Influence des mécanismes de plasticité sur la transition ductile fragile des aciers faiblement alliés. Etude de l'irradiation sur le comportement.

HAL Id: tel-00270833

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00270833

Submitted on 7 Apr 2008

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

l’irradiation sur le comportement.

Maximilien Libert

To cite this version:

ÉCOLE CENTRALE DES ARTS

ET MANUFACTURES

« ÉCOLE CENTRALE PARIS »

THÈSE

Présentée par

Maximilien LIBERT

pour l’obtention du

GRADE DE DOCTEUR

Spécialité : Mécanique & Matériaux

Laboratoire d’accueil : MSSMat

SUJET :

Etudes expérimentale et numérique de l’effet des mécanismes de

plasticité sur la rupture fragile par clivage dans les aciers

faiblement alliés

Thèse soutenue publiquement le 21 Septembre 2007

devant un jury composé de :

Mr Jacques BESSON (ENSMP) Rapporteur

Mme Suzanne DEGALLAIX (EC-Lille) Rapporteur

Mr Philippe BOMPARD (ECP) Président

Mr Stéphane BUGAT (EDF) Examinateur

Mr Bernard MARINI (CEA) Examinateur

Mme Colette REY (ECP) Directeur de thèse

Remerciements

Aux membres du jury :

Je tiens tout d’abord à remercier Mr Philippe BOMPARD d’avoir accepté de présider le jury de thèse, et ce malgré un emploi du temps chargé. Je suis également très touché du grand intérêt qu’il a manifesté à l’égard de mes travaux. J’exprime également toute ma reconnaissance envers Mme Suzanne DEGALLAIX et Mr Jacques BESSON pour avoir accepté de rapporter sur mon manuscrit de thèse : leur relecture minutieuse ainsi que leurs questions et remarques très pertinentes ont permis d’apporter des réponses à quelques problèmes en suspens et de poser de nombreuses questions ouvertes. En somme, leur travail a contribué à enrichir les travaux présentés dans le manuscrit. Je remercie également Mr Stéphane BUGAT pour la pertinence, l’originalité et la diversité de ses questions et remarques.

Au CEA Saclay :

Je tiens d’abord à remercier Mr Bernard MARINI pour son regard critique, ses remarques pertinentes et les nombreuses discussions qui ont animé les réunions d’avancement. Je remercie également Ludovic VINCENT pour tous les services rendus, notamment lors du choix et de l’implémentation du modèle de comportement. J’en profite également pour saluer toutes les personnes qui m’ont aidé à mener à bien les caractérisations microstructurales et essais mécaniques au service SRMA : Françoise BARCELO, Jean Luc BECHADE, Christelle CAES, Grégory PEREZ, Pierre WIDENT. Je salue au passage toutes celles et ceux que j’ai croisés durant ces quatre années au CEA Saclay.

Aux membres du laboratoire

Je tiens en premier lieu à exprimer ma reconnaissance envers Mme Colette REY pour m’avoir accueilli dans le laboratoire MSSMat en stage de DEA puis en thèse. Je la remercie chaleureusement pour son encadrement de tous les instants ainsi que pour le soutien dont elle a fait preuve durant l’ensemble de la thèse. Je la remercie également pour la grande liberté dont j’ai pu bénéficier pour mener à bien mes travaux.

Je suis sincèrement reconnaissant envers Clotilde BERDIN de m’avoir très largement aidé à apprendre l’utilisation du code de calcul ABAQUS. Je lui serai toujours reconnaissant pour la patience, les conseils avisés et les encouragements dont elle a fait preuve. Je remercie également Michel CLAVEL et Claude PRIOUL d’avoir bien voulu collaborer à ces travaux, et d’avoir contribué à appréhender les différents aspects de mon sujet de thèse.

J’ai également une pensée envers tous ceux et toutes celles qui m’ont rendu des services précieux et avec qui j’ai passé de bons moments de discussion ou de détente autour d’un café : Thierry HOC, Daniel KERVERN, Fleur LITOUST, Denis MARTIN, Isabelle MASSIP, Nadège OLS, Eric PERRIN, Guillaume PUEL et Nicolas ROUBIER.

Aux thésards (ou ex-thésards !) du laboratoire

Outre l’aspect scientifique, ces quatre années de thèse me laisseront un souvenir très fort pour tous les moments passés au laboratoire en si bonne compagnie. Je ne sais pas si j’aurais pu mener à bien ce long travail sans votre soutien, votre solidarité et votre bonne humeur communicative.

Tout d’abord, merci aux ‘vétérans’ Arsène, Benoît, Jérôme, Mejido, Olivier, Seddik et Serge pour vos conseils éclairés, mais également pour l’accueil chaleureux que vous avez réservé au ‘nouveau’ thésard que j’étais il y a quatre ans !

Merci à Amjad, Cédric, Christine, David et Laurent, les compagnons de fortune qui avez partagé avec moi les hauts et les bas de ma vie de doctorant durant ces 4 années : inévitablement, je repense aux calculs qui plantent inexplicablement, aux périodes de doute et de remise en question, voire aux repas au RU de l’ECP ; mais je garde surtout en mémoire les repas de Noël au MSSMat, les ‘flims qui ne sont pas des flims sur le cyclimse’ et les séjours mémorables à Etretat et à Aussois, sans oublier les séances d’escalade en salle ou à la montagne !

Et enfin, merci aux ‘petits nouveaux’ qui sont arrivés au laboratoire pendant ces 4 années : Anne (les deux !), Cécile, Denis, Jeanne et Julien. Je vous remercie pour votre bonne humeur, et votre soutien de chaque instant et je me remémore tous les moments de rire et de détente que ce soit dans mon bureau, au thé ou au café ou devant un mythique Lorient-PSG (n’est ce pas Denis) ! J’en profite pour vous souhaiter bon courage et à n’en pas douter beaucoup de réussite dans l’aboutissement de vos travaux de thèse !

A ma famille

Résumé

Il est crucial de garantir l’intégrité des cuves de réacteurs à eau pressurisée (REP) en cas de fonctionnement accidentel : dans ce contexte, la compréhension et la modélisation des mécanismes de rupture fragile des aciers constituent des éléments décisifs de l’évaluation complexe des durées de vie des cuves.

Les modèles d’approche locale de la rupture par clivage constituent l’un des principaux outils de prédiction de la ténacité des aciers faiblement alliés. La dispersion des contraintes à rupture est interprétée comme un effet de la distribution des défauts dans la microstructure, mais l’effet des hétérogénéités mécaniques n’est pas pris en compte. Or, en dessous d’une température de transition de comportement Ta (de l’ordre de 25°C), les mécanismes de déformation sont grandement affectés par la température et la vitesse de déformation.

Notre approche consiste à prendre en compte l’effet des hétérogénéités de contraintes dans un critère local d’amorçage du clivage. Les résultats de calculs de microstructure sont utilisés pour proposer une description statistique de l’évolution des distributions de contraintes locales. Cette approche statistique permet de proposer un modèle d’approche locale de la rupture dépendant à la fois des hétérogénéités mécaniques et des distributions de tailles de défauts.

Le comportement du matériau et son évolution sont caractérisés aux échelles microscopique et macroscopique dans le domaine de température [25°C,-196°C]. Des essais de traction simple, de sauts de vitesse et de température, et de ténacité sont réalisés.

