Frustration dans un verre de spins quantique
J. Villain
Département de Recherche Fondamentale, Laboratoire de Diffraction Neutronique,
Centre d’Etudes Nucléaires de Grenoble, 85 X, 38041 Grenoble Cedex, France
(Rep le 21 septembre 1979, accepté le 22 octobre 1979)
Résumé. 2014 On étudie un verre de rotateurs plans quantiques. Il s’agit d’un modèle théorique qui constitue un support microscopique (dans un cas particulier) de théories phénoménologiques connues. A l’aide d’une technique d’intégration fonctionnelle, on montre que ce modèle est approximativement équivalent à un système de charges
dans un potentiel aléatoire. Si on néglige les forces de Laplace et les effets de potentiels retardés, on retrouve
le modèle d’Anderson, Halperin et Varma [1]. La version relativiste peut être reliée à la théorie de Dzyaloshinskii
et Volovik [2]. Nous nous limitons au cas d’un réseau bidimensionnel.
Abstract.
2014A theoretical model of a glass of planar rotators is studied. By means of a functional integration technique, the model is shown to be approximately équivalent to a system of charges in a random potential. Neglect- ing Laplace forces and retarded potentials effects, the Anderson-Halperin-Varma model is reproduced [1]. The
relativistic version of our theory is related to the Dzyaloshinskii-Volovik model [2]. Thus, these two phenome- nological theories receive a microscopic basis. The present work is limited to the case of a two-dimensional lattice.
An extended abstract (in English) of this work was presented at ICM 79 (Munich, september 6, 1979).
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Physics Abstracts
75.10
1. Introduction.
-Le but de cet article,est d’etablir des relations entre 3 approches theoriques des verres
de spins.
La premiere de ces approches est contenue dans 1’article d’Anderson, Halperin et Varma [1] : : on
introduit de faqon phenomenologique 1’hypothese de
l’existence de systemes à deux niveaux dont la nature
n’est pas precisee.
La seconde approche a 6t6 introduite par Dzyalo-
shinskii et Volovik [2] : elle attribue aux systemes à
2 niveaux une nature topologique precise, mais les equations du mouvement restent phenomenologiques.
La troisieme approche [3], utilisee par l’ auteur,
repose sur un modele microscopique bien qu’artifi-
ciellement simplifi6. La nature physique des systemes
a deux niveaux y est precisee (dans le cas de spins bidimensionnels, ou « XY »), mais la premiere ver-
sion de cette theorie ne contenait pas de dynamique,
et restait limitee a la mecanique classique.
Aux paragraphes 2 et 3 de cet article, nous montrons
comment cette theorie peut etre etendue a un systeme quantique et rendue dependante du temps. Cette extension requiert cependant un certain nombre
d’approximations, notamment, comme nous le mon-
trons au paragraphe 6, l’utilisation d’un temps discret
divise en intervalles de longueur hIJ environ si J est
une interaction d’echange typique. La signification physique de ce temps discret est claire : /!/J est le
temps qu’il faut a un spin pour modifier consid6ra- blement sa position ou sa vitesse.
,.
Au paragraphe 4 (et, de faqon plus complete, au
§ 8) nous montrons 1’analogie entre notre modele et
1’61ectrodynamique relativiste; ceci revient a etablir
une relation avec la theorie de Dzyaloshinskii et Volo-
vik [2]. Ces auteurs, plus ambitieux que nous, ont considere des spins tridimensionnels, qui obligent à
faire intervenir des theories de jauge a la place de 1’electrodynamique. Pour des spins bidimensionnels, 1’electrodynamique est suffisante.
’Dans les paragraphes 5 et 7 nous discutons une approximation non relativiste qui est essentiellement
equivalente au modele d’Anderson, Halperin et
Varma [1]. Dans 1’analogie electrodynamique, les systemes a 2 niveaux sont des charges, ou plutot des systemes de charges (dipoles dans le cas d’un espace
bidimensionnel).
