Faiza BOUKAZOUHA

N° d’ordre : 18/2002-M/PH

UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIENE

FACULTE DE PHYSIQUE

Thèse présentée pour l’obtention du grade de MAGISTERE

en PHYSIQUE

Spécialité :

Matériaux et composants

Par

Faiza BOUKAZOUHA

Soutenance publique le 06 Juillet 2002 à la salle de conférence de la Faculté de Physique devant le jury composé de :

M^r.M. DRIR Professeur Président

M^r.F. BOUBENIDER Maître de conférences Directeur de thèse M^r.A. BENDIB Professeur Examinateur M^r.A. BENCHAALA Professeur Examinateur M^r.H. DJELOUAH Professeur Examinateur M^elle.Z. MELIANI Maître de conférences Examinatrice

ETUDE DE FAISABILITE D’UN TRANSFORMATEUR

DE TENSION A CERAMIQUES PIEZOELECTRIQUES

I-1- TRANSFORMATEURS CLASSIQUES

Les transformateurs utilisés en électronique sont constitués de deux circuits couplés, en général, par mutuelle inductance. Ce couplage est augmenté à basse fréquence (50 Hz < f < 20 kHz) par un circuit magnétique à base de fer, à haute fréquence (f >100 kHz) par un noyau de ferrites. Ils servent à augmenter l’amplitude d’une tension, à adapter l’impédance d’une charge à celle d’une source, à isoler deux éléments actifs du point de vue des tensions continues. La liaison par transformateur entre deux éléments actifs peut être sélective en fréquence, si l’un (ou chacun) des circuits électriques couplés fonctionne à sa fréquence de résonance.

Un simple circuit résonnant est d’ailleurs un dispositif apte à accroître, dans une bande de fréquence limitée, une tension électrique. Aussi, est-il utile de rappeler les propriétés essentielles d’un circuit résonnant RLC.

I-1-1- Circuit résonnant RLC

L’impédance de ce dipôle (figure I-1) est : ( ω- 1ω) L C

j R

Z= + , elle est

minimale et égale à R à la pulsation propre ω₀=1/ LC. Pour ω<<ω₀, elle se comporte comme la capacité C et pour ω>>ω₀ comme l’inductance L.

La réponse fréquentielle de ce circuit, représentée sur la figure I-2, définie en régime harmonique comme le rapport de la tension V` et de la tension d’entrée V est :

)]

C1 L

( j R [ jC

1 V

` ) V ( H

− ω ω +

= ω

=

ω I-1

Elle est maximale à la pulsation de résonance ω_r = ω₀ (1 – (1/2Q²) ).

i

Figure I-1: Circuit résonnant RLC.

V C

R L

V`

Q = R Lω0

représente le coefficient de qualité ou de surtension du circuit.

Si Q >> 1 : ω_r≈ ω₀ et H ( ω_r ) ≈ Q.

0,8 0,9 1,0 1,1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0,90 0,95 1,00 1,05 1,10

0 20 40 60 80 100 120

H (ω_r /ω₀) ≈ Q

H (ω_r/ω₀)/ 2

∆ω/ω₀

Q = 15

(ω_r / ω₀ )

ω/ ω₀ H (ω/ ω0)

-3dB

1 2 3 4

Q1 = 10 Q2 = 30 Q3 = 60 Q₄ =100

ω/ ω0

H (ω/ ω0)

1.2

Figure I-2-b: Réponse fréquentielle d’un circuit résonnant RLC pour différentes valeurs de Q.

Figure I-2-a: Réponse fréquentielle d’un circuit résonnant RLC.

Plus généralement, le coefficient de qualité Q d’un système résonnant est :

Il caractérise la finesse de la résonance puisque la largeur de la bande de fréquence à -3dB,∆

ω

, lui est inversement proportionnelle (∆

ω

= ω₀/Q). Pour un circuit RLC, il

ne dépasse pas une centaine, en raison des pertes d’énergie par effet joule dans le bobinage. Sa formule de définition, Q = Lω₀/R, pourrait laisser croire qu’on peut atteindre des coefficients de surtension aussi élevés que l’on veut, en associant au bobinage des condensateurs de capacité de plus en plus faible, de façon à augmenter indéfiniment ω₀. En réalité, cette façon de voir n’est correcte que dans une certaine mesure : par suite de l’effet de peau, la résistance R ne reste plus constante, pour des fréquences suffisamment élevées, elle devient sensiblement proportionnelle à la racine carrée de la fréquence, ce qui a pour effet de diminuer le coefficient de qualité Q [9].

La description d’un circuit par éléments localisés n’est valable que dans les domaines des fréquences assez basses pour qu’il ne soit nécessaire de prendre en compte, ni la capacité répartie de la bobine, ni l’inductance du condensateur. En effet, en basses fréquences, l’hypothèse de la propagation instantanée de l’énergie permet d’éliminer la variable «espace» (la longueur d’onde associée étant grande devant les dimensions du circuit) et de ne considérer que la variable «temps». Elle conduit donc à des représentations des résistances, des inductances et des capacités par des valeurs finies et localisées. Par contre, en haute fréquence, il n’est plus possible de négliger la variable «espace» (la longueur d’onde étant petite devant les dimensions du circuit), la propagation de l’énergie n’est plus instantanée, on utilise alors des combinaisons d’éléments infiniment petits qui se trouvent répartis tout le long du circuit [10].

Cette observation est aussi vraie en ce qui concerne les résonateurs mécaniques.

Ceux-ci se décrivent d’ailleurs par des schémas électriques équivalents déduits de l’analogie entre les grandeurs mécaniques et les grandeurs électriques, une force et une vitesse, jouant des rôles semblables aux tension et intensité de courant. La correspondance entre les principales grandeurs mécaniques et électriques à éléments localisés est représentée sur la figure I-3.

Energie moyenne emmagasinée par période dans le circuit Energie moyenne dissipée par période

Q = 2π

I-1-2- Transformateur à circuits résonnants couplés

La figure I-4 représente un transformateur de tension à deux circuits résonnants RLC, symétriques (même ω₀ et même Q), couplés par mutuelle inductance M et dont le coefficient de couplage est k = M/L.