Nous proposons un modèle de comportement micromécanique décrivant le comportement plastique en dessous de la température de transition Ta. La loi de comportement est basée sur les mécanismes de déformation décrits dans la bibliographie et identifiée par méthode inverse à partir des essais mécaniques. Les observations au MET et la caractérisation du comportement activé thermiquement permettent de fixer plusieurs paramètres du modèle. Des simulations sont réalisées afin de modéliser les distributions de contrainte principale σ1 dans deux microstructures bainitiques correspondant au volume élémentaire de l’approche locale de la rupture. L’effet de la température et de la triaxialité sur l’évolution des hétérogénéités est caractérisé. Nous proposons une fonction de distribution décrivant la distribution des valeurs locales de σ1 en fonction des contraintes principales et équivalente <σ1> et <σmises> moyennes dans la microstructure.

SOMMAIRE

I. Introduction générale………...9

I.A Contexte industriel ... 11

I.B Enjeu : prise en compte de l’effet des hétérogénéités mécaniques sur la rupture par clivage ... 12

I.C Démarche adoptée : approche à l’échelle de la plasticité cristalline ... 13

II. Etude bibliographique du comportement plastique et de la

microstructure des aciers faiblement alliés……….17

Introduction ... 22

II.A Rappels bibliographiques sur le comportement à l’échelle microscopique dans les métaux de structure cubique centrée ... 22

II.B Quelques approches de modélisation de plasticité critalline dans les métaux de structure cubique centrée ... 26

II.C Rappels bibliographiques concernant la microstructure des aciers faiblement alliés ... 45

Conclusion du chapitre II ... 52

III. Caractérisation expérimentale………..57

Introduction ... 59

III.A Caractérisation microstructurale du matériau ... 59

III.B Essais de traction monotone ... 66

III.C Caractérisation du comportement thermiquement activé... 72

III.D Caractérisation de la transition ductile / fragile... 82

III.E Etude fractographique ... 93

IV. Formulation et identification d’un modèle de comportement

micromécanique………...…103

IV.A Choix d’un modèle de comportement ‘basse température’ de l’acier de cuve .. ... 105

IV.B Implémentation numérique des équations du modèle ... 111

IV.C Identification des paramètres du modèle ... 119

Conclusion du chapitre IV ... 135

V. Simulation numérique des hétérogénéités mécaniques dans la

microstructure bainitique………...…141

Introduction ... 143

V.A Choix de l’agrégat polycristallin, génération du maillage et conditions aux limites ... 144

V.B Etude numérique qualitative de le l’effet de <σ >, T et χ sur l’évolution des hétérogénéités locales 1 ... 149

V.C Quantification des hétérogénéités : identification de fonctions mathématiques de distribution de σ1 à partir des résultats de simulation numérique... 158

Conclusion du chapitre V ... 168

VI. Prise en compte des hétérogénéités mécaniques dans un

modèle d’approche locale de la rupture par clivage………171

Introduction ... 174

VI.A Etude bibliographique des mécanismes de rupture par clivage dans les aciers faiblement alliés ... 174

VI.B Les théories d’approche locale de la rupture... 187

VI.C Formulation d’un modèle statistique de rupture par clivage basé uniquement sur les hétérogénéités de σ1 dans la microstructure ... 197

VI.D Application d’un critère d’amorçage du clivage tenant compte des hétérogénéités de σ1 et de la distribution des tailles de carbures ... 206

Conclusion du chapitre VI ... 221

Chapitre I

TABLE DES MATIÈRES

I. Chapitre I : Introduction générale

I.A

Contexte industriel

Dans les centrales nucléaires, les cuves de réacteur à eau pressurisée (REP) constituent un des éléments de la seconde barrière de sûreté entre les crayons de combustible radioactif et l’environnement extérieur. La cuve est constituée de divers éléments d’un acier faiblement allié de nuance 16MND5 (équivalent A508 Cl3). Ces éléments sont forgés puis assemblés par soudage. Dans un réacteur REP de 900 MW, la cuve mesure environ 13 mètres de haut et 4 mètres de diamètre, pour une masse totale d’environ 330 tonnes.

Fig. I.1 : Vue d’une cuve de Réacteur à Eau Pressurisée (REP)

Dans un régime de fonctionnement normal, la cuve est soumise à une pression de l’ordre de 15 MPa et une température de 290°C : il ne peut pas y avoir de phénomène de rupture fragile. Cependant, il est crucial de garantir l’intégrité de la cuve en cas de fonctionnement accidentel : l’accident de perte de réfrigérant primaire (APRP) entraînerait l’injection d’eau à température ambiante dans la cuve, ce qui conduirait à un refroidissement brutal de celle-ci. Le matériau de la cuve étant soumis à l’irradiation en conditions de service, le refroidissement brutal peut favoriser la rupture fragile pour des températures plus élevées qu’à l’état non irradié [BOU06].

I.B

Enjeu : prise en compte de l’effet des hétérogénéités mécaniques sur

la rupture par clivage

Le principal objectif de cette thèse est d’étudier l’effet des mécanismes locaux de déformation à l’échelle microscopique sur la rupture fragile dans un acier faiblement allié A508 Cl3 fourni par le CEA.

Aux basses températures, les aciers faiblement alliés présentent une rupture fragile par clivage intragranulaire. Ces mécanismes sont bien identifiés à l’échelle microscopique dans le fer α. Cependant, l’étude de la rupture fragile pose deux problèmes majeurs dans les aciers faiblement alliés :

- D’une part, les dispersions de valeurs de résiliences et de ténacité sont élevées, et elles augmentent fortement avec la température à l’approche du domaine de transition ductile / fragile (cf. figure I.2). Si cet aspect statistique peut être reproduit par des modèles classiques d’approche locale, les phénomènes à l’origine de ces dispersions sont encore mal identifiés.

Fig. I.2 : Evolution de la dispersion des valeurs de résilience dans le domaine de transition

ductile / fragile pour un acier 16MND5 [MÄN99]

- Une approche macroscopique du comportement couplée à une approche locale de

la rupture (Beremin [BER83]) : cette méthodologie permet de décrire les dispersions

de ténacités et ce pour différentes microstructures, mais elle ne prend pas en compte les échelles inférieures de description du comportement, et ne permet pas d’interpréter clairement l’origine de ces dispersions.

- Une approche micromécanique couplée à un critère local de clivage : cette méthodologie permet de décrire le comportement à l’échelle microscopique et d’accéder aux hétérogénéités locales de champs mécaniques. Il s’agit d’une approche coûteuse en temps de calcul, mais pouvant aider à la compréhension des phénomènes à l’origine de la rupture macroscopique. L’effet de la microstructure y est introduit de façon explicite, et ce type d’approche permet d’étudier la part des hétérogénéités mécaniques dans les dispersions des valeurs de résilience et de ténacité d’un acier de cuve. La dépendance en température de ces mécanismes de déformation est également prise en compte. Par ce type d’approche, Mathieu montre que la dispersion de contraintes à rupture à l’échelle microscopique peut être interprétée comme la combinaison des dispersions de tailles de défauts et de contraintes locales [MAT06].