Nous ne considerons dans cet article que le cas
d’un reseau bidimensionnel, donc d’un espace-temps tridimensionnel. Nous pouvons ainsi utiliser direc- tement notre theorie pour un systeme classique tri-
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01980004102014900
dimensionnel [4]. L’extension a un espace-temps à 4 dimensions ne devrait pas soulever de difficult6 fondamentale.
Le modele considere est un systeme de rotateurs plans represente par le Hamiltonien :
.a... 1 -1
ou les points i occupent les N sites d’un reseau cubique simple a D dimensions. La fonction Wij«({J) sera precisee au paragraphe 3, et c’est elle qui est respon- sable du desordre. Autrement dit, nous utilisons une forme particuliere du modele d’Edwards et Ander-
son [5]. Le Hamiltonien (1) peut egalement representer
un systeme de spins [6], avec Sf
=cos ({J j’ Sy
=sin ({J j et s;
=iOIO(pj.
L’extension du raisonnement classique [3, 4, 7, 8]
a la mecanique quantique n’est pas triviale. La methode la plus simple consiste a utiliser 1’equiva-
lence entre le systeme quantique (1) a D dimensions
et un systeme classique a (D + 1) dimensions, que
nous allons maintenant rappeler.
2. Equivalence avec un systeme classique a (D + 1)
dimensions.
-Considerons un espace a ( D + 1) dimensions dont les points sont caracterises par les sites i du reseau D-dimensionnel considere pr6c6dem-
ment, et par une coordonnee continue -r variant de 0 a L
=Pli, of fl
=1 /KB T et T est la temperature du systeme D-dimensionnel decrit par (1). Le systeme (D + 1)-dimensionnel est suppose soumis a un Hamil-
tonien :
avec conditions aux limites periodiques :
’-f
Soit Xi une fonction de (pi, par exemple
=exp iqJ i.
Les fonctions de correlation du systeme quantique
a temperature I IKB P :
peuvent etre reliees a la fonction de correlation du
systeme classique a temperature I/KB P :
pourvu que :
Les definitions de Z, Z et du symbole Tr sont
donnees un peu plus bas. Indiquons d’abord la rela-
tion entre (3) et (4), qui est pour l’essentiel contenue dans le livre de Feynman et Hibbs [9], et que nous demontrons en detail dans l’Appendice A :
On peut egalement etablir une relation [9] entre la
fonction de partition du systeme quantique :
et celle du systeme classique :
Cependant, Z est en toute rigueur infinie parce que c’est la fonction de partition d’un continuum.
Pour lui donner un sens, il est necessaire de considerer le continuum comme la limite, pour I tendant vers
zero, d’un systeme discret ou r est un multiple entier
d’une petite quantite I. La signification du symbole Tr dans (8) et (4) est alors :
alors que la Trace dans (3) et (7) a son sens habituel :
ou les I a > constituent une base orthonormee de
1’espace de Hilbert ou agit Je.
La relation entre les expressions (7) et (8) est :
L’expression (4) garde un sens dans la limite conti-
nue par compensation de 2 quantites infinies.
Fig. 1.
-Maille du r6seau fictif dans le cas D
=2.
[Unit cell of the fictitious lattice in the case D
=2.] ]
D’autre part, Z n’est pas infinie si on donne a 1
une valeur finie comme nous serons amenes a le faire
au paragraphe 6.
La figure 1 montre la maille de 1’espace fictif ou regne la mecanique classique, dans le cas D
=2.
3. Le potentiel d’interaction.
-L’idee la plus
raisonnable physiquement serait de choisir :
Mathematiquement, ce choix est peu commode.
En particulier, 1’existence de systèmes à 2 niveaux
dont le role est essentiel dans la dynamique du sys-
t6me, n’est pas evidente. 11 est commode de remplacer
ce potentiel par une expression approchee comme
celle utilisee dans la ref. [1]. 11 convient d’utiliser
l’approximation discrete de (2) :
of i est un multiple entier d’une certaine quantite I,
comme il a ete explique au paragraphe precedent.