Grandeurs mécaniques

Grandeurs électriques Raideur (k) Inverse d’une

capacité (1/C) Masse (m) Inductance (L)

Force (F) Tension (V) Elongation u Charge q

Vitesse (u) Courant ( i ) Coefficient

d’amortissement

(α) Résistance (R) Impédance

mécanique Z_m = F/u

Impédance électrique

Z_e = V/i

Figure I-3: Résonateurs mécanique et électrique à éléments localisés.

k

α

m

i

F

u V m

C

R

L

I

i2

V1 C V2

R R

I L

C

L

Figure I-4 : Circuits résonnants couplés par mutuelle inductance.

Circuit primaire Circuit secondaire M

Pour bénéficier de la résonance du circuit primaire, il faut l’alimenter par une source à courant constant I = g V₁ (g : transductance du générateur ).

La réponse fréquentielle (V₂ /V₁) d’un tel dispositif est de la forme [9] :

H(ω) = ( )

02 1

2

ω ω ω

F k V

V =− avec F(ω) =

2 2 0

0 ( 2 )



ωω + ω −ω

Q j + k²ω⁴. I-4 Au voisinage de la résonance et en posant ω = ω₀ (1+ε), l’expression deF(ω)² devient :

F(ω)² = ω₀⁸ (16ε⁴ + 8 ε² (1/Q² – k² )+(k² + 1/Q²)² ). I-5 Pour avoir l’allure de la réponse fréquentielle (V₂/V₁) = H (ε) représentée sur la figure I-5, il suffit de tracer l’allure de la fonction 1/F(ω).

-0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4

0 100 200 300 400 500 600

ε

H(ε)

Figure I-5 : Allure de la réponse fréquentielle de deux circuits résonnants couplés.

• Si k = L

M << 1/Q, la courbe présente un seul maximum à la fréquence de résonance ω = ω₀. (couplage critique).

• Si k = L

M >> 1/Q, la courbe présente deux maximums symétriques, distants de ∆ε = ( k²- 1/Q² )^1/2 et un minimum pour ε = 0. (couplage lâche).

k<<1/Q

k>>1/Q

Ce type de transformateurs inséré entre deux éléments actifs sert à construire des amplificateurs sélectifs à bande étroite (moyennes fréquences de la radiodiffusion) ou à bandes larges (fréquences intermédiaires de la télévision).

I-1-3- Transformateur à circuit magnétique

Le transformateur électromagnétique, représenté sur la figure I-6, est un appareil destiné à coupler deux circuits isolés électriquement grâce à une liaison par mutuelle inductance M = (L₁L₂)^1/2. Il transporte l’énergie électrique d’une source à une charge au moyen d’un champ magnétique. Il est constitué de deux bobines enroulées sur un support magnétique fermé, en fer feuilleté ou en ferrites.

Figure I-6: Transformateur électromagnétique.

Circuit magnétique

V2

L₁ (n₁ tours)

L₂ (n₂ tours) V1

i1

i₂

Dans un transformateur électromagnétique parfait (sans pertes), la loi d’induction magnétique (loi de Lenz) s’écrit pour les deux bobines [11] :

Une tension alternative V₁, appliquée aux bornes de l’enroulement primaire (n₁ spires), crée dans le noyau de fer (ou de ferrites) un flux magnétique. Ce flux, traversant l’enroulement secondaire (n₂ spires) induit une tension V₂ = ( n₂/n₁ )V₁ à ses bornes.

Ce dispositif permet d’augmenter l’amplitude d’une tension électrique ou de la diminuer, (transformateur secteur des alimentations stabilisées basse tension, etc.). Il est aussi utilisé en électronique pour adapter l’impédance d’une charge à celle d’une source [12]. En effet, vue du primaire, l’impédance du transformateur est formée par l’association en parallèle de la self primaire L₁ et d’une impédance égale à R_L /N².Si la self primaire est assez élevée, pour que L₁ω soit très grand devant R_L/N², l’impédance d’entrée du transformateur se réduit à R_L/N² (figure I-7) et l’adaptation à l’impédance r de la source est obtenue lorsque le rapport des nombres de spires des deux bobines N = n₂ / n₁ est égal à (R_L/r )^1/2 [Annexe (1)][13].

Cependant, le transformateur à noyau de fer est loin d’être parfait, l’existence d’un flux de fuite affaiblit le couplage entre le primaire et le secondaire, son rendement est abaissé par les pertes de puissance dissipées sous forme de chaleur. Ces

V₁ = j L₁ω i₁+ j Mω i₂

V₂ = j Mω i₁+ j L₂ω i₂ I-6

Figure I-7 : Adaptation d’impédance par transformateur électromagnétique.

L₁ r

Source

⇔

L₂ RL

V₂

charge

RL/N² r

V1

V1

1 : N

pertes sont dues à l’effet Joule dans les enroulements et à deux phénomènes liés à l’induction magnétique dans le noyau. Le premier est l’apparition des courants de Foucault, une solution classique pour réduire ces pertes, proportionnelles au carré de la fréquence, consiste à feuilleter le noyau par empilage de tôles, ce qui a pour effet d’augmenter sa résistance donc de réduire le courant qui le parcourt [14]. Le deuxième phénomène, pour lequel les pertes sont proportionnelles à la fréquence, est lié à l'existence d'un cycle d'hystérésis que décrit la courbe d’aimantation du matériau ferromagnétique utilisé, ces pertes sont proportionnelles à la surface du cycle qui peut être réduite par l’adjonction de silicium aux tôles de fer [15].

Le transformateur électromagnétique ne convient plus dans les circuits électroniques actuels, en raison de son encombrement et de son inaptitude à fonctionner à fréquences élevées (f > 20 kHz). Au-delà de 100 kHz, l’emploi des ferrites s’est généralisé et le rapport de transformation peut atteindre plusieurs dizaines.

I-2- LA PIEZOELECTRICITE

I-2-1- Généralités

La piézoélectricité - piézo est un préfixe grec qui signifie serrer ou presser - est l’apparition, sous l’influence d’une contrainte mécanique de direction convenable, d’une polarisation électrique ou d’une variation d’une polarisation déjà existante, dans certains diélectriques anisotropes naturels ou artificiels et à leurs surfaces des charges électriques. Le signe de ces charges s’inverse en même temps que l’on inverse le sens de la contrainte appliquée. C’est l’effet direct.

