2 Bz -1/2.

Cette dernière

hypothèse

^{semble tout à fait}

raisonnable,

et nous pensons avoir démontré _que le modèle de Gittleman et Rosenblum et les résultats

expérimentaux

sont

compatibles

^avec la théorie de Labusch.

Bibliographie [1]

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