I.C

Démarche adoptée : approche à l’échelle de la plasticité cristalline

Dans le cadre de cette thèse, nous avons adopté une approche micromécanique couplée à un critère local de clivage.

Les aciers faiblement alliés, que ce soit à l’état bainitique ou martensitique, sont constitués d’un ensemble de lattes présentant une structure essentiellement de nature cubique centrée (C.C.). Or, les mécanismes de plasticité microscopique mis en jeu dans ces métaux sont fortement dépendants de la température : certains aspects de ces mécanismes restent assez mal connus. De plus, il convient d’établir dans quelle mesure la microstructure de l’acier de cuve peut altérer ces mécanismes.

Le chapitre II fait l’objet d’une étude bibliographique sur les mécanismes locaux de déformation dans les métaux de structure C.C. et sur les modélisations microscopiques du comportement. On présente également les caractéristiques microstructurales de la bainite et de la martensite dans les aciers faiblement alliés.

Deux microstructures, l’une bainitique et l’autre martensitique sont élaborées par traitement thermique. Le chapitre III présente une caractérisation expérimentale des deux microstructures et de leur comportement à différentes échelles. L’effet de la température et de la microstructure est également étudié :

- Les microstructures bainitique et martensitique sont caractérisées par EBSD et au MET. - Des essais mécaniques réalisés dans le domaine de température [25°C, -196°C] visent à

caractériser l’évolution du module d’écrouissage en température.

- Afin de caractériser l’évolution de la ténacité en fonction de la température, des essais sur éprouvettes CT sont réalisés : une étude fractographique est entreprise pour identifier les mécanismes et les sites d’amorçage de la rupture.

Le chapitre IV propose un modèle de comportement micromécanique prenant en compte les mécanismes de plasticité intervenant aux basses températures dans les aciers faiblement alliés. L’écriture du modèle en grandes transformations et le schéma d’intégration numérique sont également présentés.

La procédure d’identification du modèle pour la bainite est également décrite : la méthodologie consiste à déterminer expérimentalement les paramètres ‘physiques’ (essais mécaniques, observations EBSD et MET) puis à identifier les paramètres restants par méthode inverse à partir des essais mécaniques.

En conclusion, nous présentons une démarche d’identification optimisée, applicable à d’autres microstructures (martensite) ou d’autres aciers de cuve.

Le chapitre V décrit la modélisation des champs locaux dans la microstructure bainitique. Les conditions aux limites sont imposées de façon à reproduire le chargement rencontré dans une éprouvette CT en fond de fissure.

On étudie l’évolution des hétérogénéités de déformation, de contraintes principales et de contraintes de clivage dans deux agrégats polycristallins bainitiques de 200x200x3 µm3. L’étude est réalisée pour deux microstructures différentes.

Une fonction mathématique de distribution des contraintes principales est identifiée à partir des résultats de simulation numérique.

Le chapitre VI fait d’abord l’objet une revue bibliographique des mécanismes de rupture par clivage dans les aciers ainsi que des modèles d’approche locale de la rupture. Par la suite, deux modèles de rupture fragile par clivage sont proposés à l’échelle du volume élémentaire : - Dans un premier temps, la distribution des tailles de défauts est négligée et le critère de

clivage est supposé déterministe : la fonction statistique identifiée dans le chapitre V est utilisée pour formuler un critère d’amorçage de la rupture fondé uniquement sur les hétérogénéités mécaniques. Cette approche vise a étudier la part des hétérogénéités mécaniques dans les dispersions de contrainte à rupture.

- Dans un second temps, une fonction de distribution des tailles de défauts est introduite dans le critère de rupture. Cette approche permet de relier la description du comportement à l’échelle microscopique, les micromécanismes de rupture par clivage et la distribution des tailles de défauts pour calculer une probabilité de la rupture à l’échelle du maillon de l’approche locale.

Références bibliographiques

[BOU05] BOUCHET (C.), TANGUY (B.), BESSON (J.), BUGAT (S.) – Prediction of the effects of neutron irradiation on the Charpy ductile to brittle transition curve of an A508 pressure vessel steel. Computational Materials Science, vol. n°32, Issues 3-4, pp. 294-300, 2005.

[CAR99] CARASSOU (S.) – Déclenchement du clivage dans un acier faiblement allié : rôle de l’endommagement ductile localisé autour des inclusions. Thèse de Doctorat, Ecole des Mines de Paris, 1999.

[HAU02] HAUSILD (P.) – Transition ductile / fragile dans un acier faiblement allié. Thèse de Doctorat, Ecole Centrale Paris, 2002.

[MÄN99] MÄNTYLÄ (M.), ROSSOL (A.), NEDBAL (I.), PRIOUL (C.), MARINI (B.) – Fractographic observations of cleavage fracture initiation in a bainitic A508 steel. Journal of Nuclear Materials, vol. n°264, pp. 257-262, 1999.

[MAT06] MATHIEU (J. P.) – Analyse et modélisation micromécanique du comportement et de la rupture fragile de l’acier 16MND5 : prise en compte des hétérogénéités microstructurales. Thèse de Doctorat, Ecole Nationale Supérieure des Arts et Métiers, CER de Metz, 2006.

[PES04] PESCI (R.) – Etude micromécanique et caractérisation expérimentales du comportement et de l’endommagement de l’acier de cuve 16MND5 à basses températures. Thèse de Doctorat, Ecole Nationale Supérieure des Arts et Métiers, CER Metz, 2004.

[REN98] RENEVEY (S.) – Approches globale et locale de la rupture dans le domaine de transition ductile-fragile d’un acier faiblement allié. Thèse de Doctorat, Université Paris XI Orsay / CEA.

[SEK04] SEKFALI (S.) – Influence de la microstructure sur le comportement local dans les aciers 16MND5. Thèse de Doctorat, Ecole Centrale Paris, 2004.

Chapitre II

TABLE DES MATIÈRES

II. Etude bibliographique du comportement plastique et de la

microstructure des aciers faiblement alliés

Table des notations... 19

Introduction ... 22

II.A Rappels bibliographiques sur le comportement à l’échelle microscopique dans les métaux de structure cubique centrée ... 22

II.A.1 Géométrie du glissement ... 22

II.A.2 Influence de la température sur le comportement plastique ... 23

II.A.3 Influence d’autres paramètres ... 25

II.B Quelques approches de modélisation de plasticité critalline dans les métaux de structure cubique centrée ... 26

II.B.1 Modélisations de plasticité cristalline ‘haute température’ ... 26

II.B.2 Modélisations phénoménologiques de la plasticité ‘basse température’... 33

II.B.3 Modélisation ‘basse température’ intégrant les densités de dislocations comme variables internes d’écrouissage (Rauch [RAU93])... 37

II.B.4 Approche probabiliste de l’écrouissage ‘basse température’ : modèle de Stainier, Cuitiño, Ortiz [STA02] ... 43

II.C Rappels bibliographiques concernant la microstructure des aciers faiblement alliés ... 45

II.C.1 Les transformations displacives ... 46

II.C.2 La martensite... 48

II.C.3 La bainite... 49

II.C.4 Diffusion du carbone et formation des précipités ... 50

Conclusion du chapitre II ... 52

Table des notations

Dislocations :

- b : vecteur de Burgers.

- ρ : densité totale de dislocations.