L’expression utilisee dans la r6f. [1] est :
ou
f}ij = - Oji
=± 1 est un parametre sans interet physique, mais qu’il est commode d’introduire pour
preserver certaines proprietes de symetrie par permu- tation d’indice. Enfin le desordre est entierement contenu dans les parametres aleatoires Bij
= -6ji.
Le probleme ne diff6re de celui trait6 dans la ref. [1] que par 1’anisotropie entre les D dimensions spatiales de 1’espace, pour lesquelles le couplage est g(l), et la (D + I)-i6me dimension temporelle, oii le couplage est M/2 1. Les proprietes du systeme clas- sique a (D + 1) dimensions sont celles d’un systeme classique decrit par des variables continues ({Ji( ’t)
et des variables discretes gj associees aux faces des
mailles. 4j est entier ou demi-entier selon que la face
(ou plaquette) p est non frustree ou frustr6e. Le Hamil- tonien est la somme d’une partie harmonique :
et d’une partie non triviale :
ou a
=x, y, T, k
=(kx, ky, kt), est un vecteur de 1’espace reciproque a (D + 1) dimensions.
vk est la transformee de Fourier de :
ou les liaisons ij sont paralleles a l’axe a. Enfin les lft sont les transformees de Fourier des 4p :
Ces notations sont d6finies en plus grand detail
dans la ref. [1]. Les formules ci-dessus sont des exten- sions simples de celles de cette reference. Peut-etre n’est-il pas inutile de mentionner que kt est un mul- tiple entier de 2 7T//L compris entre 0 et 2 n. D’autre part, pour les liaisons (ij) paralleles a 1’axe des 1", nij
=0 et Bij
=1 d’après la formule (10).
4. Magnons et syst6mes a deux niveaux.
-Nous
avons montre que le systeme de rotateurs plans
quantiques represente par la formule (1) etait equiva-
lent au systeme classique represente par le Hamilto- nien (2) ou (approximativement) par le Hamilto- nien (10), qui est lui-meme equivalent a un systeme classique a (D + 1) dimensions dont le Hamiltonien est la somme de (12) et (13). Le Hamiltonien (12) est harmonique et peut facilement etre retransforme en un Hamiltonien quantique, egalement harmonique, à
D dimensions. 11 suffit pour cela d’appliquer a 1’envers
les recettes du paragraphe 2 et on trouve une formule analogue a (1) :
Ce Hamiltonien represente un gaz de magnons dont la frequence Wk est donnee par la loi de dispersion :
oa g(k) = L 9ij cos k. rij est la transform6e de Fourier
j
de 9ij-
11 reste d interpreter la formule (13). Nous nous
limiterons aux basses temp6ratures. 11 est alors ten-
tant [1, 2] de n’autoriser les qp A prendre que leurs
valeurs les plus faibles possibles en module, à savoir 0
si la plaquette n’est pas frustr6e, + 1/2 si elle est
frustree. Cependant, il est facile de voir que les pla- quettes paralleles a l’axe des i ne sontjamais frustrees.
Si on n’autorise que les valeurs 0 et ± 1/2, on trouve
donc :
Si on interprète ! comme un temps imaginaire [6],
comme le suggere l’eq. (6), on voit que les chiralites [1]
qp des plaquettes frustrees sont independantes du
temps. 11 est donc clair que la prescription qp
=0
ou ± 1 /2 est trop forte. Pour un grand systeme, il
existe toujours, meme a tres basse temperature, un petit nombre de plaquettes excitees dans un etat de chiralite + 1.
La fonction de partition Z peut etre ecrite comme une somme de termes dont chacun correspond a un systeme de valeurs des qp, c’est-a-dire a une configura-
tion du systeme fictif (D + 1 )-dimensionnel. Chaque configuration peut etre representee par un diagramme (fig. 2); chaque liaison p du reseau dual [4] est affectée
d’une fleche si qp
=± 1/2, de 2 fl6ches si q
=± 1,
etc. Le sens des fleches indique le signe de qp, selon des
conventions appropriees que nous ne discuterons pas.
