L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2012-2013
D. Blottière et M. Salman Mathématiques
Devoir de vacances
À rendre le jour de la pré-rentrée
Exercice 1 : Résolution d’une inéquation On considère l’inéquation
(I) : 4 x<1 d’inconnue un nombre réelx.
1. Déterminer le domaine de définition de(I).
2. Résoudre(I). On précisera, en fin d’étude, l’ensembleS des solutions de l’inéquation(I).
Exercice 2 : Étude d’une suite récurrente
Soitf la fonction définie par :
f: ]0,+∞[→]0,+∞[ ; x7→1 + 1 2x et soit(un)n∈Nla suite définie paru0= 1et la relation de récurrence :
un+1=f(un)
valable pour toutn∈N. 1. Étude de la fonctionf
(a) Résoudre l’équation
f(x) =x d’inconnuex∈]0,+∞[.
(b) Interpréter géométriquement le résultat de la question précédente.
(c) Justifier que la fonctionf est dérivable sur ]0,+∞[.
(d) Étudier le sens de variation def sur ]0,+∞[.
(e) Démontrer que pour toutx∈
1,3 2
:
|f0(x)| ≤ 1 2. 2. Étude de la suite (un)n∈N
(a) Démontrer que la suite(un)n∈Nest bien définie et à valeurs dans
1,3 2
. (b) À l’aide du théorème des accroissements finis, démontrer que pour toutn∈N:
un+1−1 +√ 3 2
≤ 1 2
un−1 +√ 3 2
.
(c) En déduire que pour toutn∈N:
un−1 +√ 3 2
≤ 1
2 n √
3−1 2 . (d) Conclure quant au comportement asymptotique de la suite(un)n∈N.
1
Exercice 3 : Étude d’une suite d’intégrales
Terminologie : On dit que deux suites(un)n∈Net(vn)n∈N toutes deux à termes non nuls sont équivalentes, si : un
vn →
n→+∞1.
Dans ce cas, on note :un ∼
n→+∞vn.
Soit(Wn)n∈Nla suite définie par :
∀n∈N Wn = Z π2
0
cosn(x)dx . 1. CalculerW0 et W1.
2. Montrer que la suite (Wn)n∈Nest décroissante et que tous ses termes sont strictement positifs.
3. Montrer que la suite (Wn)n∈Nest minorée.
4. Que peut-on déduire des questions 2 et 3 ?
5. Soitn∈N. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : Wn+2= (n+ 1)
Z π2
0
cosn(t) sin2(t)dt.
En déduire que :
Wn+2= n+ 1 n+ 2Wn. 6. Montrer que pour toutn∈N:
n+ 1
n+ 2Wn≤Wn+1≤Wn. En déduire que :Wn+1 ∼
n→+∞Wn. 7. Montrer que la suite (Un)n∈Ndéfinie par :
∀n∈N, Un = (n+ 1)WnWn+1
est constante. En déduire que pour tout n∈N: Wn =
s Wn
Wn+1
× π 2(n+ 1).
8. Déduire des questions 6 et 7 que :
n→+∞lim Wn= 0 et Wn ∼
n→+∞
r π 2n.
Exercice 4 : Étude d’une fonction définie par une intégrale On définit la fonctionf par :
f:R→R; x7→
Z x
−x
tet t2+ 1 dt.
1. Justifier que la fonctionf est bien définie surR. 2. Montrer que la fonction f est impaire.
3. Montrer quef est dérivable surR.
Indication : On pourra introduire une primitive Gde la fonctiong:t7→ tet
t2+ 1 sur R, après avoir justifié son existence.
4. Calculerf0(x)pour toutx∈R. 5. Étudier les variations de f surR.
2
6. Soitx∈]1,+∞[.
(a) Montrer que :
Z 0
−x
tet
t2+ 1 dt=− Z x
0
te−t t2+ 1 dt.
(b) En déduire que :
f(x) = Z x
0
t(et−e−t) t2+ 1 dt.