- ρs : densité de dislocations sur le système (s).

- s : densité de dislocations mobiles sur le système (s).

m

ρ

- s: densité de dislocations immobiles sur le système (s).

i

ρ

- ρs : densité de dislocations vis.

- s : taux d’annihilation des dislocations mobiles appartenant au système (s).

ma

r

- s: taux d’immobilisation des dislocations appartenant au système (s).

a

r

- s: taux d’annihilation des dislocations immobiles appartenant au système (s).

ia

r

- gc = 2 yc : distance caractéristique d’annihilation entre dislocations. - Λ : libre parcours moyen de l’ensemble des dislocations.

- Λs : libre parcours moyen des dislocations sur le système (s).

- L0 : distance entre les deux arbres de la forêt constituant un obstacle.

- L : longueur de segment vis entre les deux arbres de la forêt constituant un obstacle. - dA : aire balayée lors de l’avancée d’une dislocation vis.

Activation thermique :

- Ta : température de transition de comportement (début du palier athermique).

- νD : fréquence de Debye

- νS : fréquence de formation d’un double décrochement

- vs : vitesse d’avancée des dislocations vis par mécanisme de double décrochement.

- V* : Volume d’activation - T k V τ m * s μ

= : coefficient de sensibilité à la vitesse - ΔG(τ) : énergie libre d’activation

- ΔG0 : hauteur de la barrière énergétique associée au mécanisme d’activation thermique

- s 2 _D : vitesse de glissement de référence

m s

0 ρ b ν

γ_& =

- p, q : paramètres liés au profil de la barrière d’énergie (Kocks [KOC75]) - lc : longueur caractéristique d’un double décrochement.

- lp : distance séparant 2 vallées de Peierls

Déformations :

- γs : glissement plastique sur le système (s).

- s : vitesse de glissement plastique sur le système (s). γ&

- p : déformation plastique équivalente au sens de von Mises.

eq

ε

Contraintes :

- σ : Contrainte d’écoulement (au sens de Cauchy) ;

- σ0 : Contribution des précipités et des atomes en solution à la contrainte d’écoulement

- : contrainte seuil intégrant la friction de réseau et les atomes en solution [RAU93] ;

(

)

- τ : cission résolue ;

- τs : cission résolue sur le système de glissement (s) ; - τsat : cission d’écoulement à saturation de l’écrouissage ; - τeff : cission effective ;

- s : cission effective sur le système (s) ;

eff

τ

- τμ : cission athermique ;

- s : cission athermique sur le système (s) ;

μ

τ

- s : cission critique initiale sur le système (s) ;

c

τ

- τ0 : contribution des éléments en solution et précipités à la contrainte critique d’activation ;

- : contribution des éléments en solution et précipités à la contrainte critique d’activation sur les segments mixtes ;

m 0

τ

- : contribution des éléments en solution et précipités à la contrainte critique d’activation sur les segments vis ;

v

0

τ

- τ_0c : cission critique initiale (matériau pur) ; - τi : cission résolue interne ;

- τR : cission maximale nécessaire pour vaincre la friction de réseau. Ecrouissage :

- h : matrice d’écrouissage ;

- hsu : coefficient de h relatif à l’interaction entre les systèmes (s) et (u) ; - h(γ) : fonction d’écrouissage utilisée pour calculer la matrice h [PAN83] ; - M : coefficient de Taylor ;

- α : terme d’interaction globale entre les différents systèmes dans la relation ρ

αμb

σ= [MEC81] ;

- h0 : fonction d’écrouissage intervenant dans l’expression de h (modèles d’Asaro, de Kocks et Kalidindi [PEI83], [KOC76], [BHA01]) ;

- τα : constante matériau du modèle d’écrouissage de Kalidindi [BHA01] ; - H0, 0 , : coefficients du modèle d’écrouissage de Kocks [KOC76] ;

sat

τ _γ&0

- rs : variable d’écrouissage isotrope ; - xs : variable d’écrouissage cinématique ;

- C, r0 , d : paramètres matériau de la loi d’écrouissage de Cailletaud [CAI87] ; - h1, h2 : paramètres de la matrice d’écrouissage de Mandel ;

- asu : matrice d’interaction de Franciosi reliant à s ρ c

τ u ;

Introduction

Dans le cadre de la compréhension et de la modélisation des hétérogénéités de champs mécaniques dans les aciers faiblement alliés, il est primordial de prendre en compte le comportement plastique de la matrice ferritique et les spécificités de la microstructure.

Le chapitre II est divisé en trois parties :

- La partie II.A fait l’objet d’une étude bibliographique des mécanismes et de plasticité cristalline dans les métaux de structure cubique centrée.

- En seconde partie (II.B), on propose une revue des principaux modèles de

comportement à l’échelle microscopique dans ces matériaux.

- Enfin le sous-chapitre II.C rappelle les spécificités des microstructures bainitique et martensitique rencontrées dans les aciers faiblement alliés.

II.A Rappels bibliographiques sur le comportement à l’échelle

microscopique dans les métaux de structure cubique centrée

Les aciers faiblement alliés, que ce soit à l’état bainitique ou martensitique, sont constitués d’un ensemble de lattes présentant une structure essentiellement de nature cubique centrée (C.C.). Contrairement aux métaux de structure C.F.C. dans lesquels les mécanismes de plasticité sont connus, les mécanismes mis en jeu dans les métaux C.C. sont mal connus et sont fortement dépendants de la température.

II.A.1 Géométrie du glissement

Pour les matériaux C.C., les directions de glissement sont les directions denses de la maille cristalline, à savoir les directions du type <111>.

Par contre, les plans de glissement sont mal définis. L’hypothèse la plus couramment évoquée est celle de Taylor et Elam [TAY26] : ils envisagent le glissement des matériaux C.C. comme celui d’un paquet de crayons hexagonaux glissant les uns par rapport aux autres (modèle du pencil glide). Cette hypothèse implique que le glissement s’effectue sur le plan soumis à la cission résolue maximale. La surface de glissement correspond alors à un cylindre généré autour d’une direction de glissement de type <111>.

D’après Barrett [BAR37], le glissement s’effectue sur des plans de faible indice, tels que les plans de la famille {110}, {112} et {123}. Jaoul et Gonzales [JAO60] ont montré que le plan de glissement activé était toujours situé à moins de 2° du plan de cission maximale, ce qui tend à confirmer l’hypothèse émise par Taylor.

<111>, soit 24 systèmes de glissement. L’observation de lignes de glissement sinueuses a révélé la présence d’une succession de micro-glissements sur des plans {110} et {112}. L’activation de plans {123} mise en évidence par cet auteur, a été considérée par d’autres comme étant une combinaison des deux familles de plans cités précédemment.

