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Intégrations numériques de l’équation des trajectoires
électroniques
Michel Laudet
To cite this version:
Sommaire. - A
partir de la méthode d’intégrations successives, on établit d’abord l’expression
rigoureuse de la formule de récurrence à trois termes pour des intervalles successifs égaux, et l’on
généralise au cas d’intervalles irréguliers.
On fait ensuite une étude comparative détaillée entre différentes formules de récurrence à trois termes que l’on utilise sous forme de multiplication de matrices, ce qui permet de vérifier à chaque instant les calculs numériques.
On souligne enfin l’importance de l’extrapolation tant au point de vue de l’amélioration des résul-tats que de
l’appréciation
de l’erreur.1
1. Détermination d’une
trajectoire
parinté-grations
successives. -L’équation
différentielle destrajectoires gaussiennes
s’écritavec
u = X + iY est la combinaison
complexe
habituelledes coordonnées cartésiennes relatives à des axes tournant suivant la loi
[1]
]
4» le
potentiel
sur l’axe et B l’inductionmagnétique.
PosonsL’équation
(1) prend
la formeavec
On
peut
mettrel’équation (2)
sous la forme d’unsystème
différentiel en écrivantL’intégration
parapproximations
successives d’unpoint
decoordonnée zA
a unpoint
courant decoor-donnée z
permet
d’écrire lesystème précédent
sousla forme
[2]
avec
expressions
danslesquelles E
et psont
lesopérateurs
définis parDans les méthodes de calcul
numérique
destrajec-toires,
on divise le domaine étudié en intervallesplus
ou moinspetits
h = z - zA. Connaissant lesvaleurs de U et de U’ au
point
zA, la relation(3)
permet
de déterminer les valeurs deÙ
et de U’au
point z
= ZA + h. Ce calculexige
laconnais-sance des coefficients a,
b,
-c et d en fonction deQ
et de h. Cette déterminationpeut
être faite par différentes méthodes[3].
Nous allons les calculer àpartir
de leurdéveloppement
(4).
Posons pour
simplifier
l’écriture
ZA = o. On obtientsuccessivement,
d’unepart :
605
d’autre
part
En
portant
ces.expressions
dans(4)
et enfai-sant z =
h,
on obtient2.
Expression rigoureuse
de la formule de récurrence à trois termes. - La formule(3)
permet
de déterminer U et U’ aupoint
zA+ h
lorsqu’ils
sont connus aupoint
zA. Mais ce calculexige
celui desquatre
coefficients a,b,
c, d. Onpréfère
utiliser des formules de récurrence à trois termes de la forme
qui
conduisent à des calculsnumériques
plus rapides.
I ° Cas où les intervalles sont
égaux.
-Supposons
que le domaine étudié ait été divisé en intervalles
successifs
égaux
(1)
La formule
(3)
donneavec
(1) La démonstration de (10) est celle proposée par E. Durand dans [4].
En éliminant U’ entre
les
deux relations(7),
on obtient
On en déduit en tenant
compte
de(8)
et encompa-rant avec
(6) :
Ce sont les formules données par E. Durand
[4].
Rappelons qu’il
estpossible
d’obtenir une formule ,de récurrence à trois termes valable au
quatrième
ordre et dont les coefficients sont
particulièrement
simples.
1
On
peut
d’ailleursvérifier,
en mettant(11)
sousla forme
(6)
que l’on retrouve bien(10)
àl’approxi-mation du
quatrième
ordre.(11) peut
s’écrire,
en effet :,
Or
d’où
En tenant
compte
deon obtient
On voit que
(10)
et(12)
ne diffèrent quepar les
termes du
cinquième
ordre.L’application
de la formule(6)
nécessite laconnais-sance des deux
premiers points
pour latrajectoire
envisagée.
On se fixegénéralement
les conditionsinitiales
U1
1 etU’1
pour lepremier
point.
Le secondpoint
est calculé ensuite àpartir
de la relationdéduite de
(3).
90 Cas où les intervalles sont
inégaux.
---Quand
les
Qi
ne sont pasnumériquement
connus pour despoints
régulièrement espacés
(2),
l’application
des(2) C’est ce qui se produit en particulier dans le cas où la
On en
déduit,
enprocédant
commeprécédemment
et en se limitant aux termes du troisième ordre :3.
,Application
de la formule de récurrence à trois termes au calculnumérique
destrajec-toires
électroniques.
- 10 Forme matricielle de laformule
de récurrence à trois termes. - Lesrela-tions
(6)
et(14)
permettent
de calculer unetrajec-toire
quelconque
àpartir
de conditions initiales données(3).
Il estpossible
de calculer simultanémentces deux
trajectoires
et de vérifier àchaque
instantqu’une
erreur ne s’est pasglissée
dans le calculdes
Ui successifs,
en écrivantl’équation (6)
sousune forme
légèrement
différente. On a, en effet :Posons
On pourra écrire
En affectant des indices 1 et
II,
les U et les à relatifs à deuxtrajectoires,
on aurafonction Q est connue analytiquement par une expression
de la forme
Voir, par exemple, M. Laudet [5].
(3) Mais si l’on désire en calculer plusieurs, on a intérêt
607
Entre les déterminants de ces matrices carrées
on a la relation .
qui
permet
de vérifier simultanément les résultats relatifs aux deuxtrajectoires
(4).
Les U seront calculés à
partir
detandis que les à s’obtiendront par différence et non
à
partir
de la relationL’introduction des à
paraît
être unecompli-cation
supplémentaire.
