2010/11 - III,1 : corrigé

T2EE ‐ Corrigé du devoir en classe de mathématiques III,1 Exercice 1

a) fx  3x⁴−2x³ 5

2x² −x2 3 Df  D_f^′  R

∀x ∈ D_f^′ : f^′x  34x³−23x² 5

2 2x−1 12x³−6x²5x−1

b) fx  −57x²4⁴7 Df  Df^′  R

∀x ∈ Df^′ : f^′x  −547x²4⁴72x −280x7x²4³

c) fx  −3

5x2²  −35x2⁻² condition: 5x2≠ 0 x ≠ −2

5 Df  D_f^′  R∖ −2

5

∀x ∈ Df^′ : f^′x  −3 −25x2⁻³ 5 30

5x2³

d) fx  52x 1−3x

condition: 1−3x ≠ 0 x ≠ 1 3 Df  Df^′  R∖ 1

3

∀x ∈ Df^′ : f^′x  21−3x−52x−3

1−3x²  2−6x156x

1−3x²  17

1−3x²

e) fx 

u

2x²

v

x1

condition: x1≥ 0  x ≥ −1 Df  −1; Df^′  −1;

∀x ∈ Df^′ : f^′x 

u^′

4x

v

x1 

u

2x²

v^′

1

2 x1  4x x1  x² x1

 4xx1x²

x1  4x²4xx²

x1  5x²4x x1

f) fx  x² −4x−21 condition: x² −4x−21 ≥ 0 Δ  1684  100; x1  410

2  7; x2  4−10 2  −3

x − −3 7 

x²−4x−21  0 − 0 

Df  −;−37;et Df^′  −;−37;

∀x ∈ D_f^′ : f^′x  2x−4

2 x²−4x−21  2x−2

2 x²−4x−21  x−2 x²−4x−21

g) fx  5 sin²x−3 sin x Df  Df^′  R

∀x ∈ D_f^′ : f^′x  52 sin xcos x−3cos x 10 sin x cos x3 cos x  cos x10 sin x3

h) fx 

u

x²−x

v

x condition: x  0 Df  Df^′  0;

∀x ∈ Df^′ : f^′x 

u^′

2x−1

v

x −

u

x²−x

v^′

1 2 x

v²

x 

22x−1x− x²−x 2 x

x  4x²−2x−x²x

2x x  3x²−x 2x x 

i) fx 

u

3x4³

v

5−4x⁴ Df  Df^′  R

∀x ∈ Df^′ : f^′x 

u^′

33x4²3 

v

5−4x⁴ 

u

3x4³ 

v^′

45−4x³ −4

 93x4²5−4x⁴−163x4³5−4x³

 3x4²5−4x³95−4x−163x4

 3x4²5−4x³45−36x−48x−64

 3x4²5−4x³−84x−19

j) fx  −3 cos⁴−5x6

Df  Df^′  R

∀x ∈ Df^′ : f^′x  −34cos³−5x6  −sin−5x6  −5  −60 cos³−5x6sin−5x6