II.A.2 Influence de la température sur le comportement plastique

Le comportement des matériaux de structure C.C. est fortement dépendant de la température. Il existe une température de transition de comportement Ta (de l’ordre de l’ambiante pour les aciers faiblement alliés), au dessus de laquelle leur comportement plastique est très comparable à celui des C.F.C. On retrouve alors, pour des monocristaux orientés en glissement simple et déformés en traction simple, les trois stades de comportement plastique tout à fait typiques des métaux C.F.C (cf. figure II.1) :

- Stade I : le glissement est activé sur le système (dit primaire) soumis à la plus grande

cission résolue. Les dislocations ne rencontrant que peu d’obstacles, le taux d’écrouissage est relativement faible (de l’ordre de µ/250). La déformation plastique s’accompagnant d’une rotation de réseau cristallin, un second système (dit secondaire) commence à s’activer et un réseau de dislocations secondaires se met alors en place. - Stade II : les interactions élastiques entre les réseaux de dislocations primaire et

secondaire entraînent une augmentation du taux d’écrouissage. La structure de dislocations, initialement unidirectionnelle, devient alors bidimensionnelle, du fait de l’activation d’un second système de glissement.

- Stade III : l’annihilation des dislocations de polarité opposée et l’apparition du

glissement dévié conduisent à une diminution du taux d’écrouissage. Plus la température augmente et plus la déformation pour laquelle le stade III apparaît est faible.

(a) (b)

Dans les polycristaux, le stade I n’est jamais observé. En effet, les incompatibilités de déformation peuvent conduire à l’activation de plusieurs systèmes de glissement.

En dessous de la température Ta, le comportement se traduit par une courbe d’écrouissage présentant un taux d’écrouissage initial élevé qui décroît avec la déformation (Fig. II.1). De plus, on observe des lignes de glissement moins sinueuses qu’au dessus de la température de transition, ainsi que l’apparition d’un nouveau mécanisme de déformation, le maclage. Le comportement plastique du fer-α est piloté par le déplacement des dislocations vis, celles-ci étant beaucoup moins mobiles que les dislocations coins. Enfin le glissement est surtout contrarié par les interactions à courte distance (friction de réseau) et se fait par un phénomène de double décrochement que nous décrirons plus loin.

Pour expliquer la faible mobilité des dislocations vis, la théorie de la dissociation de cœur des dislocations vis a été introduite par Hirsch [HIR60]. On considère qu’à l’état d’équilibre, une dislocation vis se dissocie sur plusieurs plans non parallèles (figure II.2).

Si cette dissociation permet de minimiser l’énergie de ligne, elle rend les dislocations vis sessiles : la dislocation doit se recombiner dans un seul plan pour permettre le glissement. Cette recombinaison est un phénomène thermiquement activé, ce qui signifie qu’elle est rendue d’autant plus difficile que la température diminue.

Fig. II.2 : Structure de cœur des dislocations vis : dissociation / recombinaison

Par ailleurs, les dislocations, de par l’arrangement des atomes du réseau, sont soumises à des forces à courte distance s’opposant à leur mouvement : on parle alors de friction de réseau. L’énergie de cœur des dislocations est minimale lorsque cette dernière suit les rangées d’atomes du réseau cristallin (ce sont les vallées de Peierls) : pour passer d’une rangée à une autre, les dislocations vis doivent par conséquent franchir une barrière énergétique. Cette barrière est difficile à franchir dans les matériaux C.C. comme le fer-α à cause de l’arrangement des atomes.

Fig. II.3 : Franchissement des vallées de Peierls par double décrochement

Il en résulte un passage progressif de la dislocation vis d’une vallée de Peierls à la suivante. Là encore, ce mécanisme de propagation par double décrochement est activé thermiquement. Ainsi, comme à basse température l’apport énergétique du à l’agitation thermique est très faible, la friction de réseau va gouverner le mouvement des dislocations, les obstacles à plus longue distance tels que les précipités ne jouant pas un rôle majeur.

A l’inverse, à des températures plus élevées (T>Ta), l’agitation thermique est suffisante pour faciliter le franchissement des obstacles à courte distance, et en l’absence de précipités, les obstacles de type dislocations gouvernent la plasticité. Le mouvement des dislocations se fait alors par activation de sources de Frank-Read au dessus d’une contrainte critique liée aux obstacles tels que les arbres de la forêt [FRI64].

II.A.3 Influence d’autres paramètres

a) Non respect de la loi de Schmid et asymétrie du glissement :

Pour les métaux présentant une structure C.C., la loi de Schmid est assez bien vérifiée. Cette loi prévoit qu’il y a glissement sur un système (s) lorsque la cission résolue sur ce système τs atteint une valeur critique

τ

s c

s _τ

τ = (II.1)

Pour les métaux C.C, la cission résolue critique initiale est dépendante du système de glissement considéré (Fig. II.4.a), surtout aux basses températures. Les différents systèmes de glissement (il y en a 24 en considérant les plans {110} et {112}) ne sont pas équivalents. De plus, pour les systèmes de glissement de la famille {112}, la cission critique d’activation

dépend du sens de glissement (cf. figure II.4.b). Pour une sollicitation donnée, il faut alors distinguer les systèmes faciles (dits « de maclage ») des systèmes difficiles (dits « d’antimaclage »). Là encore, cette asymétrie du glissement est marquée à froid mais s’estompe au dessus de T

s c

τ

(a) (b) Fig. II.4: Asymétrie du glissement pour T < Ta

b) Influence de la vitesse de déformation sur le comportement plastique

En vertu du principe d’équivalence temps-température, une augmentation de la vitesse de sollicitation des métaux a des effets comparables à la diminution de la température. Aux faibles températures, Spitzig et Keh [SPI70] ont montré que l’effet de la vitesse de déformation est plus marqué sur les plans de glissement {112} que {110}. A température ambiante, il existe un effet de la vitesse de déformation sur la limite d’élasticité des métaux C.C. Par contre l’écrouissage semble assez peu sensible à l’effet de vitesse.

II.B Quelques approches de modélisation de plasticité critalline dans les

métaux de structure cubique centrée

II.B.1 Modélisations de plasticité cristalline ‘haute température’

Nous présentons les différentes classes de modèles décrivant les mécanismes élémentaires de la plasticité dans les métaux de structure cubique centrée. Ces modèles se situent en général à l’échelle de la dislocation.

a) Lois d’écoulement :

- Ecoulement plastique :

On considère ici qu’il n’y a pas d’effet de la vitesse de sollicitation sur le comportement du matériau. A température ambiante, l’écoulement plastique obéit au critère de Schmid. Il y a écoulement plastique dès que la cission résolue sur l’un des systèmes de glissement (s) atteint une valeur critique :

s c

s _τ

avec s s c

τ

τ& = & (II.3)

La relation (II.3) est justifiée par le fait qu’il est nécessaire que s

τ demeure égal à

suffisamment longtemps pour que le système de glissement (s) soit activé.

s c

τ

- Ecoulement viscoplastique :

Les lois d’écoulement viscoplastique les plus communes sont basées sur la théorie du mouvement thermiquement activé des dislocations dans les matériaux de structure C.F.C.. La loi d’écoulement pour un système de glissement (s) est alors décrite par la relation :

k.T * V s μ τ τ τ k.T ΔG exp ν b ρ γ s μ s 0 D 2 s m s ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = & (II.4) Avec : s m

ρ : densité de dislocations mobiles b : vecteur de Burgers

νD : fréquence de Debye

ΔG0 : énergie d’activation relative au franchissement des obstacles

k : constante de Boltzmann T la température

τs _{et : cission résolue et contrainte athermique respectivement} s μ τ V*: volume d’activation. Si on pose : k.T V τ n * s μ = (II.5) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = k.T exp ν b ρ γ 0 D 2 s m 0 & − ΔG (II.6)

On obtient alors la loi d’écoulement :

n s μ s s 0 s τ τ γ γ _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = & & (II.7)

b) Modélisation phénoménologique de l’écrouissage :

Il existe deux types d’approches dans la modélisation de l’écrouissage du fer-α : les modèles phénoménologiques d’une part et les modèles intégrant les densités de dislocations comme variables internes d’autre part.