La piézoélectricité, pressentie au dix-neuvièmesiècle (1817) après les théories cristallographiques de René HAÜY, fut étudiée sous sa forme directe et interprétée par les frères Pierre et Jacques CURIE en 1880 [16]. Ils y apportèrent à la fois la preuve expérimentale du phénomène et une théorie élaborée, ils établirent la relation de linéarité entre la contrainte exercée et la charge électrique mesurée et énoncèrent les règles de symétrie auxquelles doit satisfaire un matériau pour présenter l’effet piézoélectrique.

L’effet piézoélectrique est réversible : soumis à un champ électrique de direction convenable, un matériau piézoélectrique se déforme sous l’action des forces internes, cette déformation change de sens en même temps que l’on inverse le sens du champ électrique. C’est l’effet inverse, il a été mis en évidence par LIPPMAN en 1881 et vérifié expérimentalement par les frères CURIE (figure I-8).

Figure I-8 : Illustration des effets piézoélectriques direct et inverse.

Apparition de charges

Contrainte Déformation

Effet direct Effet inverse

Générateur de tension

La découverte du phénomène piézoélectrique attira immédiatement l’attention des scientifiques : Gabriel LIPPMAN, Wilhelm HANKEL, William KELVIN et surtout Waldemar VOIGT, mais ce n’est qu’au début du vingtième siècle que les propriétés piézoélectriques des matériaux sont formalisées de façon plus précise et que le phénomène est modélisé, en particulier, lorsque VOIGT, en 1910, introduisit la notation tensorielle pour décrire leurs comportements élastiques et électriques.

Si l’on applique une contrainte mécanique à un matériau piézoélectrique, les mailles cristallines se déforment, il y a séparation du centre de gravité des charges positives C⁺ et négatives C^- au niveau de chaque maille du réseau cristallin, d’où la création d’un moment dipolaire. L’équilibre électrostatique initial est rompu et une polarisation apparaît aux bornes du cristal. Il a été démontré que l’absence de centre de symétrie dans la maille élémentaire était nécessaire à l’apparition du phénomène (figure I-9).

Figure I-9 : Représentation schématique de l’apparition de la piézoélectricité.

Cristallographiquement, on définit 32 classes de symétrie cristalline, sur ces 32 classes, 21 sont dépourvues de centre de symétrie, 20 classes parmi ces 21 présentent

Corps

F F

Corps non C^- C⁺

p

F F

C^- C⁺

des cristaux à propriétés piézoélectriques. Pratiquement, on peut classer les matériaux piézoélectriques en deux catégories :

 Les monocristaux, qui sont naturellement piézoélectriques, tels que le quartz-α (SiO₂ ; classe 32), la tourmaline (Borosilicate naturel d’Aluminium), le sulfate de lithium (Li₂SO₄), le phosphate diacide de potassium.

 Les matériaux dits ferroélectriques, présentant un effet piézoélectrique après polarisation. Ils comprennent :

- Les matériaux monocrisallins tels que le tantalate de lithium(LiTaO₃), le niobate de lithium (LiNbO₃), découverts en 1949, ou la berlinite (Al PO₄).

- Les matériaux amorphes, tels que les polymères polaires (PVDF), les matériaux polycristallins tels que les céramiques piézoélectriques (Titanate de Plomb PbTiO₃, Titanate de Baryum BaTiO₃, Titanate- Zirconate de Plomb (PZT) élaborées depuis 1954, …) (figure I-10).

Depuis sa découverte, l’effet piézoélectrique est largement utilisé pour son efficacité, sa fiabilité, sa commodité de mise en œuvre et son coût relativement modeste. La première application est due à Paul LANGEVIN qui construisit, en 1917, le premier générateur ultrasonore à quartz pour les mesures et la détection sous-marine

Figure I-10 : Classification des 32 classes cristallines.

1 non piézoélectrique classe 432 32 classes cristallines

20 piézoélectriques

11 centrosymétriques 21 non centrosymétriques

monocristaux amorphes

ferroélectriques non ferroélectriques

polycristallins

(Sonar). L’utilisation de l’effet piézoélectrique se retrouve partout, dans l’usage courant : allume-gaz, tourne-disque et dans les hautes technologies pour contrôler, analyser et caractériser la matière, par exemple, en échographie industrielle, en imagerie médicale et dans la radiocommunication. Il est aussi utilisé dans un but esthétique : nettoyage d’édifices ou détartrage dentaire.

I-2-2- Equations de la piézoélectricité

La piézoélectricité est le résultat d’un couplage entre l’énergie électrique et l’énergie mécanique d’un matériau, son étude repose essentiellement sur l’analyse de ses propriétés élastiques et diélectriques, les équations font intervenir à la fois des paramètres électriques et des paramètres mécaniques. Par exemple, la déformation totale est fonction de deux variables indépendantes : la contrainte mécanique et le champ électrique.

L’anisotropie des propriétés piézoélectriques, dans l’espace, nécessite l’utilisation d’expressions tensorielles, plusieurs couples de variables indépendantes ( E et S, D et S, D et T, E et T ) peuvent être choisis pour écrire les équations d’état d’un matériau piézoélectrique [17] :

T_α = c^E_αβS_β - e_{i α} Ei S_α = s^E_αβ T_β + d_{i α}E_i D_i = ε^Sij E_j + e_{i α} Sα D_i = ε^Tij E_j + d_{i α} T_α

E_i = β^S_ij D_j - h_ijk Sjk E_i = β^T_ij D_j – g _ijk T_jk T_jk = c^D_jklm S_lm - h_ijk Di S_jk = s^D_jklm T_lm + g _ijk D_i

D représente le déplacement électrique ; E le champ électrique ; T la contrainte mécanique et S la déformation mécanique. ε représente la permittivité diélectrique ; β est l’imperméabilité diélectrique ; d, e, h, g sont des constantes piézoélectriques ; c et s représentent la rigidité élastique et la compliance élastique respectivement. Les indices (i, j, k, l, m = 1,2,3) et (α,β = 1,…,6) désignent les composantes des différentes grandeurs suivant les trois axes.

Les exposants E, D, T, S signifient respectivement : à champ constant (électrodes court-circuitées) ; à induction constante (électrodes en circuit ouvert) ; à contrainte constante (plaque libre) ; à déformation constante (plaque encastrée) .