(c) Montrere−1
e est un minorant de la fonctionhdéfinie par : h: [1,+∞[→R; t7→et−e−t. (d) Montrer que :
Z x 1
t(et−e−t) t2+ 1 dt≥1
2
e−1 e
ln(x2+ 1)−ln(2) . (e) En déduire le comportement asymptotique def en+∞.
7. Donner le comportement asymptotique def en−∞.
Exercice 5 : Calcul des puissances d’une matrice et formule du binôme de Newton
SoitA∈ M3(R)définie par :
A=
2 3 0 0 2 3 0 0 2
.
CalculerAn, pour toutn∈N.
Indication : On pourra commencer par écrireA sous la forme2I3+N, oùN∈ M3(R)est à préciser.
Exercice 6 : Circulation dans une ville en travaux et formule de Poincaré1
Un plan de ville a la configuration d’un damier à 4 cases. Les rues sont à sens unique (de haut en bas et de gauche à droite). Chaque rue a la probabilité p (p∈]0,1[) d’être fermée pour travaux, indépendamment des autres rues.
A //
I //
B
L //
O //
J
D //K //C
Pour répondre aux questions suivantes, on veillera à introduire des événements, en choisissant des noms perti- nents.
1. Déterminer la probabilitépAO qu’il existe un chemin libre deA, au centre-ville O.
2. (a) Déterminer la probabilitép0AC qu’il existe un chemin libre deAà Cne passant par parO.
(b) Déterminer la probabilitép00AC qu’il existe un chemin libre deAà C, passant par le centre.
3. Déterminer la probabilité πADC que le chemin ADC soit libre et qu’il existe un chemin libre de A à C passant par O.
1. D’après un sujet de l’oral du concours A-BCPST 2011.
3
Exercice 7 : Modèle d’évolution de maladie, matrices et calculs de probabilités
Un individu vit dans un milieu où il est susceptible d’attraper une maladie (non mortelle) par piqûre d’insecte.
Il peut être dans l’un des trois états suivants : immunisé(I), malade(M), non malade et non immunisé(S).
D’un mois à l’autre, son état évolue selon les règles suivantes.
• Étant immunisé, il peut le rester avec une probabilité 0,9 ou passer à l’état S avec une probabilité 0,1.
• Étant malade, il le restera.
• Étant dans l’état S, il peut le rester avec une probabilité 0,5 ou passer à l’état M avec une probabilité 0,5.
On introduit les événements
I(0) = « au départ, il est imunisé » ; M(0) = « au départ, il est malade » ;
S(0) = « au départ, il est non malade et non immunisé » ; et pour toutn∈N∗, les événements
I(n) = « au bout denmois, il est imunisé » ; M(n) = « au bout denmois, il est malade » ;
S(n) = « au bout denmois, il est non malade et non immunisé ».
Enfin, pour toutn∈N, on introduit les probabilités :
in=P(I(n)) ; mn=P(M(n)) ; sn =P(S(n))
et le vecteurXn=
in
mn
sn
∈R3.
1. Expression de Xn en fonction deX0
(a) Soitn∈N. Démontrer que
Xn+1= 1 10AXn
oùA=
9 0 0
0 10 5
1 0 5
∈ M3(R).
(b) En déduire que pour toutn∈N: Xn= 1
10 n
An X0.
2. Calcul des puissances de la matrice A (a) SoitP =
4 0 0
−5 −1 1
1 1 0
. Montrer que la matriceP est inversible et calculerP−1. (b) Calculer la matriceD=P−1A P.
(c) ExprimerAen fonction deD,P etP−1. (d) CalculerDn, pour toutn∈N.
(e) Montrer que pour toutn∈N:An =P DnP−1. (f) En déduire la valeur de An, pour toutn∈N.
3. Conclusion sur l’asymptotique de la probabilité d’être atteint par cette maladie (a) Soitn∈N. Exprimerin (resp.mn, resp.sn) en fonction den,i0,m0,s0. (b) En déduire que :
mn →
n→+∞1.
(c) Interpréter le résultat précédent.
Q Q Q Bonnes vacances Q Q Q
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