Chaque diagramme doit verifier les lois de Kir- chhof [4], c’est-a-dire que le nombre total de fl6ches entrantes doit etre egal au nombre de fleches sortantes pour chaque site.
Fig. 2.
-Diagrammes apparaissant dans le developpement de ,Z (eq. (8)). L’axe des temps est vertical. Les lignes simples corres- pondent a des plaquettes frustrees, dont le sens de la fl6che indique
la chiralite. On peut aussi les interpréter comme les trajectoires de particules a charge ± 1 /2 pouvant emettre des particules a charge
± 1 virtuelles (doubles lignes).
Diagrams for the function Z defined by eq. (8). The (imaginary)
time axis is vertical. Single lines correspond to frustrated pla- quettes, the arrow indicates the chirality. They can also be inter-
preted as trajectories of half-charged particles which can emit
virtual particles of charge ± 1 (double lines)].
Comme on 1’a vu plus haut, les diagrammes sont
domines par des lignes portant une fleche unique, qui
sont associees aux plaquettes frustrees et sont verti- cales, c’est-a-dire paralleles a l’ axe des temps. 11 est commode de considerer ces lignes comme les trajec-
toires de particules chargees (positivement ou negati-
vement selon le sens de la fl6che). Les doubles fleches horizontales joignant 2 de ces trajectoires indique le
renversement d’un dipole par effet tunnel a un instant donne (fig. 2a). Ces dipoles peuvent etre identifies
avec les systemes a 2 niveaux d’Anderson, Halperin
et Varma [1]. La figure 2b represente un processus
analogue mais non instantane. Les diagrammes 2c
et 2d necessitent une renormalisation des energies
et des masses, que nous ne considererons pas ici.
5. Simplifications dans le cas des verres de spins à
basse temperature.
-Jusqu’ici, il y a une certaine
symetrie entre les coordonnees d’espace et de temps
(imaginaire) bien que le temps imaginaire ne varie qu’entre 0 et L
=ph.
II nous semble cependant que, dans le cas des verres
de spins, il n’y a pas lieu de maintenir cette symetrie qui, en somme, complique les choses. En effet, la dynamique d’un verre de spins est tres lente a basse
temperature. En d’autres termes, presque toutes les chiralites de la forme qp ou qp sont nulles, alors que la
moitie des chiralites qp sont egales a ± 1 /2. Nous
proposons donc de negliger les interactions entre les
qp, ainsi qu’entre les qp. En electromagnetisme, l’approximation equivalente consiste a considerer que la diffusion des charges dans un dielectrique est gouvernee uniquement par les forces de Coulomb,
et pas du tout par les forces de Laplace entre les cou-
rants electriques (analogues aux ep et qpy dans notre probleme). La raison en est qu’il y a toujours des charges toutes proches dont le champ Coulombien
est important, alors que les deplacements de charges
ou courants electriques sont fort eloignes dans 1’espace-temps et qu’ils ont de bonnes chances de se
compenser statistiquement.
11 faut cependant reconnaitre que ces interactions de Laplace que nous négligeons comportent certaines divergences. Calculons par exemple la contribution a (13) correspondant a a = x ou y et k,
=0. Elle vaut
ou le coefficient f pp, peut s’ecrire, en tenant compte [1]
de la condition de neutralite 6lectrique Y p q§(1)
=0 :
ou : 1
Bien que fpp’ diverge logarithmiquement pour les
grandes valeurs de p - p’ 1, nous croyons que H1
peut etre neglige, c’est-a-dire que sa prise en compte
ne modifierait pas considerablement les resultats ; mais nous sommes incapables de justifier quantitati-
vement cette approximation.