I-8

I.9 ) I-10 I-7

I-9

I-2-3- Coefficients de couplage électromécanique

Le coefficient de couplage représente le couplage entre l’énergie électrique et l’énergie mécanique. Dynamiquement, il caractérise l’aptitude du matériau piézoélectrique à transformer une énergie électrique en énergie mécanique et inversement. Il tient compte à la fois des propriétés élastiques, diélectriques et

piézoélectriques du matériau. Il est défini par [18] :

ou encore k =

dié méc

mut

W W

W

.

W_mut est l’énergie mutuelle élasto-diélectrique, W_méc est l’énergie mécanique ou élastique et W_dié est l’énergie diélectrique.

Dans le cas général, l’expression du coefficient de couplage est très compliquée à calculer, mais certaines géométries et conditions particulières de polarisation et de

vibration permettent de la déterminer (tableau I-1).

Polarisation et vibration des plaques (w, t ) << L Coefficient de couplage k

k₃₁ =

11E 33T

31

s d ε

k₃₃ =

E33 33T

33

s d ε

Tableau I-1 : Coefficient de couplage électromécanique.

I-2-4- Les céramiques piézoélectriques

Mis à part le quartz-α dont l’intérêt réside dans sa stabilité, sa raideur et son fort coefficient de qualité, les cristaux piézoélectriques sont remplacés par des céramiques piézoélectriques de fabrication plus facile.

Energie transformée Energie fournie k² =

t

polarisation vibration L

w

x₁ x₂ x3

Axes cristallographiques

t

w L

`

polarisation vibration

x₂

x₃ x1

Les produits céramiques sont réalisés par frittage, à chaud, d’oxydes ou de sels de Plomb, de Zirconium et de Titane ; ils sont constitués par des assemblages cohérents de monocristaux élémentaires, ferroélectriques (doués d’une polarisation spontanée), ils sont polycristallins et inorganiques, ils résultent de la combinaison d’un certain nombre d’éléments métalliques (Mg, Al, Fe, Pb…) et non métalliques, dont le plus courant est l’oxygène: le Titanate de Baryum BaTiO₃, le Titanate de Plomb PbTiO₃, le Plomb-Zirconate de Titane PZT, etc.[19]

Les céramiques, dont les domaines ferroélectriques s’orientent aléatoirement pendant la fabrication, n’ont à l’échelle macroscopique aucun moment dipolaire électrique global. Un tel milieu ne peut acquérir la propriété de piézoélectricité qu’après avoir subi un traitement particulier, dit « polarisation » : l’application d’un champ électrique intense (≈ 20 kV/cm) à une température inférieure à celle de Curie ( 200 °C < T_c < 400 °C), environ 100 °C, provoque, pendant le refroidissement, une orientation préférentielle des domaines ferroélectriques dans des directions voisines de celle du champ électrique appliqué et un allongement qui subsistent, partiellement, à la température ambiante et à champ nul [17] (figure I-11).

Les produits céramiques présentent après leur polarisation, des propriétés piézoélectriques souvent avantageuses par rapport aux matériaux monocristallins : ils ont des coefficients de couplage électromécanique élevés, de fortes permittivités diélectriques, des coefficients piézoélectriques plus importants. Leurs propriétés

Figure I-11: Polarisation des céramiques.

Céramique

E

Champ électrique polarisant Domaine ferroélectrique

Céramique non polarisée

physiques dépendent largement de leur processus de fabrication et leurs différents coefficients (de qualité, de couplage électromécanique, piézoélectrique, etc.) varient avec la température de frittage, la taille des poudres utilisées et la composition de la céramique [20]. Ceci offre un large choix aux utilisateurs. Ils ont, de plus, l’avantage sur beaucoup d’autres corps de pouvoir être obtenus sous des formes et dans des dimensions diverses.

Les avantages énumérés ci-dessus confirment l’intérêt et le potentiel des céramiques piézoélectriques, mais ces matériaux ont quand même l’inconvénient de connaître le phénomène de vieillissement (dépolarisation), défini comme étant la dégradation de leurs propriétés physiques avec le temps. Ce phénomène peut être provoqué par des sollicitations externes comme, l’élévation de température qui favorise le retour progressif des domaines ferroélectriques à leur état d’équilibre, l’application d’un champ électrique dans le sens contraire de la polarisation ou l’application d’une contrainte mécanique importante [21].

Dans les applications qui nécessitent une fréquence très stable, leur emploi reste toutefois limité, si on les compare au quartz-α par exemple.

Le tableau I-2 donne quelques valeurs des caractéristiques pour certains matériaux piézoélectriques. Les céramiques PZT, de formule générale Pb(Ti_xZr_1-x)O₃, x voisin de 0.5, sont appréciées pour leurs excellentes propriétés par rapport aux autres composés. Elles constituent la majorité des matériaux utilisés pour l’élaboration des céramiques massives.

Matériaux

Cristaux [22] Céramiques [23]

Polymère [24]

Quartz-α (SiO₂)

LiNbO₃ BaTiO₃ PZT PVF₂

Constante diélectrique ε_r 4.5 29 1200 200-4000 12 Constante de charge d₃₃

10^-12 (m/V)

2 6 180 40-750 20

Constante de tension g₃₃ 10^-3 (Vm/N)

50 20 17 15-40 190

T_Curie (°C) 573 1210 130 350 180

Coefficient de couplage k 0.1 0.1 0.4 0.4-0.75 0.14

Coefficient de qualité Q

50000-

500000 54000 ≥ 500 60-2500 20

Tableau I-2 : Caractéristiques piézoélectriques de quelques matériaux.

I-3- TRANSFORMATEURS PIEZOELECTRIQUES MONOLITHIQUES Depuis quelques années, on assiste à un regain d’intérêt pour les transformateurs piézoélectriques. Les nouvelles activités de recherche menées, presque exclusivement, au Japon, ont donné lieu à d’innombrables brevets [25,26,27].

Elévateurs ou abaisseurs de tension électrique [28], les transformateurs piézoélectriques s’imposent de plus en plus dans l’industrie automobile, aéronautique et biomédical (alimentation de moteur pour cœur artificiel, etc.). Leurs caractéristiques essentielles ( compacité, fiabilité, efficacité, absence de bruit magnétique, etc.) font que la demande soit de plus en plus forte dans le domaine des télécommunications et

de l’électronique grand public (alimentation des écrans à cristaux liquides, des appareils portables ou des photocopieuses).