Les modèles phénoménologiques sont presque tous basés sur la théorie de la microplasticité de Taylor [TAY38] : cette théorie relie l’incrément de cission critique nécessaire pour activer le glissement sur un système (s) au glissement cumulé sur tous les systèmes.

La cission critique s’écrit :

u u

su s

c h γ

τ_& =

∑

Dans une première approche, les termes de la matrice d’écrouissage hsu restent constants au cours de la déformation. On distingue les termes diagonaux de cette matrice hss (auto-écrouissage) des termes non diagonaux hsu, s≠ (écrouissage latent). D’autres modèles, plus u élaborés, améliorent cette description de l’écrouissage, notamment en introduisant une non linéarité des termes de la matrice d’écrouissage.

- Modèle de Peirce, Asaro et Needleman [PEI83] :

Ce modèle est basé sur celui de Taylor mais il introduit une non linéarité de la matrice h en fonction de la déformation. Comme dans le modèle de Taylor, on distingue toujours les termes d’auto écrouissage et d’écrouissage latent. Cependant l’écrouissage est ici fonction du glissement cumulé γ sur tous les systèmes actifs.

( ) (

) ( )

( )

Dans les équations définissant l’expression de h, h0 correspond à la valeur initiale h, et τ0 la cission résolue critique initiale. Quant au paramètre q, il caractérise l’importance de l’écrouissage latent par rapport à l’auto-écrouissage. Les valeurs de q pour ce modèle sont généralement comprises entre 1 et 1.4, ce qui implique une prépondérance de l’écrouissage latent. Cependant, les travaux de Madec, Devincre, Kubin, Hoc et Rodney [MAD03] remettent en cause l’importance relative des deux termes.

D’autres modèles, comme celui de Kalidindi [BHA01], reprennent la même description, mais l’évolution de la matrice h est alors décrite par une fonction puissance :

a α s c 0 su τ τ 1 h h _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = (II.11)

h0 correspond toujours à la valeur initiale des termes de la matrice h. Par contre le terme τα n’a pas de signification physique bien précise. Pour l’aluminium pur, les valeurs de h0, τα et a

- Modèle de Kocks [KOC76] :

Ce modèle est aussi fondé sur une description non linéaire de la matrice h, mais ici tous les termes de la matrice d’écrouissage sont identiques et égaux à une fonction h0 définie par :

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 sat c sat 0 0 τ τ τ τ H h (II.12)

τ0 est la cission critique initiale d’activation (la même pour tous les systèmes), H0 le module d’écrouissage initial et τsat la cission à saturation de l’écrouissage, qui est reliée au glissement sur chacun des systèmes par la relation :

m 0 s s 0 sat sat γ γ τ τ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

τ , et m sont des paramètres matériau, dont les valeurs sont fixées pour l’aluminium à 61.8 MPa, 5.0 x 10

0

γ&

10 _s-1 _{et 0.005 respectivement.} - Modèle de Cailletaud [CAI87] :

Ce modèle consiste à transposer à l’échelle microscopique les modèles usuels d’écrouissage en macroplasticité. Deux variables d’écrouissage cinématique xs et isotrope rs sont ainsi définies : s s _C x = α (II.14) s s s s _{γ γ dα}

α& = & − & (II.15)

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ _∫ − + = − =

∑

Les paramètres C, r0 et d sont des constantes à déterminer.

La matrice d’écrouissage Hsu introduite par Mandel [MAN65] est définie par :

(

)

su _{h h h δ}

H = + − (II.17)

où h1 et h2 désignent deux coefficients matériau.

La loi d’écoulement est alors décrite de la manière suivante :

0 =

s

γ& sinon

c) Modèles d’écrouissage intégrant ρ comme variable interne :

Les modèles phénoménologiques décrivent l’écrouissage comme étant une fonction du glissement cumulé mais il est possible de décrire l’écrouissage à partir d’autres variables telles que les densités de dislocations sur les différents systèmes de glissement. Nous allons donc nous intéresser de façon plus détaillée à cette approche car elle constitue la base théorique de l’outil de simulation d’un agrégat de grains utilisé dans cette étude.

- Modèle d’Estrin, Mecking et Kocks [MEC81] :

Ce modèle est l’un des premiers à avoir introduit une densité de dislocation comme variable d’écrouissage. Il utilise la relation empirique liant la densité de dislocations totale ρ et la contrainte d’écoulement σ , qui est du type :

ρ Μ.α.μ.b. σ

σ = ₀ + (II.19)

Avec :

σ0 : constante prenant en compte la friction de réseau (forces de Peierls).

M : facteur de Taylor moyen.

α : paramètre matériau variant de 0,1 à 0,5 suivant le type d’interaction entre dislocations.

μ : module de cisaillement. b : norme du vecteur de Burgers.

Le modèle de Kocks intègre également une équation différentielle régissant l’évolution de la densité de dislocations ρ en fonction de la déformation plastique équivalente de von Mises

: p eq ε

(

)

k1 et k2 constituent deux paramètres liés au matériau. Le terme k1 ρ correspond à la création

de dislocations, tandis que le terme k2ρ est lié à l’annihilation des dislocations. Ce modèle permet de prendre en compte l’interaction entre dislocations mobiles et immobiles, ainsi que l’effet de saturation de l’écrouissage au fur et à mesure de la déformation plastique.

- Modèle de Tabourot [TAB92] :

Ce modèle repose sur les hypothèses du modèle de Kocks. La différence provient de l’introduction des densités de dislocations et des cissions critiques sur chacun des systèmes de glissement.

La cission critique d’activation sur un système donné dépend de la densité de dislocations sur chacun des systèmes de glissement activés. La cission critique s’écrit: s

c

∑

La matrice asu, introduite par Franciosi, définit l’interaction entre les différentes familles de systèmes de glissement (s) et (u).