Nous ferons en passant une comparaison avec 1’electrodynamique : une bonne raison de negliger
la force de Laplace dans les dielectriques est qu’en pratique le champ electromagnetique emis par un courant quitte tres vite 1’echantillon : a la vitesse de la lumiere. Dans le cas present, la vitesse de la lumiere est remplacee par la vitesse des magnons, beaucoup plus lente. Malgre cela, nous negligerons le terme K* ; il ne nous semble pas que sa prise en compte amene a des modifications qualitatives de la theorie
qui suit.
11 nous faut maintenant ecrire le terme de (13) cor- respondant a a = x ou y, k, :A 0, en negligeant les
interactions entre les q"(,r) et q",(T’) sauf si p
=p’ et
7: = T’. C’est conforme a notre intention affirmee
precedemment de negliger les interactions entre eve- nements tres eloignes dans 1’espace-temps. II y a pour- tant une approximation supplementaire car il est evi-
dent que des evenements complexes comme celui de la
figure 2b ne sont pas decrits correctement. Ceci n’entraine sans doute qu’une erreur quantitative sans
effet qualitatif, car la duree de vie d’une charge enti6re
est toujours courte. Dans cette approximation, on
obtient :
ou la valeur de U(o) est pour N grand donnee par :
alors que U(p - p’)
=0 si p =A p’.
Il doit etre possible de tenir compte des evenements
composes tels que (lb) par une interaction effective
U(p - p’) pour p p’. La somme sur kx et ky a ete
remplacee par une integrale, mais la somme sur kt est
discrete. 11 est necessaire d’exclure le terme k,
=0 (inclus dans JC*) pour eviter une divergence.
11 nous reste a simplifier le terme a = ’t du Hamilto- nien (13). Le remplacer par un terme local dans
1’espace-temps, tel que (17), serait une simplification excessive; par contre, si la dynamique est tres lente,
on peut le remplacer par un terme local dans le temps (mais non dans 1’espace) obtenu de la faqon suivante.
La partie a = ’t du Hamiltonien (13) peut s’ecrire :
ou les indices p et p’ designent les centres des pla- quettes du reseau reel D-dimensionnel, c’est-a-dire
perpendiculaires a l’axe des r. On a remplace qp
par qp, en omettant l’indice r, de sorte que les qp ont la meme signification que dans la ref. [3]. Enfin :
On peut, moyennant certaines precautions que nous
preciserons plus loin, remplacer dans (19) qP,(i’) par qp,(1:), ce qui donne a la place de (19) le Hamiltonien suivant :
avec
On retrouve l’interaction logarithmique de Kos-
terlitz et Thouless [3].
Comme nous 1’avons indique plus haut, le remplace-
ment de (19) par (21) exige certaines precautions. 11
n’est vraiment correct que si les points (p, T) et (p’, 1"’)
sont assez eloignes dans 1’espace-temps, ou encore si
les positions des charges p et p’ ne varient pas au voisi- nage de i et 1"’. Cela revient a dire qu’il faut faire une
correction pour tous les points de 1’espace-temps of
l’une des charges change de position. On peut consi- d6rer que le principal effet est d’ajouter au coefficient
U1 de 1’eq. (17) une correction U2.
Considerons par exemple le diagramme (a) de la figure 2. A partir de la formule (19), on montre en Appendice B qu’il s’ajoute aux contributions (17) et (21 ) une energie :
ou p est la distance entre les 2 charges. Pour des pre- miers voisins on a :
Pour resumer, le Hamiltonien (13) dans 1’espace- temps a ete remplace par la somme des expressions (21)
et (17), ou U est la somme des contributions (18) et (23).
L’expression (21) est une interaction entre les parti-
cules a un instant donne, dans une approximation
qu’on peut qualifier de non relativiste. Nous verrons
au paragraphe 7 que (17) peut etre consideree comme
une energie cinetique, mais il est souhaitable aupara-
vant de preciser la valeur de 1.
6. Valeur de I.
-L’equivalence qu’on a mention-
n6e au paragraphe 2 est strictement vraie dans la limite I --+ oo seulement. Malheureusement, I’approxi-
mation (11) est inutilisable dans cette limite.