Les transformateurs piézoélectriques monolithiques existants sont de dimensions et de configurations très diverses (figure I-12) [29], ils sont fabriqués à la demande, de façon spécifique, pour être ajusté à telle ou telle application. Il n’est pas possible de définir un groupe standard de transformateurs piézoélectriques monolithiques, il leur manque l’universalité des transformateurs électromagnétiques.

Pour fixer quelques ordres de grandeurs, nous avons résumé dans le tableau I-3 les grandeurs caractéristiques des différents transformateurs piézoélectriques rencontrés dans la littérature [30,31,32,33,34].

Densité de puissance

(W/cm³)

Dimensions (mm) Rapport de

transformation

Fréquence d’utilisation

3.75 à 16.6 12.8×12.8×0.5 à

101.6×12.7×3.71 0.14 à 3000 32 KHz à 5.15 MHz

Tableau I-3 : Caractéristiques des transformateurs piézoélectriques monoblocs.

Quatre inconvénients majeurs sont liés à ce genre de transformateur monobloc :

- Pour fabriquer les différents transformateurs piézoélectriques monolithiques ou multicouches, actuellement étudiés au Japon, il est nécessaire de polariser par parties le monobloc de céramique [6]. Ceci pose de gros problèmes techniques, de plus, entre les parties du monobloc, polarisées horizontalement ou verticalement, existe une zone de polarisation « floue » qui pourrait avoir des conséquences négatives sur le comportement du transformateur piézoélectrique.

- Pour obtenir de bons rapports de transformation, il faut utiliser des matériaux à coefficient de qualité élevé, tels que les cristaux, mais, il est impossible d’utiliser le principe du phénomène et de son inverse avec un seul bloc de cristal.

- Les techniques de fabrications des céramiques piézoélectriques limitent le rapport longueur sur épaisseur [35]. Ceci limite donc le rapport de transformation des transformateurs monoblocs.

- Les transformateurs monoblocs sont fabriqués avec le même matériau, ceci limite les investigations liées à la nature du matériau.

Pour éliminer ces inconvénients, nous examinons à nouveau les conditions de réalisation d’un transformateur à vibrations mécaniques mais, composite, dont les deux résonateurs (de même nature ou de nature différente) seraient séparément fabriqués, polarisés et liés par un milieu intermédiaire.

Figure I-12 : Quelques-uns des transformateurs monolithiques existant

V` V V

V`

V

V`

céramique métallisations polarisation

V

V`

V V`

II-1- PRINCIPE DU TRANSFORMATEUR PIEZOELECTRIQUE COMPOSITE Soient deux solides piézoélectriques, de nature, de dimensions, d’orientation, de polarisation et de forme différentes, munis d’électrodes et mécaniquement couplés.

Une tension électrique V appliquée entre les électrodes du premier solide, polarisé suivant son épaisseur t engendre, par effet piézoélectrique inverse, une contrainte proportionnelle au champ électrique E = V/t. Celle-ci, une fois transmise au second solide, polarisé suivant sa longueur L` et rigidement lié au premier solide, crée par effet piézoélectrique direct, un champ électrique E`, donc une tension électrique induite V`= L`E` aux bornes de ses électrodes distantes de L`.

En régime statique, le rapport de transformation N_s = V`/V est proportionnel à L`/t, le rapport des distances inter-électrodes. Celui-ci peut être grand (plusieurs dizaines) si les électrodes sont judicieusement disposées.

En régime dynamique, le montage constitue un résonateur de coefficient de qualité Q (généralement >> 1 [36]) qui, excité à sa fréquence de résonance, engendre une contrainte mécanique Q fois plus grande. Comme le champ électrique est aussi multiplié par Q à la résonance, le rapport de transformation dynamique N_d est donc proportionnel à QL`/t.

La réalisation d’un transformateur piézoélectriquecomposite fonctionnantselon ce principe nécessite le choix :

• Du mode de vibration des résonateurs, c’est à dire de la forme et de la coupe des deux solides rigidement liés.

• De la disposition des électrodes et de l’orientation du solide piézoélectrique, afin que le champ électrique soit couplé à la vibration.

Comment mettre ceci en œuvre ?

Un mode simple est la vibration longitudinale des deux solides, suivant leur longueur. Le champ excitateur E doit être perpendiculaire à la longueur du premier solide, les électrodes réceptrices étant disposées aux extrémités du second solide (figure II-1). Avec cette configuration, le rapport de transformation peut être très grand

si les deux solides ont la forme de plaques minces « barreaux » (épaisseur t et largeur w) << longueur L.

Ce transformateur piézoélectrique est un résonateur électromécanique. Il est donc essentiel de rappeler les propriétés des deux résonateurs qui le constituent. Ils vibrent suivant le même mode mais diffèrent par leur orientation.

II-2- RESONATEURS ELECTROMECANIQUES, MODE D’EXTENSION LONGITUDINALE

Lorsqu’une différence de potentiel alternative est appliquée entre les électrodes d’un résonateur piézoélectrique, celui-ci se met à vibrer si la fréquence d’excitation est proche de la fréquence de résonance mécanique. Le mode de vibration et la fréquence de résonance sont déterminés par la forme, l’orientation et la coupe du matériau.

L’analyse théorique du comportement vibratoire des résonateurs piézoélectriques peut être menée à bien en utilisant l’équation d’onde et les équations d’états de la piézoélectricité. Dans l’hypothèse d’un modèle unidimensionnel, une approche fréquemment utilisée, consiste à présenter les paramètres mécaniques des résonateurs par des équivalents électriques. On utilise couramment le modèle de Mason [37,38], que nous adopterons, son schéma électrique équivalent est formé

Figure II-1: Schéma de principe d’un transformateur composite élémentaire.

V`

métallisation liant

V

L`

L

w t t

E E`

d’éléments discrets qui dépendent de la fréquence. Ce modèle n’est pas le seul, il existe un modèle utilisant un traitement particulier de l’analogie des lignes électriques [39] et le modèle KLM (Krimholtz, Leedom and Matthae) utilisé surtout pour les transducteurs à hautes fréquences et les transducteurs multicouches [40,41].