Mais
le calcul des U’ néces-sitant des différencessuccessives,
on auradéjà
(Vi+1
2013Ui).
Les coefficients
Hi
etLi
ont pourexpression
En mettant la relation
(11)
sous la forme(14),
on obtientSous cette
forme, l’excellente
approximation
que constitue la relation(11) apparaît
encoreplus
nettement.
2°
Étude
comparative
de laformule
de récurrence pourdifférentes
expressions
descoefficients
Li
etHi.
- Nous
avons
comparé
les résultats obtenus enprenant
deplus
enplus
de termes dans les for-mules(10).
Nous avonspris
successivement
pourHi
etLi
lesexpressions
Nous avons
également
appliqué
la formule(11)
mise
sous la forme(14).
(1) Cette méthode de vérification des calculs et son intérêt
pratique ont été signalés par E. Durand dans le cas du calcul
numérique des trajectoires à partir de (3).
La
lentille
test est lalentille
magnétique
de Glaser avec k2 = 3. Lestrajectoires
sont alorsdéter-minées par
l’équation
différentielleavec
Nous avons choisi pour
traj ectoires
les deuxtraj
ec-toires fondamentales
partant
de z = o et définiespar
Les solutions de
(19) qui
satisfont à(21)
sontanalytiquement
connues. Elles ont pourexpression
Les valeurs
numériques
obtenues pour différentes valeursde )
sont rassemblées dans le tableau 1.Entre les
quatre
quantités
Ul,
U1,
Vn,
Uii,
on ala relation
qui,
appliquée
aux valeursnumériques,
permet
demettre en évidence toute erreur de calcul.
Pour le calcul
numérique
des coefficients relatifsaux différentes formules
utilisées,
lesQi
ont été calculés àpartir
de(20),
les dérivésQ"
etQi
parapplication
des formulesOn a d’ailleurs vérifié que pour
les
intervalles’considérés,
les résultats n’étaientpratiquement
pasmodifiés,
compte
tenu de l’erreursystématiques
due à laméthode,
par la considération des valeursexactes de
Q’
etQ"
déduites de(20)
par dérivation.L’application
de
(11)
ne nécessite que le calcul du termeLes coefficients
Ki
etLi sont
obtenus ensuite parPour chacune des
quatre
formules(A),
(B),
(C)
., et
(D),
nous avons effectué lescalculs
pour deux sériesd’intervalles
hl
= h eth2
=2h
et nous avonsU1
etU2
étant les valeurs relatives àhl
eth2
et kadopter
k = 2 pour(A)
et(B)
et k = 3 pour(C)
609
Pour le choix des
intervalles,
ladisposition
pra-tique
des calculs et l’étude du processusd’extra-polation,
nous renvoyons le lecteur à l’article[4]
signalé
dans labibliographie.
Fig.I.
Fi g. 2.
Les
figures
1, 2, 3 et4
montrent les erreursrésul-tant de
l’application
des formules(A),
(B),
(C)
et
(D) respectivement.
Nous avonsfiguré
enpoin-tillé les résultats relatifs à l’intervalle
h,
et entraits
pleins
ceux obtenusaprès
extrapolation.
On
constate
que cette dernièrepermet
de réduire l’erreur au 1/5e
environ de sa valeur. Ce résultatpermet,
enparticulier,
d’apprécier
l’erreurcommisse
dans la détermination des
trajectoires.
Fig. 3.
Fig. 4.
4. Conclusion. - La
figure
5 montre les erreurscommises
après extrapolation
avec les différentes formules utilisées. Il nousparaît
résulter de l’examen de ces courbes que lesexpressions
(A)
et(D)
sontparticulièrement adaptées
au calculnumérique
despermet d’obtenir,
parcontre,
une excellenteprécision.
C’est ainsi que dansl’exemple
étudié, ,
l’erreur n’atteintpats 10-4,
alors que la lentille test est un casparticulièrement
défavorable. Onsait,
enefet,
que k2 correspond
à une lentille trèsconvergente.
De
plus,
àgrande
distance,
lechamp
devrait décroîtrecomme celui d’un
dipôle
magnétique,
c’est-à-direcomme Z-3 et non comme z-2. La fonction
Q
étantproportionnelle
au carré duchamp,
« serait alorsbeaucoup
plus
vitenégligeable.
Cette étude nous a été
suggérée
par M. E.Durand,
Professeur à la Faculté des Sciences de Toulouse. Nous lui
exprimons
notre vive reconnaissance pour l’intérêtqu’il
aporté
à ce travail.Manuscrit reçu le 24 avril I953.
BIBLIOGRAPHIE.
[1] ZWORYKIN, MORTON, RAMBERG, HILLIER et YANCE. 2014 Electron Optics and the Electron microscope, Wiley,
New-York, I948, p. 556.
[2] DURAND E. - Détermination d’une
trajectoire
électro-nique par intégrations successives. C. R. Acad. Sc., I953, 236, 364.
[3] DURAND E. - Détermination d’une
trajectoire
électro-nique par dérivations successives. C. R. Acad. Sc.,
I953, 236, 47I.
[4] DURAND E. - Le calcul
numérique des trajectoires
élec-troniques. 78e Congrès National des Sociétés Savantes,
avril I953.
[5] LAUDET M. - Potentiel et
champ d’une lentille
électro-statique cylindrique à trois fentes. Cahiers de Physique, n° 41, janvier I953.
[6] LAUDET M. - Calcul
numérique d’une lentille
électro-statique à trois électrodes. 78e Congrès National des