11 faut en effet choisir
oii g est un coefficient independant de I, pour que la formule (16) soit physiquement acceptable. Les for-
mules (21) et (22) sont egalement satisfaisantes car
l’interaction entre 2 charges immobiles (qui resulte de
la multiplication de (22) par L/l ) est alors ind6pen-
dante de I. Mais, avec un tel choix de gij, on peut
montrer que les ondulations de Wi}{x)
=Wij(x)
s’annulent a la limite 1 -->, 0 si on utilise la formule (11).
Nous ne ferons pas ce calcul, mais nous allons montrer
par un argument simple que la dynamique de spin
resultant des formules (17), (18) et (23) devient absurde pour I petit. En effet, les expressions (18) et (23)
restent finies pour 1
=0 comme on le montre en
Appendice. U
=Ul + U2 tend donc aussi vers une
limite finie, ce qui signifie que la probabilite de transi-
tion dans un temps proportionnel a I reste finie, et que la probabilite de transition par unite de temps devient donc infinie ! Le comportement asymptotique satis-
faisant serait exp - #U - I ce qui necessiterait
11 est par contre evident que la formule (11) cons-
titue une approximation satisfaisante si fig(l) 1.
D’apres (5) et (24), cela implique
oii 9 est de l’ordre de 1’interaction d’echange moyenne.
Encore faut-il que le second terme de (2) soit
correctement represente par le second terme de (10).
11 en est ainsi si la fluctuation moyenne
est petite par rapport a 4 7r’. Apres insertion de (25),
on obtient :
-
La signification de cette condition est que les effets
quantiques ne doivent pas etre trop grands. En fait,
le cas ou les effets quantiques sont tres grands n’est
pas tres interessant, car tout ordre magnetique devient
alors impossible.
Pour resumer, nous voyons que 1’approxima-
tion (11) n’est appliquable que si on attribue a I une
valeur finie. Ceci n’est raisonnable que si les effets
quantiques ne sont pas trop grands, mais meme dans
ce cas cela implique certaines approximations; en
effet les fonctions de correlation (6) ne sont donnees
correctement par la presente theorie que si i » I. II faut donc que L
=flh soit grand, donc T petit.
11 faut aussi rappeler que nous avons neglige l’inter-
action entre evenements survenant a des temps differents, par exemple l’interaction entre les 2 liaisons
horizontales de la figure 2b. Enfin dans la figure 2a,
les sites p et p’ ne sont pas forcement voisins bien que la formule (23) ne s’applique que dans ce cas.
7. Retour a 1’espace physique.
-L’utilisation d’un temps imaginaire soumis a des conditions cycliques
est peu agreable. Nous souhaitons maintenant refaire a 1’envers le chemin accompli au paragraphe 2, et ecrire les equations du mouvement pour les vortex
et demi-vortex qp(t) dans 1’espace a D
=2 dimen-
sions, dans 1’approximation non relativiste.
Cela necessite une technique de matrice de transfert.
Associons a 1’ensemble {q} = (ql, q2, ..., qN) des
chiralites des différentes plaquettes du systeme phy- sique un vecteur [ W ) d’un espace approprie, avec les conventions 0 03A6
=0 si les chiralites ne sont pas toutes identiques, et 0 10 >
=1. Le calcul des fonctions de correlations des variables physiques {1i(t) necessite celui des fonctions de correlations des chiralites :
,
r
,,
ou la matrice de transfert 0 a pour elements de matrice :
ou e1 est donne d’apres la formule (21) par :
La matrice e2 peut etre consideree comme une somme infinie. Elle comporte :
a) une partie diagonale ø I e(o) I o>
=1 ; b) des elements de matrice entre deux vecteurs
10 > et I V > qui ne diffèrent que par 2 chiralites qp
et q p,, la chiralite totale ¿qp etant nulle pour les 2 vec- teurs. Le terme correspondant de e2 peut s’ecrire :
ou bp (resp. b-) est l’opérateur qui augmente (resp.