Afin de décrire l’évolution de la densité de dislocations ρs sur chaque système de glissement (s), on doit distinguer les dislocations mobiles et immobiles :

s i s m s _{ρ ρ} ρ = + (II.22)

On considère que les dislocations immobiles prédominent :

s m s

i ρ

ρ >> (II.23)

L’équation différentielle décrivant l’évolution de la densité de dislocations mobiles fait intervenir trois contributions : la production , l’annihilation et l’immobilisation des dislocations : s p r r_mas s i r s i s ma s p s m r r r ρ& = − − (II.24)

L’évolution de la densité de dislocations immobiles est quant à elle gouvernée par l’immobilisation des dislocations mobiles , ainsi que par l’annihilation des dislocations immobiles : s i r s ia r s ia s i s i r r ρ& = − (II.25) Avec _s s m s i Λ v ρ r = s (II.26) s

v désignant la vitesse moyenne des dislocations mobiles sur le système (s) et Λs _{le libre} parcours moyen, c’est à dire la distance parcourue en moyenne par une dislocation avant d’être immobilisée. Ce libre parcours moyen peut être relié à la densité de dislocations perçant le plan de glissement par la relation suivante :

∑

s s s i Λ b γ r = & (II.29)

Si l’on considère que la densité de dislocation mobile évolue peu ( ) et que l’on néglige la densité de dislocations mobiles ( ), on obtient :

0 ρs m ≈ & s m s i ρ ρ >> s i s _ρ

ρ& = & (II.30)

s ia s s _r Λ b γ ρ& = & − s (II.31)

Essman et Mughrabi [ESS79] ont proposé une loi pour décrire le taux d’annihilation des dislocations immobiles : s s i c s ia ρ γ b y 2 r = & (II.32)

En combinant les équations (II.24), (II.28), et (II.29), puis en considérant que , on obtient [TAB98] : s i s _ρ ρ ≈ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =

∑

ρ& & 2 (II.33)

On peut en déduire l’expression de la matrice d’écrouissage hst qui est donnée par la relation :

u u

su s

c h γ

τ& =

∑

D’où u s c su h γ τ & & ∂ ∂ = (II.35)

En dérivant l’équation (II.20) par rapport au temps et en utilisant la relation (II.34), l’expression de la matrice d’écrouissage hsu peut être obtenue :

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =

∑

∑

II.B.2 Modélisations phénoménologiques de la plasticité ‘basse température’

a) Lois d’écoulement activées thermiquement :

La loi de type viscoplastique présentée dans le paragraphe précédent constitue en fait un cas particulier des lois basées sur le mouvement thermiquement activé des dislocations. Dans les métaux de structure C.C. et en dessous de la température de transition de comportement plastique, la plasticité est gouvernée par le franchissement des vallées de Peierls via le mécanisme de double décrochement, qui est lui-même activé thermiquement.

La fréquence ν de formation d’un double décrochement de longueur caractéristique lc le long d’un segment vis de longueur L (cf. figure II.5) est donnée par la théorie de l’activation thermique proposée par Kroupa, Friedel et Duesberry [KRO63] :

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = kT ) ΔG(τ exp l L l b ν ν eff c c D s (II.37)

Le terme ΔG(τeff) désigne l’énergie d’activation, qui correspond à la hauteur de la barrière énergétique constituée par les vallées de Peierls. Cette énergie dépend de la cission effective

τeff définie comme étant la cission appliquée τ à laquelle on retranche sa composante athermique τμ : μ τ τ τ_eff = − (II.38)

L

L

La nucléation d’un double décrochement est suivie d’une propagation quasi instantanée de celui-ci le long du segment vis par un effet de tension de ligne. Par conséquent, dès lors qu’un double décrochement a été généré, il y a avancée de l’ensemble du segment vis et la vitesse d’avancée vs de ce dernier est donnée par :

b ν_s s = v C’est à dire ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = kT ) ΔG(τ exp l L b ν eff 2 c 2 D s v (II.39)

Louchet a montré que s’il y a très peu de segments mixtes, leur vitesse moyenne est du même ordre que la vitesse des segments vis. Cette propriété tient au fait que le glissement plastique est commandé par la nucléation de doubles décrochements de nature mixte, ce qui implique l’égalité des vitesses des segments vis et mixtes:

mixte γ& s γ& s m mixte s γ 2ρ bv γ

γ_& =_& +_& ≈ (II.40)

La théorie du mouvement thermiquement activé des segments vis conduit ainsi à une expression du type [LOU78] :

( )

L’énergie d’activation liée au mécanisme de double décrochement peut s’exprimer à l’aide du volume d’activation V*, qui est défini comme étant la dérivée partielle de l’énergie d’activation par rapport à la cission effective :

ε& eff * τ ΔG V ∂ ∂ − = (II.42)

Si V* est constant, l’expression de l’énergie d’activation devient naturellement :

( )

ΔG _{= −} * _(II.43)

Le volume d’activation ainsi défini peut, quant à lui, dépendre de la température et de la contrainte effective. Certains auteurs ont proposé des expressions plus explicites de ΔG en fonction de T. Ainsi, si l’on considère un segment vis soumis à une cission effective τeff, l’énergie de formation s’écrit [STA02] :

p c eff 0 τ bl l ΔG ΔG≈ − (II.44)

p c

* _{bl l}

V = (II.45)

Kocks [KOC75] a proposé une description plus phénoménologique de l’évolution de ΔG en fonction de τeff :

( )

Cette formulation implique une dépendance en température du volume d’activation V*. Le terme ΔG0 définit l’énergie d’activation à contrainte effective nulle, c'est-à-dire sans apport de l’activation thermique, tandis que τR désigne la valeur de la friction de réseau, c’est à dire la cission à fournir pour franchir à coup sûr une vallée de Peierls (avec ou sans apport de l’activation thermique). Les paramètres p et q sont reliés au profil des obstacles, ou autrement dit à la profondeur des vallées de Peierls.

b) Lois phénoménologiques d’écrouissage ‘basse température’ :

- Modèle de Estrin, Mecking et Kocks modifié par Rauch [RAU93] :

Le modèle de Estrin, Mecking et Kocks, dit ‘modèle à un paramètre’, peut constituer une base intéressante à l’écriture d’une loi spécifique aux métaux C.C. : en effet, il s’applique aisément aux polycristaux et il ne fait dépendre l’écrouissage que de la densité de dislocations moyenne

ρ. Une première approche consiste à introduire dans ce modèle les spécificités inhérentes au comportement à basse température. Lorsque la température est suffisamment basse pour que l’effet de la friction de réseau sur les dislocations vis se manifeste (de l’ordre de Tf / 10 pour le fer pur), l’écrouissage du monocristal est profondément modifié : on observe par exemple au M.E.T. des segments vis très droits. Rauch propose donc d’écrire une loi d’écrouissage phénoménologique du type :

( )

σ

σ = _s &,T + bM (II.47)

Où b correspond au vecteur de Burgers, μ au module de cisaillement, M au facteur de Taylor moyen, et α à une constante liée aux interactions entre dislocations. Le terme σs correspond à une contrainte seuil incluant à la fois l’effet de la friction de réseau et des solutés sur le mouvement des dislocations et il dépend fortement de ε_&et T. Le second terme ‘classique’ est lié aux interactions de type forêt. Il s’agit d’un terme d’écrouissage qui évolue avec la déformation (à travers ρ) et ne dépend que faiblement de la température (à travers le module élastique de cisaillement).

Comme pour les métaux C.F.C, la loi d’évolution des densités de dislocations résulte de la compétition entre les mécanismes de production et d’annihilation de dislocations :

( )

de la vitesse de déformation. Λ correspond au libre parcours moyen. Ce terme est supposé constant car on considère que seuls les joints de grains constituent des obstacles au mouvement des dislocations.

Les équations (II.46) et (II.47) conduisent finalement à une expression analytique de la loi de comportement :

(

[

)]

Il est possible d’en déduire l’expression du taux d’écrouissage θ :

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = = bf ρ ρΛ 1 2 αμM dε dσ θ 2 (II.50)

Les valeurs des différents paramètres du modèle ont été identifiées à partir de courbes

θ = θ(σ) déduites d’essais de cisaillement réalisés par Keh & Weismann [KEH63] (tableau II.1).