Les deux cas qui nous intéressent sont ceux pour lesquels le champ électrique est soit parallèle, soit perpendiculaire à la longueur du barreau. Dans les calculs, nous désignerons les grandeurs caractéristiques du premier barreau par des lettres simples et celles du deuxième barreau par des lettres primées.

II-2-1- Champ électrique perpendiculaire à la longueur du barreau

La figure II-2 représente un barreau piézoélectrique dont la longueur L est parallèle à l’axe cristallographique Ox₁ et dont les électrodes sont disposées sur les faces perpendiculaires à l’axe Ox₃. Ce barreau est tel que (w, t) << L.

Figure II-2 : Résonateur électromécanique: champ électrique perpendiculaire à la longueur.

Une onde longitudinale peut se propager suivant Ox₁ (n₁=1, n₂ = n₃ = 0) si le tenseur de Christoffel Γ admet Ox₁ comme axe principal : Γ₁₂ = Γ₁₃ = 0. Soit c₁₅ = c₁₆ = 0 et e₁₅ = e₁₆ = 0, un coefficient e₃₁ non nul permet l’excitation de l’onde par le champ électrique perpendiculaire à la longueur [Annexe (2)].

L’épaisseur t est suffisamment petite devant la largeur w pour que le champ électrique soit uniforme suivant Ox₃ et que seule la contrainte T₁ ne soit pas nulle.

t

L E w

o x

x₂ x3 Axes

cristallographiques

V I

Le barreau est libre de s’allonger dans les directions Ox₁, Ox₂ et Ox₃, nous choisirons donc T, la contrainte, comme variable indépendante. Les électrodes sont des surfaces équipotentielles dans la direction du mouvement (E=c^te), nous prendrons donc le champ électrique E, comme l’autre variable indépendante.

Sur les faces x₃ = 0 et x₃ = t, E₁ = E₂ = 0, puisque l’épaisseur t est négligeable devant la longueur L, E₁ = E₂ = 0 partout dans le barreau. De la même façon, les contraintes T₂, T₃, T₄, T₅ et T₆ sont nulles sur les surfaces libres et dans l’ensemble du barreau. Les équations d’états I-8 s’écrivent :

S₁ = s^E₁₁ T₁ + d₃₁E3 II-1 D3 = ε^T33 E3 + d31 T1

Le solide est, par hypothèse, traversé par un ébranlement. Il est localement en mouvement. Le déplacement u_i de chaque point du solide de coordonnées x_j varieau cours dutemps : u_i = u_i (x_j ,t_emps).

L’équation du mouvement résulte de l’application de la loi fondamentale de la dynamique. Il a été montré [17] que, en négligeant la pesanteur :

ρ

j ij 2

2 i

x T t

u

∂

=∂

∂

∂ II-2 Dans le cas d’une onde unidimensionnelle, la dernière équation peut s’écrire :

ρ

1 1 2

2 1

x T t

u

∂

=∂

∂

∂ II-3

Pour le tenseur des déformations, une seule composante apparaît, suivant la longueur :

S1 =

1 1

x u

∂

∂ II-4

L’expression de la contrainte, obtenue à partir de la première équation du système II-1, en tenant compte des conditions imposées (déformation suivant la longueur, champ électrique suivant l’épaisseur) est :

T₁ = _E s11

1 S₁ - _E

11 31

s

d E3 II-5

A l’aide des relations II-1, II-3 et comme

1 3

x E

∂

∂ = 0, on aboutit à l’équation suivante :

2 2 1

t u

∂

∂ = _E s11

ρ1 ₁²¹

2

x u

∂

∂ = v²

2 1 1 2

x u

∂

∂ II-6

v = v^E = _E s11

ρ1 est la vitesse de propagation de l’onde plane longitudinale suivant la

longueur du barreau.

La solution de l’équation différentielle II-6, pour un mode excité harmoniquement : E₃ = E₀ exp(jωt) sera de la forme :

u₁ (x₁,t) = [A sin ( v

x₁

ω ) + B cos ( v

x₁

ω )] exp (jωt) II-7

Le barreau étant limité à ses deux extrémités, on aura donc des ondes stationnaires. Les faces étant libres en x₁ = 0 et x₁ = L, les conditions aux limites se traduisent par :

T₁(x₁ = 0) = 0 et T₁(x₁ = L) = 0 II-8 Les relations précédentes nous permettent de déduire les constantes A et B :

A = ω v d₃₁

E₀ et B = - ω

v d₃₁

E₀

v sin L

v cos L 1

ω

− ω

II-9

D’où la nouvelle expression du déplacement mécanique :

u₁(x₁,t) = ωv d31 [sin

v x₁ ω -

v sin L

v cos L 1

ω

− ω

cos v x₁

ω ] E₀exp(jωt) II-10

Pour déterminer les fréquences de résonance du barreau, calculons son admittance électrique Y = I/V. Le courant de déplacement I est tel que (on suppose que le

matériau est un isolant et un diélectrique parfait. A hautes fréquences, les matériaux piézoélectriques sont semi-conducteurs et non isolants.) :

∫

∫∫

∫∫

^{= ω = ω}

=

L

0

1 3 S

3 S

dx D w j dS D j dtdS

I dD II-11

dS est le vecteur normal à la surface (dx₁ . dx₂ ).

Le potentiel électrique V est donné par la relation :

t E Edx

V ₃

t 0

3=

=

∫

II-12 A partir des équations II-4, II-5 et la deuxième équation du système II-1, l’admittance électrique du barreau se met sous la forme:

∫

_^ _^_^{ −} _^_^+ε _^

= ω

=

L

0

1 3 T 33 E 3

11 31 1

1 E 11 31 3

dx E E

s d dx du s d 1 t E

w j V

Y I II-13

En effectuant l’intégration et en utilisant l’expression du déplacement II-10, nous obtenons :

)

s 1 d t (

L w j v

2 tg L ts 2

v d

Y jw _T

33 E 11

2 31 T

33 E

11 2 31

− ε ε ×

+ ω



 



×  ω ω

= ω II-14

Posons : k₃₁² = _T

33 E 11

2 31

s d

ε II-15 k₃₁ est le coefficient de couplage électromécanique, c’est un facteur de mérite qui renseigne sur l’aptitude du matériau piézoélectrique à convertir l’énergie électrique en énergie élastique.