diminue) la charge qp d’une unite sans modifier les autres charges :
’
si
En particulier, si p et p’ sont voisins,
i -
O 11
ou U est la somme de (18) et (23). yPP, doit diminuer
rapidement quand la distance augmente ; en particu- lier, si on neglige les interactions entre liaisons paral-
lèles au plan xOy, et les contributions telles que U2,
on a en gros ypp, _ exp - jM/i ! P - P’ I ;
c) e2 comporte encore des elements de matrice entre vecteurs qui dif’erent par 4 charges. La contribu- tion la plus importante est due a des charges groupees
par paires eloignees et peut s’ecrire :
Le facteur 1 /2 tient compte du double comptage.
En continuant ainsi, on arrive a 1’expression :
Cette expression comporte des approximations, qui sont pour une large part la consequence du temps discret. En particulier on neglige une contribution
e43) qui ne s’annule qu’a la limite 1
=0.
En regroupant (27), (28) et (29), on trouve :
avec
On peut encore ecrire :
avec :
Il est correct de se limiter dans ce developpement
aux termes d’ordre 0 et 1 en B, dans Ie cas semi-clas- sique ou l’inégalité (26) est vérifiée. En effet Vest de 1’ordre de Mg et yPP,/h= exp - U/h « 1. Par
contre, 1’expression
n’est pas particulierement petite, car /? est de
l’ordre de 1. Cependant, il est peu vraisemblable que
ce terme apporte une correction qualitative par rap- port aux 2 premiers termes de (31). D’autre part, on peut imaginer que Wij a une forme telle que l’approxi-
mation (22) soit bonne pour une valeur petite (mais
non infiniment petite) de I. L’erreur commise en
r£duisantj31) a ses 2 premiers termes n’est alors pas tres grande et on peut ecrire la forme simplifi6e :
Les fonctions de correlations qui caracterisent la
dynamique des vortex et demi-vortex sont :
avec :
Si on neglige le second terme de (32), et par suite la
dynamique du systeme, on retrouve en utilisant les formules (22) et (24), la theorie statique bien
connue [3, 4, 7, 8].
L’expression (32) est essentiellement le modele
d’Anderson, Halperin et Varma [1]. Les systemes a
deux niveaux de ces auteurs peuvent 8tre identifies
avec les charges qp, ou plutot avec des dipoles
puisqu’on ne peut pas renverser une charge isolee.
Le premier terme de (32) est une interaction entre les
systemes a deux niveaux et le second terme permet des
retournements de dipoles par effet tunnel.
8. Th6orie sym6trique dans l’espace-temps.
-Mal- gr6 les arguments donnes au paragraphe 5, il peut etre interessant de ne pas renoncer a la symetrie entre 1’espace et le temps, ne serait-ce que pour comparer
avec d’autres conceptions comme celles de Dzyalo-
shinskii et Volovik [2]. L’interaction (13) rappelle une
interaction electromagnetique. Pour pousser plus
loin cette analogie, on peut recrire l’interaction (13)
entre les vortex et demi-vortex de 1’espace-temps sous
la forme :
ou :
R designe les centres des mailles du reseau forme (fig. 1) par les points (i, r). ix, §j, a sont les cotes d’une maille du reseau cubique. La formule ci-dessus s’applique pour
alors que B(%y(P) est suppose nul ailleurs pour des raisons qui apparaitront plus loin. On sait [4] que qp est defini
aux points 6 + aa/2 et nul ailleurs.
p
On v6rifie facilement a partir de (14) que :
ce qui permet d’ecrire (33) sous la forme plus symetrique :
ou :
Soit :
ou :
,1
pour p = A + aa/2 ; ailleurs Arx(í»
=0. Dans ces conditions Arx(P) v6rifie l’equation suivante :
L’analogie avec 1’electrodynamique est evidente. A est un potentiel vecteur qui v6rifie l’equation de Pois-
son (36). (34) est 1’energie d’un systeme de charges en interaction, bien que 1’expression figurant dans la plupart
des manuels ait une forme differente.