Il faut noter qu’avec cette description phénoménologique et en considérant Λ constant, la limite d’élasticité suit une relation de type Hall-Petch ; en début de déformation, elle s’écrit :

1/2 1/2 s kε Λ σ σ= + (II.51) ε& (s-1) T (°C) α M Λ (μm) f σs (MPa) 10-3 -20 0,96 72 5 10-2 20 1,12 62 10-3 20 0,5 1,65 25 1,20 52

Tableau II.1 : Jeux de paramètres identifiés pour différentes valeurs de ε&et T à partir des

résultats de Keh et Weissmann pour le fer pur (cisaillement simple)

- Modèle de Teodosiu et Hu :

Il s’agit d’une approche très originale proposant d’intégrer les effets de l’activation thermique et de l’anisotropie de texture dans un modèle de plasticité macroscopique. Cette approche a été utilisée pour décrire l’effet de la vitesse de déformation et du changement de trajet sur la mise en forme des aciers IF (dans [UEN03]). L’équation de la surface de charge F fait intervenir un terme d’écrouissage isotrope R et cinématique X, ainsi qu’une variable interne S liée à la structuration des dislocations au cours de la déformation :

La contrainte équivalente est définie par la relation : X) X):M:(s (s 2 3 σe = − − (II.53)

Où M est un tenseur d’ordre 4 définissant l’anisotropie de la texture, qui est supposée ne pas évoluer au cours de la déformation.

II.B.3 Modélisation ‘basse température’ intégrant les densités de dislocations comme variables internes d’écrouissage (Rauch [RAU93])

La relation (II.47), associant la contrainte d’écoulement à la racine carrée de la densité de dislocations est justifiée dans le cas des métaux de structure C.F.C., notamment du fait du mécanisme d’écrouissage de type forêt. S’il est acquis que cette relation s’applique aux métaux C.C. à température ambiante, il a été montré [KEH63] qu’elle ne s’applique plus en dessous de la température de transition de comportement Ta.

Le modèle de Rauch propose une expression de la contrainte interne basée sur les mécanismes spécifiques au comportement des matériaux C.C. à basse température.

a) Calcul de la contrainte interne :

Le comportement plastique des métaux de structure C.C. pour T < Ta résulte du mouvement difficile des dislocations vis soumises à une forte friction de réseau. Celles-ci se déplacent grâce à la formation thermiquement activée de doubles décrochements. Si l’on considère une dislocation bloquée par des obstacles, celle-ci comporte une partie vis, sur laquelle l’avancée se fait par une succession de doubles décrochements, et une partie ‘mixte’ qui est en réalité constituée d’une accumulation de décrochements.

obstacles obstacles

T > Ta : plasticité contrôlée par

les interactions de type forêt

T < Ta : plasticité contrôlée par

la mobilité des dislocations vis

Fig. II.7 : Spécificités du comportement plastique à basse température dans les C.C.

La contrainte τ requise pour plastifier le matériau doit permettre de générer des doubles décrochements via la contrainte effective τeff et vaincre la contrainte interne τι due aux arbres de la forêt :

i

eff τ

τ

τ= + (II.54)

l’ensemble d’un segment vis de longueur L (figure II.7). La contrainte interne qui en résulte correspond à l’augmentation d’énergie stockée dans le matériau du fait de l’accroissement de longueur totale du brin dL lors de la propagation du segment vis.

dγ τ

dW_s = _i (II.55)

En considérant que l’énergie de ligne de la dislocation vaut μb2, on en déduit une expression simple de la contrainte interne :

bdA dL μb dγ dW τ 2 s i = = (II.56)

Où dA définit l’aire balayée lors de la propagation du double décrochement sur la longueur L.

Fig. II.8 : Ancrage d’une dislocation mobile sur les arbres de la forêt

Rauch a démontré, en raisonnant à partir de la figure II.8, que le terme dA dL pouvait s’écrire : 0 L β dA dL = (II.57)

Où L0 correspond à la distance moyenne entre les points d’ancrage et β à un facteur de proportionnalité essentiellement lié à la résistance des obstacles :

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = φ φ φ sin τ τ 1 sin 1 cos 2 β i _(II.58)

Il est intéressant de remarquer que, pour T > Ta, la contrainte effective est très faible, le rapport τi /τ tend vers 1, et par conséquent :

φ

cos 2

β≈ (II.59)

φ φ φ cos 2 sin 1 cos 2 β ≈ + ≈ (II.60)

On retrouve la même valeur de β dans ces deux cas extrêmes. Cette valeur se retrouve d’ailleurs aisément en schématisant le brin de dislocation mobile par un demi rectangle dont le côté de longueur L0 se déplace de dx, créant ainsi un accroissement du brin de 2dx tout en balayant une aire 2 L0 dx. Cependant, cette valeur n’est pas valable pour les températures intermédiaires, et β est alors supposé dépendant de T.

Pour obtenir une dépendance entre τi et la densité de dislocations ρ, il faut expliciter la distance entre obstacles L0. D’après Louchet [LOU78], le brin de dislocation franchit l’obstacle dès qu’il a parcouru une distance critique xc et l’aire balayée par la dislocation pour se défaire de l’obstacle correspond donc à l’aire associée à un obstacle :

ρ 1 x

L_{0 c} = (II.61)

Ici, ρ désigne en principe la densité de dislocations forêt, mais celle-ci est confondue avec la densité totale de dislocations. La distance xc peut être exprimée à partir de la figure II.7, si on considère que la partie mixte reliant le point d’ancrage à la dislocation vis forme un arc de cercle de rayon R = μb /τ. R est relié à xc et l’angle de courbure critique φ que dessine le segment mixte lors du désancrage de l’obstacle :

(

)

R

x_c = − (II.62)

Finalement, si les constantes β, R, φ sont regroupées dans un même terme α , on obtient la relation :

(

)

i = avec α= β

(

)

Il est important de noter que cette constante α, essentiellement liée à la résistance des obstacles, dépend de la température, tout comme β et φ. La contrainte appliquée se déduit aisément des équations (II.54) et (II.63) :

( )

τ = eff + _eff2+ 2 (II.64)

ε& (s-1) T (°C) Μ α τeff (MPa) -135 0,60 180 -75 0,43 110 10-3 25 2 0,38 15

Tableau II.2 : Jeu de valeurs de α et τeff identifiés à partir de l’équation (II.61) pour différentes valeurs T, à partir des résultats de Keh et Weissmann [KEH63] pour le fer α

(cisaillement simple) ρ x 10-12_m-2 σ (MP a) ρ x 10-12_m-2 σ (MP a)

Fig. II.9 : Identification du modèle d’écrouissage de Rauch sur les résultats expérimentaux

avec α constant (traits pointillés) ou α fonction de T (symboles *)

b) Transition hautes / basses températures :

L’équation (II.61) permet de discerner deux cas extrêmes :

- aux températures élevées (T > Ta), l’activation thermique joue un rôle moins important et un développement limité de l’expression (II.61) en τeff /τ au premier ordre conduit à :

ρ αμb τ

τ = _eff + lorsque τeff / τ << 1 (II.65)

- aux faibles températures (T << Ta ), l’activation thermique devient prépondérante et un développement de l’expression (II.60) en τi /τ au premier ordre donne :