En introduisant la capacité inter-électrodes ou la capacité statique du barreau : )

k 1 t (

C₀=ε^T33wL − ²₃₁ II-16

Nous obtenons, finalement, pour l’admittance électrique du barreau :













ω ω + −

ω

=

v 2L

v 2L tg k 1 1 k jC

Y ₂

31 231

0 II-17

A la résonance, l’admittance tend vers l’infini avec le terme: tg (ωL/2v), ce qui permet d’écrire :

v 2

ωⁿL= (2n+1) 2

π II-18

Ou encore, en posant k_nL = θ_n (k_n = ω_n/v, étant le module du vecteur d’onde) :

2 L k_n

= 2

θn = (2n+1) 2

π II-19

n désignant le mode de vibration. Pour n=0, la fréquence de résonance correspond au mode fondamental θ ₀ = π.

Afin d’établir le schéma électromécanique équivalent à ce résonateur, considérons les forces F₁ et F₂ sur les deux faces extrêmes, figure II-3.

Figure II-3 : Forces agissant sur le résonateur.

L’expression de la force mécanique est donnée par la relation :

F(x₁,t) = - wt T₁ = - wt [ _E s11

1

1 1

x u

∂

∂ - _E

11 31

s

d E₃ ] II-20

F₁ = F(x₁ = 0) et F₂ = F(x₁ = L) Les vitesses particulaires sur les deux faces sont :

F2

F1

u1 u₂

Résonateur piézoélectrique

t ) t , x ( ) u

t , x (

u_{1 1} ^{1 1}

∂

=∂

 x1 = 0 II-21

t ) t , x ( ) u

t , x (

u_{2 1} ^{1 1}

∂

−∂

=

 x1 = L II-22

Nous obtenons successivement :

F₁ = 0

(

1 2

)

0 u1

v 2 tg L jz u u v sin L j

zω  + + ω  s t w d

E 11

+ 31 E₃ II-23

F₂ = 0

(

1 2

)

0 2

vu 2 ωL tg jz + u + u v ωL sin j

z   

t s

w d

11E

+ 31 E₃ II-24

z₀ représente l’impédance acoustique du barreau : z₀ = w t ρ v II-25

Pour mettre en évidence, la relation qui lie le courant de déplacement I et les vitesses particulaires u₁et u₂, écrivons :

q dt j

I=dq= ω II-26 q étant la charge électrique sur les électrodes.

1 T 3

33 L

0 1 31 L

0

1 3 S

3dS w D dx w (d T E )dx

D

q=

∫∫

=

∫

=

∫

+ε II-27 En utilisant II-5, on obtient :

1 T 3

33 E 3

11 312 1 1 L

0 11E

31 E E )dx

s d x u s (d w

q − +ε

∂

=

∫

∂ II-28

Finalement, le courant I s’écrit :

I +jωC V

s

) u + u ( w

= d E 0

11 2 1

31  

II-29 Les relations II-23, II-24 et II-29 permettent d’établir le schéma électromécanique équivalent à un résonateur vibrant en élongation, d’impédance acoustique z₀, avec un champ électrique perpendiculaire à sa longueur. Ce schéma comporte une entrée électrique, deux sorties mécaniques et un transformateur électromécanique idéal de rapport N₁. (figure II-4).

Figure II-4: Circuit électromécanique équivalent à un résonateur piézoélectrique:

champ électrique perpendiculaire à la longueur.

Avec :

Z1 = z0 / j sin kL = z0 / j sin θ

Z₂ = j z₀ tg (kL/2) = j z₀ tg (θ/2) N₁ = d₃₁w / s₁₁^E

C₀ = ε33T

( 1-k²₃₁ ) (wL / t )

II-2-2- Champ électrique parallèle à la longueur du barreau

Considérons un barreau piézoélectrique dont la longueur L`est parallèle à l’axe cristallographique Ox<sub>3</sub> et dont les électrodes sont disposées sur les faces perpendiculaires à cet axe. Comme précédemment, ce barreau est tel que (w,t)<< L`

(figure II-5).

Figure II-5 : Résonateur électromécanique: champ électrique parallèle à la longueur.

F₁

1 : N1

V

C

₀

I

F₂ Z1

Z2

Z2

u1

u2

t w L`

E`

V`

x₂

x3

x₁

o

I`

Axes

cristallographiques

Si la permittivité diélectrique du barreau est assez grande devant «celle de l’environnement», pour prévenir les champs électriques frontaliers, les lignes de champ sont parallèles à la longueur et donc D`<sub>1</sub> et D`₂ sont nuls. De plus, si on suppose que le barreau est un diélectrique parfait, l’équation de Poisson s’écrit : (∂ D`₃/∂x₃) =0.

Les contraintes T`<sub>1</sub>, T`₂, T`<sub>4</sub>, T`₅ et T`<sub>6</sub> sont nulles sur les surfaces libres et dans l’ensemble du barreau. La seule contrainte considérée est T`₃ (problème unidimensionnel). Nous choisissons donc T` et D` comme variables indépendantes.

Pour un mode d’extension longitudinale et d’après le système d’équation I-10, on peut écrire :

E`<sub>3</sub> = β`^T₃₃ D`<sub>3</sub> – g`₃₃ T`₃ II-30

S`<sub>3</sub> = s`^D₃₃ T`<sub>3</sub> + g`₃₃ D`₃

En procédant de la même manière que pour le premier barreau, nous obtenons successivement :

Pour le déplacement mécanique u`(x<sub>3</sub> , t<sub>emps</sub>) : u`₃(x₃,t) =

ω

` v g₃₃

[sin v` x₃ ω -

` v

` sin L

` v

` cos L 1

ω

− ω

cos v` x₃

ω ] D`₀exp(jωt) II-31

v`= v^D = _D

`33

s

`

ρ1 est la vitesse de propagation de l’onde longitudinale se propageant suivant la longueur du barreau.

L’impédance du résonateur Z` sera donnée par:

Z`= I`

` V ₌













ω ω

−



 



 +β ω

` v 2

`

` L wts

`) v 2

` ( L tg

` L

` g

` ` s

` g wt

` L j

1

D33 332 T33

D33

233 II-32

En introduisant la capacité inter-électrodes C`<sub>0</sub> du barreau : C`₀= _T

33 233

`

` L

)

` k 1 ( wt

β−

II-33

k`²₃₃=

E33 T 33 2 33

` s

`

` g ε

II-34

k`₃₃ est le coefficient de couplage électromécanique qui traduit la conversion de l’énergie mécanique en énergie électrique.