9. Autocritique et conclusion.
-Dans une certaine
mesure nous avons accompli notre programme du
paragraphe 1 : nous.avons deduit d’un modele micro-
scopique de verre de spins la theorie ph6nom6nolo- gique de Dzyaloshinskii et Volovik, ainsi que celle
d’Anderson, Halperin et Varma [1] qui en apparait
comme 1’approximation non relativiste.
Cependant, notre succes est limite. Nous n’avons traite que le cas ou la dimension D de 1’espace, et la
dimension n des spins, sont egales a 2. En outre, nous
avons fait de nombreuses approximations dont cer-
taines pourraient etre fondamentales.
L’extension a un espace de dimension D
=3 ne
devrait pas poser de probleme majeur; si nous ne
1’avons pas tentee, c’est surtout pour ne pas alourdir
davantage un article d6jd indigeste.
C’est pour la meme raison que nous n’avons pas
essaye d’ameliorer l’approximation (11). 11 faut bien
voir pourtant qu’elle comporte un artefact de taille : les magnons et les systemes 4 2 niveaux sont complete-
ment decouples, comme on 1’a vu au paragraphe 4.
Cela implique que les magnons sont non amortis meme si le systeme est dans 1’etat paramagnetique.
Cette conclusion est raisonnable pour les magnons de haute frequence, non pour ceux de basse frequence qui doivent etre suramortis [2]. Nous presumons qu’il
doit etre possible d’ameliorer 1’approximation (11)
et que 1’artefact doit alors disparaitre.
Plus genante est la necessite de prendre un temps
discret. C’est la une difficulte fondamentale liee aux relations d’incertitude. La presente theorie n’est
applicable qu’a basse temperature KB T J. Si KB T Z J, le quantum de temps devient superieur a la
dimension totale L du systeme classique fictif. Peut-
etre y a-t-il, a cote de 1’analogie avec 1’electrodyna- mique classique que nous avons developpee, une analogie avec 1’electrodynamique quantique, que nous n’avons pas su trouver. En d’autres termes, nous
avons construit une theorie a la Sommerfeld alors qu’a temperature plus elevee il faudrait une theorie a la de Broglie.
Enfin 1’extension a des spins tridimensionnels
(n
=3) pose de nombreux problemes. Les equations
du mouvement ne sont pas invariantes par renverse- ment des spins. La technique d’integration fonction-
nelle du paragraphe 2 n’est pas facile a appliquer.
Aucune approximation du genre (11) n’est en vue.
Enfin, la nature meme des systemes a deux niveaux n’est pas tout a fait claire : on sait exhiber des systemes
a deux niveaux dans le modele de Heisenberg [10].
On ne sait pas vraiment en faire une theorie syst6ma- tique. L’analyse topologique de Dzyaloshinskii et
Volovik [2,11J a ete critiquee par Julia et Toulouse [12J,
mais il ne nous parait meme pas evident qu’une ana- lyse purement topologique soit suffisante, pour un reseau discret.
APPENDICE A
Demonstration de 1’6q. (6).
-La fonction de corr6- lation (4) s’exprime commodement en utilisant la matrice de transfert 6 du systeme, dont les elements de matrice seront designes par a 1 e I b >. I a > ou a designe ici un ensemble de N nombres lpf compris
entre 0 et 2 n, et b ) ou b I designe un ensemble
de N nombres lpt. Le produit matriciel est defini par
Comme il a ete dit au paragraphe 2, il convient de supposer que la variable est un multiple entier ml d’un intervalle elementaire I. La matrice de transfert 6 est d6finie par :
11 est maintenant facile de verifier que 1’expression (4) peut s’ecrire :
ou par exemple ( a I Xj I a >
=exp igi si Xj
=exp iqJ j.
L’expression (A. 3) peut s’6crire :
ou le symbole Tr a son sens habituel, qui n’est pas celui du symbole Tr introduit au paragraphe 2.
Un calcul analogue montre facilement que :
’