L’expression de l’impédance électrique s’écrit, finalement :

Z`= I`

` V ₌

















ω ω ω −

` v 2

` L

` v 2

` tg L

` k

` 1 C j

1 ²

33 0

II-35

A la fréquence d’antirésonance, Z` tend vers l’infini avec le terme: tg (ωL`/2v`), ce qui permet d’écrire :

` v 2

`

ωⁿL = (2n+1) 2 π =

` v

` L f . _aⁿ

π II-36

Ou encore, en posant, k`L` = θ` (k` = ω/v`):

2

` L

` kn =

2

`n

θ = (2n+1) 2

π II-37

Les fréquences de résonance f_r⁽ⁿ⁾ pour lesquelles l’impédance Z` est nulle sont reliées à la fréquence d’antirésonance du mode fondamental f_a⁽⁰⁾ par la relation suivante [Annexes (3)].:

k`₃₃² =

) 0 ( a ) n ( r

f f 2

π )

f f f (2

tg (0) a

) n ( r ) 0 (

a −

π II-38

Excepté pour les matériaux à fort coefficient de couplage (k`₃₃> 0.3), les fréquences de résonance et d’antirésonance sont pratiquement confondues. Dans notre modélisation, pour des commodités de calcul, nous confondrons dans tout ce qui suit les fréquences de résonance avec les fréquences d’antirésonance.

En suivant les mêmes démarches que pour le premier barreau, nous établissons les expressions des forces F`<sub>1</sub> et F`₂ agissant sur les deux faces du résonateur en x₃ = 0 et x₃ = L`, de la tension électrique V` et du courant électrique I`. Ces expressions nous permettent d’établir le circuit électrique équivalent suivant :

Avec :

Z`<sub>1</sub> = z`₀ / j sin k`L` = z`<sub>0</sub> / j sin θ`

Z`<sub>2</sub> = j z`₀ tg (k`L`/2 ) = j z`<sub>0</sub> tg (θ`/2 ) N₂ = g₃₃`C<sub>0</sub>` / s`₃₃^D

C`<sub>0</sub> = (w t / L` ) ε`<sub>33</sub><sup>T</sup> ( 1-k`²₃₃ )

z`<sub>0</sub> estl’impédance acoustique du barreau, z`₀=ρ`v`wt.

Le transformateur piézoélectrique composite est composé des deux résonateurs étudiés précédemment, ceux-ci sont rigidement liés par leurs surfaces latérales de section w.t. Analysons le fonctionnement du transformateur composite :

II-3- ANALYSE DU FONCTIONNEMENT DU TRANSFORMATEUR A VIDE II-3-1- Fonctionnement statique

Si l’on applique une tension statique V entre les électrodes du premier barreau, ce dernier est soumis par effet piézoélectrique inverse à une contrainte statique. Cette

Figure II-6: Circuit électromécanique équivalent à un résonateur piézoélectrique:

champ électrique parallèle à la longueur.

F`₁

1 : N2

V`

C`

₀

I`

F`<sub>2</sub> Z`₁

Z`2

Z`2

`

2

u 

`

1

u 

-C`0

contrainte, proportionnelle à E=V/t, est transmise au second barreau. Ainsi, par effet piézoélectrique direct, un champ E`=V`/L` apparaît dans le second barreau. Ce champ est proportionnel à la contrainte donc à E et par suite V`est proportionnel à VL`/t, ainsi, N<sub>S</sub> le rapport de transformation statique est proportionnel à L`/t.

Pour qu’une déformation soit transmise au second barreau, on bloque le transformateur à ses deux extrémités (figure II-7). On suppose que le second barreau est en circuit ouvert (c’est à dire que D`=0), un tel montage ne pouvant débiter de courant continu si ce n’est un courant de fuite.

Figure II-7: Fonctionnement statique du transformateur composite.

Dans le cas unidimensionnel, le système d’équations d’état des deux barreaux s’écrit ainsi, d’après I-8 :

S₁ = s^E₁₁ T₁ + d₃₁E₃

D₃ = ε^T₃₃ E₃ + d₃₁ T₁ Soit, en notation simplifiée : S = sT + dE

D = ε E + d T

S`<sub>3</sub> = s`^D₃₃ T`<sub>3</sub> + g`₃₃ D`3

E`<sub>3</sub> = -g`₃₃ T`<sub>3</sub> + β`^T₃₁ D`3

1^er barreau II-39

2^ème barreau II-40

0

-L L

`

E E

`

V V

`

x1

1^er barreau 2^ème barreau Liant

Et comme D₃` = 0, le système II-40 devient, en notation simplifiée : S`= s`T`

E`= -g`T`

Soient u₁ et u₁`, les déplacements mécaniques suivant Ox₁ dans les deux barreaux. En régime statique, l’équation fondamentale de la dynamique s’écrit :

ρ ² ₂¹ t

u

∂

∂ = x1

∂∂T = 0 d’où T = c^te II-42 ρ` ² ₂¹

t

` u

∂

∂ = x1

`

∂∂T = 0 d’où T` = c<sup>te</sup> II-43 T et T` et par suite S et S` sont ainsi constantes dans chaque barreau. De plus, la contrainte mécanique devant être continue à l’interface, on a :

T = T` ( ∀x₁ ) II-44 S =

1 1

x u

∂

∂ = c^te ⇒ u₁ (x₁) = S x₁ + c₁ II-45

S` =

1 1

x

` u

∂

∂ = c^te ⇒ u₁`(x<sub>1</sub>) = S`x₁ + c₂ II-46 La continuité du déplacement mécanique en x₁ = 0 donne les constantes c₁ et c₂ :

u₁ (0) = u₁`(0) donne c₁ = c₂ .

Le déplacement étant nul en x₁ = - L et en x₁ = L`, on obtient :

u₁ (x₁) = S (x₁ + L) II-47 u₁` (x<sub>1</sub>) = S` (x₁ – L`) II-48 Soit, finalement :

S ` =

` L

−LS II-49 Des équations : II-39, II-41,II-42 et II-49 nous obtenons :

N

_S

= V

` V ₌

` s

s L

` L

k

²_C

+ t

`

L

II-50

II-41